1. Wyprowadzić równanie równowagi Eulera. Opisuje stan płynu w statyce

+w płynie: siły ściskające, powierzchniowe, ciśnienia$p = \frac{\overrightarrow{F}}{A}$

+siły objętościowe (masowe)F

- w kierunku osi x warunek równowagi p_A • y • z − p_B • y • z + F₁ • d • xyz = 0

f(x+x) ≈ f(x) + f(x) • x

2. Prawo Pascala (wynika z równania równowagi).

(jeżeli możemy pominąć warunki równowagi to) $\overrightarrow{F} \approx 0\ ,\ \nabla p = 0$ to p=const (ciśnienie)
p • a = p₁ • b ; $p_{1} = p \bullet \frac{a}{b}$ ; $p = p \bullet \frac{p_{1}}{\frac{\pi d^{2}}{4}}$ → $p_{2} = p \bullet \frac{\pi D^{2}}{4}$ ;
$p_{2} = \frac{p_{1}}{\frac{\pi d^{2}}{4}} \bullet \frac{\pi D^{2}}{4} = p_{1} \bullet \left( \frac{D}{b} \right)^{2} = p_{2} = p \bullet \frac{a}{b} \bullet \left( \frac{D}{b} \right)^{2}$

3. Wyprowadzić wzór manometryczny

$$\int_{}^{}{\frac{\partial p}{\partial x} =}dg \gg p = p_{0} + dgz$$

4. Paradoks hydrostatyczny – ciśnienie zależy od wysokości słupa wody, a nie od objętości. We wszystkich naczyniach ciśnienie na dno jest takie samo

5. Jednostki ciśnienia: 1 Pa = 1 N/m² ; inne: - 1mmH₂O = 1000kg/m³ ∙ 9,81m/s² ∙ 0,001m = 9,81 Pa ;
-(tor) 1Tr = 1mmHg[^oC] = 13595 ∙ 9,81 ∙ 0,001 ≈ 133 Pa ; 1at (techniczna) = 10mH₂O = 98100 Pa ; 1atm (fizyczna) ≈ 101000 Pa

6. Wyprowadzić prawo Archimedesa. Na każde ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana ku górze i równa ciężarowi cieczy .

$$\overrightarrow{P} = - \int_{A}^{}p \bullet \overrightarrow{n} \bullet d \bullet A = - \int_{A}^{}{\nabla p}\text{dv} = - g\overrightarrow{k}\int_{A}^{}\text{dv} = - gv\overrightarrow{k}$$

8. Wyprowadzić równanie Bernouliego dla linii prądu. a)płyn jest doskonały, nieściśliwy (powietrze do 100m/s) ƍ=ƍ(p); $\frac{1}{d\left( p \right)}\nabla p = \nabla p$ ; $\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \overrightarrow{F} - \frac{1}{d}\nabla p/ \bullet d\overrightarrow{s}$; linia prądu – poruszamy się z prędkością unoszenia ; U = −gz ; $\overrightarrow{F} = \left\lbrack \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z} \right\rbrack = \left\lbrack 0,0, - g \right\rbrack$ ; $\overrightarrow{F} \bullet d\overrightarrow{s} = \nabla U \bullet d\overrightarrow{s} = \left\lbrack \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z} \right\rbrack \bullet \left\lbrack dx,dy,dz \right\rbrack$=$\frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z} = dU$ ; $\overrightarrow{F} \bullet d\overrightarrow{s} = dU$ ;
$\frac{1}{d}\nabla\text{pd}\overrightarrow{s} = \frac{\text{dp}}{d\left( p \right)} = dP \rightarrow P = \int_{}^{}\frac{\text{dp}}{d\left( p \right)}$; $\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} \bullet d\overrightarrow{s} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} \bullet \overrightarrow{v} \bullet dt = d\overrightarrow{v} \bullet \overrightarrow{v} = d\left( \frac{\overrightarrow{v} \bullet \overrightarrow{v}}{2} \right) = d\left( \frac{v^{2}}{2} \right)$ ; $d\left( \frac{v^{2}}{2} \right) = dU - dP$; $d\left( \frac{v^{2}}{2} - U + P \right) = 0$ ; $\frac{v^{2}}{2} - U + P = const$ . dla dwóch pkt. umieszczonych na lini prądu to $\frac{v_{1}^{2}}{2} + gz_{1} + \frac{p_{1}}{d} = \frac{v_{2}^{2}}{2} + gz_{2} + \frac{p_{2}}{d}$ ; ƍ=const ; $p = \frac{p}{d}$ $\frac{v^{2}}{2} + gz + \frac{p}{d} = const$
9. Wyprowadzić wzór na czas wypływu płynu ze zbiornika

A(z) • v(z) = A₀ • v₀ $v\left( z \right) = - \frac{\text{dz}}{\text{dt}}$;$v_{0} = \sqrt{2gz}$ ; $- A\left( z \right) \bullet \frac{\text{dz}}{\text{dt}} = A_{0}\sqrt{2gz}$
$- \frac{A\left( z \right)\text{dz}}{A_{0}\sqrt{2gz}} = dt$;$- \int_{H}^{0}{\frac{A\left( z \right)\text{dz}}{A_{0}\sqrt{2gz}} = \int_{t1}^{t2}\text{dt}}t = \int_{0}^{H}\frac{A\left( z \right)\text{dz}}{A_{0}\sqrt{2gz}}$
10. Wyprowadzic wzór Torricellego

z₁=H ; z₂=0 ; A₁>>A₂=>v₁=0
A₁v₁=A₂v₂
m = ∫_VddV = const ; $\frac{\text{dm}}{\text{dt}} = 0$

masa wpływająca = masie wypływającej, w czasie Δt masa się przesunęła do lini kreskowych d₁ • A₁ • v₁ • t = d₂A₂v₂t ∖ nd₁ • A₁ • v₁ = d₂ • A₂ • v₂ ; $d \bullet A \bullet v = \dot{m \leftarrow}$ strumień masy jest stały ; $A \bullet v = \dot{v} \leftarrow$strum obj
$gH + \frac{\text{Pa}}{d} = \frac{v^{2}}{2} = \frac{v^{2}}{2} + \frac{\text{Pa}}{d}$ ; $v = \sqrt{2gH} \leftarrow$ wzór Torricellego
11. Przyrządy do pomiaru prędkości i strumienia objetości:

< dla cieczy $\frac{p}{*} + \frac{v^{2}}{2} = const$ ; $p + \frac{dv^{2}}{2}$=const
$\left( p + \frac{dv^{2}}{2} \right) \leftarrow$ ciśnienie spiętrzania (Ps) ; p – ciśnienie statyczne
>dla gazu $p + \frac{dv^{2}}{2} = p_{s}$ ; $v = \sqrt{\frac{2\left( p_{s} - p \right)}{d}}$ ; p_s − p = d_cmgh ; $v = \sqrt{\frac{d_{\text{cm}}\text{gh}}{d}}$ ;

$v = \sqrt{\frac{2\left( p_{t} - p_{s} \right)}{d}}$< sonda prandla $v = \sqrt{\frac{2k}{\left( k - 1 \right)} \bullet \frac{p_{1}}{d} \bullet \left\lbrack 1 - \left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{\frac{k - 1}{k}} \right\rbrack}$ ;
k- wykładnik adiabaty (powietrza 1,4); ƍ- gęstość płynu
< zwężka Venturiego $dgh + \frac{dv^{2}}{2} + p = const$ ;
$Q = A_{1}\sqrt{\frac{2\left( p_{1} - p_{2} \right)}{d\left\lbrack \left( \frac{A_{1}}{A_{2}} \right)^{2} - 1 \right\rbrack}} = A_{2}\sqrt{\frac{2\left( p_{1} - p_{2} \right)}{d\left\lbrack 1 - \left( \frac{A_{1}}{A_{2}} \right)^{2} \right\rbrack}}$ ;
A- pole przekroju poprzecznegorurki, p- ciśnienie; ƍ- gęstość rytmu

12. Równanie Bernouliego ze stratami.

$\frac{p_{1}}{d} + \frac{v_{1}^{2}}{2} = \frac{p_{2}}{d} + \frac{v_{2}^{2}}{2}$ ; liczba Reynoldsa – przepływ zabużony przciwnieństwo przepływu laminarnego czyli spokojnego. Tarcie utrata energii na ciepło.
$\frac{p_{1}}{dg} + z_{1} + \frac{v_{1}^{2}}{2g} = \frac{p_{2}}{dg} + z_{2} + \frac{v_{2}^{2}}{2g} + \sum_{}^{}\text{h\ strat}$ ; h_{strat liniowych}=$\lambda\frac{l}{d}\frac{v^{2}}{2g}$ ; h_{strat lok}=$\xi\frac{v^{2}}{2g}$
13.Równanie Naviera Stokesa

$$\frac{{\partial CH}_{11}}{\partial x}\frac{\partial CH_{11}}{\partial y}\frac{\partial CH_{11}}{\partial z} \rightarrow \frac{\partial CH_{\text{ij}}}{\partial xk} \rightarrow CH_{ij,k}$$

a) przepływ Coutta (przepływ wywołany jedną poruszającą się ścianą)

I. przepływ jest stacjonarny $\frac{\partial v_{1}}{\partial t} = 0$ ;
II. Przepływ ma tylki jedną wymiarową, jest jednowymiarowy tzn. v₂=0, v₃≠0, v₁≠0
III. v₁=v₁(y) jest funcją tylko y
IV. Pomijamy siły masowe (F₁)
V. brak różnicy ciśnień $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$
$\frac{\partial^{2}v_{1}}{\partial y^{2}} = 0\ ;\ v_{1}\left( y \right) = c_{1}y + c_{2}$ => z warunków brzegowych v₁(0) = c₂ = 0 ;
v₁(u) = c₁h = u ; $c_{1} = \frac{u}{h}$ ;

b)przepływ Hagena Poiseuille’a

I. przepływ jest stacjonarny
II. przepływ 1-wymiarowy 1D
III. Prędkość jest funckcją tylko y i z v₁=v₁(y,z)=v₁(r)
IV. Pomijamy siły masowe
V. przepływ płynu w rurze wywołany jest stałym gradientem ciśnienia
$\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{p_{2} - p_{1}}{l} = const = - A$.

$\frac{\partial^{2}v_{1}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{1}}{\partial z^{2}} = \frac{1}{r}\left\lbrack \frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial v_{1}}{\partial r} \right) \right\rbrack$ ; $0 = \frac{A}{d} + \frac{v}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial v_{1}}{\partial r} \right)$ ; $\frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial v_{1}}{\partial r} \right) = - \frac{A}{dv} \bullet r$ ; $r\frac{\partial v_{1}}{\partial r} = - \frac{A}{2dv}r^{2}{+ c}_{1}$ ; $\frac{\partial v_{1}}{\partial r} = - \frac{A}{2dv}r + \frac{{c_{1}}^{0}}{r}$ ; $\frac{\partial v_{1}}{\partial r} = - \frac{A}{2dv}r$ ;
$v_{1} = - \frac{A}{4dv}r^{2} + c_{2}$ ; $v_{1}\left( R \right) = \frac{A}{4dv}R^{2} + c_{2} = 0$ ;
$c_{2} = \frac{A}{4dv}R^{2}\ \ \ \mu = dv$ ; $v_{1}\left( r \right) = \frac{A}{4\mu}\left( R^{2} + r^{2} \right)$
kształt przepływu paraboloidy obrotowej, przepływ pod wpływem gradientu ciśnień
(strona 31)