2.RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI, INTERPRETACJA, POSTAĆ TEGO RÓWNANIA DLA PRZEPŁYWU JEDNOWYMIAROWEGO.

Interpretacja.

Pole prędkości ma ścisły związek z gęstością płynu (dla ośrodka ciągłego). Związki matematyczne, które łączą te wielkości noszą nazwę równania ciągłości. Musi być ono spełnione zawsze, niezależnie czy rozpatrujemy dynamikę czy hydrostatykę. Równanie to wyraża zasadę zachowania masy, tzn., że w zamkniętym układzie fizycznym masa czynnika nie może ani powstać ani zniknąć (anihilacja?), poza tym nie ma przerw w obszarze w przestrzeni gdzie rozpatrujemy przepływ. W praktyce, te warunki nie zawsze są spełnione np. kawitacja, przepływy z osobliwościami, przepływy gdzie zachodzą reakcje chemiczne.

Postać tego równania dla przepływu jednowymiarowego.

Równanie ciągłości ma bardzo istotne zastosowanie praktyczne w analizie przepływów jednowymiarowych (np. rurociągi). Dla przepływu jednowymiarowego w kierunku np. s pole przekroju A zmienia się wraz z zmienną s. Gęstość jest funkcją czasu t i zmiennej s: ρ=ρ(t,s).

Pochodna gęstości po czasie ma postać:

Dla przepływu jednokierunkowego można więc zapisać:

3.POWIERZCHNIA EKWIPOTENCJALNA, POSTAĆ RÓWNANIA, PRZYKŁAD WYSTĘPOWANIA.

Powierzchnia ekwipotencjalna.

Przykładem takiej powierzchni jest powierzchnia swobodna zbiorników wodnych, powierzchnia rozdziału dwu nie mieszających się cieczy o różnych gęstościach. Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać:

Powyższa zależność wynika z warunku U=const, a stąd dU=0. Z ostatniego równania wynika również, że siły masowe to wektory prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej.

W ziemskim polu grawitacyjnym zachodzą warunki: q_x = q_y = 0 oraz:

gdzie:

g - przyśpieszenie ziemskie.

Znak minus wynika z przyjętego układu osi współrzędnych; oś z skierowana pionowo w górę, a przyśpieszenie ziemskie działa w kierunku przeciwnym (do powierzchni ziemi).

5.ZASADA OKREŚLANIA STRAT W PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWODY OSIOWO SYMETRYCZNE.

Straty na długości przewodu

Z prawo Hagena - Poiseuille'a

w jednostkach ciśnienia straty wyniosą:

λ - współczynnik strat na tarcie dla ruchu laminarnego

λ = 64/Re

λ - dla innych przepływów - turbulentnych wyznacza się doświadczalnie lub zakładając określony model turbulencji.

λ = f(Re, kształtu, stanu powierzchni )

Straty dzielą się na straty w przewodach (liniowe, lepkości) i straty lokalne. Wielkość strat lokalnych określa zależność:

gdzie: ζ - współczynnik strat lokalnych, miejscowych.

Określa się go na podstawie badań lub w oparciu o analizę przepływu nielepkiego. Straty lokalne związane są z zmianą geometrii przewodu (rozszerzenie, przewężenie), kierunku przepływu (kolanka), zaburzeniami związanymi z armaturą (zawory, kryzy, zasuwy), rozgałęzienia przewodów, itp.

6.LICZBA FROUDE'A, ZNACZENIE I PRZYKŁAD WYKORZYSTANIA.

Liczba Froudea - stosunek lokalnej siły bezwładności do siły

Ciężkości

• Liczba Freude'a (Fn), dla zjawisk ruchu cieczy w ziemskim polu grawitacyjnym, gdy występuje powierzchnia swobodna.

Liczby te muszą mieć taką samą wartość dla warunków badań modelowych i obiektu rzeczywistego.

Jej nazwa pochodzi od Williama Froude'a. Intuicyjnie, liczna Frouda określa stosunek energi kinetycznej cieczy do energii potencjalnej potrzebnej do odchylenia (wymuszenia) przepływającej cieczy.

3.ZASADY OKREŚLANIA NAPORU NA ŚCIANY PŁASKIE, POCHYLONE. PODAĆ PUNKT PRZYŁOŻENIA WYPADKOWEJ SIŁY NAPORU.

Kierunek działania siły naporu N, jest zawsze prostopadły do powierzchni.Problem istotny - obciążenie ścian zbiorników, budowli wodnych. Napór-parcie to siła powierzchniowa jaką wywiera ciecz w stanie spoczynku na dowolnie zorientowaną w przestrzeni powierzchnię. Rozpatrujemy tylko siłę normalną (stycznej nie ma, bo ciecz jest nieruchoma). Elementarna sił naporu dN na element powierzchni dA wynosi:d N =npdA =nγzdA

gdzie: n - wersor jednostkowy, prostopadły do elementu powierzchni. Jeśli ciśnienie na zewnątrz jest równe pb to elementarny napór wynosi (przy pominięciu w dalszych rozważaniach zapisu wektorowego)

dN =(p b+ρg ⋅z )dA

lub bez uwzględnienia ciśnienia atmosferycznego:

dN =ρg ⋅zdA

Napór całkowity na powierzchni A wynosi:

N =ρg∫zdA

Całka w powyższym wyrażeniu określa moment statyczny powierzchni A, względem osi leżącej na powierzchni wody. Można ją zastąpić iloczynem pola powierzchni i odległością

środka geometrycznego tej powierzchni od płaszczyzny wody:

∫zdA z A s Uwzględniając powyższe można napisać, że napór (bez uwzględnienia ciśnienia atmosferycznego) wynosi:

N =ρgz_s A.Napór równy jest więc ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest dana ścian a wysokość głębokości środka geometrycznego od zwierciadła cieczy. Pozostaje problem punktu przyłożenia siły naporu. Punkt ten nosi nazwę środka naporu. Wychodzimy z momentu sił elementarnych i wypadkowej względem osi X, które muszą być sobie równe.

M_O= r_N X(razy skalarnie) N= γ∫(pod całką A) r_A X n*zdA

Gdzie: N=P*k, dN=n γ* zdA=k zdA,

r_N=x_N * strzałka nad i + y_N * strzałka nad j - wektor promień,

strzałka nad i j k n - wektory jednostkowe

n=k wersor prostopadły do elementu powierzchni

5.RÓWNANIE BERNOULIEGO DLA CIECZY RZECZYWISTEJ, INTERPRETACJA, PRZYKŁADY WYKORZYSTANIA

Siła oporu przeciwstawiająca się przemieszczaniu dwu płaszczyzn, to siła tarcia → siła odniesiona do jednostki powierzchni daje naprężenie styczne.Jeśli ciecz lepka płynie rurociągiem narastają straty przepływu wynikające z

konieczności pokonania sił stycznych. Tracona jest energia, czyli może spadać v, pęd. Tak nie jest. Prędkość utrzymuje się stała, kosztem spadku ciśnienia. W rurociągu nie spada

prędkość (prawa ciągłości), a ciśnienie.

∆h=h1-h2- straty ciśnienia spowodowane lepkością

Równanie Bernoulliego dla powyższego przypadku ma postać:

V₁²/2g+p₁/γ+z1= V₁²/2g+p₂/γ+z₂+h_str

ρV₁²/2+ρgz₁+p₁=1/2*ρV₂²/2+ρgz₂+p₂+∆p_str

h_str, ∆p_str,-straty tarcia na długości i straty tarcia lokalne-opory miejscowe

α₁V₁²_sr/2g+p1/γ+z₁= α₁V₂²_sr/2g+p₂/γ+z₂+∆h_str

α- wsp Coriolisa

Wynika ze zjawisk w przekroju normalnym do osi przewodu. W takim przekroju p=cons, v
c. Równanie bernoulliego, które obowiązuje dla lini prądu tu jest odniesione dla całego przekroju przepływu. Współczynnik Coriolisa uwzględnia różnicę między energią kinetyczną rzeczywistą, a odniesioną do średniej prędkości przepływu w rurociągu.

E_ksr=Qρ*v²_sr/2=ρA*v³_sr/2, v_sr=1/A∫(A pod)vdA

E_knen=ρ∫vdA*v²/2=ρ∫(A pod)v³/2dA

α=E_knen/E_ksr=1/A∫(A pod)v³dA/v³_sr

6.LICZBA REYNOLDSA. POSTAĆ, INTERPRETACJA, ZNACZENIE W MECHANICE PŁYNÓW

Jedna z bezwymiarowych liczb podobieństwa, pozwala oszacować występujący podczas ruchu płynu stosunek sił bezwładności do sił biernych związanych z tarciem wewnętrznym (lepkość). Stosuje się ją do oceny charakteru przepływu cieczy (turbulentny/laminarny). Re=V*d/V

v - prędkość przepływu, d - średnica przewodu, V - wsp. lepkości kinetycznej. laminarny<2300<przepływ niestateczny<50000<przepływ turbulentny

Doświadczenie Reynoldsa

Re = dv/ ν

to doświadczenie doprowadziło do podziału, klasyfikacji przepływów lepkich na przepływy: laminarne, turbulentne

W przepływie turbulentnym cząsteczka cieczy posiada pulsacje prędkości. W zasadzie jest to zawsze przepływ 3D. Z turbulencją związana jest tzw. lepkość turbulentna.

Liczba Reynoldsa przy której zachodzi zmiana rodzaju ruchu nosi nazwę liczby krytycznej Re kr. Nie jest to wartość absolutna (ścisła). Szereg czynników ubocznych ma wpływ na jej wartość:

- wlot do przewodu

- chropowatość rury, miejscowe nierówności, drgania, zanieczyszczenia cieczy itp.

7.PRĘDKOŚĆ I SIŁY NA PROFILU Ρ.

Przy ruchu ciała w płynie lepkim, na ciało działać będzie siła, która posiada składową prostopadłą do kierunku wektora prędkości

Składową prostopadła Pz nazywamy siłą wyporu hydrodynamicznego lub siłą nośną. Składowa równoległa Px jest siła oporu. Siła wypadkowa P jest reakcją hydrodynamiczną. Siła oporu Px jest wynikiem różnicy ciśnień wokół opływanego ciała (opór ciśnienia) i

naprężeń stycznych na opływanym ciele (opór tarcia):

Px =Pxn+Px τ Jeśli ciało jest tylko częściowo zanurzone, to w czasie jego ruchu na powierzchni swobodnej

powstaje układ fal. Z tym układem fal związany jest opór falowy. Ten składnik oporu ma istotne znaczenie w obliczaniu oporu pływania statku.

Opór ciała przedstawia się za pomocą bezwymiarowego współczynnika oporu c x :

c_x=P_x/(ρV_{do nieskończoności}²/2)*S

gdzie S- powierzchnia odniesienia.

W wielu zastosowaniach technicznych (samoloty, maszyny hydrauliczne, okręty), elementy ciał, które wykonują ruch w cieczy są odpowiednio kształtowane. To ukształtowanie ma na

celu uzyskanie maksymalnej wartości siły nośnej, przy minimalizacji siły oporu. Ciała te nazywamy płatami nośnymi. O ich właściwościach hydrodynamicznych, decyduje kształt

przekroju poprzecznego płata czyli profil. Podstawowe parametry geometryczne płata i profilu przedstawia rys.

2.RÓWNANIE N-S MA POSTAĆ:

PRZY JAKI ZAŁOŻENIACH RÓWNANIE TO BĘDZIE PRZEDSTAWIAŁO MATEMATYCZNĄ POSTAĆ PRAWA PASCALA?

Jeśli założymy, że ciecz jest w spoczynku, tzn. wektor prędkości V=0, otrzymamy równania hydrostatyki. Równania te w zapisie skalarnym maja postać:

q_x= 1/ρ*бp/бx,

q_y= 1/ρ* бp/бy,

q_z=1/ρ* бp/бz

lub w postaci wektorowej:

q=1/ρ grad p

W wielu zagadnieniach technicznych pomija się wpływ sił masowych. Ma to miejsce np. w

hydraulice siłowej, gdzie te siły są pomijalnie małe w stosunku do sił ciśnienia. Lewa strona układu równań (7), przyjmuje wówczas wartości zerowe. Z otrzymanych równań

różniczkowych wynika, że ciśnienie jest stałe w całym rozpatrywanym obszarze płynu. Jest to treścią znanego PRAWA PASCALA.

3.WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR. WSPÓŁCZYNNIKI WYPŁYWU.

Wypływ przez mały otwór w zbiorniku.

Zakładamy, że poziom cieczy w zbiorniku nie ulega zmianie. Mały otwór oznacza, że jego pole jest małe w stosunku do pola powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku. Pozwala to przyjąć, że prędkość cieczy w zbiorniku jest równa 0.

- mały otwór A₃<<A₁

Pisząc równanie Bernoulliego dla wydzielonej powierzchnią kontrolną strugi otrzymujemy:

przy czym dla przyjętego modelu zachodzi: p₁=p₃=p_b i V₁≈0 i wobec tego otrzymuje się ostatecznie zależność na prędkość wypływu cieczy przez mały otwór. Otrzymana zależność nosi nazwę wzoru Torricellego.

Zjawiska towarzyszące wypływowi.

W warunkach rzeczywistych przekrój strugi wypływającej nie jest równy przekrojowi otworu, a poza tym rozkład prędkości w strudze nie jest rozkładem jednorodnym. Aby uwzględnić te zmiany wprowadza się dwa współczynniki poprawkowe:

β - współczynnik kontrakcji

określany jest doświadczalnie lub analitycznie rozpatrując przepływ trójwymiarowy. Ponieważ prędkość w strudze nie jest prędkością jednorodną, rzeczywista średnia prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej: V_R≠V_t. Oczywistym jest, że V_R<V_t i współczynnik prędkości α wynosi:

Na wielkość współczynnika prędkości wpływa lepkość cieczy, oraz kształt otworu. Rzeczywiste natężenie wypływu wynosi:

4.WSPÓŁCZYNNIKI OPORU LINIOWEGO 9TARCIA), CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA JEGO WARTOŚĆ.

1/λ^1/2= -2log(2,5/(Re λ^1/2))+S/3,7d

s-chropowatosć, λ-wsp. Strat liniowych. Zależy od przypływu, rodzaju. Bo lambda zależy od Reynoldsa. Dobrze jest gdy przepływ jest turbulentny.

5.LICZBA EULERA-POSTAĆ; W JAKICH WARUNKACH PRZEPŁYWU MA ZNACZENIE?

Liczba Eulera- wyraża stosunek sił ciśnienia do lokalnej siły bezwładności:

Liczba Eulera (Eu) gdy w zjawisku decydujące znaczenie mają siły powierzchniowe( siły ciśnienia):

3.POWIERZCHNIA EKWIPOTENCJALNA, POSTAĆ RÓWNANIA, PRZYKŁAD WYSTĘPOWANIA.

Powierzchnia ekwipotencjalna.

Przykładem takiej powierzchni jest powierzchnia swobodna zbiorników wodnych, powierzchnia rozdziału dwu nie mieszających się cieczy o różnych gęstościach. Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać:

Powyższa zależność wynika z warunku U=const, a stąd dU=0. Z ostatniego równania wynika również, że siły masowe to wektory prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej.

W ziemskim polu grawitacyjnym zachodzą warunki: q_x = q_y = 0 oraz:

gdzie:

g - przyśpieszenie ziemskie.

Znak minus wynika z przyjętego układu osi współrzędnych; oś z skierowana pionowo w górę, a przyśpieszenie ziemskie działa w kierunku przeciwnym (do powierzchni ziemi).

7.KRYTERIUM STATECZNOŚCI CIAŁ PŁYWAJĄCYCH CZĘŚCIOWO WYNURZONYCH.

Na ciało prócz siły wyporu W działa siła ciężkości ciała G

Siła wypadkowa

G₁ =G −W - prawo Archimedesa

W =γV G =γ_cV_c

Od wartości G1 zależą warunki pływania:

I ) G₁=0 ; G=W

γV=γ_cV_c

V=V_c, γ=γ_c stan równowagi- ciało zanurzone na dowolnej głębokości

II )G1>0; G>W

γV<γ_cV_c; V_c
V γ_c>γ ciało tonie

III )G1<0; G<W

1.V=Vc; γc<γ- ciało wynurza się, przy czym trwa to do osiągnięcia stanu równowagi, tzn wtedy kiedy G=W,

2.γc<γ

Vc>V ciało częściowo wynurzone
(statki)

Mówimy, że ciało pływa, gdy jest wynurzone częściowo nad jej powierzchnią, lub zanurzone całkowicie utrzymuje określone położenie.

Zajmujemy się statecznością ciał pływających.

Jest to zdolność powrotu ciała pływającego do położenia po uprzednim jego wychyleniu ze stanu równowagi. Ma to związek z kierunkami działania sił.

Siły G i W- przechodzą przez środek ciężkości z_G i środek wyporu z_B

G-w środku ciężkości ciała

W- przez punkt będący środkiem wyporu są to współrzędne środka objętości części ciała zanurzonego.

Aby była równowaga G=W i muszą działać wzdłuż tej samej prostej. Ale to nie jest warunek wystarczający aby ciało zanurzone było stateczne. O stateczności decyduje wysokość położenia środka ciężkości z_G i położenie środka wyporu z_B,

z_G>z_B brak stateczności

z_G=z_B stateczność chwiejna

z_G<z_B równowaga trwała-ciało stateczne

Ciała częściowo wynurzone:

Warunki stateczności są inne!!!

Warunek z_G>z_B wcale nie oznacza utraty stateczności! W analizie stateczności zakładamy że:

G=W oraz G=const

zmieni się natomiast kształt ciała pływającego, a tym samym położenie środka wyporu. Siły wyporu i ciężkości nie działają wzdłuż tej samej lini. Pojawia się moment pary sił. Moment ten może przeciwdziałać dalszemu przechyłowi lub go pogłębiać. Zależy to od znaku tego momentu:

m>0-stateczny

M_p=Wmsinφ m=0-równowaga obojetna

m<0- brak stateczności

Wielkość momentu względem osi 0-x wynikającego z przesunięcia się położenia środka wyporu:

W=(z_Bz_G)kreska pozioma nad zetami=M_x

Moment ten jest równoważony przez moment klina wynurzonego i zanurzonego M_x. Elementarna siła wyporu od klina wynurzonego lub zanurzonego wynosi:

dW=γy∆φdA

Siły te są równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane. Moment od tych sił ma postać:

dM_x=2ydW=2γy∆φdA

Wyrażenie y(∆φ)Da jest elementarną objętością klina wynurzonego lub zanurzonego. Moment całkowity wynosi:

M_x=2γ∆φ∫y²dF=γ∆φI_x

Jeśli W=γnabla to wówczas otrzymujemy:

γVz_Bz_Bφ(kreska pozioma nad zetami)=γ∆φI_x

_zBzBφ(kreska)=∆φ*I_x/V

I_x-moment bezwładności wodnicy pływania

Wodnica pływania to powierzchnia utworzona z przecięcia płaszczyzny swobodnej powierzchni wodnej z powierzchnią ciała pływającego częściowo wynurzonego. Z drugiej strony dla małych wartości ∆φ w oparciu o rysunek uzyskuje się:

z_Bz_Bφ(kreska)=(a+m)∆φ; a+m=I_X/V; m=I_X/V-a

z_G<z_B, a<0, m>0.

Jeśli środek wyporu jest położony niżej niż środek ciężkości (co ma miejsce w budowie okrętów) tzn:

z_G>z_B to znaczy : a>0 aby ciało(statek) był stateczny musi zachodzić warunek: m>0 i I_X/V>a.

Odległość środka ciężkości od punktu Mo nosi nazwę wysokości metacentrycznej (m-wysokość metacentryczna).

Wielkości charakteryzujące właściwości fizyczne płynów

gęstość - ro=m/V [kg/m3]

ciężar właściwy gamma=ro/g[N/m3]

objętość właściwa V(mi:D)=1/g

Jeśli ro=const. To płyn jest barotropowy ro=f(p,T)

ściśliwość - podatność płynu na odkształcenia objętościowe

V2=V1-deltaV

beta=deltaV/V1 * 1/delta p

beta(bądź teta) wsp. ściśliwości

delta p - zmiana ciśnienia powodującego zmianę objętości

1/teta= E - moduł sprężystości Younga

lepkość - jest wynikiem występowania sił adhezji (przylegania). Wielkość ta opisuje opór jaki stawia płyn przeciwko odkształceniu postaciowemu

Ciecze rzeczywiste, właściwości cieczy newtonowskich i nienewtonowskich.

Ciecz - brak sprężystości postaciowej, nie przejawia tendencji do nieograniczonego rozszerzania (posiada sprężystość objętościową), mała ściśliwość

Właściwości - gęstość, ciężar właściwy, ściśliwość i lepkość

Płyn doskonały - pomijamy lepkość i ściśliwość

Płyn rzeczywisty - lepki i ścisły

Płyn newtonowski - wykazuje liniową zależność naprężeń ścinających(stycznych) od prędkości odkształcenia postaciowego (doskonała lepkość)

tau=ni * dV/dx

ni - wps. lepkości dyn. , dx - grubość warstwy płynu

Płyn nienewtonowski - nie spełnia hipotezy Newtona, zależnośc tau od V jest nieliniowa - nie ma stałej lepkości

WYKRES ANCONY, co oznacza, zasady sporządzania

Graficznie przedstawione przebiegi wysokości: energii rozporządzalnej, ciśnienia absolutnego i ciśnienia piezometrycznego wzdłuż strugi przepływającego płynu. Wysokość energii rozporządzalnej maleje w kierunku przepływu wzdłuż strugi cieczy na skutek strat energetycznych.

-Linię energii otrzymujemy obliczając jej wartości w kolejnych przekrojach strugi (przy znanej wartości tej energii w pierwszym przekroju i stratach energii między kolejnymi przekrojami)

- wysokość ciśnienia absolutnego w dowolnym przekroju otrzymujemy, odejmując od wysokości energii - wysokość prędkości otrzymujemy linie ciśnień

- linia ciśnienia piezometrycznego przebiega równolegle do linii ciśnienia absolutnego ale niżej od niej o wysokość ciśnienia barometrycznego Pb/gamma (takie coś jak r :D )

CZY MOŻLIWE JEST RÓWNOCZESNE WSZYSTKICH PRAW PODDOBIEŃSTW MODELOWEGO ZJAWISKA:

Aby spełnić prawa podobieństwa modelowego należy zachować:

- podobieństwo geometryczne - stałe stosunki wymiarów i obiektu rzeczywistego:

- podobieństwo kinematyczne - stałe stosunki wektorów prędkości modelu i o. rzecz.;

- podobieństwo dynamiczne - identyczne postacie równań dynamiki ruchu.

Nie jest możliwe spełnienie wszystkich praw podobieństwa - w praktyce nie ma możliwości spełnienia prawa modelowego Reynoldsa ponieważ przy równych siłach na modelu i na obiekcie rzeczywistym ulegnie on zniszczeniu.

WYSOKOŚĆ METACENTRYCZNA

- odległość środka ciężkości od metacentrum Mo, podstawowa wielkość określająca stateczność początkową statku.

Metacentrum jest pozornym środkiem obrotu.

Wysokość metacentryczna zależy od kształtu części podwodnej i sposoby załadowania statku.

m=Imin/Vw -+n

Imin - minimalny moment bezwładności pola pływania

Vw - objętość wypartej cieczy w położeniu pływania

n - odległość od G(coś poniżej m :D ) do F(środek ciężkości zanurzonej części)

m > 0 równowaga trwała (stabilna)

m < 0 r. nietrwała (niestabilna)

m=0 r. obojętna

---