Daria Filipiak nr ćwiczenia: 72
Karolina Szutkowska
grupa nr 3
para nr 2
Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia
Logarytmiczny dekrement tłumienia to parametr, który opisuje ruch tłumiony. Jego definicją jest logarytm naturalny ze stosunku dwóch kolejnych amplitud, z których druga następuje po pierwszej w odstępie czasu równym okresowi drgań.
wzór: $\Lambda = \ln\left( \frac{A_{n}}{A_{n + 1}} \right) = \ln\left( \frac{A_{o}e^{- \delta t}}{A_{o}e^{- \delta(t + T)}} \right) = \ln e^{- \delta t + \delta t + \delta T}$
Λ = δT
ln - logarytm naturalny
A – amplituda drgań
δ – stała tłumienia
t – czas
T – okres drgań
wyprowadzenie wzoru na niepewność standardową:
$$\mu\left( \Lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} \right)^{2}*\mu\left( A_{n} \right)^{2} + \left( \frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} \right)^{2}*\mu{(A_{n + 1})}^{2}}$$
$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n}} = \frac{1}{A_{n + 1}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = \frac{1}{A_{n}}$$
$$\frac{\sigma\Lambda}{\sigma A_{n + 1}} = - \frac{A_{n}}{{{(A}_{n + 1})}^{2}}*\frac{A_{n + 1}}{A_{n}} = - \frac{1}{A_{n + 1}}$$
$$\mu\left( \Lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{A_{n}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta A_{n}}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( - \frac{1}{A_{n + 1}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta A_{n + 1}}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$$
$$\delta = \frac{\Lambda}{T} = \frac{n\Lambda}{t_{n}}$$
$$\mu^{2}\left( \delta \right) = \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma\Lambda} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( \frac{\text{σδ}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( t_{n} \right)$$
$$\mu\left( \delta \right) = \sqrt{\left( \frac{n}{t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \Lambda \right) + \left( - \frac{\Lambda*n}{{t_{n}}^{2}} \right)^{2}*\left( \frac{\Delta t_{n}}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$$
b = 2δm
$$\mu^{2}\left( b \right) = \left( \frac{\text{σb}}{\text{σδ}} \right)^{2}*\mu^{2}\left( \delta \right)$$
$$\mu\left( b \right) = \sqrt{4m^{2}*\mu^{2}(\delta)}$$
$$T = \frac{t_{n}}{n}$$
$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{\text{σT}}{\sigma t_{n}} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$
$$\mu\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{n} \right)^{2}*\mu^{2}(t_{n})}$$
Nr pomiaru | tn [s] |
n | T [s] |
Tsr [s] |
---|---|---|---|---|
I pomiar | ||||
II pomiar | ||||
III pomiar | ||||
tn sr= |
Nr pomiaru | A0[m] |
A1[m] |
A2[m] |
A3[m] |
A4[m] |
A5[m] |
A6[m] |
A7[m] |
A8[m] |
A9[m] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
I pomiar | ||||||||||
II pomiar | ||||||||||
III pomiar | ||||||||||
Średnie wartości amplitud |
Λ1 |
Λ2 |
Λ3 |
Λ4 |
Λ5 |
Λ6 |
Λ7 |
Λ8 |
Λ9 |
Λ ze wzoru |
Λ z wykresu |
$$\text{δ\ }\left\lbrack \frac{1}{s} \right\rbrack$$ |
$$\text{b\ }\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
m=