MODEL ELEKTRONÓW PRAWIE SWOBODNYCH.

Model Drudego (również model elektronów swobodnych, model gazu elektronów swobodnych) – model przewodnictwa elektrycznego ciał stałych (głównie metali) zaproponowany przez Paula Drudego w 1900 r..

Model stosuje się do elektronów klasyczną kinetyczną teorię gazów zakładając, że bezładny ruch elektronów swobodnych w metalu odbywa się podobnie jak ruch cząsteczek w gazie, i że są one rozpraszane na skutek zderzeń z nieruchomymi jonami sieci krystalicznej.

Półklasyczny model Drudego-Sommerfelda stosuje klasyczne równania ruchu, ale rozkład prędkości elektronów opisuje za pomocą kwantowego rozkładu Fermiego-Diraca.

Niekiedy modelem elektronów swobodnych bywa krótko nazywany model elektronów prawie swobodnych.

Elektrony poruszają się w polu elektrycznym . Jednocześnie wykonują chaotyczne ruchy termiczne zderzając się z jonami sieci krystalicznej, a ich prędkość ruchu termicznego jest tak duża, że pomiędzy zderzeniami zachodzącymi średnio co czas τ uzyskują jedynie niewielki pęd . Średni przyrost pędu elektronu na skutek działania pola elektrycznego wyniesie wtedy:

Model zakłada, że wszystkie kierunki rozproszenia elektronu w wyniku zderzenia z jonami sieci są jednakowo prawdopodobne, zatem można zaniedbać średni pęd elektronu bezpośrednio po zderzeniu, co prowadzi do wyrażenia na średni pęd uzyskany przez elektron^:

Ponieważ średni pęd jest równy

a gęstość prądu elektrycznego możemy zapisać jako:

gdzie n jest koncentracją elektronów, otrzymujemy:

Równanie to wyjaśnia ilościowo liniową zależność pomiędzy gęstością prądu i polem elektrycznym (prawo Ohma) - co było sukcesem modelu Drudego. Wielkość

nazywa się ruchliwością elektronów, a ostatnie równanie na gęstość prądu można zapisać jako:

W 1905 roku Hendrik Antoon Lorentz opracował dokładniejszy model, w którym zrezygnował z uproszczenia zakładającego stałą prędkość termiczną elektronów i przyjął, że jej rozkład jest opisany przez Rozkład Maxwella-Boltzmanna. Rezultaty tego modelu nie różniły się znacząco od podstawowego modelu Drudego.

Rozwój fizyki kwantowej i odkrycie zasady Pauliego skłoniły Arnolda Sommerfelda do zastosowania rozkładu Fermiego-Diraca zamiast rozkładu Maxwella-Boltzmanna. Jego model nosi nazwę modelu Drudego-Sommerfelda i jest często określany jako półklasyczny. W procesach transportu biorą udział elektrony znajdujące się w pobliżu poziomu Fermiego. Takie podejście jest możliwe jedynie wtedy, gdy żądana dokładność określenia położenia i pędu nie narusza zasady nieoznaczoności.

Prosty klasyczny model Drudego wyjaśnia przewodnictwo metali (choć nie daje informacjo o zależności przewodnictwa od temperatury), klasyczny efekt Halla, elektronowe przewodnictwo cieplne i prawo Wiedemanna-Franza. Niestety, zawodzi w innych przypadkach - na przykład przy obliczeniach wielkości elektronowej składowej ciepła właściwego, w wielu wypadkach daje też wielkości parametrów liczbowych mocno niezgodne z doświadczeniem.

Model Drudego-Sommerfelda prawidłowo określił elektronową składową ciepła właściwego, ale nie rozwiązał wielu innych problemów. Podstawową wadą modelu jest zaniedbanie wpływu jonów sieci na ruch elektronów między zderzeniami. Został on uwzględniony w modelu elektronów prawie swobodnych zbudowanym w oparciu o formalizmy mechaniki kwantowej.

Model może być zastosowany również do opisu dziur, choć nie przewiduje ich istnienia.

Wady modelu elektronów swobodnych przyjęcie stałego potencjału w modelu elektronów swobodnych nie uwzględnia dyskretnej struktury krystalicznej ciał stałych istotny wpływ na zachowanie elektronów odgrywa ich oddziaływanie z jonami sieci brak również uwzględnienia oddziaływania elektronów pomiędzy sobą oba typy oddziaływań można rozdzielić stosując różne rodzaje przybliżeń: jednoelektronowe, elektronów prawie swobodnych lub silnie związanychEx0