Wiadomości wstępne

Logika - jest to nauka o zasadach poprawnego myślenia. Dzieli się na trzy działy:

1. semantyka - dział logiki zajmujący się analizą funkcji znaczeniowych wyrażeń mowy;

2. metodologia nauk - zajmuje się sposobami uzasadniania twierdzeń;

3. logika formalna - zajmuje się wynikaniem zdań o określonej budowie z innych zdań również o określonej budowie. Dzieli się na teorię zdań i teorię nazw. Te dwie części logiki formalnej wyróżnione zostały ze względu na zmienne jakimi posługujemy się przy formułowaniu schematów wnioskowania. W teorii zdań używamy zmiennych zdaniowych (np. p, q, r oznaczających zdania proste), natomiast w teorii nazw posługujemy się zmiennymi nazwowymi (S, P, M dla oznaczenia nazw)

Kategorie semantyczne

Pojęcie kategorii semantycznych

Kategorie semantyczne są to pewne działy wyrazów, ich zespołów i całych zwrotów językowych wyróżnione przez logikę ze względu na znaczenie i funkcje jakie spełniają.

Podział wyrażeń mowy na kategorie semantyczne jest podziałem występującym tylko w obrębie logiki i skonstruowanym dla jej potrzeb. Kryterium podziału wyrażeń mowy na kategorie semantyczne jest rola (funkcja znaczeniowa) jaką pełnią poszczególne wyrażenia w procesie słownego wyrażania myśli. Wyróżnia się następujące kategorie semantyczne:

1. kategoria nazw,

2. kategoria zdań,

3. kategoria funktorów.

Nazwy

Pojęcie nazwy

Nazwy są to takie wyrażenia językowe, które nadają się na podmioty bądź orzeczniki zdań o strukturze A jest B.

Nazw używamy dla oznaczenia (wskazania) jakiegoś przedmiotu względnie jakiegoś pojęcia, które jakkolwiek nie posiada materialnego odpowiednika, to charakteryzuje się określonymi cechami. Pojęcia nazwy nie można utożsamiać z gramatycznym pojęciem rzeczownika. Oprócz rzeczowników nazwami mogą być również przymiotniki, liczebniki, zaimki, a nawet w niektórych formach czasowniki. O tym czy dane wyrażenie należy potraktować jako nazwę, decyduje tylko jego rola, jaką pełni w procesie słownego wyrażania myśli.

Desygnat, zakres i treść nazwy

Desygnatem nazwy przy danym jej znaczeniu jest każdy przedmiot trafnie przez nią oznaczony, przy tym jej znaczeniu.

Zakresem nazwy przy danym jej znaczeniu jest zbiór jej wszystkich desygnatów przy tym jej znaczeniu.

Treść nazwy jest to zespół cech na jakie wskazujemy w omawianym przedmiocie, za pomocą tej właśnie nazwy.

Wybrane podziały nazw

1. Ze względu na budowę:

   1. proste - takie, które mówimy lub piszemy jako jedną całość (np. policjant, człowiek, stół, książka),

   2. złożone - zbudowane co najmniej z dwóch wyrazów (np. groźny przestępca, Wyższa Szkoła Policji).

2. Ze względu na posiadanie desygnatu:

   1. oznaczające - mają przynajmniej jeden desygnat (istnieje przynajmniej
      jeden przedmiot, który możemy wskazać daną nazwą),

   2. nieoznaczające - nie posiadają desygnatu (nie istnieje przedmiot, który możemy oznaczyć daną nazwą).

3. Ze względu na to, do czego się odnoszą:

   1. konkretne - posiadają desygnat (np. przestępca, sędzia, książka), względnie desygnat można sobie wyobrazić jako przedmiot lub osobę (np. anioł, krasnoludek, wawelski smok).

   2. abstrakcyjne - nie mają desygnatu, ani nie można wyobrazić go sobie jako przedmiot lub osobę (np. spokój, niebezpieczeństwo, przyjemność).

4. Ze względu na strukturę desygnatu:

   1. zbiorowe - desygnat nazwy jest zbiorem przedmiotów (np. kompania, pluton),

   2. niezbiorowe - desygnat jest pojedynczym przedmiotem (np. adwokat, sędzia, człowiek).

Oprócz wyżej wymienionych podziałów, możemy wyodrębnić nazwy sprzeczne i przeciwne.

Nazwy przeciwne są to takie, których desygnaty mają przeciwstawne cechy (np. stary - młody, ładny - brzydki), natomiast nazwy sprzeczne to takie z których jedna zaprzecza drugiej (np. człowiek - nie człowiek)

Suma zakresów dowolnej pary nazw sprzecznych obejmuje zbiór wszystkich istniejących przedmiotów na świecie tzw. klasę uniwersalną przedmiotów.

Funkcje semantyczne nazw

Nazwy mogą pełnić następujące funkcje semantyczne: wyrażania, znaczenia i oznaczania.

Funkcja wyrażania jest to relacja między myślą, a wyrażeniem (nazwą) za pomocą którego myśl ta została przedstawiona.

Funkcja znaczenia - relacja między wyrażeniem, a powstałą pod jego wpływem
myślą; inaczej jest to sposób rozumienia danej nazwy w danym języku.

Funkcja oznaczania - relacja między nazwą, a przedmiotem trafnie przez nią wskazanym.

Funkcje wyrażania i znaczenia zachodzą w każdym przypadku i dla każdej nazwy, natomiast funkcja oznaczania zachodzi wtedy, gdy:

1) w ogóle istnieje przedmiot, który możemy wskazać daną nazwą;

2) przedmiot ten jest trafnie wskazany (tzn. nazwa jest prawidłowo użyta -poprawnie nazywa dany przedmiot).

Stosunki zależności między zakresami nazw

Stosunki zależności między zakresami nazw możemy rozpatrywać tylko w odniesieniu do nazw oznaczających. Między zakresami dwóch dowolnych nazw oznaczających może zachodzić jeden i tylko jeden z pięciu stosunków zależności. (Wyrażenie jeden i tylko jeden oznacza, że między zakresami nazw musi zachodzić co najmniej jeden i może zachodzić co najwyżej jeden stosunek zależności).

1. Stosunek równoważności (równoważność)

Między zakresami dwóch dowolnych nazw A i B zachodzi stosunek równoważności wtedy, gdy każdy desygnat nazwy A jest desygnatem nazwy B i każdy desygnat nazwy B jest desygnatem nazwy A.

A: Warszawa

A B: stolica Polski

B

2. Stosunek nadrzędności

Między zakresami dwóch dowolnych nazw A i B zachodzi stosunek nadrzędności wtedy, gdy tylko niektóre desygnaty nazwy A są desygnatami nazwy B i każdy desygnat nazwy B jest desygnatem nazwy A.

A: przestępca

B: zbrodniarz

3. Stosunek podrzędności

Między zakresami dwóch dowolnych nazw A i B zachodzi stosunek podrzędności wtedy, gdy każdy desygnat nazwy A jest desygnatem nazwy B i tylko niektóre desygnaty nazwy B są desygnatami nazwy A.

A: prokurator

B: prawnik

4. Stosunek krzyżowania

Między zakresami dwóch dowolnych nazw A i B zachodzi stosunek krzyżowania wtedy, gdy niektóre desygnaty nazwy A są desygnatami nazwy B i niektóre desygnaty nazwy A nie są desygnatami nazwy B, a jednocześnie niektóre desygnaty nazwy B są desygnatami nazwy A i niektóre desygnaty nazwy B nie są desygnatami nazwy A.

A: policjant

B: kierowca

5. Stosunek wyłączania (wykluczania)

Między zakresami dwóch dowolnych nazw A i B zachodzi stosunek wyłączania (wykluczania) wtedy, gdy żaden desygnat nazwy A nie jest desygnatam nazwy B.

A: samochód

B: policjant

Funktory

Pojęcie funktorów

Funktory są to wyrażenia językowe służące do wiązania nazw, zdań oraz innych zwrotów językowych w wyrażenia bardziej złożone.

Zwroty językowe związane danym funktorem nazywają się argumentami tego funktora. Funktorami są takie wyrażenia, jak np.: i, lub, albo, nieprawda że, pisze, jest.

Ze względu na kategorię semantyczną, do której zaliczamy wyrażenie powstałe przy użyciu danego funktora, rozróżniamy funktory:

1. nazwotwórcze - są to takie, które tworzą nazwy złożone. Dzielimy je na:

   1. nazwotwórcze od jednego argumentu nazwowego - łącznie z jedną nazwą tworzą nazwę złożoną.
      Np. niebezpieczny przestępca
      niebezpieczny - funktor
      przestępca - argument nazwowy.

   2. nazwotwórcze od dwóch argumentów nazwowych - łącznie z dwoma nazwami tworzą nazwę złożoną.
      Np. kradzież z włamaniem
      z - funktor
      kradzież, włamanie - argumenty nazwowe.

2. Zdaniotwórcze - takie wyrażenia, które tworzą zdania proste i zdania złożone. Dzielimy je na:

   1. zdaniotwórcze od jednego argumentu nazwowego (łącznie z nazwą tworzą zdanie).
      Np. Złodziej ucieka
      ucieka - funktor
      złodziej - argument nazwowy.

   2. zdaniotwórcze od dwóch argumentów zdaniowych (łącznie z dwoma nazwami tworzą zdanie).
      Np. Dzielnicowy prowadzi dochodzenie
      prowadzi - funktor
      dzielnicowy, dochodzenie - argumenty nazwowe.

   3. zdaniotwórcze od jednego argumentu zdaniowego (łącznie z jednym zdaniem tworzą zdanie złożone).
      NP. Prawda, że Warszawa jest stolicą Polski
      prawda, że - funktor
      Warszawa jest stolicą Polski - argument zdaniowy.

   4. zdaniotwórcze od dwóch argumentów zdaniowych (łącznie z dwoma zdaniami tworzą zdanie złożone).
      Np. Jeżeli Z jest prokuratorem, to Z ma prawo oskarżać
      jeżeli .... to - funktor
      Z jest prokuratorem; Z ma prawo oskarżać - argumenty zdaniowe.

3. Funktory funktorotwórcze - tworzą funktory złożone

Zdania

Pojęcie zdania w sensie logicznym

Zdaniem w sensie logicznym jest takie wyrażenie językowe, które ma wartość logiczną tzn. jest albo prawdziwe albo fałszywe.

Spośród zdań w sensie gramatycznym tylko zdania orzekająca (twierdzące albo przeczące) są zdaniami w sensie logicznym, bowiem tylko takie zdania podlegają ocenie z punktu widzenia prawdy lub fałszu.

Np. zdanie „Szczytno jest miastem” - podlega ocenie z punktu widzenia prawdy lub fałszu, jest więc zdaniem w sensie logiczny. Natomiast zdanie „Otwórz okno” nie podlega takiej ocenie - nie jest wobec tego zdaniem w sensie logicznym.

Przez wartość logiczną rozumie się jego prawdziwość lub fałszywość. Zdania prawdziwe to takie, które podają pewne stwierdzenia zgodnie z obiektywnie istniejącą rzeczywistością. Jeżeli podają stwierdzenia przeciwne do obiektywnej rzeczywistości są zdaniami fałszywymi. Wartość logiczna zdania jest wielkością stałą i obiektywną. Przez to, czy ktoś dane zdanie uważa za fałszywe, czy za prawdziwe nie zmienia się jego wartość logiczna. Było i jest fałszywe zdanie - Słońce krąży dookoła Ziemi - chociaż dawniej uznawano je za prawdziwe. Nie oznacza to, że zmieniła się wartość logiczna tego zdania, ale że rozwój wiedzy pozwolił na jej weryfikację.

Otaczająca nas rzeczywistość może być opisywana przy pomocy stwierdzeń lub zaprzeczeń. W związku z tym wszystkie zdania można podzielić na zdania twierdzące oraz zdania przeczące.

Ze względu na sposób w jaki zdania podają określone fakty (ze względu na ich modalność) zdania można podzielić na:

• asertoryczne - coś stwierdzają lub czemuś przeczą, nie twierdząc jednak, że tak być musi.
  np. Prawo jest zmienne. W Szczytnie jest Wyższa Szkoła Policji.

• apodyktyczne - podają pewne fakty i jednocześnie twierdzą, że tak być musi.
  np. Aby przestępca został skazany, sąd musi udowodnić jego winę.

• problematyczne - wskazują na możliwość zaistnienia określonego faktu.
  np. To przestępstwo mógł popełnić X, ponieważ widziano go na miejscu przestępstwa.

Zdania proste i złożone

Zdaniem prostym jest takie zdanie w sensie logicznym, które nie posiada funktora zdaniotwórczego od argumentów lub argumentu zdaniowego.

Zdaniem złożonym jest takie zdanie, które zawiera przynajmniej jeden funktor zdaniotwórczy od argumentów lub argumentu zdaniowego.

Podział zdań w logice na proste i złożone nie jest równoważny z podziałem gramatycznym. Dla przykłady zdanie: „Nieprawda, że X został uniewinniony” w gramatyce traktowane jest jako zdanie proste, natomiast z punktu widzenia logiki uważamy je za zdanie złożone; zdanie „W kinie wyświetlany jest film, który może cię zainteresować” w logice traktowane jest jako proste, chociaż zgodnie z zasadami gramatyki jest to zdanie złożone.

Rodzaje zdań prostych

Wyróżniamy następujące rodzaje zdań prostych:

1. Zdania podmiotowo-orzecznikowe - zbudowane z podmiotu i orzecznika połączonych funktorem „jest (są)”.
   Np.: Policjant jest urzędnikiem państwowym.
   Niektórzy przestępcy są zbrodniarzami.

2. Zdania podmiotowo-orzeczeniowe - składają się z podmiotu i orzeczenia.
   Np.: Słuchacz uczy się.
   Prokurator oskarża.

3. Zdania egzystencjalne - zawierają wyrażenie „istnieje”
   Np.: Istnieje Wyższa Szkoła Policji.
   Istnieją prawnicy.

4. Zdania stosunkowe (relatywne) - zawierają zwrot wskazujący na zachodzenie określonej relacji (stosunku) między jakimiś przedmiotami.
   Np. Kara grzywny jest łagodniejsza od kary pozbawienia wolności.

Wartość logiczna zdań złożonych

Rodzaje zdań złożonych wyodrębnione zostały ze względu na występujący w nich funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych.

Zdania złożone zapisujemy za pomocą pewnych schematów (funkcji zdaniowych), przyjmując pewne umowne symbole: p, q, r ... jako zmienne zdaniowe, dla oznaczenia zdań prostych oraz graficzne znaki dla funktorów.

Bardzo istotną sprawą, odnośnie zdań złożonych, jest ocena ich wartości logicznej. Zależy ona od wartości logicznej zdań składowych oraz występującego w zdaniu funktora.

Wyróżniamy następujące rodzaje zdań złożonych:

1. Zdanie koniunkcyjne (koniunkcja)

Jest to takie zdanie, które otrzymujemy przez połączenie dwóch dowolnych zdań funktorem „i”. Schematycznie koniunkcję zapisujemy następująco:

p ∧ q

gdzie: symbole p, q, oznaczają dowolne zdania (zmienne zdaniowe), symbol ∧ jest znakiem stałym funktora „i” (oraz jego odpowiedników z języka potocznego np. ale, lecz, a itp.)

Wartość logiczna koniunkcji przedstawia się następująco:

p	q	p ∧ q
P P F F	P F P F	P F F F

Przyjmujemy, że koniunkcja jest tylko wtedy prawdziwa, gdy prawdziwe są obydwa zdania składowe. W pozostałych przypadkach koniunkcję uznajemy za zdanie fałszywe.

2. Zdanie alternatywne (alternatywa)

Otrzymujemy je przez połączenie dwóch zdań funktorem „lub”.

p ∨ q

Ocena wartości logicznej zdania alternatywnego przedstawia się następująco:

p	q	p ∨ q
P P F F	P F P F	P P P F

Jak to widać z powyższej tabeli, alternatywę uważamy za prawdziwą, jeżeli przynajmniej jedno ze zdań składowych jest prawdziwe.

3. Zdanie alternatywno-rozłączne (alternatywa rozłączna)

Są to dwa zdania połączone funktorem „albo”.

p ÷ q

Przyjmujemy, że alternatywa rozłączna jest wtedy prawdziwa, gdy zdania składowe mają różne wartości logiczne. Gdy wartości logiczne zdań składowych są takie same (a więc obydwa zdania składowe są jednocześnie albo prawdziwe albo fałszywe) alternatywa rozłączna jest zdaniem fałszywym. Ilustruje to poniższa tabela:

p	q	p ÷ q
P P F F	P F P F	F P P F

4. Zdanie implikacyjne (warunkowe)

Otrzymujemy je łącząc dwa zdania funktorem „jeżeli ... to ...”

p → q

pierwsze zdanie składowe (p) nazywamy poprzednikiem, drugie natomiast następnikiem (q).

p	q	p → q
P P F F	P F P F	P F P P

Implikacja jest fałszywa tylko w jednym wypadku, a mianowicie wtedy, gdy poprzednik jest zdaniem prawdziwym, a następnik zdaniem fałszywym. W pozostałych przypadkach uznajemy implikację za zdanie prawdziwe.

5. Zdanie równowartościowe (równowartość)

Otrzymujemy je przez połączenie dwóch zdań funktorem „wtedy i tylko wtedy ..., gdy ...”.

p ≡ q

Zdanie te oceniamy jako prawdziwe tylko wtedy, gdy zdania składowe mają tę samą wartość logiczną (obydwa zdania składowe są prawdziwe albo obydwa zdania składowe są fałszywe).

p	q	p ≡ q
P P F F	P F P F	P F F P

6. Zdanie negacyjne (negacja)

Otrzymujemy je przez dodanie do dowolnego zdania funktora przeczenia „nieprawda, że” lub „nie”, odnoszących się do całego zdania.

Tego rodzaju zdanie, strukturalnie jest mniej rozbudowane w porównaniu do wyżej omówionych zdań złożonych. Zbudowane jest bowiem, tylko z jednego zdania i funktora zdaniotwórczego od argumentu zdaniowego.

p′

Negacja jest prawdziwa, gdy przeczenie występuje przed zdaniem fałszywym oraz fałszywa, gdy przeczenie dotyczy zdania prawdziwego.

p	p′
P F	F P

Tautologia

Tautologia jest to schemat wyrażenia językowego, które przy każdym podstawieniu stałych (prawda - P; fałsz - F) w miejsce zmiennych (p, q, r, itd) przechodzi w wyrażenie prawdziwe.

Sposób sprawdzania, czy wyrażenie jest tautologiom został omówiony w dalszej części (ćwiczenie 6).

Ćwiczenia

1. Stosując omówione podziały nazw, określ niżej podane nazwy:

1. pistolet P-64,

   obecny Komendant Główny Policji,

   kompania XI,

   diabeł,

   prokurator,

   niebezpieczny przestępca.

Przykład rozwiązania:

obecny Komendant Główny Policji - jest to nazwa:

- złożona: ponieważ zbudowana jest z więcej niż jednego wyrazu;

- oznaczająca: posiada desygnat (istnieje przedmiot (osoba), który możemy wskazać tą nazwą);

- konkretna: istnieje desygnat;

- niezbiorawa: desygnat jest pojedynczym przedmiotem (osobą).

diabeł - jest to nazwa:

- prosta: zbudowana z jednego wyrazu;

- nieoznaczająca: nie istnieje desygnat;

- konkretna: desygnat można sobie wyobrazić jako przedmiot (osobę)

2. Jaki stosunki zależności zachodzą między zakresami następujących nazw?

1. przestępstwo : zbrodnia,

2. urzędnik państwowy : funkcjonariusz policji,

3. podchorąży : student,

4. złodziej : przestępca,

5. pojazd mechaniczny : nie-samochód,

6. las : drzewo,

7. Poseł na Sejm RP : Sejm RP,

8. dowód rzeczowy : przedmiot znaleziony na miejscu przestępstwa,

9. prawnik : prokurator.

Przykład rozwiązania:

dowód rzeczowy : przedmiot znaleziony na miejscu przestępstwa - między zakresami tych nazw zachodzi stosunek krzyżowania dlatego, że: wśród dowodów rzeczowych są takie, które są przedmiotami znalezionymi na miejscu przestępstwa i takie, które nie są przedmiotami znalezionymi na miejscu przestępstwa; jednocześnie wśród przedmiotów znalezionych na miejscu przestępstwa są takie, które są dowodami rzeczowymi i takie, które dowodami rzeczowymi nie są.

3. Przedstaw graficznie stosunki zależności między zakresami nazw

1. A: zeszyt, B: książka, C: długopis;

2. A: nie-pies, B: nie kierowca, C: policjant;

3. A: nie-Polak, B: nie-Francuz, C: matematyk;

4. A: nie-sportowiec, B: nie-piłkarz, C: bokser;

5. A: Polska, B: Ziemia, C: Europa, D: Szczytno;

Przykład rozwiązania

A: nie-Polak, B: nie-Francuz, C: matematyk;

Między zakresami nazwy A i nazwy B

zachodzi stosunek krzyżowania. A B

Ponieważ matematykami jest część Polaków, część Francuzów oraz część przedstawicieli innych narodowości, graficzne przedstawienie zależności między zakresami rozpatrywanych nazw, wygląda następująco:

A C B

4. Wskaż, jakie funktory występują w poniższych wyrażeniach:

1. okrągły stół.

2. Iksiński to groźny przestępca.

3. Warszawa jest stolicą Polski.

4. Nieprawda, że jutro będzie test z logiki.

5. Nieprawda, że jeżeli będę przygotowany do egzaminu, to nie otrzymam oceny pozytywnej.

Przykład rozwiązania

Nieprawda, że jeżeli będę przygotowany do egzaminu, to nie otrzymam oceny pozytywnej. W tym zdaniu funktorami są wyrażenia:

- nieprawda, że - f. zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego,

- jeżeli ..., to - f. zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych,

- będę - f. zdaniotwórczy od dwóch argumentów nazwowych,

- do - f. nazwotwórczy od dwóch argumentów nazwowych,

- nie - f. zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego,

- otrzymam - f. zdaniotwórczy od dwóch argumentów nazwowych,

- pozytywnej - f. nazwotwórczy od jednego argumentu nazwowego.

5. Określ jakie wartości logiczne mają zdania p oraz q jeżeli:

1. schemat (p ∨ q′ ) jest schematem zdania prawdziwego.

2. schemat (p′ ÷ q) przedstawia zdanie fałszywe.

3. schemat [(p ∨ q) ÷ g′ ] przedstawia zdanie prawdziwe.

4. schemat [(p ∧ q) ÷ (p′ ∨ q′ )] jest schematem zdania fałszywego.

Przykład rozwiązania

schemat [(p ∧ q) ÷ (p′ ∨ q′ )] jest schematem zdania fałszywego

Schemat przedstawia alternatywę rozłączną koniunkcji zdań p i g oraz alternatywy negacji tych zdań.

Z założenia wynika, że schemat ten przedstawia zdanie fałszywe. Zgodnie z matrycą prawdziwości alternatywy rozłącznej, alternatywa rozłączna jest fałszywa, gdy zdania składowe mają takie same wartości logiczne. Warunek ten będzie spełniony, gdy 1) (p ∧ q) jest prawdziwe i (p′ ∨ q′ ) jest prawdziwe; oraz 2) (p ∧ q) jest fałszywe i (p′ ∨ q′ ) jest fałszywe.

Rozpatrujemy przypadek 1). (p ∧ q) jest zdaniem prawdziwym, gdy p jest prawdziwe i q jest prawdziwe (wynika to z matrycy koniunkcji). W tym wypadku (zgodnie z matrycą alternatywy), dla takich wartości zmienny schemat (p′ ∨ q′ ) jest schematem zdania fałszywego. Nie spełnia wobec tego przyjętych założeń.

Rozpatrujemy przypadek 2). (p′ ∨ q′ ) jest fałszywe, gdy p′ jest fałszywe i q′ jest fałszewe, co oznacza, że zmienne p, q przedstawiają zdania prawdziwe. W tym wypadku (zgodnie z matrycą prawdziwości koniunkcji zdanie (p ∧ q) jest prawdziwe. Wobec tego i w tym przypadku przyjęte założenia nie zostały spełnione.

w n i o s e k: schemat [(p ∧ q) ÷ (p′ ∨ q′ )] nigdy nie jest schematem zdania fałszywego.

6. Podaj, które schematy są tautologiami:

1. ( p ∨ q) ÷ ( p′ ∧ q′ )

2. [( p ÷ q′ )→(p ∧ q)] → ( p ≡ q)

3. [( p ∧ q ) → q′ ] → p′

4. [( p → q) ∧ p ] → q

5. {[( p ∧ q) → r] ∧ r′ }→ ( p′ ∨ q′ )

Przykład rozwiązania

Aby sprawdzić, czy wyrażenie jest tautologiom należy podstawić w miejsce zmiennych stałe logiczne (tj. prawda - P, oraz fałsz - F). Należy rozpatrzyć wszystkie możliwe kombinacje podstawień. Ilość podstawień uzależniona jest od ilości zmiennych występujących w sprawdzanym schemacie i wynosi 2ⁿ, gdzie n oznacza ilość zmiennych. Tak więc, chcąc stwierdzić, czy schemat

[( p → q) ∧ p ] → q

przedstawia tautologię, należy dokonać czterech podstawień stałych w miejsce zmiennych. Przyjmując, że zmienne p, q mogą przyjmować następujące wartości:

	p	q
1. 2. 3. 4.	P P F F	P F P F

wykonujemy 1. podstawienie

[( P → P) ∧ P ] → P

posługując się matrycami prawdziwości zdań złożonych określamy wartości logiczne poszczególnych zdań złożonych (w kolejności: nawias zwykły, nawias kwadratowy, całość). W nawiasie zwykłym jest zdanie implikacyjne, którego poprzednik i następnik są zdaniami prawdziwymi. Zgodnie z matrycą implikacji, dla tych wartości poprzednika i następnika, implikację uznajemy za prawdziwą.

[ P ∧ P ] → P

W nawiasie kwadratowym mamy koniunkcję dwóch zdań prawdziwych. Zgodnie z matrycą koniunkcji, w tym wypadku uznajemy ją za prawdziwą

P → P

Otrzymana implikacja przedstawia zdanie prawdziwe.

W ten sam sposób wykonujemy kolejne podstawienia.

2. podstawienie

[( P → F) ∧ P ] → F

[ F ∧ P ] → F

F → F

P

3. podstawienie

[( F → P) ∧ F ] → P

[ P ∧ F ] → P

F → P

P

4. podstawienie

[( F → F) ∧ F ] → F

[ P ∧ F ] → F

F → F

P

Ponieważ przy wszystkich podstawieniach stałych w miejsce zmiennych otrzymaliśmy wartość logiczną P -prawda, stwierdzamy, że sprawdzane wyrażenie jest tautologią.

Błędy i nieporozumienia w przekazywaniu informacji

W procesie słownego formułowania myśli dość często dochodzi do różnego rodzaju nieporozumień. Spowodowane jest to niedoskonałością (wadami) języka lub wadliwym posługiwaniem się językiem.

Wieloznaczność wyrażeń

Wieloznacznymi nazywamy takie wyrażenia, które mają więcej niż jedno znaczenie, dla których język przewiduje więcej niż jeden sposób rozumienia. Wieloznacznymi są nie tylko nazwy, ale również inne wyrażenia językowe, jak na przykład funktory i zdania.

Wieloznaczność nazw jest powszechnie znana, nie ma potrzeby więc szerzej tego problemu rozważać. Wystarczy podać przykłady nazw wieloznacznych, aby zagadnienie stało się oczywiste. W języku polskim wieloznaczne są między innymi nazwy: powód, zamek, rewizja, koza, wilk.

W mniejszym stopniu zdajemy sobie sprawę z wieloznaczności funktorów. Typowym przykładem funktora wieloznacznego jest funktor i. Może być on używany w znaczeniu:

- enumeracyjnym (wyliczającym)

np. Sprawcami przestępstwa byli X i Y.

- syntezującym

np. Trzy i cztery to razem siedem.

- koniunkcyjnym

np. Sprawca napadu miał nóż i tym właśnie nożem uderzył poszkodowanego.

Jak wspomniano, wieloznaczne mogą być również zdania. Wieloznaczność zdań może być spowodowana użyciem nazwy wieloznacznej, lub - znacznie częściej - złą ich budową, co najczęściej wynika z wadliwego posługiwania się językiem.

Szczególne odmiany wieloznaczności

Część wyrażeń językowych jest wieloznaczna z innych powodów niż te, które zostały omówione powyżej. Przyczyny takich wieloznaczności to:

a) zwykła i materialna rola znaczenia słów (supozyja zwykła i materialna). Praktycznie wszystkie wyrażenia językowe są wieloznaczne, każde z nich może bowiem być użyte w jednej z dwóch ról znaczeniowych:

-supozycji zwykłej (zwykłej roli znaczeniowej). W takiej supozycji wyrażenie występuje wtedy, gdy użyte jest w celu wskazania zwykłego desygnatu.

np. „Przestępcą jest osoba, której udowodniono popełnienie przestępstwa”. Nazwa przestępca użyta została w supozycji zwykłej (wskazano na zwykły desygnat tej nazwy).

- supozycji materialnej (materialnej roli znaczeniowej). Wyrażenie w tej supozycji określa samo siebie.

np. „Przestępstwo” jest rzeczownikiem. W tym przypadku nazwa „przestępstwo” określa tylko samo siebie.

Umownie przyjmuje się, że wyrażenia, których używamy w supozycji materialnej piszemy w cudzysłowie.

b) wyrażenia okazjonalne

Pewną odmianą wyrażeń wieloznacznych stanowią wyrażenia okazjonalne. Są to takie wyrażenia, które zmieniają swoje znaczenie w zależności od okoliczności, miejsca i czasu oraz osoby, która je wypowiada i do której są kierowane. Takimi wyrażeniami okazjonalnymi w naszym języku są wyrażenia: dziś, jutro, tu, tam, on, teraz.

Słowa okazjonalne tym się wyróżniają spośród wyrażeń wieloznacznych, że nie posiadają określonej liczby znaczeń (np. wyrażenie okazjonalne tu może mieć tyle znaczeń, ile punktów we wszechświecie).

c) znaczenie metaforyczne wyrażeń

Do wieloznacznych zaliczamy również i te wyrażenia, które oprócz właściwego znaczenia mają również znaczenie metaforyczne.

np. Powtarzanie jest matką wiedzy.

Iksiński to człowiek bez twarzy.

d) modulacja głosu

Znaczenie niektórych wyrażeń zmienia się w zależności od tego w jaki sposób zostaną wypowiedziane. Przykładowo, chcąc dać komuś do zrozumienia, że uważamy go za tumana i nieuka, możemy powiedzieć, odpowiednio akcentując „Ale jesteś mądry!”.

e) dwojakie znaczenie czasowników

Dwojakie znaczenie mają czasowniki użyte w czasie teraźniejszym ciągłym. Mogą one mieć znaczenie aktualne oraz znaczenie potencjalne. Czasownik w znaczeniu aktualnym oznacza, że ktoś daną czynność w tej chwili wykonuje, natomiast w znaczeniu potencjalnym oznacza, że ktoś potrafi daną czynność wykonać lub jej wykonywanie należy do zakresu jego obowiązków.

np. „Wojtek pięknie śpiewa” - teraz, w tej chwili śpiewa (znacz, aktualne),

- potrafi śpiewać (znacz. potencjalne).

„Prokurator oskarża” - w danej chwili wygłasza oskarżenie (znacz. aktualne)

- należy to do jego obowiązków (znacz. potencjalne).

Wadliwe (nieumiejętne) posługiwanie się językiem

a) używanie wyrażeń niezrozumiałych

Chodzi tu o używanie w wypowiedziach takich wyrażeń, których znaczenia osoba, do której są kierowane, nie zna. Znacznie gorsza jest jednak sytuacja, kiedy sam mówiący nie zna znaczenia słów jakimi się posługuje. Z zażenowaniem słuchamy nieraz ludzi, którzy dla określenia najprostszych rzeczy lub zdarzeń używają obcych słów, przypuszczając, że w ten sposób podnoszą swój autorytet.

b) wypowiedzi niezręczne

Ta wadliwość wypowiedzi polega na tym, że nie potrafimy dokładnie oddać słowami swoich myśli, a to co mówimy, nie odpowiada dokładnie temu, co pragnęlibyśmy wyrazić. Przykładów takich wypowiedzi, w których myśli zostały wyrażone w sposób niezręczny jest bardzo wiele. A oto niektóre z nich:

- w czasie oględzin miejsca przestępstwa, skradziono 24 pary obuwia,

- odwołuję obelgę i zaprzeczam, że pan X nie jest wart tego, żeby go spoliczkować,

- jadąc państwowym wozem i koniem rzygał seriami, a ludzie się dziwili, że tak się państwowe dobro marnuje,

- poszukuję właściciela brązowej teczki znalezionej w autobusie linii 115 z zawartością męskich spodni.

c) wypowiedzi niedookreślone

Pewne wypowiedzi są wieloznaczne ze względu na to, że nie bardzo wiadomo jaką myśl przedstawiają. Są to tak zwane wypowiedzi niedookreślone. Przyczynami niedookreśloności są:

- brak kwantyfikacji - niektóre wypowiedzi można w różny sposób rozumieć ze względu na to, że pominięto w nich wyrażenia (tzw. kwantyfikatory) typu: każdy, żaden, czasami, pewien, wszyscy.

Np. Wyrażenie „Ludzie są podli” z uwagi na brak bliższego określenia zakresu nazwy „ludzie” może być rozumiane: 1) Wszyscy ludzie są podli, albo 2) Niektórzy ludzie są podli. W pierwszym przypadku jest to wyrażenie fałszywe, natomiast w drugim - prawdziwe.

- niedopowiedzenia - niektóre wypowiedzi mogą być dwojako rozumiane, ponieważ brakuje w nich bliższych określeń pozwalających na sprecyzowanie przedstawianej myśli.

Np. W wyrażeniu „Najlepszym lekarstwem jest aspiryna” nie zostało powiedziane, do leczenia jakiej choroby.

Błąd ekwiwokacji

Ekwiwokacja jest to błąd logiczny polegający na dwukrotnym użyciu jakiegoś słowa w jakiejś wypowiedzi w dwóch różnych znaczeniach wtedy, gdy poprawność wypowiedzi wymaga, aby użyte było w jednym znaczeniu.

Np. Na stare lata, na młode lata. W pierwszym przypadku wyrażenie lata zostało użyte dla określenia wieku, w drugim natomiast dla określenia wykonywanej czynności (w znaczeniu przenośnym: latać na kobiety)

Błąd amfibologii

Błąd ten polega na tym, że niektóre wypowiedzi ze względu na złą budowę mogą być rozumiane na dwa różne sposoby.

Np. „Wynajmę pokój dla dwóch osób” - nie wiadomo, czy dający to ogłoszenie szuka pokoju do wynajęcia, czy też go oferuje.

Ćwiczenia

1. Jak można rozumieć poniższe wyrażenia:

1. Piotr od dawna chodzi z Barbarą.

2. Część programu całkowicie nie została wykonana.

3. Ustalić nazwisko kobiety, która wyłudziła pieniądze na podstawie rysopisu.

4. Gdy Zenek sprowadzał Krzyśka po schodach, to Mietek uderzył go w głowę.

5. Iksiński to człowiek bez twarzy.

2. Oceń poprawność fragmentu wniosku skierowanego do sądu o podział spadku:

Poczynając od 1963 roku strony rozdzieliły się użytkowaniem spornego gospodarstwa w ten sposób, iż uczestniczka postępowania użytkuje samodzielnie około 5 ha ziemi wraz z połową zabudowań, a wnioskodawczyni, jako zmarła żona syna, tylko około 1,75 ha ziemi.

3. Na jakim błędzie opiera się następujące rozumowanie:

Mysz jest rzeczownikiem i mysz gryzie książki. Wynika z tego, że rzeczowniki gryzą książki.

4. Określ, w jakim znaczeniu użyto funktora „i” w poniższych wypowiedziach:

1. Warunkowe umorzenie nie może być zastosowane, jeżeli sprawca był już karany i czyn zagrożony jest karą powyżej trzech lat pozbawienia wolności.

2. Każdy słuchacz WSPol to student i policjant.

3. Kodeks karny składa się z części ogólnej i szczegółowej.

Elementy teorii definicji

Pojęcie definicji

Definicja jest wyrażeniem, które wskazuje jak zastępować pewien wyraz (definiowany) za pomocą słów znanych już tej osobie, której to znaczenie wyrazu chcemy dać poznać.

W każdej definicji możemy wyodrębnić trzy elementy:

1. definiendum (określna) - wyrażenie definiowane, czyli to wyrażenie, którego znaczenie definicja ma wyjaśnić;

2. definiens (określnik) - wyrażenie definiujące, czyli to wyrażenie, które wyjaśnia znaczenie terminu definiowanego;

3. łącznik - wyrażenie łączące definiendum i definiens.

Np. Wyraz „agnat” oznacza naturalnego krewnego ze strony ojca.

agnat - definiendum

oznacza - łącznik

naturalny krewny ze strony ojca - definiens.

Formy definicji

Definicje mogą przybierać różne formy językowe i w zależności od tego wyróżnia się kilka ich typów:

1. definicja semantyczna - definiendum jest w supozycji materialnej, definiens natomiast - w supozycji zwykłej. Schematycznie definicję tę można przedstawić następująco:
   Wyraz „A” oznacza B
   
   Np. Wyraz „paralaksja” oznacza zaburzenie mowy polegające na niemożności poprawnego czytania wyrazów.

2. definicja nominalna - definiendum i definiens występują w supozycji materialnej.
   Schemat tej definicji jest następujący:
   
   Wyraz „A” znaczy tyle co wyrażenie „B”
   
   Definicja ta wskazuje w jaki sposób jakieś wyrażenie zastąpić innym.
   Np. Wyraz „sofizmat” znaczy tyle co wyrażenie „rozumowanie z rozmysłem zbudowane fałszywie”.

3. definicja realna - zarówno definiendum jak i definiens występują w supozycji zwykłej. Tę formę definicji można przedstawić przy pomocy schematu:
   
   A jest to B o cechach C
   
   Np. mikrofon jest to przyrząd do zamiany drgań akustycznych na drgania prądu elektrycznego.

Zadania definicji

Ze względu na zadania wyróżniamy następujące typy definicji:

1. definicja analityczna - wyjaśnia znaczenie pojęć, które były lub są używane w danym języku;

2. definicja syntetyczna (projektująca) - proponuje znaczenie wyrażeń wprowadzanych do danego języka;

3. definicja regulująca - zawęża znaczenie wyrażenia z języka potocznego, np. Nieletni jest to osoba, która nie ukończyła siedemnastego roku życia.

Warunki poprawności definicji

Każda poprawnie zbudowana definicja powinna być:

1. adekwatna - to znaczy między zakresem definiendum i definiensa powinien zachodzić stosunek równoważności.

2. zrozumiała - jest taka wtedy, gdy definiens zawiera wyrażenia całkowicie znane (pod względem znaczeniowym) osobie, dla której definicja jest przeznaczona.
   Definicja nie spełnia tego warunku, gdy jest obarczona błędem „ignotum per ignotum” (nieznane przez nieznane). Błąd ten polega na tym, że określa się znaczenie jakiegoś terminu, za pomocą takich wyrażeń, których odbiorca definicji nie zna (np. Dikodid jest to dwuhydrokodeinon). pewną odmianą błędu ignotum per ignotum jest błąd „idem per idem” (to samo przez to samo). Polega on na tym, że znaczenie wyrażenia definiowanego wyjaśniamy za pomocą tego samego wyrażenia.

Ćwiczenia

1. Oceń poprawność następujących definicji:

1. Wyraz „świadek” jest to osoba, która była bezpośrednim świadkiem danego zdarzenia.

2. Operator abstrakcji jest to symbol, który przekształca funkcję propozycjonalną w nazwę zbioru przedmiotów spełniających tę funkcję.

3. Wyraz „przestępstwo” znaczy tyle, co wyrażenie „czyn społecznie niebezpieczny”.

2. Zaproponuj definicję regulującą następujących pojęć:

1. długa podróż,

2. groźny wypadek,

3. niebezpieczny przestępca.

3. Określ formę i oceń poprawność następujących definicji:

1. Abolicja jest to zakaz wszczynania postępowania karnego wobec sprawców przestępstw ściśle określonych przez ustawę.

2. Wyrażenie „wykładnia autentyczna” znaczy tyle, co „wykładnia zawarta w ustawie”.

1. Weterynarz jest to lekarz, któremu pacjent nigdy nie podaje ręki.

2. Perfidia jest to złośliwość delikatnych.

Podział logiczny

Pojęcie podziału logicznego

Podziałem logicznym nazywamy wyróżnienie zakresów podrzędnych pojęcia ogólnego. Pojęcie, które jest dzielone nazywamy całością podzielną, pojęcia wyodrębnione w wyniku podziału - członami podziału.

Na przykład podziałem logicznym jest podział zakresu nazwy „samochód” na: „samochody osobowe”, „samochody ciężarowe” oraz „samochody specjalne”.

Zasadniczym celem podziału logicznego jest myślowe posegregowanie pewnej liczby pojęć i uzmysłowienie sobie, w jakiej wzajemnej zależności pozostają one do siebie.

Od podziału logicznego należy odróżnić podział rzeczowy, który jest rezultatem fizycznego posegregowania konkretnych przedmiotów. Dokonujemy go na przykład układając książki na półce, według ich autorów.

Reguły podziału logicznego

Poprawny podział logiczny powinien być adekwatny, rozłączny i zbudowany na jednej zasadzie.

Podział jest adekwatny wtedy, gdy suma zakresów członów podziału jest równa zakresowi całości dzielonej. Adekwatność podziału logicznego możemy przedstawić schematycznie: zakładając, że A jest całością dzieloną, natomiast A1, A2, A3 są członami podziału, to podział ten będzie adekwatny, gdy:

A1 + A2 + A3 = A

Podział jest rozłączny wtedy, gdy między zakresami członów podziału zachodzi stosunek wykluczania. Oznacza to, że żaden z elementów nie może należeć do dwóch lub więcej członów podziału jednocześnie.

Podział jest zbudowany na jednej zasadzie wtedy, gdy na jednym stopniu podziału sporządzony jest w oparciu o jedno kryterium. Na przykład poprawny jest podział zakresu nazwy „funkcjonariusz policji” na „oficerów” i „nie oficerów”, natomiast nie poprawny na „oficerów” i „mundurowych”.

Ćwiczenia

1. Jakie warunki powinien spełniać poprawny podział logiczny?

2. Które z poniższych przykładów przedstawiają podziały logiczne?

1. Samochód zbudowany jest z silnika, karoserii i wyposażenia dodatkowego,

2. Przestępstwa to zbrodnie i występki,

3. Kodeks karny składa się z części ogólnej, części szczegółowej, części wojskowej oraz przepisów wprowadzających,

4. Ze względu na zdolności słuchaczy WSPol możemy podzielić na: bardzo zdolnych, przeciętnie zdolnych i mało zdolnych,

5. Środki komunikacji możemy podzielić na: środki komunikacji wodnej, lądowej i powietrznej.

3. Oceń poprawność następujących podziałów logicznych:

1. Do pracowników WSPol zaliczamy: kierownictwo szkoły, kadrę dowódczą, kadrę dydaktyczną i pracowników cywilnych.

2. Przestępstwa dzielimy na zwykłe, uprzywilejowane i kwalifikowane.

3. Według wyznania ludzi dzielimy na bezwyznaniowych, katolików, muzułmanów buddystów i wyznania chrześcijańskiego

Przykłady rozwiązań

2. a. Nie jest to podział logiczny, ponieważ podzielony został nie zakres pojęcia samochód ale jeden z desy- gnatów tej nazwy.

2. b. Jest to podział logiczny.

3. c. Podział nie jest rozłączny: do chrześcijan zaliczamy również osoby wyznania katolickiego.

Uzasadnianie twierdzeń

Sposobami uzasadniania twierdzeń zajmuje się dział logiki - metodologia nauk.

Uzasadnić twierdzenie to tyle, co przedstawić argumenty, na których twierdzenie to jest oparte. Uzasadniając twierdzenie dajemy odpowiedź na pytanie, dlaczego i na jakiej podstawie twierdzimy tak, jak głosi dane twierdzenie.

Uzasadnić twierdzenie można w sposób bezpośredni i pośredni. Z uzasadnianiem bezpośrednim mamy do czynienia wtedy, gdy w celu uzasadnienia jednego twierdzenia nie opieramy się na żadnych innych twierdzeniach. Natomiast uzasadnianie pośrednie (rozumowanie) polega na tym, że w celu uzasadnienia jednego twierdzenia opieramy się na twierdzeniach już uznanych za prawdziwe (uzasadnionych).

Uzasadnianie bezpośrednie

Metodami uzasadniania bezpośredniego są obserwacja i eksperyment.

Obserwacja jest to dochodzenie na podstawie rozmyślnego spostrzegania do sądów, które mają dać odpowiedź na pewne, w danej chwili stawiane sobie pytanie. Spostrzeżenia z góry zamierzone są zwykle pewniejsze, pozwalają bowiem na skupienie uwagi na interesującym nas zagadnieniu.

Drugą metodą uzasadniania bezpośredniego jest eksperyment. Polega ona na doświadczalnym sprawdzeniu słuszności postawionej tezy.

Uzasadnianie pośrednie (rozumowanie)

Z uzasadnianiem pośrednim mamy do czynienia wtedy, gdy do przekonania o słuszności jakiegoś twierdzenia dochodzimy na drodze rozumowania, opierając się na twierdzeniach już uzasadnionych. Wszystkie rozumowania możemy podzielić na dedukcyjne i redukcyjne. Aby wyjaśnić podział rozumowań na dedukcyjne i redukcyjne, należy zapoznać się z pojęciem racji i następstwa.

Zdanie p jest racją, a zdanie q następstwem wtedy, gdy:

1. utworzona ze zdania p i zdania q implikacja jest prawdziwa;

2. między tymi zdaniami istnieje wewnętrzny związek.

Posługując się pojęciem racji i następstwa możemy dokonać podziału rozumowań. Z rozumowaniem dedukcyjnym mamy do czynienia wtedy, gdy racja jest znana, a następstwo nieznane jako prawdziwe. W przypadku rozumowania redukcyjnego racja jest nieznana natomiast następstwo znane jako prawdziwe.

Rozumowania dedukcyjne

Odmianami rozumowań redukcyjnych są wnioskowanie i dowodzenie.

1. Wnioskowanie jest to dobieranie nieznanego następstwa do racji znanej jako prawdziwa. Proces myślowy wnioskowania przebiega następująco: jeżeli wiemy że zdania p i q są racją i następstwem (tworzą więc prawdziwą implikację) i wiemy, że zdanie p jest prawdziwe, to wnioskujemy, że również prawdziwe jest zdanie q.

Przykład: Jeżeli uznajemy za prawdziwe twierdzenie: „Jeżeli liczba jest podzielna przez 2 (racja), to jest to liczba parzysta (następstwo) i jeżeli o jakiejś liczbie stwierdzimy, że jest podzielna przez 2 (racja znana), to musimy uznać, że jest to liczba parzysta.

Proces wnioskowania polega więc na uznaniu wartości logicznej następstwa jako prawdziwej w oparciu o prawdziwość racji. Kierunek rozumowania jest więc zgodny z kierunkiem wynikania między racją i następstwem.

2. Dowodzenie jest to dobieranie znanej racji do nieznanego następstwa. Kierunek rozumowania jest tu przeciwny do kierunku wynikania. Dowodząc nieznanego następstwa postępujemy najczęściej w ten sposób, że poszukujemy dla niego racji, której prawdziwość jest nam znana, a następnie z tej racji wyprowadzamy jako wniosek zdanie dowodzone.

Przykład: Prokurator dowodzi niepewnej tezy „Noworodek, którego zwłoki znaleziono urodził się żywy”. Odwołujemy się do twierdzenia „ Jeżeli w płucach noworodka znajduje się powietrze, to urodził się on żywy”. Jeżeli wobec tego uzyskamy potwierdzenie, że w płucach noworodka znajduje się powietrze (racja uznana jako prawdziwa), tym samym musimy uznać za prawdziwe następstwo „Noworodek urodził się żywy”.

Obydwa rodzaje rozumowania dedukcyjnego należą do rozumowań niezawodnych. Oznacza to, że jeżeli właściwie dobierzemy rację uzyskujemy pewność prawdziwości następstwa.

Rozumowania redukcyjne

Odmianami rozumowań redukcyjnych są tłumaczenie i sprawdzanie.

1. Tłumaczenie jest to dobieranie nieznanej pod względem wartości logicznej racji do znanego jako prawdziwe następstwa. Sprowadza się ono do wyjaśnienia, dlaczego jest tak jak głosi uzasadniane zdanie. Z tłumaczeniem mamy często do czynienia w pracy zawodowej. Jeżeli osoba przesłuchiwana udziela wykrętnych i ogólnikowych odpowiedzi, to takie zachowanie daje nam podstawę do przypuszczenia, że nie chce powiedzieć prawdy lub ma coś do ukrycia. Z tłumaczeniem mamy do czynienia również w życiu codziennym. Na przykład jeżeli niespodziewanie zgaśnie żarówka, próbujemy znaleźć przyczynę zaistniałego zjawiska. Przyczyny mogą być różne: odcięcie dopływu prądu, przepalenie żarówki, zwarcie w przewodach itp. Ze względu na to, że jedno i to samo następstwo może być spowodowane różnymi przyczynami, tłumaczenie należy do rozumowań zawodnych.

2. Sprawdzanie jest to dobieranie znanego jako prawdziwe następstwa do nieznanej (jako prawdziwa) racji. Polega ono na tym, że nie znając wartości logicznej jakiegoś zdania (racji) szukamy jego następstw, a następnie z ich prawdziwości wnioskujemy o prawdziwości wątpliwego zdania, a z ich fałszywości o fałszywości sprawdzanego zdania (racji). Przy sprawdzaniu mamy więc dwie możliwości:

1. Dla wątpliwego sprawdzanego przez nas zdania znajdujemy następstwo prawdziwe (sprawdzenie z wynikiem pozytywnym) i wtedy przyjmujemy sprawdzane zdanie również za prawdziwe. Rozumowanie takie jest zawodne. Nie mamy wobec tego pewności, że jest ono prawdziwe. Np: Jeżeli stwierdzimy, że podejrzany nie posiada alibi, to w oparciu o twierdzenie „Jeżeli podejrzany jest sprawcą przestępstwa, to nie posiada alibi” wolno nam przypuszczać, że jest on sprawcą przestępstwa. Rozumowanie w tym przypadku przebiega następująco:

zakładana teza do uzasadnienia: podejrzany jest sprawcą przestępstwa (nieznana racja);

wynik sprawdzenia: podejrzany nie ma alibi (następstwo znane jako prawdziwe);

wynik rozumowania: podejrzany może być sprawcą przestępstwa

Przy tej metodzie rozumowania musimy zdawać sobie sprawę, że sprawdzenie z wynikiem pozytywnym (następstwo prawdziwe), nie daje nam pewności ale tylko pewne prawdopodobieństwo prawdziwości uzasadnianego zdania (racji).

2. Dla sprawdzanego zdania znajdujemy jakieś następstwo fałszywe (sprawdzenie z wynikiem negatywnym), wówczas przyjmujemy sprawdzane zdanie również za fałszywe. Ta odmiana sprawdzania jest metodą niezawodną. Np: Jeżeli sprawdzając alibi podejrzanego stwierdzimy, że je posiada, musimy przyjąć, że nie jest sprawcą przestępstwa. Rozumowanie wygląda następująco:
teza do uzasadnienia: podejrzany jest sprawcą przestępstwa;

twierdzenie, na którym się opieramy: jeżeli podejrzany jest sprawcą przestępstwa, to nie ma alibi;

wynik sprawdzenia: podejrzany ma alibi - sprawdzenie z wynikiem negatywnym;

wynik rozumowania: podejrzany nie jest sprawcą przestępstwa.

Rozumowania indukcyjne

Pewną odmianą tłumaczenia stanowią rozumowania indukcyjne. Rozumowanie indukcyjne jest rozumowaniem uogólniającym, które polega na tym, na podstawie szeregu sądów jednostkowych przechodzi się do twierdzenia ogólnego, z którego owe sądy jednostkowe wynikają. W naukach eksperymentalnyh dochodzi się w ten właśnie sposób od stwierdzonych doświadczalnie faktów (jako następstw) do praw ogólnych (jako racji). Rozumowania indukcyjne dzielą się na indukcję przez proste wyliczanie oraz indukcję eliminacyjną.

Indukcja przez proste wyliczanie

Indukcja przez proste wyliczanie jest to sposób rozumowania, w którym dochodzimy do wniosku ogólnego, że wszystkie przedmioty rodzaju S są P na podstawie stwierdzeń, że poszczególne przedmioty S1, S2, S3, S4 itd należące do S są P.

Schemat tego rozumowania jest następujący:

- sądy cząstkowe: S₁ jest P, S₂ jest P ...... S_n jest P:

- twierdzenie ogólne: Każde S jest P.

Indukcja przez proste wyliczanie dzieli się na:

- indukcję wyczerpującą (zupełną) - sprawdzamy wszystkie elementy danego zbioru (jest to metoda niezawodna);

- indukcja niewyczerpująca (niezupełna) - sprawdzamy tylko niektóre elementy (metoda zawodna).

Indukcja eliminacyjna (kanony Milla)

Indukcja eliminacyjna jest to sposób rozumowania zmierzający do wykrycia związków zachodzących między faktami (czynnikami). W pewnych okolicznościach ważną dla nas sprawą może być wykrycie związków między występowaniem zjawisk dwóch różnych rodzajów. Głównymi sposobami tego typu rozumowania są kanony Milla. Spośród pięciu sformułowanych przez Milla kanonów trzy mają dość szeroki zastosowanie. Są nimi kanon jedynej zgodności, kanon jedynej różnicy i kanon zmian towarzyszących.

1. Kanon jedynej zgodności jest to sposób rozumowania, który prowadzi do uogólnienia, że między faktami (czynnikami) A i B istnieje związek, gdyż stwierdzono, że w każdym przypadku jeżeli występuje A, to występuje i B, natomiast żaden inny czynnik (fakt) nie występuje stale.

Takie rozumowanie możemy zilustrować następującym, uproszczonym schematem:

występują czynniki A,C,D jest B

jest A,C,E jest B

jest A,D,E jest B

a więc: zawsze ilekroć jest A jest i B

Np. W miejscowości X mają miejsce dokonywne podobną metodą włamania. Podejrzanymi o ich dokonywanie są mieszkańcy hotelu robotniczego. Przy pierwszym włamaniu w hotelu nie nocowali A, B, F. Przy drugim - A, C, i D, natomiast przy trzecim - A, F, i D. Tak więc można stwierdzić, że ile razy nieobecny był w hotelu A, tyle razy było dokonane włamanie.

2. Kanon jedynej różnicy jest to rozumowanie, gdzie dochodzimy do uogólnienia, że między zjawiskami (czynnikami) A i B zachodzi związek na tej podstawie, że jeżeli jest A to jest i B, natomiast gdy nie ma A, nie ma również B.

Do przeprowadzenia takiego rozumowania wystarczy zaobserwowanie dwóch przypadków:

1. takiego, w którym występują czynniki np. A, C, D i występuje zjawisko B;

2. takiego, w którym nie występuje A, natomiast jest C oraz D i nie występuje zjawisko B.

Np. Kilkakrotnie dokonywano kradzieży w magazynie, do którego dostęp miało kilka osób. W paru zaobserwowanych przypadkach stwierdzono, że tylko jedna z tych osób była zawsze w magazynie, kiedy kradzież miała miejsce. Można więc, na zasadzie kanonu jedynej różnicy przypuszczać, że to właśnie ona dokonywała kradzieży.

3. Kanon zmian towarzyszących jest to rozumowanie, w którym dochodzimy do wniosku, że A jest związane z B, na tej podstawie, że w zaobserwowanych przypadkach określonym zmianom A towarzyszą odpowiednie zmiany B.

Schemat rozumowania:

Jest A₁, C, D jest B₁

jest A₂, C, D jest B₂

oraz jest A₃, C, D jest B₃

a więc: zawsze ilekroć zmienia się w określony sposób A, to w odpowiedni sposób zmienia się i B

Np. A - dochody Iksińskiego

B - jego wydatki.

Rozumowanie przez analogię

Istnieją dwie odmiany rozumowania przez analogię:

1. Gdy jakiś przedmiot A jest podobny do drugiego przedmiotu B w taki sposób, że cechom a, b, c, pierwszego przedmiotu odpowiadają cechy a, b, c, drugiego przedmiotu, a ponadto stwierdzimy, że przedmiot A posiada cechę d, to możemy przypuszczać, że cechę d posiada również przedmiot B.

Np. A posiada cechy: a - nie pracuje, b - nadużywa alkoholu, c - przyjaźni się z Y;

B posiada cechy: a - nie pracuje, b - nadużywa alkoholu, c - przyjaźni się z Y;

Jeżeli wiedząc o tych wspólnych cechach dwóch osób, u jednej z nich stwierdzimy cechę czwartą np. że A popełnia kradzieże, przez analogię możemy przypuszczać, że kradnie również druga osoba B.

2. Druga odmiana rozumowania przez analogię sprowadza się do stwierdzenia, że jeżeli pierwszy, drugi, trzeci.... enty przedmiot rodzaju S jest P, to każdy następny napotkany przedmiot rodzaju S również będzie P.

Np. Jeżeli jakiś pracownik z każdego przydzielonego mu zadania wywiązał się w sposób zadowalający, to można przypuszczać, że i z następnego nałożonego zadania wywiąże się w taki sam sposób.

Ćwiczenia

1. Jaką wartość uzasadniającą ma obserwacja i eksperyment?

2. Dokonaj podziału rozumowań na zawodne i niezawodne.

3. W których rozumowaniach kierunek rozumowania przebiega od racji do następstwa, a w których odwrotnie?

4. Lekarz, który zbadał denata stwierdził, że zmarł on na zawał serca. Sekcja zwłok w całej pełni potwierdziła postawioną diagnozę. Z jakim sposobem uzasadniania twierdzeń mamy do czynienia w tym wypadku?

5. Psychiatra i antropolog włoski Cesare Lombroso zbadał wielu przestępców osadzonych w więzieniach i w wyniku badań wypowiedział twierdzenie, że pewne cechy układu czaszki, wymiarów twarzy itp. są cechami tzw. przestępcy z urodzenia. Jaki jest to rodzaj rozumowania i czy jest ono poprawne? Jeżeli jest niepoprawne, to na czym polega błąd w rozumowaniu?

6. Jaką metodę uzasadniania zastosował lekarz, który - podając lek wielu swoim pacjentom zauważył, że u jednych powoduje on podwyższenie ciśnienia krwi i stan podniecenia, u drugich działa korzystnie na apetyt i podwyższa ciśnienie krwi, u innych jeszcze leczy egzemę i również podwyższa ciśnienie krwi - oświadczył, że lek ten podwyższa ciśnienie krwi?

7. Korzystając z pojęcia racji i następstwa wyjaśnij, na czym polega wnioskowanie dedukcyjne i dlaczego jest ono niezawodne.

Logika formalna

Pojęcie logiki formalnej

Logika formalna jest to dział logiki pouczający nas o związkach zachodzących między zdaniami, a przede wszystkim o tym, jak ze zdań o pewnej określonej budowie wynikają inne zdania również o pewnej określonej budowie.

Może powstać wątpliwość, dlaczego nie mówimy wprost, z jakich zdań jakie zdania wynikają, lecz akcentujemy ich budowę. Spowodowane jest to faktem, że w logice formalnej głównym przedmiotem zainteresowania jest nie treść poszczególnych zdań, lecz ich budowa. Można to zilustrować przykładem:

Zdanie 1: Jeżeli żaden przestępca nie jest uczciwym człowiekiem, to i żaden uczciwy człowiek nie jest przestępcą.

Zdanie 2: Jeżeli żaden policjant nie jest niewidomy, to również żaden niewidomy nie jest policjantem.

Obydwa te zdania, jakkolwiek ich treść jest różna, można przedstawić za pomocą jednego schematu. Jeżeli oznaczymy występujące w tych zdaniach nazwy zmiennymi S oraz P, każde z tych zdań ma postać:

Jeżeli żadne S nie jest P, to żadne P nie jest S

Przyjmując, że funktor jeżeli .... to wskazuje zachodzenie wynikania, można powiedzieć, że ze zdania o strukturze Żadne S nie jest P wynika zdanie o strukturze Żadne P nie jest S.

Logikę formalną interesuje więc (jak to wynika z przykładu) nie treść poszczególnych zdań ale ich struktura, w oparciu o którą budowane są w logice schematy wnioskowań (tzw formuły wnioskowania).

Ze względu na rodzaj zmiennych jakimi posługujemy się przy formowaniu schematów, logika formalna dzieli się na:

- teorię nazw - obejmuje wzory wnioskowań ze zmiennymi nazwowymi;

- teorię zdań - obejmuje wnioskowania ze zmiennymi zdaniowymi.

Pojęcie wnioskowania

Jeżeli na podstawie, że ktoś nie oddycha dochodzimy do przekonania, że ten ktoś nie żyje, oznacza to, że z faktu że ktoś nie oddycha wnioskujemy, że ktoś nie żyje.

Wnioskowanie jest to proces myślowy polegający na tym, że przyjmując pewne zdanie lub kilka zdań za prawdziwe, dochodzimy do przekonania o prawdziwości innego zdania. Zdanie (zdania) przyjęte za prawdziwe, stanowiące podstawę wnioskowania nazywamy przesłanką, natomiast zdanie, którego prawdziwość uznajemy, nazywamy wnioskiem.

W przytoczonym przykładzie przesłanką było zdanie „Ktoś nie oddycha”, natomiast wnioskiem „Ktoś nie żyje”.

Pojęcie praw logicznych

Prawa logiczne są to wzory wnioskowań prowadzące do wnioskowań niezawodnych, to znaczy takich, w których wychodząc od prawdziwych przesłanek nigdy nie dojdzie się do fałszywego wniosku.

W celu zaznaczenia, że dany wzór przedstawia prawo logiczne przed wzorem piszemy π, co czytamy „dla każdego”.

Wzory wnioskowań ze zmiennymi zdaniowymi

1. Wnioskowania z jedną zmienną

a) Prawo podwójnego przeczenia

π_p ( p′ )′ → p

Schemat ten czytamy: Dla każdego p: jeżeli nieprawda, że nie p, to p.

Z prawa tego wynika, że jeżeli dwukrotnie zaprzeczymy dowolne zdanie to otrzymamy to samo zdanie. Inaczej: zdanie dwukrotnie zaprzeczone nie zmienia swojej wartości logicznej.

Przykład:

Jeżeli nieprawda, że X nie popełnił przestępstwa, to X popełnił przestępstwo.

b) Prawo sprzeczności

π_p ( p ∧ p′ )′

Dla każdego p: nieprawda, że p i nie p.

Z prawa tego wynika, że z dwóch zdań, z których jedno jest negacją drugiego, tylko jedno jest zdaniem prawdziwym.

Taką prawidłowość przyjmujemy automatycznie. Nikt bowiem nie będzie wątpił, że z dwóch zdań: „X popełnił kradzież”, „Nieprawda, że X popełnił kradzież” tylko jedno może być zdaniem prawdziwym.

c) Prawo wyłączonego środka

π_p ( p ∨ p′ )

Dla każdego p, p lub nie p.

Z prawa tego wynika, że z dwóch zdań, z których jedno zaprzecza drugiemu, tylko jedno może być zdaniem fałszywym.

2. Wzory wnioskowań z dwoma zmiennymi

a) Modus ponendo ponens (tryb ustanawiający przez ustanowienie)

π_p,q { [( p → q ) ∧ p ] → q }

Dla każdego p,q: jeśli, jeżeli p, to q i p, to q.

Z prawa tego wynika, że dla każdej prawdziwej implikacji przez ustanowienie prawdziwości poprzednika, ustanawiamy prawdziwość jej następnika (stąd nazwa prawa: tryb ustanawiający przez ustanowienie).

Przykład: Jeżeli prawdziwa jest implikacja: „Jeżeli w chwili popełnienia czynu sprawca miał ograniczoną poczytalność, to sąd może zastosować nadzwyczajne złagodzenie kary” i prawdą jest, że w chwili popełnienia czynu sprawca miał ograniczoną poczytalność, to prawdą jest, że sąd może zastosować nadzwyczajne złagodzenie kary.

b) Modus tolendo tollens (tryb obalający przez obalenie)

π_p,q { [( p → q ) ∧ q′ ] → p′ }

Dla każdego p,q: jeśli, jeżeli p to q i nie q, to nie p.

Dla każdej prawdziwej implikacji, ustalając fałszywość (obalając prawdziwość) następnika, wskazujemy na fałszywość (obalamy prawdziwość) jej poprzednika.

Przykład: Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie: „Jeżeli X jest sprawcą przestępstwa, to nie ma alibi” i stwierdzamy, że X ma alibi, to musimy uznać, że nie jest sprawcą przestępstwa.

c) Transpozycja prosta

π_p,q [( p → q ) → ( q′ → p′ )]

Dla każdego p,q: jeśli, jeżeli p, to q, to jeżeli nie q, to nie p.

Z każdej prawdziwej implikacji możemy utworzyć drugą implikację, która w poprzedniku ma zanegowany następnik, a w następniku zanegowany poprzednik pierwszej implikacji.

Przykład: Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie: „Jeżeli przyczyną śmierci denata było utonięcie, to w jego płucach znajduje się woda”, to musimy uznać również za prawdziwe zdanie: „ Jeżeli w płucach denata nie znajduje się woda, to nieprawda, że przyczyną jego śmierci było utonięcie”.

d) Modus ponendo tollens (tryb obalający przez ustanowienie)

π_p,q { [( p ÷ q ) ∧ p ] → q′ }

Dla każdego p, q: jeżeli p albo q i p, to nie q.

Z prawdziwości alternatywy rozłącznej i prawdziwości jednego z jej zdań składowych wynika fałszywość drugiego zdania.

Przykład: Jeżeli prawdą jest: „X popełnił samobójstwo albo X został zabity” i prawdą jest, że „X popełnił samobójstwo”, to nieprawda, że „X został zabity”.

d) I prawo De Morgana

π_p,q [( p ∧ q )′ → ( p′ ∨ q′ )]

Dla każdego p,q: jeżeli nieprawda, że p i q, to nieprawda, że p lub nieprawda, że q.

Z negacji koniunkcji wynika alternatywa negacji jej członów. Inaczej możemy powiedzieć, że jeżeli koniunkcja jest zdaniem fałszywym, to przynajmniej jedno z jej zdań składowych jest zdaniem fałszywym.

Przykład: Jeżeli nieprawdziwe jest zdanie „Sprawca przestępstwa był średniego wzrostu i był ubrany w czarny płaszcz”, to wynika z tego, nieprawda, że był średniego wzrostu lub nieprawda, że ubrany był w czarny płaszcz.

e) II prawo De Morgana

π_p,q [( p ∨ q )′ → ( p′ ∧ q′ )]

Dla każdego p,q: jeżeli nieprawda, że p lub q, to nie p i nie q.

Z negacji alternatywy wynika koniunkcja zanegowanych jej członów. Inaczej mówimy, że jeżeli alternatywa jest zdaniem fałszywym, to obydwa jej zdania składowe są zdaniami fałszywymi.

Przykład: Jeżeli nieprawda, że sprawca czynu działał w obronie koniecznej lub w stanie wyższej konieczności, to nieprawda, że działał w obronie koniecznej i nieprawda, że działał w stanie wyższej konieczności.

Wszystki schematy praw logicznych są tautologiami. W celu sprawdzenia, czy jakieś wnioskowanie opiera się na prawie logicznym, należy sporządzić schemat wnioskowania, a następnie sprawdzić, czy jest on tautologiom.

Istnieją również prawa logiczne z większą liczbą zmiennych, ale ponieważ ich znajomość wykracza poza ramy obowiązującego programu, nie zostały tutaj przedstawione.

Wnioskowania ze zmiennymi nazwowymi

Wnioskowaniami ze zmiennymi nazwowymi zajmuje się dział logiki formalnej - teoria nazw. W odróżnieniu od teorii zdań, teoria nazw nie zajmuje się dowolnymi zdaniami, lecz tak zwanymi klasycznymi zdaniami kategorycznymi.

Schematy klasycznych zdań kategorycznych sporządzamy posługując się zmiennymi nazwowymi:

S - podmiot

P - orzecznik

M - termin średni, oraz symbolami stałymi:

a - każde .... jest ...

i - niektóre ... są ...

e - żadne ... nie jest ....

o - niektóre ... nie są ....

Wielkościami charakteryzującymi zdania kategoryczne są ilość i jakość zdania kategorycznego. Ilość jest to charakter ogólny albo szczegółowy zdania kategorycznego, natomiast jakość to jego charakter twierdzący lub przeczący. W związku z powyższym rozróżniamy cztery rodzaje zdań kategorycznych:

a) zdania ogólnotwierdzące typu

S a P czytamy: Każde S jest P

np. Każdy człowiek jest ssakiem.

Warszawa jest stolicą Polski

b) zdania szczegółowotwierdzące typu

S i P czytamy: Niektóre S są P

np. Niektórzy funkcjonariusze policji są oficerami.

c) zdania ogólnoprzeczące typu

S e P czytamy: Żadne S nie jest P

np. Żaden przestępca nie jest człowiekiem uczciwym.

d) zdania szczegółowoprzeczące typu

S o P czytamy: Niektóre S nie są P.

np. Niektórzy ludzie nie są sportowcami.

Klasyczne zdania kategoryczne jednostkowe (tzn. takie, w których podmiot jest nazwą, która ma tylko jeden desygnat) traktujemy jako zdania ogólne.

Istotną sprawą w zdaniach kategorycznych jest termin rozłożony. Wyrażenie „termin rozłożony” oznacza „termin użyty w zdaniu w całym zakresie”. Termin występujący w zdaniu jest wzięty w całym zakresie, jeżeli jest mowa o wszystkich jego desygnatach. Na przykład w zdaniu „Każdy człowiek jest ssakiem” terminem rozłożonym jest termin „człowiek”, ponieważ zdanie to wyraża się o wszystkich desygnatach nazwy człowiek.

W klasycznych zdaniach kategorycznych terminami rozłożonymi są podmioty zdań ogólnych i orzeczniki zdań przeczących. Ilustrują to poniższe przykłady:

a) Każde przestępstwo jest czynem człowieka.

S P

W tym zdaniu terminem rozłożonym jest termin „przestępstwo”, gdyż zdanie to wyraża się o wszystkich desygnatach tej nazwy (wszystkich przestępstwach). Schemat takiego zdania przedstawia się następująco:

S a P

terminem rozłożonym jest termin S (podmiot). Umownie oznaczamy go przez podkreślenie.

b) Żadna zbrodnia nie jest wykroczeniem.

S P

Ponieważ zdanie to możemy rozumieć: Żadna zbrodnia nie jest żadnym z wykroczeń, rozłożone są obydwa terminy w nim użyte.

S e P

c) Niektóre ssaki są drapieżne.

S P

Żaden z użytych w tym zdaniu terminów nie jest terminem rozłożonym.

S i P

d) Niektórzy funkcjonariusze policji nie są oficerami.

S P

Zdanie to rozumiemy następująco: Niektórzy funkcjonariusze policji nie są żadnymi z oficerów. Rozłożony jest wiec termin P (oficerowie).

S o P

Ze względu na liczbę zdań kategorycznych występujących we wnioskowaniach, dzielimy je na wnioskowania bezpośrednie i pośrednie.

Wnioskowania bezpośrednie

Wnioskowanie bezpośrednie polega na tym, że z jednego zdania kategorycznego stanowiącego przesłankę, wyciągamy wniosek, którym jest drugie zdanie kategoryczne. Odmianami wnioskowań bezpośrednich są konwersja, obwersja i opozycja zdań.

1. Konwersja

a) prosta - polega na zamianie miejscami podmiotu i orzecznika w zdaniu ogólnoprzeczącym i szczegółowotwierdzącym. Otrzymujemy dwa poprawne przekształcenia, które zapisujemy:

1) S e P → P e S

Jeżeli żadne S nie jest P, to żadne P nie jest S

Przykład: Jeżeli żaden policjant nie jest ślepcem, to żaden ślepiec nie jest policjantem.

2) S i P → P i S

Jeżeli niektóre S są P, to niektóre P są S.

Przykład: Jeżeli niektórzy policjanci są sportowcami, to niektórzy sportowcy są policjantami.

b) z ograniczeniem - polega na zamianie miejscami podmiotu i orzecznika przy jednoczesnej zmianie ilości zdania ogólnotwierdzącego.

S a P → P i S

Jeżeli każde S jest P, to niektóre P są S.

Przykład: Jeżeli każdy człowiek jest ssakiem, to niektóre ssaki są ludźmi.

2. Obwersja

Jest to odmiana wnioskowania bezpośredniego, polegająca na wyprowadzeniu ze zdania przeczącego równoważnego mu zdania twierdzącego i odwrotnie - ze zdania twierdzącego, równoważnego mu zdania przeczącego. Obwersji podlegają wszystkie typy zdania kategorycznego, mamy wobec tego cztery wzory wnioskowań:

1) S a P → S e P′

Jeżeli każde S jest P, to żadne S nie jest nie P.

Przykład: Jeżeli każdy pies jest ssakiem, to żaden pies nie jest nie ssakiem.

2) S i P → S o P′

Jeżeli niektóre S są P, to niektóre S nie są nie P.

Przykład: Jeżeli niektóre książki są naukowe, to niektóre książki nie są nie naukowe.

3) S e P → S a P′

Jeżeli żadne S nie jest P, to każde S jest nie P.

Przykład: Jeżeli żaden pies nie jest kotem, to każdy pies jest nie kotem.

4) S o P → S i P′

Jeżeli niektóre S nie są P, to niektóre S są nie P.

Przykład: Jeżeli niektórzy policjanci nie są dzielnicowymi, to niektórzy policjanci są nie dzielnicowymi.

3. Opozycja zdań

Jest to odmiana wnioskowania bezpośredniego polegająca na przedstawieniu zależności zachodzących między zdaniami kategorycznymi wszystkich czterech typów o tych samych podmiotach i orzecznikach (opozycja = przeciwstawianie). Opozycja zdań jest to inaczej wnioskowanie z kwadratu logicznego.

Kwadrat logiczny

Jest to graficzne przedstawienie zależności zachodzących między zdaniami kategorycznymi wszystkich czterech typów o tych samych podmiotach i orzecznikach.

S a P S e P

S i P S o P

Z charakterystyki zależności zachodzących między zdaniami kategorycznymi wynikają wzory wnioskowań.

a) Stosunek przeciwieństwa - zachodzi między zdaniami ogólnymi typu S a P oraz S e P. Charakteryzuje się tym, że te dwa zdania mogą być jednocześnie fałszywe, natomiast nie mogą być jednocześnie prawdziwe. W związku z tym mamy dwa poprawne schematy wnioskowania:

1) S a P → (S e P)′

Jeżeli każde S jest P, to nieprawda, że żadne S nie jest P.

2) S e P → (S a P)′

Jeżeli żadne S nie jest P, to nieprawda, że każde S jest P.

b) Stosunek podprzeciwieństwa - zachodzi między zdaniami typu S i P oraz S o P. Charakteryzuje się tym, że te dwa zdania mogą być jednocześnie prawdziwe, natomiast nie mogą być jednocześnie fałszywe.

1) (S i P)′ → S o P

Jeżeli nieprawda, że niektóre S są P, to niektóre S nie są P.

2) (S o P)′ → S i P

Jeżeli nieprawda, że niektóre S nie są P, to niektóre S są P.

c) Stosunek nadrzędności - zachodzi między zdaniem ogólnym, a szczegółowym w zdaniach o takiej samej jakości. Charakteryzuje się tym, że jeżeli zdanie ogólne jest prawdziwe, to i szczegółowe jest prawdziwe, natomiast jeżeli ogólne jest fałszywe, szczegółowe jest nieokreślone.

1) S a P → S i P

Jeżeli każde S jest P, to niektóre S są P.

2) S e P → S o P

Jeżeli żadne S nie jest P, to niektóre S nie są P.

d) Stosunek podrzędności - zachodzi między zdaniem szczegółowym, a ogólnym w zdaniach o takiej samej jakości. Charakteryzuje się tym, że jeżeli zdanie szczegółowe jest fałszywe, to i ogólne jest fałszywe, natomiast jeżeli szczegółowe jest prawdziwe, ogólne jest nieokreślone.

1) (S i P)′ → (S a P)′

Jeżeli nieprawda, że niektóre S są P, to nieprawda, że każde S jest P.

2) (S o P)′ → (S e P)′

Jeżeli nieprawda, że niektóre S nie są P, to nieprawda, że żadne S nie jest P.

e) Stosunek sprzeczności - zachodzi między zdaniami kategorycznymi różniącymi się ilością i jakością. Charakteryzuje się tym, że dwa zdania, między którymi zachodzi stosunek sprzeczności, nie mogą być ani jednocześnie prawdziwe, ani jednocześnie fałszywe. W związku z tym, można wyprowadzić osiem poprawnych schematów wnioskowania:

1) S a P → (S o P)′

Jeżeli każde S jest P, to nieprawda, że niektóre S nie są P.

2) S e P → (S i P)′

Jeżeli żadne S nie jest P, to nieprawda, że niektóre S są P.

3) S o P → (S a P)′

Jeżeli niektóre S nie są P, to nieprawda, że każde S jest P.

4) S i P → (S e P)′

Jeżeli niektóre S są P, to nieprawda, że żadne S nie jest P.

5) (S a P)′ → S o P

Jeżeli nieprawda, że każde S jest P, to niektóre S nie są P.

6) (S e P)′ → S i P

Jeżeli nieprawda, że żadne S nie jest P, to niektóre S są P.

7) (S o P)′ → S a P

Jeżeli nieprawda, że niektóre S nie są P, to każde S jest P.

8) (S i P)′ → S e P

Jeżeli nieprawda, że niektóre S są P, to żadne S nie jest P.

Wnioskowanie pośrednie (sylogizm kategoryczny)

Wnioskowanie pośrednie polega na tym, że dwa zdania kategoryczne stanowią przesłankę wnioskowania, trzecie natomiast stanowi wniosek. Wnioskowanie odbywa się przy zastosowaniu tzw. terminu średniego M, który występuje w przesłankach, a nie występuje we wniosku. Zapis wnioskowania pośredniego stanowi sylogizm kategoryczny.

P e M - przesłanka większa

Przykład sylogizmu kategorycznego: S i M - przesłanka mniejsza

S o P - wniosek

We wniosku występują dwa terminy: termin mniejszy - S, oraz termin większy - P.

Poszczególne przesłanki zawierają terminy:

- przesłanka większa: termin większy P, oraz termin średni M;

- przesłanka mniejsza: termin mniejszy S. oraz termin średni M.

Termin średni w poszczególnych przesłankach może występować zarówno na miejscu podmiotu, jak i na miejscu orzecznika zdania kategorycznego. Nie ma to znaczenia dla przebiegu wnioskowania.

Proces wnioskowania pośredniego polega na tym, że na podstawie określonych w przesłankach zależności pomiędzy terminem większym, a terminem średnim (przesłanka większa), oraz między terminem mniejszym i tym samym terminem średnim (przesłanka mniejsza), wnioskujemy o zależności jaka zachodzi między terminem mniejszym S i terminem większym P. Inaczej mówiąc wnioskowanie pośrednie ze zmiennymi nazwowymi polega na skonstruowaniu poprawnego sylogizmu kategorycznego. Przeprowadzamy je w oparciu o tzw. znamiona wadliwości sylogizmu kategorycznego.

Sylogizm kategoryczny jest wtedy niepoprawny gdy:

1. występują w nim więcej niż trzy terminy,

2. termin średni nie jest rozłożony, przynajmniej w jednej z przesłanek,

3. obie przesłanki są zdaniami przeczącymi,

4. obie przesłanki są zdaniami szczegółowymi,

5. wniosek jest twierdzący, gdy jedna z przesłanek jest przecząca,

6. wniosek przeczący, gdy żadna z przesłanek nie jest przecząca,

7. wniosek ogólny, gdy jedna z przesłanek jest szczegółowa,

8. termin mniejszy lub większy rozłożony we wniosku, a nie rozłożony w przesłance.

Wyprowadzanie wniosku z danych przesłanek

Przykład 1. Załóżmy, że zdania 1) Każdy policjant jest urzędnikiem państwowym. oraz 2) Każdy słuchacz WSPol jest policjantem. stanowią przesłanki wnioskowania.

Przyjęto, że przesłanki podajemy w kolejności: przesłanka większa i przesłanka mniejsza. W związku z tym zdanie 1) jest przesłanką większą, a zdanie 2) stanowi przesłankę mniejszą. Poprzednio wspomniano, że przesłanka większa zawiera termin większy i termin średni, przesłanka mniejsza zaś termin mniejszy i termin średni. Terminem średnim jest ten, który powtarza się w obydwu przesłankach. W rozpatrywanych zdaniach powtarza się termin policjant, jest to więc termin średni - oznaczamy go wobec tego zmienną M. Występujący w zdaniu 1) termin urzędnik państwowy jest terminem większym - oznaczamy go zmienną P. Termin występujący w zdaniu 2) słuchacz WSPol jest terminem mniejszy - oznaczamy go jako S.

Obydwie przesłanki są zdaniami ogólnotwierdzącymi. Schematycznie możemy zapisać je następująco:

M a P

S a M

Zgodnie z tym, co powiedziano o wnioskowaniu pośrednim, wniosek określa zależności między terminem mniejszym, a terminem większym (czyli między terminem S, a terminem P). Inaczej można powiedzieć, że wnioskowanie pośrednia polega na określeniu rodzaju zdania kategorycznego, w którym S jest podmiotem, a P orzecznikiem.

Jakiego rodzaju zdanie kategoryczne będzie wnioskiem w tym przypadku? Analizując znamiona wadliwości sylogizmu kategorycznego, stwierdzamy, że aby był on poprawny, dla podanych przesłanek nie może to być zdanie przeczące (patrz: znamiona wadliwości sylogizmu kategorycznego pkt. 6). Ponieważ jest zasadą, że w wypadku, gdy wnioskiem we wnioskowaniu pośrednim może być zarówno zdanie szczegółowe, jak i zdanie ogólne, jako rozwiązanie podajemy zdanie ogólne, tak więc, dla rozpatrywanego przykładu wnioskiem jest zdanie:

S a P

Po wstawieniu w miejsce zmiennych terminów, które zostały nimi oznaczone, otrzymujemy zdanie: Każdy słuchacz WSPol jest urzędnikiem państwowym.

Rozpatrywany sylogizm kategoryczny (razem z wnioskiem) wygląda następująco:

M a P

S a M

S a P

(kreska ułamkowa w sylogizmie kategorycznym zastępuje znak wnioskowania)

Przykład 2. Przesłankami są zdania:

1) Żaden recydywista nie korzysta z ustawy amnestyjnej.

2) Niektórzy skazani są recydywistami.

Zdanie 1) nie posiada budowy klasycznego zdania kategorycznego, ale możemy, nie zmieniając treści, doprowadzić go do takiej formy. Będzie ono wyglądało wówczas następująco: Żaden recydywista nie jest korzystającym z ustawy amnestyjnej.

Przyjmujemy oznaczenia:

- recydywista - M (występuje w obydwu przesłankach)

- korzystający z ustawy amnestyjnej - P (występuje w przesłance większej)

- skazany - S (występuje w przesłance mniejszej).

Schematyczny zapis przesłanek wygląda następująco:

M e P

S i M

Jakiego rodzaju zdaniem kategorycznym jest ewentualny wniosek?

Ze znamion wadliwości sylogizmu kategorycznego wynika, że:

- ponieważ jedna z przesłanek jest szczegółowa, wniosek nie może być zdaniem ogólnym (zdaniem typu S a P oraz S e P).

- jedna przesłanka jest przecząca, więc wniosek nie może być twierdzący (typu S a P lub S i P).

Pozostaje nam tylko jeden rodzaj zdania kategorycznego - zdanie szczegółowoprzeczące, czyli zdanie S o P.

Rozpatrywany sylogizm wygląda następująco:

M e P

S i M

S o P

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wnioskiem jest zdanie: Niektórzy skazani nie są korzystającymi z ustawy amnestyjnej, a zgodnie z regułami gramatycznymi języka polskiego zdanie: Niektórzy skazani nie korzystają z ustawy amnestyjnej.

Entymematy

Entymematy są to wnioskowania niezupełne, w których milcząco jest założona jedna z przesłanek, a wyrażona jest druga i wniosek. Przemilczaną przesłanką może być zarówno przesłanka mniejsza, jak i większa.

Przykład. We wnioskowaniu Jan nie podlega każe więzienia, bo ma dopiero 12 lat. wnioskiem jest: Jan nie podlega karze więzienia, jedną z przesłanek zaś wyrażenie Jan ma dopiero 12 lat. Wiedząc, że we wniosku występuje termin większy i termin mniejszy przyjmujemy oznaczenia:

Jan - termin mniejszy - oznaczamy zmienną S.

podlega karze więzienia - termin większy - oznaczamy zmienną P.

Ponieważ w przesłance występuje termin S (Jan), oznacza to, że jest to przesłanka mniejsza. Wobec tego terminem średnim M jest wyrażenie ma dopiero 12 lat. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, powyższe wnioskowanie możemy zapisać schematycznie:

S a M

S e P

(Uwaga: Zdania jednostkowe, takie jak w podanym przykładzie, zawsze traktujemy jako ogólne.)

W omawianym przykładzie brakującą przesłanką jest przesłanka większa (zawiera terminy P oraz M). Ponieważ termin średni w przesłankach może być zarówno na miejscu podmiotu, jak i orzecznika istnieją dwie możliwości:

P M M P

S a M lub S a M

S e P S e P

Posługując się znamionami wadliwości, określamy typ zdania, jakim może być przesłanka większa. Ponieważ wniosek jest ogólny, obydwie przesłanki muszą być ogólne. Ponieważ wniosek jest przeczący, a podana przesłanka jest twierdząca, brakująca przesłanka musi być zdaniem przeczącym. Tak więc brakująca przesłanka musi być zdaniem ogólnoprzeczącym (P e M lub M e P). Wstawiając tego typu zdanie w miejsce brakującej przesłanki, otrzymujemy sylogizmy kategoryczne:

P e M M e P

S a M i S a M

S e P S e P

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami brakującą przesłanką jest zdanie:

1. Żadna osoba, która ma dopiero 12 lat, nie podlega karze więzienia. lub

2. Żaden z podlegających karze więzienia nie jest osobą, która ma 12 lat.

Ćwiczenia

1. Co wynika z fałszywości wyrażenia „Jan urodził się w Warszawie lub mieszka w Warszawie”?

Rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia:

p - Jan urodził się w Warszawie.

q - Jan mieszka w Warszawie

Podane wyrażenie możemy zapisać schematycznie:

p ∨ q

Ponieważ wiadomo, że schemat ten przedstawia zdanie fałszywe, to zgodnie z drugim prawem De Morgana zachodzi następujące wnioskowanie:

(p ∨ q)′ →(p′ ∧ q′)

Prawdziwa jest więc koniunkcja zdania nie p oraz zdania nie q. Wynika z tego, że zdanie p jest fałszywe i zdanie q również jest fałszywe, czyli:

„Jan nie urodził się w Warszawie oraz Jan nie mieszka w Warszawie”.

2. Czy poprawne jest następujące wnioskowanie:

„Jeżeli na skrzyżowaniu pali się czerwone światło, to nie można wjechać na skrzyżowanie. Wynika z tego, że jeżeli można wjechać na skrzyżowanie, to nieprawda, że na skrzyżowaniu pali się czerwone światło”?

Rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia:

p - na skrzyżowaniu pali się czerwone światło

q - nie można wjechać na skrzyżowanie

Podane wnioskowanie zapisujemy za pomocą schematu:

( p → q ) → ( q′ → p′ )

Podane wnioskowanie jest poprawne (jest zgodne z prawem logicznym „transpozycja prosta”).

3. Oceń czy poniższe schematy stanowią tezy teorii zdań (przedstawiają schematy praw logicznych).
a) ( p → q ) → ( p′ → q′ )
b) [( p ÷ q ) ∧ p ] → q′
c) ( p → q )′ → ( p ∧ q′ )
d) ( p ÷ q ) → ( p ≡ q )′

Rozwiązanie

Tylko wtedy schemat stanowi tezę teorii zdań, jeżeli jest on tautologiom. Żeby więc sprawdzić, czy schemat stanowi tezę teorii zdań należy sprawdzić, czy jest on tautologiom. Sposób sprawdzania, czy wyrażenie jest tautologiom został już wcześniej wyjaśniony.

Tautologiami są schematy: b, c, d.

4. Sprawdź poprawność następujących wnioskowań:

a) Ktoś po odebraniu płaszcza z pralni stwierdza, że jest on na niego za ciasny. Przypuszcza, że albo płaszcz skurczył się w praniu, albo też on przytył. Ponieważ waga jednak nie wykazuje, że przytył postanawia wystąpić do pralni o odszkodowanie wnioskując, że płaszcz skurczył się podczas czyszczenia.

b) Jeżeli liczba urodzin przekracza liczbę zgonów, to zaludnienie wzrasta, ale zaludnienie nie wzrasta, oznacza to, że nieprawda, aby liczba urodzin przekraczała liczbę zgonów.

c) Jeżeli ktoś nadużywa alkoholu, to następuje u niego osłabienie sił fizycznych. Wynika z tego, że jeżeli u kogoś następuje osłabienie sił fizycznych, to nadużywa on alkoholu.

d) Warunkiem przyjęcia skargi rewizyjnej od wyroku jest zachowanie terminu i złożenie jej przez osobę uprawnioną. Jeżeli wobec tego skarga nie została przyjęta to oznacza to, że została złożona nie w terminie lub nie przez osobę uprawnioną.

e) Jeżeli prokurator sporządził akt oskarżenia, to toczy się postępowanie przed sądem, a jeżeli toczy się postępowanie przed sądem, to zapadnie prawomocne rozstrzygnięcie. Wynika z tego, że jeżeli prokurator sporządził akt oskarżenia to zapadnie prawomocne rozstrzygnięcie.

Rozwiązanie

W celu sprawdzenia, czy wnioskowanie jest poprawne należy sporządzić jego schemat, a następnie sprawdzić, czy otrzymany schemat jest tautologiom.

Przykład a). Właściciel płaszcza zakłada, że płaszcz jest za ciasny dlatego, że płaszcz skurczył się w praniu albo on sam przytył.

Przyjmujemy oznaczenia:

p - płaszcz skurczył się w praniu,

q - właściciel płaszcza przytył.

Założenie to możemy przedstawić schematycznie: p ÷ q
Właściciel płaszcza stwierdza, że nieprawda, że przytył - q′

wnioskuje, że płaszcz skurczył się w praniu - p

Schemat wnioskowania wygląda wobec tego następująco:

[( p ÷ q ) ∧ q′ ] → p

Po dokonaniu sprawdzenia, stwierdzamy, że schemat jest tautologiom, wobec tego rozpatrywane wnioskowanie jest wnioskowaniem poprawnym.

W tym ćwiczeniu poprawne wnioskowania to przykłady: a, b, d, e.

5. Dokonaj konwersji niżej podanych zdań:

a) Ziemia jest planetą.

b) Niektórzy funkcjonariusze policji są studentami.

c) Żaden złodziej nie jest uczciwym człowiekiem.

d) Każde przestępstwo jest czynem zabronionym.

Rozwiązanie

W poszczególnych przykładach należy oznaczyć występujące w nich terminy zmiennymi S oraz P, a następnie zapisać schemat zdania i zastosować odpowiedni wzór konwersji.

Przykład a). przyjmujemy oznaczenia:

S - Ziemia

P - planeta

Przedstawione zdanie jest zdaniem twierdzącym. Ponieważ nazwa „Ziemia” ma tylko jeden desygnat, jest to zdanie jednostkowe. Wobec tego, musimy potraktować je jako zdanie ogólnotwierdzące typu S a P.

Stosujemy wzór konwersji z ograniczeniem:

S a P → P i S

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, po przeprowadzeniu konwersji, ze zdania „Ziemia jest planetą” otrzymujemy zdanie „ Jakaś planeta jest Ziemią”

6. Wyprowadź wszystkie wnioski ze zdań:

a) Każda praca doktorska jest recenzowana.

b) Niektóre prace pisemne są bardzo dobre.

c) Niektórzy policjanci nie są dzielnicowymi.

d) Żaden sędzia nie jest adwokatem.

e) Nieprawda, że każda kradzież jest zbrodnią.

Rozwiązanie

Podane zdania należy potraktować jako przesłanki wnioskowania. Oznaczyć występujące w nich terminy zmiennymi S oraz P, a następnie zastosować wszystkie możliwe wnioskowania bezpośrednie.

Przykład a). Przyjmujemy oznaczenia:

S - praca doktorska

P - recenzowana

podane zdanie jest ogólnoprzeczące, a więc zapisujemy je jako zdanie typu S a P. Traktując to zdanie jako przesłankę przeprowadzamy wnioskowania:

- konwersja z ograniczeniem:

S a P → P i S

wnioskiem jest zdanie P i S, zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, jest to zdanie „Niektóre prace recenzowane są pracami doktorskimi”.

- obwersja

S a P → S e P′

wniosek brzmi: „Żadna praca doktorska nie jest nie(recenzowana)”.

- opozycja

a) stosunek przeciwieństwa: S a P → (S e P)′

„Nieprawda, że żadna praca doktorska nie jest recenzowana”.

b) stosunek nadrzędności: S a P → S i P

„Niektóre prace doktorskie są recenzowane”.

c) stosunek sprzeczności: S a P → (S o P)′

„Nieprawda, że niektóre prace doktorskie nie są recenzowane”.

7. Jakich przekształceń (wnioskowań bezpośrednich) należy dokonać, aby:

a) ze zdania S a P otrzymać zdanie S′ i P′

b) ze zdania (S o P)′ otrzymać zdanie S o P′

c) ze zdania (S i P)′ otrzymać zdanie (P a S)′

Rozwiązanie

Wnioskowania bezpośrednie mogą być stosowane kolejno. Inaczej mówiąc wniosek pierwszego wnioskowania może być przesłanką wnioskowania następnego.

Przykład a). Porównując zdanie wyjściowe ze zdaniem, które mamy otrzymać zauważamy, że obydwa terminy zostały zanegowane. Wnioskowaniem, w którym dokonujemy negacji jednego z terminów jest tylko obwersja. Ponieważ zanegowane są obydwa terminy (podmiot i orzecznik), obwersja stosowana była dwukrotnie. Ponieważ stosując obwersję negujemy tylko orzecznik, a zanegowany jest również podmiot zdania wyjściowego, podmiot musiał znaleźć się na miejscu orzecznika. Takiej operacji możemy dokonać tylko przy zastosowaniu konwersji. Ponieważ w zdaniu, które mamy otrzymać, podmiot jest na swoim miejscu konwersja musiała być wykonana dwa razy. Tak więc aby ze zdania S a P otrzymać zdanie S′ a P′ należy wykonać dwukrotnie obwersję i dwukrotnie konwersję. Teraz należy ustalić w jakiej kolejności wnioskowania te trzeba zastosować.

Rozpoczynamy np. od konwersji, otrzymujemy:

S a P → P i S

teraz wykonujemy obwersję:

P i S → P o S′

otrzymane zdanie konwersji nie podlega, a powtórne wykonanie obwersji nie ma sensu (otrzymamy zdanie wyjściowe). Oznacza to, że wnioskowania nie mogą rozpoczynać się od konwersji. Wobec tego wykonujemy obwersję zdania wyjściowego:

S a P → S e P′

następnie stosujemy konwersję:

S e P′ → P′ e S

po raz drugi obwersję:

P′ e S → P′ a S′

i po raz drugi konwersję (z ograniczeniem):

P′ a S′ → S′ i P′

Ze zdania S a P otrzymaliśmy zdanie S′ i P′, co stanowiło cel ćwiczenia.

8. Wyprowadź wniosek z danych przesłanek (jeżeli jest to możliwe):

a) Żaden niepoczytalny nie może być skazany.

Jan jest niepoczytalny.

b) Każdy prokurator jest prawnikiem.

Niektórzy prawnicy są adwokatami

c) Niektórzy skazani nie są recydywistami

Każdy skazany jest przestępcą

d) Żaden człowiek nie jest nieomylny

Niektórzy ludzie są pracownikami naukowymi.

Rozwiązanie

Sposób wyciągania wniosku z danych przesłanek (wnioskowanie pośrednie) został omówiony w punkcie „Wnioskowanie pośrednie (sylogizm kategoryczny)”. Postępując zgodnie z zamieszczonymi tam wskazówkami, powinniśmy otrzymać następujące wnioski:

a) Jan nie może być skazany

b) Z takiego układu przesłanek nie można wyprowadzić poprawnego wniosku

c) Niektórzy przestępcy nie są recydywistami

d) Niektórzy pracownicy naukowi nie są nieomylni.

9. Rozwiąż entymematy:

a) M a P b) ? c) M e P

? M a S ?

S i P S o P S e P

Rozwiązanie

Sposób rozwiązywania entymematów omówiony został powyżej w punkcie „Entymematy”. Rozwiązaniem entymematów podanych w ćwiczeniu są zdania typu:

a) S a M, S i M, M i S, M a S

b) M o P, P e M, M e P

c) S a M, M a S

10. Podaj brakującą przesłankę dla niżej podanych wnioskowań:

a) Jeżeli u Iksińskiego nie wyczuwamy tętna, to Iksiński nie żyję.

b) Iksiński ma kłopoty, bo nie przestrzega przepisów prawa.

c) Jan nie jest krewnym oskarżonego, więc Jan nie może odmówić składania zeznań.

d) Żaden policjant nie jest nieśmiertelny, bo każdy policjant jest człowiekiem.

Rozwiązanie

Rozwiązanie tych entymematów może być nieco utrudnione ze względu na fakt, że występujące w nich zdania nie mają formy klasycznych zdań kategorycznych. Najpierw więc należy zdania te doprowadzić do takiej postaci. Sposób postępowania przedstawia poniższy przykład:

Przykład a). Treść pozostanie niezmieniona jeżeli podane w tym przykładzie wnioskowanie zastąpimy wyrażeniem: „Jeżeli Iksiński nie jest tym, u którego wyczuwamy tętno, to Iksiński nie jest tym który żyje”. Wnioskiem jest zdanie: „Iksiński nie jest tym który żyje”. Przyjmując oznaczenia:

S - Iksiński

P - ten, który żyje

wniosek możemy zastąpić schematem: S e P. Podana przesłanka jest wobec tego przesłanką mniejszą o schemacie S e M, gdzie M zastępuje wyrażenie: „ten, u którego wyczuwamy tętno”. Schemat entymematu wygląda więc następująco:

?

S e M

S e P

Jako rozwiązanie entymematu otrzymujemy zdanie typu P a M. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami zdanie to brzmi „Każdy, kto nie żyje jest tym, u którego nie wyczuwamy tętna”. Czyli zgodnie z regułami języka polskiego zdanie „U każdego, kto nie żyje, nie wyczuwamy tętna”.

W pozostałych przykładach brakujące przesłanki są zdaniami:

b) Każdy kto nie przestrzega przepisów prawa ma kłopoty.

c) Składania zeznań może odmówić krewny oskarżonego.

d) Każdy człowiek jest śmiertelny.

LOGIKA

Materiały pomocnicze dla słuchaczy Studium Zaocznego

S Z C Z Y T N O

1 9 9 5