Ćwiczenie nr 72

Temat: Wyznaczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia

Beata Bajorek

Leszek Kruszczyński

Grupa 3

Zespół 4

Wstęp:

Ruchem drgającym (drganiem lub oscylacją) nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Rozróżniamy ruchy drgające okresowe i nieokresowe. Interesować nas będzie ruch okresowy, czyli periodyczny, to jest taki ruch, w którym położenie lub stan ciała powtarza się w jednakowych odstępach czasu, zwanych okresem drgań T. Będziemy rozważać głównie ruch okresowy punktu materialnego, porusza­jącego się wzdłuż osi x.

Oznaczmy położenie punktu materialnego na osi x w chwili t przez x(t). Ruch jest okresowy, jeżeli

x(t) = x(t+T)

Dla dowolnego czasu t.

Zależność x(t) może być wyrażona różnymi funkcjami okresowymi. Szcze­gólnie ważnym przypadkiem ruchu okresowego jest drganie opisane funkcją trygonometryczną sinus lub cosinus, np.:

x = A cos(ωt + ϕ)

gdzie wielkości A, ω i ϕ są to stałe: wielkość A nazywa się amplitudą drgań,

ω — częstotliwością (częstością) kątową lub pulsacją, a wyrażenie ωt + ϕ nosi nazwę fazy drgań; wartość fazy dla t = 0 jest równa ϕ i nazywa się fazą początkową.

Drganie opisane równaniem nazywamy drganiem harmonicznym. Odległość x drgającego punktu od położenia równowagi nazywamy wychyleniem punktu. Ponieważ wartość funkcji cosinus zmienia się w granicach od −l do +1,

wychylenie x zmienia się od −A do +A.

Okres drgań harmonicznych obliczymy ze wzoru:

A cos (ωt+ϕ) = A cos (ωt + ωT + ϕ)

Wynika stąd, że ωT = 2π, czyli

Oprócz okresu drgań wielkością charakteryzującą rozważany ruch jest też częstotliwość drgań

Jednostką częstotliwości jest herc: l Hz = l s ^-1.

Drgania swobodne. Rozważmy drgania, jakie wykonuje punkt materialny o masie m pod działaniem siły sprężystości F_s = −kx. Zgodnie z II zasadą dynamiki F_s = ma, zatem

Jest to równanie różniczkowe drgań swobodnych punktu materialnego.

Drgania tłumione. Jeżeli drgania ciała odbywają się w ośrodku materialnym (gaz, ciecz), to wskutek występowania siły oporu ośrodka, którą będziemy nazywać silą tłumiącą, drgania będą zanikać. Niezależnie od natury ośrodka siła tłumiąca F, jest proporcjonalna do prędkości ciała drgającego, jeśli pręd­kość ta jest niewielka. Zatem

Współczynnik proporcjonalności b nazywa się współczynnikiem oporu. Znak minus w powyższym wzorze uwzględnia fakt, że siła F, jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu.

Uwzględniając działanie siły możemy dla drgań tłumionych, zgodnie z II zasadą dynamiki, napisać

F_s + F_t = ma czyli

Jest to równanie różniczkowe drgań tłumionych punktu materialnego. Roz­wiązaniem tego równania jest funkcja

gdzie: − współczynnik tłumienia

− pulsacja drgań tłumionych

Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny stosunku dwóch amplitud w chwilach t i t + T. Oznaczając logarytmiczny dekrement tłumienia literą Λ (lambda) możemy napisać

OPIS PRZEPROWADZENIA DOSWIADCZENIA

1. Płytkę P wychylić o pewien kat, puścić swobodnie i obserwować wahania układu. Gdy zgasną dodatkowe drgania poprzeczne, a jednocześnie kąt wychyleń układu zmaleje do wartości około 20 stopni, zmierzyć stoperem czas kilkunastu drgań(„wahnięć”) t_n.

2. Obliczyć okres drgań $T = \frac{t_{n}}{n}$; n- liczba drgań.

3. Uruchomić układ ponownie i odczytać a przymiarze milimetrowym kolejne wartości amplitud : A₁, A₂,… z jednej strony od położenia równowagi S.

4. Czynności 1,2,3 powtórzyć kilka razy zawsze przy takim samym wychyleniu początkowym A₀, i obliczyć wartości średnie ${\overset{\overline{}}{t}}_{n},$ $\overset{\overline{}}{T}$ oraz wartości średnie poszczególnych amplitud ${\overset{\overline{}}{A}}_{1},{\overset{\overline{}}{A}}_{2,}{\overset{\overline{}}{A}}_{3}$…

5. Sporządzić na papierze milimetrowym wykres A od t, odkładając na osi rzędnych wartości kolejnych amplitud ${\overset{\overline{}}{A}}_{0},{\overset{\overline{}}{A}}_{1},\ldots,{\overset{\overline{}}{A}}_{n},$ a na osi odciętych czas, przyjmując za jednostkę czasu obliczony średni okres wahań $\overset{\overline{}}{T}$.

6. Obliczyć dekrement tłumienia Λ biorąc wartości [A₁, A_n + 1] ze sporządzonego wykresu w kilku dowolnych miejscach odpowiadających odstępowi czasu T.

7. Ze wzoru $\Lambda = ln\frac{A_{1}}{A_{2}}$ obliczyć Λ dla kilku „sąsiednich” amplitud średnich, i porównać z wartością otrzymaną w punkcie 6.

8. Ze wzoru $\delta = \frac{\Lambda}{T}$ obliczyć δ (biorąc $\overset{\overline{}}{\Lambda}$).

9. Ze wzoru $\frac{b}{m} = 2\delta$ obliczyć b (masa jest podana przy ćwiczeniu).

10. Wyniki umieścić w tabelach.

11. Przeprowadzić dyskusje błędów.

Obliczenia :

Λ_n = ln Λ − dekrement tłumienia

T= T − okres drgań

δ − stała dekrementu tłumienia

b = 2 • δ • m b − współczynnik oporu

Nr pomiaru	tn	n	T	Tsr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Nr pomiaru	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$$\overset{\overline{}}{A}$$