Duration – to podstawowa miara ryzyka, czasami nazywana „czasem trwania”. Występuje w kilku wersjach:

1. EFEKTYWNE DURATION (miara najbardziej właściwa) – miara ta wskazuje na przybliżony spadek (wzrost) wartości obligacji, gdy stopa dochodu wzrasta (spada) o 1 punkt procentowy.

$\text{ED} = \frac{P_{-} - P_{+}}{2P(r)}$ a P obliczamy za pomocą wzoru: $P = \sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$

P – wartość obligacji przed zmianą stopy dochodu

P_ - wartość obligacji w przypadku spadku stopy dochodu

P+ - wartość obligacji w przypadku wzrostu stopy dochodu

r - zmiana stopy dochodu

C_t - wartość przepływów w t-tym okresie

YTM - to wymagana stopa dochodu

1. DURATION wg koncepcji F.Macaulaya

$$D = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t \bullet C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}}{\sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}}$$

1. ZMODYFIKOWANE DURATION:

$MD = \frac{D}{1 + \text{YTM}}$

Zadania duration

Przykład 1

Rozważana jest obligacja z dwuletnim terminem wykupu. Wartość nominalna tej obligacji wynosi 1000 zł, oprocentowanie 8%, a odsetki płacone są raz w roku. Wymagana stopa dochodu wynosi 10%. Załóżmy możliwy wzrost i spadek stopy o 25 pkt. bazowych, czyli odpowiednio do poziomu 10,25% i 9,75%. Wyznaczyć efektywne duration.

Rozwiązanie:

Najpierw należy wyznaczyć wartość obligacji przy odpowiednich poziomach stopy dochodu. P jest wartością przed zmianą stopy zatem dla stopy w wysokości 10%.

Ponieważ obligacja jest z dwuletnim terminem wykupu i odsetki płacone są raz w roku to wypłata odsetek nastąpi na koniec 1 roku oraz na koniec 2 roku. Będą to odsetki w wysokości:

8%•1000 zl = 80 zl

Zatem po pierwszym roku zostaną wypłacone odsetki w wysokości 80 zł, a po drugim okresie odsetki 80 zł oraz 1000 zł wartości obligacji, zatem po drugim roku wypłacone zostanie 1080 zł.

Wartość obligacji oblicza się za pomocą wzoru:

$$P = \sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}$$

gdzie C_t to wartość przepływów w t-tym okresie, natomiast YTM to wymagana stopa dochodu

Podstawiam do wzoru na wartość obligacji:

$$P = \frac{80}{1 + 0,1} + \frac{1080}{{(1 + 0,1)}^{2}} = \frac{80}{1,1} + \frac{1080}{{1,1}^{2}} = 965,29\ zl$$

Pierwszy ułamek to zaktualizowany przypływ z pierwszego okresu, czyli w liczniku 80 złotych odsetek, zaś w mianowniku stopa dyskonta, czyli wymagana stopa dochodu (może ona też być oznaczana YTM). Drugi ułamek to zaktualizowany przypływ z drugiego okresu, czyli w liczniku 1080 zł (wartość obligacji plus przysługujące za ten okres odsetki), zaś w mianowniku tak jak poprzednio stopa dyskonta ale do potęgi drugiej bo drugi okres.

Identycznie wylicza się wartość obligacji w przypadku spadku stopy dochodu P_- (dla stopy dochodu 9,75) oraz wartość obligacji w przypadku wzrostu stopy dochodu P₊ (dla stopy dochodu 10,25)

$$P_{-} = \frac{80}{1 + 0,0975} + \frac{1080}{{(1 + 0,0975)}^{2}} = \frac{80}{1,0975} + \frac{1080}{{(1,0975)}^{2}} = 969,53$$

$$P_{+} = \frac{80}{1 + 0,1025} + \frac{1080}{{(1 + 0,1025)}^{2}} = \frac{80}{1,1025} + \frac{1080}{{(1,1025)}^{2}} = 961,08$$

Teraz można wyznaczyć efektywne duration zgodnie ze wzorem:

$$\text{ED} = \frac{P_{-} - P_{+}}{2P(r)}$$

gdzie ∆r jest zmianą stopy dochodu zatem w naszym przypadku wynosi:

25 punktów bazowych, czyli 0,0025

Podstawiając wszystko do wzoru otrzymujemy:

$$\text{ED} = \frac{969,53 - 961,08}{2 \bullet 965,29 \bullet 0,0025} = 1,75$$

Interpretacja: Spadek stopy dochodu obligacji o 1 punkt procentowy spowoduje spadek wartości obligacji o około 1,75 punktu procentowego, z kolei wzrost stopy dochodu obligacji o 1 punkt procentowy spowoduje wzrost wartości obligacji o około 1,75 punktu procentowego.

Przykład 2

Rozważana jest obligacja z dwuletnim terminem wykupu. Wartość nominalna tej obligacji wynosi 1000 zł, oprocentowanie 8%, a odsetki płacone są raz w roku. Wymagana stopa dochodu wynosi 10%. Wyznaczyć duration oraz zmodyfikowane duration.

Rozwiązanie:

Obligacja jest identyczna jak w poprzednim przykładzie zatem przepływy pieniężne z tytułu tej obligacji będą identyczne jak w poprzednim przykładzie, 80 zł pierwszy okres i 1080 zł drugi okres.

Aby wyznaczyć duration stosujemy wzór:

$$D = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t \bullet C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}}{\sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}}$$

Mianownik ułamka jest identyczny jak wzór służący do wyznaczenia wartości obligacji i identycznie się go liczy, natomiast w liczniku mamy to samo wyrażenie z tą tylko różnicą, że każdy ułamek przemnażamy przez t, czyli numer kolejnego okresu.

Po podstawieniu otrzymujemy:

$$D = \frac{\frac{1 \bullet 80}{1,1} + \frac{2 \bullet 1080}{{1,1}^{2}}}{\frac{80}{1,1} + \frac{1080}{{1,1}^{2}}} = 1,9247$$

Z kolei zmodyfikowane duration wyznacza się ze wzoru:

$$\text{MD} = \frac{D}{1 + \text{YTM}}$$

W tym przypadku otrzymamy więc:

$$\text{MD} = \frac{1,9247}{1 + 0,1} = 1,75$$

Zdanie z egzaminu:

Są dwie obligacje A i B o wartości nominalnej 100, stopie proc. 12%, YTM 8%. Obligacja A jest 3 letnia, obligacja B jest 5 letnia. Odsetki wypłacane na koniec każdego roku. Obliczyć duration obu obligacji i ocenić, która jest bardziej narażona na ryzyko zmiany ceny obligacji.

$$D_{A} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t \bullet C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}}{\sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}} = \frac{\frac{12}{1,08} + \frac{2 \bullet 12}{{1,08}^{2}} + \frac{3 \bullet 112}{{1,08}^{3}}}{\frac{12}{1,08} + \frac{12}{{1,08}^{2}} + \frac{112}{{1,08}^{3}}} = 2,71$$

$$D_{B} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t \bullet C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}}{\sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + YTM)}^{t}}} = \frac{\frac{12}{1,08} + \frac{2 \bullet 12}{{1,08}^{2}} + \frac{3 \bullet 12}{{1,08}^{3}} + \frac{4 \bullet 12}{{1,08}^{4}} + \frac{5 \bullet 112}{{1,08}^{5}}}{\frac{12}{1,08} + \frac{12}{{1,08}^{2}} + \frac{12}{{1,08}^{3}} + \frac{12}{{1,08}^{4}} + \frac{112}{{1,08}^{5}}} = 4,11$$

Bardziej narażona na ryzyko zmiany ceny obligacji jest obligacja B.

Przykład 3

Rozważana jest obligacja z dwuletnim terminem wykupu. Wartość nominalna tej obligacji wynosi 1000 zł, oprocentowanie 8%, a odsetki płacone są raz na pół roku. Wymagana stopa dochodu wynosi 10%. Wyznaczyć duration oraz zmodyfikowane duration.

Rozwiązanie:

Ze względu na to, że odsetki płacone są co pół roku, to w okresie dwuletnim, czyli do terminu wykupu naliczone będą 4 razy. Oprocentowanie przypadające na jeden okres, to:

8% : 2 = 4%

Zatem wartość odsetek będzie wynosić:

4% · 1000 zł = 40 zł

Jednocześnie wymagana stopa dochodu w każdym z okresów będzie wynosić:

10% : 2 = 5%

Podstawiając do wzoru na duration otrzymamy:

$$D = \frac{\frac{1 \bullet 40}{1,05} + \frac{2 \bullet 40}{{1,05}^{2}} + \frac{3 \bullet 40}{{1,05}^{3}} + \frac{4 \bullet 1040}{{1,05}^{4}}}{\frac{40}{1,05} + \frac{40}{{1,05}^{2}} + \frac{40}{{1,05}^{3}} + \frac{1040}{{1,05}^{4}}} = 3,54826$$

Do zmodyfikowanego duration bierzemy wyliczone roczne duration oraz roczną stopę dochodu. Ponieważ duration mierzone jest w jednostkach czasu, a w tym przykładzie odsetki płacone są co pół roku, więc wartość duration należy przeliczyć do okresu rocznego, czyli podzielić przez liczbę podokresów w roku i wynosi ono wówczas:

3,54826 : 2 = 1.7741

zaś roczna stopa dochodu to 10%.

Zmodyfikowane duration zatem wynosi:

$$\text{MD} = \frac{1,7741}{1,1} = 1,61$$

Przykład 4

Rozpatrzmy obligację, na półtora roku przed terminem wykupu, której wartość nominalna wynosi 100, oprocentowanie 10%, a odsetki płacone są co roku. Stopa dochodu tej obligacji wynosi 7%. Wyznaczyć duration.

Rozwiązanie:

W przypadku tej obligacji najbliższe odsetki zostaną wypłacone za pół roku w wysokości 10% · 100 zł = 10 zł, po upływie kolejnego roku, czyli od tego momentu 1,5 roku, zostaną wypłacone odsetki oraz wartość nominalna obligacji, czyli 100 + 10 = 110 zł.

Podstawiając do wzoru na duration (ten wzór co poprzednio) otrzymujemy:

$$D = \frac{\frac{0,5 \bullet 10}{{(1 + 0,07)}^{0,5}} + \frac{1,5 \bullet 110}{{(1 + 0,07)}^{1,5}}}{\frac{10}{{(1 + 0,07)}^{0,5}} + \frac{110}{{(1 + 0,07)}^{1,5}}} = 1,41$$

Jeżeli ta sama sytuacja liczona byłaby tuż przed wypłatą odsetek na rok przed terminem wykupu, wówczas duration wyniosłoby:

$$D = \frac{\frac{0 \bullet 10}{{(1 + 0,07)}^{0}} + \frac{1 \bullet 110}{{(1 + 0,07)}^{1}}}{\frac{10}{{(1 + 0,07)}^{0}} + \frac{110}{{(1 + 0,07)}^{1}}} = \frac{0 + \frac{110}{1,07}}{10 + \frac{110}{1,07}} = 0,91$$

Przykład 5

Dana jest obligacja z dwuletnim terminem wykupu, o wartości nominalnej 1000 zł, oprocentowaniu 8%, a odsetki płacone są co roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu tej obligacji wynosi 10%.

Rozpatrzmy cztery różne przypadki zmiany stopy dochodu.

1. Stopa dochodu wzrasta do 11%

2. Stopa dochodu wzrasta do 10,1%

3. Stopa dochodu spada do 9%

4. Stopa dochodu spada do 9,9%

Wyznaczyć wartości obligacji w przypadku zmian stopy dochodu, względne zmiany wartości obligacji w każdej z sytuacji korzystając w wartości obligacji oraz korzystając z przybliżenia za pomocą duration.

Rozwiązanie:

Wyznaczanie wartości obligacji:

Odsetki w każdej sytuacji wypłacane są po roku w wysokości 80 zł (8% · 1000 zł), a po dwóch latach wypłacane są odsetki wraz z wartością nominalną obligacji, czyli 1080 zł

Dla stopy dochodu 10% wartość obligacji wynosi:

$$P_{0} = \frac{80}{1 + 0,1} + \frac{1080}{{(1 + 0,1)}^{2}} = 965,29$$

Dla stopy dochodu 11% wartość obligacji wynosi:

$$P_{1} = \frac{80}{1 + 0,11} + \frac{1080}{{(1 + 0,11)}^{2}} = 948,62$$

Dla stopy dochodu 10,1% wartość obligacji wynosi:

$$P_{2} = \frac{80}{1 + 0,101} + \frac{1080}{{(1 + 0,101)}^{2}} = 963,60$$

Dla stopy dochodu 9% wartość obligacji wynosi:

$$P_{3} = \frac{80}{1 + 0,09} + \frac{1080}{{(1 + 0,09)}^{2}} = 982,41$$

Dla stopy dochodu 9,9% wartość obligacji wynosi:

$$P_{4} = \frac{80}{1 + 0,099} + \frac{1080}{{(1 + 0,099)}^{2}} = 966,98$$

Wyznaczamy względne zmiany wartości w każdej z sytuacji 1-4:

W przypadku wzrostu stopy dochodu do 11%

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = \frac{948,62 - 965,29}{965,29} = - 0,01727 = - 1,727\%$$

W przypadku wzrostu stopy dochodu do 10,1%

$$\frac{P_{2} - P_{0}}{P_{0}} = \frac{963,60 - 965,29}{965,29} = - 0,00175 = - 0,175\%$$

W przypadku spadku stopy dochodu do 9%

$$\frac{P_{3} - P_{0}}{P_{0}} = \frac{982,41 - 965,29}{965,29} = 0,01774 = 1,774\%$$

W przypadku spadku stopy dochodu do 9,9%

$$\frac{P_{4} - P_{0}}{P_{0}} = \frac{966,98 - 965,29}{965,29} = 0,01751 = 1,751\%$$

Aby wyznaczyć względne zmiany wartości obligacji za pomocą duration najpierw wyznaczamy wartość duration ze wzoru:

$$D = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t \bullet C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}}{\sum_{t = 1}^{n}\frac{C_{t}}{{(1 + \text{YTM})}^{t}}}$$

Podstawiając do wzoru otrzymujemy:

$$D = \frac{\frac{1 \bullet 80}{1 + 0,1} + \frac{2 \bullet 1080}{{(1 + 0,1)}^{2}}}{\frac{80}{1 + 0,1} + \frac{1080}{{(1 + 0,1)}^{2}}} = 1,92$$

Względne zmiany wartości przy użyciu duration wyznaczamy ze wzoru:

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - D \bullet \frac{\left( 1 + \text{YTM}_{1} \right) - (1 + \text{YTM}_{0})}{1 + \text{YTM}_{0}}$$

W przypadku wzrostu stopy dochodu do 11%

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - 1,92 \bullet \frac{\left( 1 + 0,11 \right) - (1 + 0,10)}{1 + 0,10} = - 0,01745 = - 1,745\%$$

W przypadku wzrostu stopy dochodu do 10,1%

$$\frac{P_{2} - P_{0}}{P_{0}} = - 1,92 \bullet \frac{\left( 1 + 0,101 \right) - (1 + 0,10)}{1 + 0,10} = - 0,00175 = - 0,175\%$$

W przypadku spadku stopy dochodu do 9%

$$\frac{P_{3} - P_{0}}{P_{0}} = - 1,92 \bullet \frac{\left( 1 + 0,09 \right) - (1 + 0,10)}{1 + 0,10} = 0,01745 = 1,745\%$$

W przypadku spadku stopy dochodu do 9,9%

$$\frac{P_{4} - P_{0}}{P_{0}} = - 1,92 \bullet \frac{\left( 1 + 0,099 \right) - (1 + 0,10)}{1 + 0,10} = 0,00175 = 0,175\%$$

Przykład 6

Dana jest obligacja z dwuletnim terminem wykupu, o wartości nominalnej 1000, oprocentowaniu 8%, a odsetki płacone są co roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu tej obligacji wynosi 10%. Wyznaczyć cenę punktu bazowego.

Rozwiązanie:

Wzór na cenę punktu bazowego:

PVBP = |−0,0001•MD•P₀|

Zgodnie ze wzorem aby wyznaczyć cenę punktu bazowego potrzebujemy wartość obligacji P₀ oraz zmodyfikowane duration MD.

Obliczamy wartość obligacji:

$$P_{0} = \frac{80}{1 + 0,1} + \frac{1080}{{(1 + 0,1)}^{2}} = 965,29$$

Teraz wyznaczamy duration:

$$D = \frac{\frac{1 \bullet 80}{1 + 0,1} + \frac{2 \bullet 1080}{{(1 + 0,1)}^{2}}}{\frac{80}{1 + 0,1} + \frac{1080}{{(1 + 0,1)}^{2}}} = 1,9247$$

oraz zmodyfikowane duration:

$$\text{MD} = \frac{1,9247}{1 + 0,1} = 1,75$$

Podstawiając do wzoru na cenę punktu bazowego otrzymujemy:

PVBP = |−0,0001•1,75•965,29| = 0, 17

Interpretacja:

Przy zmianie stopy dochodu o 1 punkt procentowy, cena obligacji zmieni się o około 17 groszy.