STATYKA

POJĘCIA I ZASADY MECHANIKI

1. Podać definicje punktu materialnego, układu punktów materialnych i ciała doskonale sztywnego.

Punkt materialny – ciało o wymiarach znikomo małych w porównaniu z wielkością obszaru, w którym się porusza, dlatego też można pominąć zmiany położenia tego ciała wywołane przez obrót.

Układ punktów materialnych – ciało zawierające dowolną ilość punktów materialnych. Każde ciało materialne można podzielić myślowo na drobne elementy (punkty materialne).

Ciało doskonale sztywne – (nieodkształcalne) ciało, w którym punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem działających na nie sił.

1. Wymienić rodzaje obciążenia.

Pierwszy podział: masowe, objętościowe, powierzchniowe.

Drugi podział: czynne, bierne.

Trzeci podział: wewnętrzne, zewnętrzne.

1. Wymienić zasady (aksjomaty) statyki.

I. Zasada równoległoboku: Działanie dwóch sił P1 i P2 można zastąpić działaniem jednej siły R działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach P1 i P2.

II. Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, kiedy mają tę samą linie działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty.

III. Skutek działania dowolnego układu sił, przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeśli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił (tzw. układ zerowy).

IV. Zasada zesztywnienia: Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił.

V. Każdemu działaniu towarzyszy równe, co do wartości o przeciwnym zwrocie i leżące n tej samej prostej przeciwdziałanie.

VI. Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać, jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych.

1. Co rozumiemy przez liczbę stopni swobody ciała?

Stopień swobody to możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od innych ruchów. Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody.

1. Co rozumiemy przez więzy? Podać przykłady typowych więzów i sposoby uwalniania od tych więzów.

Więzami nazywa się warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni.

Rodzaje więzów: obustronne, jednostronne, wewnętrzne, zewnętrzne i idealne.

Zasada uwalniania od więzów: Każde ciało sztywne można myślowo uwolnić od więzów, jeśli zastąpi się działanie więzów odpowiednimi reakcjami, a następnie rozpatrywać je jako ciało swobodne znajdujące się pod działaniem sił czynnych i reakcji więzów (sił biernych).

UWALNIANIE OD WIĘZÓW:

1. Omówić pojęcie skalara i wektora.

Skalar: Jest to wielkość, do której określenia wystarczy jedna liczba rzeczywista wraz z wymiarem wielkości fizycznej (mogą być też bezwymiarowe) - np. długość, pole, objętość, temperatura, gęstość, potencjał pola elektrostatycznego lub grawitacyjnego, praca.

Wektor: jest to wielkość określona liczbą (moduł wektora) oraz mająca kierunek, zwrot i punkt zaczepienia w przestrzeni, np.: siła, prędkość, przyśpieszenie.

1. Iloczyn skalarny dwóch wektorów i jego własności.

Iloczyn skalarny: jest to skalar równy iloczynowi modułów wektorów składowych przez cosinus kąta zawartego między nimi: a*b = |a|*|b|*cos(a,b)

Własności:

a*b = b*a - przemienność

(a+b)*c = a*c + b*c - rozdzielność względem dodawania

m(a*b) = (m*a) *b = a(m*b) -

i*i = j*j = k*k = 1

i*j = j*k = k*i = 0

1. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów i jego własności.

Iloczyn wektorowy: jest to wektor, którego moduł równa się iloczynowi modułów wektorów składowych przez sinus kąta zawartego między nimi: |c| = |a|*|b|* sin(a,b).

Własności:

(a+b) × c = a×c + b×c

m(a×b) = (ma)× b = (mb) × a

a×b = -(a×b)

PŁASKI I PRZESTRZENNY UKŁAD SIŁ ZBIEŻNYCH.

1. Jaki układ sił nazywamy zbieżnym?

Układ sił zbieżnych: jest to układ, w którym wszystkie linie działania sił zbiegają się w jednym punkcie. Układ sił zbieżnych może być płaski lub przestrzenny.

1. Omówić wykreślny i analityczny sposób wyznaczania wypadkowej płaskiego zbieżnego układu sił.

SPOSÓB WYKREŚLNY (GEOMETRYCZNY): Sposób geometryczny polega na zbudowaniu wieloboku sił, w którym z dowolnego punktu odkładamy równolegle siłę P ′ O 1, a z jej końca równolegle siłę P2, a następnie kolejne siły aż do Pn. Wektor W łączący początek siły P1 i koniec siły Pn jest sumą geometryczną sił składowych. Otrzymany wektor W przyłożony w punkcie O (rys. 3.13a) jest wypadkową układu sił zbieżnych.

SPOSÓB ANALITYCZNY: Dla analitycznego obliczenia wypadkowej przyjmiemy w punkcie zbieżności O (rys. 3.13a) układ współrzędnych o osiach x i y leżących w płaszczyźnie sił. Wtedy współrzędne Pkz wszystkich sił Pk będą tożsamościowo równe zeru: . W tej sytuacji wzory na współrzędne wypadkowej płaskiego układu sił zbieżnych otrzymamy ze wzorów (3.11) po podstawieniu do nich Pkz ≡ 0 Pkz = 0:

Z kolei moduł wypadkowej oraz kąt α, który ona tworzy z osią x, obliczymy ze wzorów:

1. Omówić sposoby wyznaczania wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych.

Wypadkowa zbieżnego układu sił jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił, a linia jej działania

przechodzi przez punkt zbieżności:

W celu obliczenia współrzędnych wypadkowej w punkcie zbieżności O (rys. 3.12b) wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych x, y, z i wyrazimy wszystkie siły Pk oraz wypadkową W za pomocą współrzędnych w tym układzie:

Po podstawieniu tych wzorów do zależności (3.10) otrzymamy:

Z obustronnego porównania wyrazów przy tych samych wersorach otrzymujemy wzory na współrzędne wypadkowej:

1. Określić wykreślnie i analitycznie warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych.

Płaski układ sił zbieżnych będzie w równowadze, gdy jego wypadkowa W będzie równa zeru.

SPOSÓB WYKREŚLNY:

SPOSÓB ANALITYCZNY:

$$P_{x} = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}\cos \propto_{k} = 0}$$

$$P_{y} = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}\cos\beta_{k} = 0}$$

1. Określić analityczne warunki równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych.

Gdy wypadkowa W przestrzennego układu sił zbieżnych jest równa zeru, układ sił będzie w równowadze. Prowadzi to do wektorowego warunku równowagi w postaci:

Wypadkowa W omawianego układu sił będzie równa zeru, jeżeli jej współrzędne w przyjętym układzie współrzędnych będą równe zeru. Stąd na podstawie wzorów (3.11) można napisać trzy skalarne równania równowagi:

$$P_{x} = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}\cos \propto_{k} = 0}$$

$$P_{y} = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}\cos\beta_{k} = 0}$$

$$P_{z} = \sum_{k = 1}^{n}{P_{k}\cos\gamma_{k} = 0}$$

PŁASKI I PRZESTRZENNY UKŁAD SIŁ DOWOLNYCH.

1. Co rozumiemy przez wektor główny i moment główny względem środka redukcji?

Dowolny układ sił przyłożonych do ciała sztywnego o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie zastąpić można siłą R , przyłożoną do dowolnego punktu O , równą sumie geometrycznej sił układu , oraz parą sił o momencie M_O równym sumie momentów danych sił względem punktu O. Siłę R nazywać będziemy wektorem głównym układu sił, zaś moment M_O momentem głównym względem środka redukcji O.

1. Omówić przypadki redukcji płaskiego układu sił do jednej siły wypadkowej.

Dla sił działających w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne siły te możemy zamienić na siłę równą wektorowi głównemu R, oraz parą sił o momencie równym momentowi głównemu Mo. Jeżeli suma sił działających na ten układ jest różna od zera to ten układ sił możemy sprowadzić do jednej siły wypadkowej.

W przypadku gdy suma geometryczna układu sił P₁, P₂,…,P_n działających w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne różna jest od zera, układ zastąpić możemy jedną siłą wypadkową równą wektorowi głównemu.

1. Podać trzy wersje równań równowagi płaskiego dowolnego układu sił.

Aby dowolny układ sił o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie był w równowadze, suma algebraiczna tych sił oraz suma algebraiczna ich momentów względem dowolnie obranego punktu tej płaszczyzny muszą być równe zeru.

Jeżeli siła R ma być równa zeru, to jej rzut na dowolną oś musi także znikać. Ponieważ siła ta jest równa sumie geometrycznej sił P₁, P₂,…,P_n, przeto wynika stąd , że sumy rzutów tych ostatnich sił na osie x i y dowolnie obranego prostokątnego układu współrzędnych muszą być równe zeru. Warunkom odpowiadają więc następujące trzy równania równowagi:

1. Do jakiego najprostszego układu można sprowadzić przestrzenny układ sił?

W przypadku gdy do ciała sztywnego przyłożone są w punktach A₁,A₂,…, A_n siły P₁, P₂,…,P_n dowolnie skierowane w przestrzeni, możemy wszystkie te siły sprowadzić do obranego środka redukcji O. W wyniku otrzymujemy układ sił zbieżnych P₁, P₂,…,P_n przyłożonych do punktu O, oraz n par sił o momentach równych M₁₀, M₂₀,…, M_no, przy czym M_i0 oznacza tu moment siły P_i przyłożonej w punkcie A_i względem punktu O zwanego środkiem redukcji.

Dowolny układ sił działających na ciało sztywne zastąpić możemy siłą R przyłożoną do dowolnie wybranego środka redukcji O, równą sumie geometrycznej wszystkich sił układu, oraz parą sił o momencie M₀, równym sumie geometrycznej momentów tych sił względem środka O.

1. Wymienić niezmienniki układu sił.

Każdy układ sił ma dwa niezmienniki (tj. wielkości niezależne od położenia środka redukcji), którymi są: wektor główny R i rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego.

Miarą rzutu momentu głównego na kierunek wektora R jest: M₀cosα=const. Z równania tego wynika , że rzut ten jest wielkością stałą.

1. Wymienić warunki równowagi sił działających na ciało sztywne.

W dowolnym przypadku sił działających na ciało sztywne równowaga możliwa jest tylko wtedy, gdy suma geometryczna tych sił równa jest zeru oraz gdy suma geometryczna ich momentów względem dowolnego punktu O jest także równa zeru.

Dla najogólniejszego przypadku sił działających na ciało sztywne mamy sześć równań równowagi, które wyrażają, że sumy rzutów sił na trzy osie układu współrzędnych oraz sumy momentów sił względem tych osi są równe zeru.

TARCIE W UKŁADACH PŁASKICH.

1. Podać definicje siły tarcia.

Siła tarcia jest składową styczną T reakcji powierzchni na ciało w miejscu styku. Jeśli powierzchnie styku są idealnie gładkie siła tarcia jest równa zeru.

Tarcie jest to siła przeciwdziałająca względnemu ruchowi stykających się ciał

1. Wymienić prawa tarcia sformułowane przez Columba i Morena.

1. Siła tarcia jest niezależna od wielkości stykających się ze sobą powierzchni i zależy jedynie od ich rodzaju.

2. Wielkość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmieniać się od zera do maksymalnej wartości proporcjonalnej do całkowitego nacisku normalnego – T=µ*N.

3. W przypadku gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest skierowana zawsze przeciwnie do kierunku ruchu, wielkość jej zaś nie zależy w przybliżeniu od prędkości poślizgu(Ten punkt stanowi dość grube przybliżenie , gdyż w rzeczywistości wartość siły tarci zależy w pewnym stopniu od względnej prędkości trących się powierzchni).W przypadku tym siła tarcia jest jednak mniejsza od maksymalnej wartości , jaką może ona osiągnąć , gdy ciało jest w spoczynku.

1. Co to jest współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego i kinematycznego)?

Współczynnik tarcia oznaczany μ [mi], k lub f jest wielkością charakteryzującą siłę tarcia.

Dla ciała pozostającego w spoczynku na chropowatej powierzchni mamy:

T≤ μN

Występujący w powyższym wzorze współczynnik μ nosi nazwę współczynnika tarcia statycznego.

W przypadku gdy ciało ślizga się już po chropowatej powierzchni siła tarcia jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, a jej wartość określona jest wzorem:

T= μ΄N

Współczynnik μ΄ nosi nazwę współczynnika tarcia kinetycznego.

1. Co to jest kąt tarcia?

Kąt tarci jest to taki maksymalny kąt φ, o jaki może odchylić się linia działania całkowitej reakcji R od kierunku normalnej do powierzchni styku.

μ = tg φ

współczynnik tarcia jest równy tangensowi kąta tarcia.

1. Co to jest stożek tarcia?

Mamy płaszczyznę przechodzącą przez normalna On. Aby zachować równowagę linia działania siły P musi leżeć wewnątrz lub co najwyżej na powierzchni kołowego stożka, którego tworzące tworzą z normalną On kąty równe kątowi φ . Stożek ten nazywamy stożkiem tarcia.

1. Omówić istotę tarcia tocznego.

Załóżmy, że sztywny walec o ciężarze G spoczywa na sztywnej poziomej płaszczyźnie. Do walca przyłożymy poziomą siłę P odległa od płaszczyzny o h. przy założeniu sztywności walca i płaszczyzny będzie się on tykał wzdłuż tworzącej przechodzącej przez punkt A. W tym punkcie wystąpi reakcja podłoża, którą rozłożono na normalną N i styczną T. Jeżeli walec znajduje się w spoczynku, to siły działające na niego muszą być w równowadze tzn. ich suma geometryczna musi być równa zeru. T=P G=N

Założymy , że siła P jest mniejsza od granicznej wartości siły tarcia: P≤μN

Oznacza to, że walec nie może się ślizgać po płaszczyźnie. Z analizy układu wynika , że nie może być on też w ównowadze. Łatwo zauważyć , że dla każdej wartości siły P różnej od zera i h różnego od zera siła ta daje moment względem punktu A, którego wartość jest różna od zera. W tej sytuacji najmniejsza wartość siły P spowodowałaby obrót walca co jest sprzeczne z zachowaniem się ciał rzeczywistych w podobnej sytuacji. W rzeczywistości jeżeli walec i podłoże są wykonane z rzeczywistych materiałów, to przy małej wartości siły P toczenie walca nie wystąpi. Zacznie się on toczyć dopiero po przekroczeniu przez moment siły P względem punktu A pewnej wartości charakterystycznej dla materiałów walca i podłoża.

1. Co to jest współczynnik tarcia tocznego?

Aby równowaga walca była zachowana moment siły P względem punktu A musi być zrównoważony momentem reakcji N względem tego punktu:

Ph=M_A(N)

Moment M_A(N) nie może wzrastać nieograniczenie, lecz tylko do pewnej maksymalnej wartości. W przypadku granicznym jest on proporcjonalny do reakcji normalnej:

M_A(N)=M_Amax= fN

Występujący w tym wzorze współczynnik proporcjonalności f nazywamy współczynnikiem tarcia tocznego. Podawany jest w [cm].

KINEMATYKA

PODSTAWOWE POJĘCIA I OKREŚLENIA KINEMATYKI.

1. Co jest przedmiotem badań kinematyki?

Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się ruchem ciał, bez wnikania w związek między ruchem badanego ciała a siłami na to ciało działającymi. Jest więc ona pewnego rodzaju geometrią ruchu, gdyż operujemy w niej zasadniczo tylko dwoma podstawowymi pojęciami - przestrzeni i czasu.

1. Podać właściwości pochodnej wektora jednostkowego (wersora).

Gdy funkcja wektorowa jest zapisana analitycznie w prostokątnym nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z, wtedy jej pochodną po wykorzystaniu wzorów na różniczkowanie sumy i iloczynu funkcji wyraża wzór:

Ponieważ wersory osi nieruchomego układu współrzędnych są wektorami stałymi, mamy:

a stąd ostatecznie:

Z powyższego wynika, że współrzędne pochodnej wektora są równe pochodnym odpowiednich współrzędnych tego wektora. Pochodne wyższych rzędów funkcji wektorowych obliczamy analogicznie do

funkcji skalarnych.

1. Określić pochodną wektora zmiennego.

KINEMATYKA PUNKTU.

1. Co to jest tor punktu?

Poruszający się punkt A opisuje w przestrzeni pewną linię, będącą miejscem geometrycznym chwilowych jego położeń. Linię tę oznaczoną na rysunku literą L nazywamy torem punktu.

1. W jaki sposób opisujemy ruch punktu za pomocą promienia-wektora? Co to jest wektorowe równanie ruchu punktu?

a)Na rysunku 1.1 zaznaczony został wektor r= OM o początku w nieruchomym punkcie O , w danym przypadku w początku nieruchomego układu współrzędnych O_xyz , a koniec znajduję się w punkcie A. wektor ten określający położenie w przestrzeni punktu A, nazywamy promieniem- wektorem tego punktu. W przypadku gdy A porusza się , jego promień – wektor r zmienia z upływem czasy swą wartość i swój kierunek, czyli zależy od czasu t. mówimy wtedy że promień-wektor jest pewną funkcja wektorową czasu i zaznaczamy to w następujący sposób:

r=r(t)

jeżeli początek O promienia-wektora r pokrywa się z początkiem prostokątnego układu współrzędnych , to składowe tego wektora są równe współrzędnym punktu A. mamy wtedy:

r_x=x(t) r_y= y(t) r_z= z (t)

promień-wektor r możemy przedstawić w postaci następującej sumy geometrycznej:

r= i x(t)+j y(t)+ k z(t)

gdzie: i,j,k to wersowy odpowiednich osi

b)równanie: r=r(t) i r= i x(t)+j y(t)+ k z(t) (gdzie: i,j,k to wersowy odpowiednich osi) nazywamy wektorowym równaniem ruchu. Czyli na „chłopski rozum” jest to takie równanie, które za pomocą wektorów opisuje ruch punktu w prostokątnym układzie współrzędnych.

1. W jaki sposób opisujemy ruch punktu w prostokątnym układzie współrzędnych?

Położenie punktu w przestrzeni określić możemy z pomocą trzech współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych O_xyz, który traktujemy jako nieruchomy układ odniesienia. W przypadku gdy punkt porusza się , czyli zmienia z upływem czasu swe położenie, współrzędne x, y, z tego punktu który oznaczamy przez M (na rys 1.1) ulegają również zmianie czyli SA pewnymi funkcjami czasu t. Jest więc:

x=f₁(t) ; y=f₂(t) ; z=f₃(t)

Powyższe trzy równania noszą nazwę równań ruchu punktu.

1. Jaki związek istnieje między wektorowym równaniem ruchu punktu i równaniami ruchu punktu we współrzędnych prostokątnych?

Równanie ruchu we współrzędnych prostokątnych są to współrzędne x,y,z które są funkcjami czasu, czyli ulegają zmianie w czasie , a w wektorowym równaniu ruchu zmianę położenia określamy za pomocą wartości wektora i jego kierunku który jest funkcja wektorowa.( nie znalazłam na to pytanie odpowiedzi, ale to chyba będzie to poniżej)

x=r sinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

1. Jak określamy prędkość średnią i chwilową w ruchu krzywoliniowym?

Prędkość średnia - V jest wektorem o tym samym kierunku co wektor Δr. Jeżeli teraz przedział czasu Δ t będziemy skracać ( czyli czas będzie dążył do zera) to stosunek Δr/ Δ t będzie dążył do wektora V prędkości chwilowej lub prościej prędkości V ciała w punkcie A.

Prędkość chwilowa - wyraża się wzorem V = Lim Δr/ Δ t= dr/dt

Δ t-0

Wektor V jest skierowany wzdłuż stycznej do toru i ma zwrot kierunku ruchu. Jeżeli Δ t dąży do zera to wartość drogi Δs przebytej przez to ciało jest praktycznie równa Δr . Dlatego wartość liczbowa prędkości jest równa pochodnej drogi względem czasu. V= Lim Δs/ Δ t= ds./dt

Δ t-0

Można zapisać to w postaci: V=dr/dt=dx/dt*i+ dy/dt*j+dz/dt*k= V_Xi+ V_Yj+V_Zk

gdzie : V_X=dx/dt V_y=Dy/dt V_z=dz/dt

Czyli: V=( V_X²+ V_Y²+V_Z²)^1/2

1. Jak wyznaczamy przyśpieszenie średnie i chwilowe punktu?

Przyśpieszenie średnie: a= dv/dt=d²r/dt²

Przyśpieszenie chwilowe :

Przyspieszenie chwilowe zatem można obliczyć:

1. Jakie są cechy jednostajnego i jednostajnie zmiennego (przyspieszonego i opóźnionego) ruchu punktu?

ęłęóCechy ruchu jednostajnego prostoliniowego: kierunek i zwrot wektora prędkości jest stały i zgodny z kierunkiem i zwrotem ruchu, - wartość prędkości jest stała, - prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej, - przyspieszenie jest równe zeru, ponieważ wektor prędkości jest stały (zmiana prędkości wynosi 0). Zgodnie z I zasadą dynamiki, do tego żeby ciało poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym, nie jest potrzebna żadna siła.

Cechy ruchu jednostajnie przyspieszonego(opóźnionego): kierunek i zwrot prędkości jest stały i zgodny z kierunkiem i zwrotem ruchu, wartość prędkości nie jest stała-stała jest wartość przyśpieszenia- ponieważ wartość prędkości rośnie o taką samą wartość w takich samych odstępach czasu. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły i odwrotnie proporcjonalne do masy. Ruch jednostajnie opóźniony ma te same cechy z tym, że w takich samych odstępach czasu prędkość maleje o tę samą wartość.

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny (przyspieszony lub opóźniony): (przyspieszenie jest stałe).

Rozważamy ruch ciała, które w chwili początkowej znajdowało się w położeniu i miało prędkość

Jeśli w chwili początkowej ciało znajdowało się w początku układu współrzędnych , wówczas:

Otrzymaliśmy w ten sposób znany ze szkoły wzory na prędkość i przemieszczenie ciała w ruchu jednostajnie zmiennym.

Charakterystyczne cechy ruchu jednostajnie zmiennego:

• zależność prędkości ciała od czasu jest liniowa

• zależność położenia od czasu jest parabolą

• w takich samych odstępach czasu ciało przebywa coraz większe (ruch przyspieszony) lub coraz mniejsze (ruch opóźniony) odcinki drogi.

1. Jak określamy prędkość i przyspieszenie punktu poruszającego się po torze prostoliniowym?

Prędkość punktu materialnego v jest wielkością wektorową określającą jak szybko zmienia się położenie tego punktu w czasie. Wymiarem prędkości jest [l/t], jednostką np. m/s, km/h, mph, ułamek c.

Prędkość średnia = przemieszczenie/(przedział czasu, w którym ono nastąpiło) (rys.2)

Znak prędkości średniej jest taki sam jak znak przemieszczenia.

Średni moduł prędkości (szybkość) = droga/(czas potrzebny na jej przebycie)

.

Prędkość chwilowa:

W ruchu prostoliniowym prędkość punktu materialnego ma tylko jedną składową, nie należy jednak zapominać, że jest to wielkość wektorowa. Prędkość ciała jest dodatnia jeśli porusza się ono kierunku rosnących wartości x, natomiast jeśli ciało porusza się w kierunku przeciwnym prędkość jest ujemna.

Znając zależność położenia ciała od czasu możemy, za pomocą różniczkowania, obliczyć jego prędkość w dowolnej chwili.

Szybkość chwilowa:

Znając zależność prędkości ciała od czasu oraz położenie ciała w jednej wybranej chwili czasu t₀ (np. w chwili początkowej) możemy, za pomocą całkowania, obliczyć położenie ciała w dowolnej chwili ruchu.

Jak mówiliśmy całka nieoznaczona określona jest z dokładnością do stałej, zwanej stałą całkowania. Wartość tej stałej obliczamy korzystając z warunku początkowego (czyli położenie ciała w chwili początkowej x(t₀)=x₀)

Zależność x(t) można też wyznaczyć przy pomocy całki oznaczonej. W takim wypadku podstawiamy warunek początkowy jako dolną granicę całkowania

, gdzie x₀ jest położeniem punktu w chwili początkowej t₀

Drogę przebytą przez ciało od chwili t₁ do t₂ obliczamy ze wzoru:

Ruch prostoliniowy jednostajny: (prędkość jest stała).

Jeśli w chwili początkowej t₀ ciało znajdowało się w położeniu x₀, to

Droga przebyta przez ciało od chwili t₀ do t₁:

Charakterystyczna cecha ruchu jednostajnego: w jednakowych odstępach czasu ciało przebywa takie same odcinki drogi.

Przyspieszenie to kolejna wielkość charakteryzująca ruch. Oznaczane jest symbolem a. Przyspieszenie jest wektorem określającym zmianę prędkości ciała w jednostce czasu. Wymiarem przyspieszenia jest [l/t²], jednostką np. m/s², km/h² .

Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/(przedział czasu, w którym on nastąpił)

Przyspieszenie chwilowe

(pochodna prędkości po czasie)

Przemieszczenie:

Prędkość średnia = przemieszczenie/(przedział czasu, w którym ono nastąpiło)

Średni moduł prędkości (szybkość) = droga/(czas potrzebny na jej przebycie)

.

Prędkość chwilowa:

Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/(przedział czasu, w którym on nastąpił)

Przyspieszenie chwilowe:

1. W jaki sposób wyznaczamy równanie toru punktu, jeżeli znane są równania ruchu punktu we współrzędnych?

Aby wyznaczyć równanie toru badanego punktu należy z równań ruchu wyrugować czas t.

Np. punkt A porusza się na płaszczyźnie przy czym jego równania ruchu we współrzędnych prostokątnych są następujące:

x=a cosωt y= a sinωt

gdzie: a i ω oznaczają stałe.

Wyznaczyć tor punktu na torze.

Rozwiązanie: rugując z równań ruchu czas t otrzymujemy równanie toru: x²+ y²= a².

1. Omówić równania różniczkowe ruchu dla nieswobodnego punktu materialnego.

Dynamika nieswobodnego punktu materialnego

Ruch takiego punktu możemy rozpatrywać jako ruch punktu swobodnego pod wpływem sił czynnych P i biernych R. Równanie wektorowe nieswobodnego punktu materialnego o stałej masie m ma postać:

(7)

W układzie naturalnym równanie (7) przyjmuje postacie:

,

KINEMATYKA BRYŁY (RUCH CIAŁA SZTYWNEGO).

1. W jaki sposób można określić położenia ciała sztywnego w przestrzeni?

Niech rozpatrywane ciało sztywne w pewnej chwili względem przyjętego nieruchomego układu odniesienia O_xyz zajmuje takie położenie ze punkty A, B, C tego ciała sztywnego stanowią wierzchołki trójkąta . Możemy wyznaczyć taki punkt D że punkty A, B, C, D będą tworzyć czworokąt. Dane są : położenia trzech wierzchołków , długości krawędzi AD, BD, CD. Położenia punktów A, B, C możemy określić za pomocą współrzędnych tych punktów w prostokątnym układzie współrzędnych O_xyz . Współrzędne te, które oznaczamy przez x_A, y_A, z_A, x_B, y_B, z_B, x_C, y_C, z_C muszą pełnić następujące związki wynikające z warunków ze wzajemnej odległości rozważanych punktów ciała sztywnego. Są stałe niezależnie od położenia tego ciała w przestrzeni:

( x_A- x_B)²+ (y_A-y_B)²+(z_A-z_B)²=r²_AB

( x_A- x_C)²+ (y_A-y_C)²+(z_A-z_C)²=r²_AC

( x_B- x_C)²+ (y_B-y_C)²+(z_B-z_C)²=r²_BC

Gdzie: r_AB, r_AC, r_BC oznaczają odległości odcinków AB, AC , BC.

Ponieważ dziewięć współrzędnych określających położenie punktów A, B, C spełniać musi trzy równania- tylko sześć tych współrzędnych można przyjąć dowolnie, a pozostałe trzy należy wyznaczyć z powyższych równań. Stąd wynika, że dla określenia położenia w przestrzeni swobodnego ciała sztywnego potrzeba sześć niezależnych parametrów.

1. Co to są stopnie swobody ciała sztywnego?

Stopnie swobody ciała sztywnego, to niezależne parametry konieczne do określenia chwilowego położenia ciała w przestrzeni.(patrz pyt.70).

1. Ile stopni swobody ma poruszające się bez ograniczeń ciało sztywne?

Ciało sztywne poruszające się bez ograniczeń ma 6 stopni swobody.(patrz pyt.70)

1. Jaki ruch ciała sztywnego nazywamy postępowym?

1. Jaki związek istnieje miedzy torami, prędkościami i przyspieszeniami punktów ciała sztywnego poruszającego się ruchem postępowym?

Tory po jakim poruszają się punkty są takimi samymi krzywymi przesuniętymi jedynie równolegle względem siebie.

Prędkości wszystkich punktów tego ciała są sobie równe. Tę wspólną prędkość nazywamy prędkością ruchu postępowego.

Przyśpieszenia wszystkich punktów ciała sztywnego poruszającego się ruchem postępowym są sobie równe. Tę wspólną wartość przyśpieszenia nazywamy przyśpieszeniem ruchu postępowego.

1. Ile stopni swobody ma ciało sztywne poruszające się ruchem postępowym?

Ciało poruszające się ruchem postępowym nie ma stopni swobody.

1. Zdefiniować ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi.

Ruch obrotowy bryły sztywnej ma miejsce ,gdy istnieje jedna prosta związana z bryłą, której punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku.

1. Jakie są tory punktów ciała sztywnego w ruchu obrotowym?

Torami punktów ciała są koła położone w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu i środkach leżących na tej osi. Promieniami są odległości punktów ciała od osi obrotu.

1. Co to jest prędkość kątowa i przyśpieszenie kątowe ciała sztywnego w ruchu obrotowym?

Prędkość kątowa - pochodna kąta obrotu tego ciała względem czasu.

ω=dφ/ dt

Przyśpieszenie kątowe - pierwsze pochodna prędkości kątowej ω względem czasu, albo drugiej pochodnej kąta obrotu.

ε=dω/dt=d²φ/dt²

1. Jaki jest związek między prędkością kątową ciała sztywnego, a prędkością liniową dowolnego punktu tego ciała w ruchu obrotowym?

V=ds/dt=r* dφ/ dt= r* ω

1. Jaka jest zależność między przyśpieszeniem liniowym punktu ciała sztywnego, a prędkością kątową i przyśpieszeniem kątowym tego ciała w ruchu obrotowym?

Przyśpieszenie liniowe: $a = \frac{\overset{\rightarrow}{\text{dv}}}{\text{dt}} = \frac{d^{2}\overset{\rightarrow}{r}}{dt^{2}}$

$$a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{t}^{2}}$$

Przyśpieszenie i prędkość kątowa:

$\varepsilon = \frac{\text{dω}}{\text{dt}} = \frac{d^{2}\varphi}{\text{dt}}$ $\omega = \frac{\text{dφ}}{\text{dt}}$ $\overset{\rightarrow}{v} = \overset{\rightarrow}{\omega} \times \overset{\rightarrow}{r}\ $

Zależność: $\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{r}\sqrt{\mathbf{\varepsilon}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\omega}^{\mathbf{4}}}$

RUCH PŁASKI CIAŁA SZTYWNEGO.

1. Wyprowadzić wzór na prędkość punktu ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim.

Prędkość dowolnego punktu B figury płaskiej, poruszającej się w swej płaszczyźnie , równa jest sumie geometrycznej prędkości dowolnie obranego punktu A tej figury , zwanego biegunem, oraz prędkości punktu B względem bieguna A, czyli prędkości punktu B w ruchu obrotowym figury wokół bieguna. Prędkość kątowa tego ruchu obrotowego nie zależy przy tym od wyboru bieguna A.

Aby obliczyć tą prędkość wykorzystamy wzór:

Gdy początek układu ruchomego przyjmiemy w punkcie A, a wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy jako AB=r_AB to na podstawie powyższego wzoru prędkość punktu B bryły możemy wyznaczyć:

Zatem:

Ze względu na to ,że wektor prędkości punktu B względem A jest prostopadły do r_AB moduł obliczamy ze wzoru:

1. Wyprowadzić wzór na przyspieszenie punktu ciała sztywnego w ruchu płaskim.

Skorzystamy ze wzoru:

Ze względu na to , że ωr΄=0 powyższy wzór uprości się do:

Na podstawie tego wzoru przyśpieszenie punktu B możemy zapisać następująco:

albo

Przyśpieszenie a_BA jest spowodowane chwilowym obrotem bryły wokół bieguna:

Z powyższego wzoru wynika, że przyśpieszenie to możemy rozłożyć na składowe:

gdzie:

Moduły tych przyśpieszeń są następujące:

Przyśpieszenie punktu B można ostatecznie zapisać:

1. Omówić metody wyznaczania prędkości punktów ciała sztywnego w ruchu płaskim.

1. Prędkość dowolnego punktu B figury płaskiej, poruszającej się w swej płaszczyźnie , równa jest sumie geometrycznej prędkości dowolnie obranego punktu A tej figury , zwanego biegunem, oraz prędkości punktu B względem bieguna A, czyli prędkości punktu B w ruchu obrotowym figury wokół bieguna. Prędkość kątowa tego ruchu obrotowego nie zależy przy tym od wyboru bieguna A.

Aby obliczyć tą prędkość wykorzystamy wzór:

Gdy początek układu ruchomego przyjmiemy w punkcie A, a wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy jako AB=r_AB to na podstawie powyższego wzoru prędkość punktu B bryły możemy wyznaczyć:

Zatem:

Ze względu na to ,że wektor prędkości punktu B względem A jest prostopadły do r_AB moduł obliczamy ze wzoru:

1. Kolejna metoda to wyznaczenie prędkości gdy mamy dany chwilowy środek obrotu. Możemy wtedy obliczyć prędkość dowolnego punktu M bryły. Jeżeli biegun redukcji przyjmiemy w chwilowym środku obrotu C , a nie w dowolnym punkcie O’, to prędkość dowolnego punktu M bryły można wyrazić wzorem:

V=V_C+ ω×CM

Ponieważ z założenia prędkość punktu C jest równa zeru więc prędkość punktu M będzie opisana wzorem:

V= ω×CM

Z otrzymanego wzoru wynika , że prędkość dowolnego punktu M bryły jest prostopadła do prostej łączącej punkt M z chwilowym środkiem obrotu C. ponadto wektory ω i CM są prostopadłe więc moduł prędkości:

V= ωCM

1. Co to jest chwilowy środek obrotu i jak go znajdujemy?

Jeżeli figura płaska porusza się w swej płaszczyźnie, to z każdego położenia w inne położenie daje się przesunąć przez obrót dokoła punktu leżącego w tej płaszczyźnie, zwanego środkiem obrotu skończonego (przesunięcie równolegle można uważać za obrót punktu leżącego w nieskończoności).

Rys.19.2

Jeżeli figura płaska w chwili t₀ zajmuje położenie I, a w chwili t₁ położenie II (rys. 19.2) to można wyznaczyć środek skończonego obrotu. Jeżeli bierzemy coraz bliższe położenie, tak że t₁ t_o , to dla każdego z tych położeń można wyznaczyć środek skończonego obrotu. Dla coraz bliższych położeń, położenie środka skończonego obrotu zmierza do pewnego położenia granicznego. Graniczne położenie środka skończonego obrotu, gdy t₁ t₀ , nazywamy chwilowym środkiem obrotu w chwili t₀.

WYZNACZANIE: Znane są kierunki prędkości dwóch punktów A i B płaskiej figury. Chwilowy środek obrotu znajdujemy na przecięciu się prostych prostopadłych, poprowadzonych z punktów A i B, do kierunków prędkości  tych punktów (rys 19.4).

1. Omówić metody wyznaczania przyspieszeń punktów ciała sztywnego w ruchu płaskim.

Przyspieszenie dowolnego punktu figury płaskiej poruszającej się w swojej płaszczyźnie równe jest sumie geometrycznej przyspieszenia dowolnie obranego bieguna A oraz przyspieszenia punktu B względem bieguna A (tj. przyspieszenia punktu B w ruchu obrotowym figury wokół bieguna).

p_B=p_A+ε×r_AB+ω×(ω×r_AB)

wiec:          p_B=p_A+p_B/A

Aby otrzymać przyspieszenie dowolnego punktu figury płaskiej leżącego na prostej AB, należy do przyspieszenia bieguna A dodać geometrycznie wektor przedstawiający przyspieszenie tego punktu względem bieguna. Ponieważ to ostatnie przyspieszenie jest proporcjonalne do odległości punktu od bieguna oraz nachylone jest do prostej AB pod kątem, który nie zależy od wspomnianej odległości, to dla otrzymania przyspieszenia dowolnego punktu tej prostej (np. pkt D), należy wykonać konstrukcję geometryczną pokazaną na zamieszczonym i zajebiście wykonanym obrazku powyżej.

1. Co to jest chwilowy środek przyspieszeń ciała poruszającego się ruchem płaskim?

Wyznaczony wyżej punkt S, którego przyspieszenie jest równe zeru, nosi nazwę środka przyspieszeń. Z wyjątkiem przypadku ruchu obrotowego wokół nieruchomego punkt, środkiem przyspieszeń w każdej chwili jest inny punkt figury płaskiej. Środek ten zmienia więc w czasie ruchu swe położenie zarówno względem poruszającej się figury, jak i względem nieruchomego układu odniesienia.

1. Jaka jest różnica między chwilowym środkiem przyspieszeń a chwilowym środkiem obrotu?

Punkt C jest chwilowym środkiem obrotu wokół środka chwilowego. Należy tu wyjaśnić, że punkt figury płaskiej, który w danej chwili jest środkiem chwilowym, w innej chwili tym środkiem już nie jest i ma wtedy prędkość różną od zera. Położenie środka chwilowego zmienia się bowiem zarówno względem poruszającej się figury płaskiej, jak i względem nieruchomego układu współrzędnych O_xy obranego w płaszczyźnie, w której ta figura porusza się. Dlatego, też określiliśmy ruch, z którym mamy tu do czynienia, jako chwilowy ruch obrotowy, gdyż obrót wokół środka chwilowego trwa nieskończenie krótko.

DYNAMIKA

PODSTAWOWE POJĘCIA I OKREŚLENIA DYNAMIKI.

1. Co jest przedmiotem dynamiki?

Dynamika jest to dział mechaniki obejmujący badanie ruchu ciał wywołanego działaniem sił.

1. Jaka jest zależność między masą ciała, a jego ciężarem?

Dla ciał umieszczonych w pobliżu powierzchni Ziemi ciężar (liczbowo) jest ok. 10 razy większy od ich mas =>1 kg masy = ok. 10N. Ciężar (siła ciężkości) wyrażany jest w niutonach, natomiast masa wyrażana jest w kilogramach.

1. Omówić pierwsze, drugie i trzecie prawo Newtona.

Pierwsze prawo Newtona:

Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego jednostajnego, jeżeli siły przyłożone nie zmuszą ciała do zmiany tego stanu.

Lub: Istnieje układ odniesienia, w którym ciało nie podlegające oddziaływaniom zewnętrznym spoczywa lub porusza się po prostej ze stałą prędkością.

Drugie prawo Newtona:

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

m d²r/dt² = F(r,`v,t)

lub: Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do działającej siły wypadkowej.

Trzecie prawo Newtona:

Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).

Lub: Jeśli ciało A działa na ciało B siłą F (akcja), to ciało B działa na ciało A siłą (reakcja) o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.

1. Które prawo dynamiki Newtona jest najbardziej ogólne i częściej stosowane od innych?

Trzecia zasada dynamiki

DYNAMIKA PUNKTU.

1. Co to są różniczkowe równania ruchu punktu materialnego?

Rozpatrujemy poruszający się punkt materialny:

mp_x=P_x

P_x – miara siły P, a p_x – miara przyspieszenia p względem osi O_x

$$v_{x} = \dot{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }p_{x} = \dot{v_{x}} = \ddot{x}$$

Na podstawie powyższych wzorów otrzymujemy:

$$m\ddot{x} = P_{x}(t,\ x,\ \dot{x})$$

Powyższe równanie nosi nazwę równania różniczkowego ruchu prostoliniowego punktu materialnego.

1. Omówić pierwsze zadanie dynamiki.

Pierwsze zadanie dynamiki – dana jest masa i równania ruchu punktu materialnego, należy wyznaczyć siły działające na ten punkt.

1. Na czym polega rozwiązanie drugiego zadania dynamiki?

Drugie zadanie dynamiki – Dana jest masa i siły działające na punkt materialny, należy wyznaczyć równania ruchu tego punktu.

1. W jaki sposób wyznaczamy stałe całkowania w równaniach ruchu punktu?

$$m\ddot{x} = P_{x}(t,\ x,\ \dot{x})$$

Powyższe równanie nosi nazwę równania różniczkowego ruchu prostoliniowego punktu materialnego.

Ponieważ równanie to jest rzędu drugiego, zatem jego rozwiązanie ogólne określające zmienną x jako pewną funkcję czasu t, zależy od dwóch stałych dowolnych, które oznaczymy przez C₁ i C₂. Rozwiązanie to ma iwęc następującą postać:

x = x(t,  C₁,  C₂)

Aby ruch punktu materialnego był całkowicie określony, tzn. abyśmy mogli w każdej chwili określić położenie tego punktu należy wyznaczyć jeszcze stałe C₁ i C₂.Znajdujemy je z tzw. warunków początkowych, które podają położenie i prędkość badanego punktu w pewnej określonej chwili np. w chwili t=0. Jeżeli przez x₀ oznaczymy odciętą, a przez v₀ – miarę prędkości punktu w chwili t=0, to rozwiązanie powyższego równania spełniać musi dwa warunki:

$${(x)}_{t = 0} = x_{0}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(\dot{x)}}_{t = 0} = v_{0}$$

Z których wyznaczyć można stałe C₁ i C₂.

1. Omówić równania różniczkowe ruchu dla nieswobodnego punktu materialnego.

Równania różniczkowe ruchu dla nieswobodnego punktu materialnego:

*Ogólne: $m\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = P_{\tau} + R_{\tau}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\frac{v^{2}}{\rho} = P_{v} + R_{v}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 = P_{\beta} + R_{\beta}$

*Gdy linia

ruchu jest $m\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = P_{\tau}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\frac{v^{2}}{\rho} = P_{v} + R_{v}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 = P_{\beta} + R_{\beta}$

idealnie gładka:

*Gdy torem

jest łuk koła o $m\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = P_{\tau} + R_{\tau}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\frac{v^{2}}{r} = P_{v} + R_{v}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 = P_{\beta} + R_{\beta}$

promieniu r:

ZASADY RUCHU DLA PUNKTU MATERIALNEGO.

1. Co to jest pęd punktu materialnego?

Pędem, czyli ilością ruchu punktu materialnego nazywamy iloczyn masy punktu i prędkości.

Jest to wektor, który ma kierunek i zwrot taki, jak wektor prędkości.

1. Omówić zasadę zachowania pędu.

Zasada zachowania pędu:

W odosobnionym układzie ciał całkowity pęd układu pozostaje stały.

Przez układ odosobniony, zwany też układem zamkniętym, rozumiemy zespół ciał, pomiędzy którymi działają tylko siły wewnętrzne, czyli siły akcji i reakcji, o których mówi III zasada dynamiki, która mówi, że każdemu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie zwrócone przeciwdziałanie. Zasada zachowania pędu obowiązuje na przykład przy zderzeniach sprężystych i niesprężystych.

• Zderzenia doskonale sprężyste – w ich wyniku ciała nie odkształcają się wzajemnie, a ich energia mechaniczna przed zderzeniem i po zderzeniu pozostaje stała.

• Zderzenia doskonale niesprężyste – w ich wyniku ciała odkształcają się, a część energii mechanicznej zmienia się w chwili zderzenia w energię wewnętrzną. W tym rodzaju zdarzeń nie jest spełniona zasada zachowania energii mechanicznej.

Szczególnym przypadkiem zderzeń są zderzenia centralne, czyli takie, w których wektory prędkości zderzających się ciał leżą, zarówno przed zderzeniem, jak i po zderzeniu, na jednej prostej.

1. Co to jest kręt punktu materialnego względem punktu (bieguna)?

Momentem pędu (kręt) punktu materialnego względem bieguna jest iloczyn wektorowy promienia

wodzącego punktu względem bieguna i pędu:

1. Kiedy przyrost krętu względem bieguna równa się zeru?

Kręt punktu materialnego względem bieguna jest wielkością stałą, jeśli moment sił działających na punkt materialny względem tego bieguna jest równy 0.

1. Omówić zasadę zachowania momentu Pędu (krętu).

Moment pędu (kręt) układu punktów materialnych – suma wektorowa krętów wszystkich punktów układu względem bieguna.

Pochodna krętu układu punktów po czasie równa jest wypadkowemu momentowi sił względem bieguna.

Zasada zachowania momentu pędu:

Kręt układu punktów materialnych pozostaje niezmienny, jeżeli wypadkowy moment sił względem bieguna jest równy zero.

1. Co to jest energia kinetyczna punktu materialnego?

Energia kinetyczna punktu materialnego jest to połowa iloczynu masy punktu materialnego i kwadratu prędkości tegoż punktu.

1. Podać i objaśnić zasadę równoważności energii kinetycznej i pracy.

Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

Z lewej strony równania występuje przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w czasie od t₀ do t, a z prawej strony praca, która wykonuje wypadkowa wszystkich sił działających na rozpatrywany punkt materialny w tym samym czasie.

PODTSAWY TEORII DRGAŃ UKŁADÓW MECHANICZNYCH.

1. Jakie jest równanie różniczkowe drgań swobodnych nietłumionych?

gdzie:

1. Omówić rozwiązanie równania różniczkowego drgań swobodnych nietłumionych.

Przyjmujemy że rozwiązaniem powyższego równania może być tylko funkcja harmoniczna, tu sinus lub cosinus.

Rozwiązanie odpowiada sytuacji, w której pomiar czasu został rozpoczęty w chwili maksymalnego oddalenia od położenia równowagi.

odpowiada sytuacji, gdy pomiar czasu został rozpoczęty, gdy ciało przechodziło przez położenie równowagi.

Rozwiązania ogólne:

C₁, C₂ – stałe całkowania

Gdzie jest fazą początkową, czyli kątem opisującym wychylenie z położenia równowagi dla chwili początkowej czyli t=0.

1. Od czego zależy częstość drgań swobodnych nietłumionych ?

Zależy ona od stałej elastycznej k, masy ciała drgającego, a więc i od okresu drgań.

[Hz]

1. Jak wyznaczamy amplitudę i fazę początkową drgań swobodnych nietłumionych?

Wyznaczamy stałe całkowania z warunków początkowych:

1. Jakie jest równanie różniczkowe drgań wymuszonych nietłumionych?

2. Podać sposób rozwiązania równania różniczkowego drgań wymuszonych nietłumionych.

Warunki początkowe

1. Omówić zjawisko rezonansu w przypadku drgań wymuszonych nietłumionych.

Rezonans – częstość siły wymuszającej ω i częstość własna ω₀ są równe

Współczynniki wzmocnienia:

μ₁=A₁/λ_st=(ω/ω₀)/(1-ω²/ω²₀)

μ₂=A₂/λ_st=(1)/(1-ω²/ω²₀)

1. Jakie jest równanie różniczkowe drgań swobodnych tłumionych?

$$m\ddot{x} = - \text{kx} - c\dot{x}$$

S=kx - siła proporcjonalna do wychylenia

R - siła oporu, której wartość jest proporcjonalna do pierwszej potęgi prędkości

Po oznaczeniu przez c współczynnika oporu wiskotycznego otrzymamy $R = \ - c\dot{x}$

Po wprowadzeniu ω₀²= k/m , 2n= c/m otrzymamy:

$$\ddot{X}\ + \ 2m\dot{x} + \ \omega_{0}2x = \ 0$$

1. Jaki jest wpływ tłumienia na okres drgań?

Wraz ze wzrostem tłumienia, częstość kołowa drgań maleje, czyli okres drgań wydłuża się.

1. Co to są drgania wymuszone z tłumieniem?

Jeżeli poza siła ciężkości i siłą sprężystą na punkt materialny działa okresowo zmienna w czasie siła wymuszająca, to powstają Ce wtedy drgania nazywamy wymuszonymi.

Przy drganiach wymuszonych tłumionych oprócz reakcji w sprężynach S=-kx i siły oporu R=-cx’ na punkt materialny działa również siła wymuszająca P=P₀sinωt.

1. Jakie jest równanie różniczkowe drgań wymuszonych tłumionych?

$$\ddot{x}\ + \ 2n\dot{x\ } + \ \omega_{0}2x = \ \text{qsinωt}\ $$

gdzie:

ω₀= k/m n= C/2m q= P₀/m

1. W jaki sposób rozwiązujemy równanie różniczkowe drgań wymuszonych tłumionych?

Rozwiązanie równania (wzór powyżej – pkt 114.) ma postać:

x= x₁ + x₂

gdzie

x₁= r₀e^-ntcos(ut+φ₀)

x₂=Asin(ωt-δ)

DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH.

1. Na czym polega zasada ruchu środka masy?

Środkiem masy układu punktów materialnych nazwiemy taki punkt C, którego promień – wektor rc poprowadzony z poprzednio obranego bieguna 0 określony jest za pomocą następującego równania:

$$\mathbf{r}_{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{i = n}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{i}}}}{\sum_{i = 1}^{i = n}\mathbf{m}_{\mathbf{i}}}$$

ZASADA RUCHU ŚRODKA MASY:

Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak, jakby w tym punkcie była skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne.

$$m\mathbf{p}_{c} = \sum_{i = 1}^{i = n}\mathbf{P}_{i}$$

Zgodnie z tym twierdzeniem siły wewnętrzne układu nie mają wpływu na ruch jego środka masy. W szczególnym więc przypadku, gdy na układ nie działają siły zewnętrzne, środek masy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej albo pozostaje w spoczynku. Z powyższego twierdzenia wynika też, że żadna istota żywa nie może działaniem samych tylko sił wewnętrznych wywołać ruchu swego środka masy.

1. Co nazywamy pędem układu punktów materialnych?

Oznaczając pęd układu punktów materialnych symbolem Q, mamy:

$$\mathbf{Q}\mathbf{=}\sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}(\sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}\mathbf{v}_{i}) = \sum_{i = 1}^{i = n}\mathbf{P}_{i}}$$

Z otrzymanego równania wynika następujące twierdzenie dotyczące pędu układu punktów materialnych:

Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych równa jest sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na punkty tego układu.

1. Omówić zasadę zachowania pędu dla układu punktów materialnych.

Gdy na punkty materialne należące do rozpatrywanego układu nie działają żadne siły zewnętrzne, czyli gdy mamy do czynienia z tzw. układem izolowanym, wówczas $\sum_{i = 1}^{i = n}{P_{i} = 0}$ i na podstawie wzoru na pęd (ramka powyżej) otrzymujemy:

$$\frac{d\mathbf{Q}}{\text{dt}} = 0$$

Stąd wynika: Q=Q₀ , gdzie Q₀ oznacza pęd w chwili początkowej.

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:

Pęd izolowanego układu punktów materialnych jest wielkością stałą.

Ponadto:

$$\mathbf{Q} = \sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}\mathbf{v}_{i}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( m\mathbf{r}_{c} \right) = m\mathbf{v}_{c}$$

gdzie: v_c = dr_c/dt jest prędkością środka masy C.

Pęd układu punktów materialnych równy jest iloczynowi masy całkowitej układu i prędkości jego środka masy.

1. Co to jest moment pędu (kręt) układu punktów materialnych względem bieguna?

Krętem układu punktów materialnych względem bieguna nazywamy sumę geometryczną momentów pędu wszystkich punktów materialnych należących do rozpatrywanego układu i oznaczamy:

$$\mathbf{K}_{0} = \sum_{i = 1}^{i = n}{\mathbf{r}_{i} \times m_{i}\mathbf{v}_{i}}$$

1. Omówić zasadę zachowania momentu pędu (krętu) dla układu punktów materialnych.

ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU:

W przypadku gdy momenty wszystkich sił zewnętrznych układu punktów materialnych względem pewnego nieruchomego bieguna 0 są równe zeru, wówczas kręt układu względem tego bieguna nie ulega zmianie.

$$\frac{d\mathbf{K}_{\mathbf{0}}}{\text{dt}} = 0$$

czyli: K₀ = const.

Oznacza to, że kręt względem bieguna 0 jest w tym przypadku wektorem stałym.

1. Omówić zasadę d’Alemberta.

ZASADA d’ALEMBERTA:

W czasie ruchu dowolnego układu punktów materialnych siły rzeczywiste działające na punkty tego układu równoważą się w każdej chwili z odpowiednimi siłami bezwładności.

Zgodnie z wygłoszoną wyżej zasadą siły rzeczywiste działające na punkty materialne rozpatrywanego układu oraz pomyślane siły, które nazwaliśmy siłami bezwładności, muszą spełniać ustalone w statyce ogólne równania równowagi. Tak więc suma geometryczna wszystkich sił rzeczywistych i wszystkich sił bezwładności musi być równa zeru oraz suma geometryczna ich momentów względem dowolnie obranego bieguna 0 musi także znikać. Wynikją stąd:

WEKTOROWE RÓWNANIA RÓWNOWAGI:

$$- m\mathbf{p}_{c} + \sum_{i = 1}^{i = n}\mathbf{P}_{\mathbf{i}} = 0$$

$$\sum_{i = 1}^{i = n}\mathbf{r}_{\mathbf{i}} \times \left( - m_{i}\mathbf{p}_{i} \right) + \sum_{i = 1}^{i = n}\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{P}_{i} = 0$$

SKALARNE RÓWNANIA RÓWNOWAGI:

$- mp_{\text{Cx}} + \sum_{i = 1}^{i = n}{P_{\text{ix}} = 0}$, $- mp_{\text{Cy}} + \sum_{i = 1}^{i = n}{P_{\text{iy}} = 0}$, $mp_{\text{Cz}} + \sum_{i = 1}^{i = n}{P_{\text{iz}} = 0}$,

$- \sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}\left( p_{\text{iz}}y_{i} - p_{\text{iy}}z_{i} \right) + \sum_{i = 1}^{i = n}{\left( P_{\text{iz}}y_{i} - P_{\text{iy}}z_{i} \right) = 0}}$,

$- \sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}\left( p_{\text{ix}}z_{i} - p_{\text{iz}}x_{i} \right) + \sum_{i = 1}^{i = n}{\left( P_{\text{ix}}z_{i} - P_{\text{iz}}x_{i} \right) = 0}}$,

$- \sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}\left( p_{\text{iy}}x_{i} - p_{\text{ix}}y_{i} \right) + \sum_{i = 1}^{i = n}{\left( P_{\text{iy}}x_{i} - P_{\text{ix}}y_{i} \right) = 0}}$,

gdzie: xi,yi,zi oznaczają tu współrzędne punktu o masie mi.

1. Co to jest energia kinetyczna układu punktów materialnych?

Energią kinetyczną T układu punktów materialnych nazywamy sumę energii kinetycznych wszystkich jego punktów. Zgodnie z powyższym dla układu złożonego z n punktów materialnych mamy:

$$\mathbf{T} = \sum_{i = 1}^{i = n}\frac{m_{i}\mathbf{v}_{i}^{2}}{2}$$

1. Podać i objaśnić zasadę równoważności energii kinetycznej i pracy dla układu punktów materialnych.

TWIERDZENIE:

Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły zewnętrzne i wszystkie siły wewnętrzne działające na rozpatrywany układ.

T = T − T₀ = L + L′

gdzie:

$\mathbf{T} = \sum_{i = 1}^{i = n}\frac{m_{i}\mathbf{v}_{i}^{2}}{2}$, $\mathbf{T}_{\mathbf{o}} = \sum_{i = 1}^{i = n}\frac{m_{i}\mathbf{v}_{i0}^{2}}{2}$

oraz:

$L = \sum_{i = 1}^{i = n}{L_{i} = \sum_{i = 1}^{i = n}{\int_{A_{i0}A_{i}}^{}{P_{i}\cos \propto_{i}\text{ds}_{i}}}}$, $L' = \sum_{i = 1}^{i = n}{{L'}_{i} = \sum_{i = 1}^{i = n}{\int_{A_{i0}A_{i}}^{}{{P'}_{i}\cos{\propto '}_{i}\text{ds}_{i}}}}$,

Gdzie: P′_i - praca sił wewnętrznych układu

1. Omówić zasadę zachowania energii mechanicznej dla układu punktów materialnych.

Energia mechaniczna układu – suma energii kinetycznej i energii potencjalnej układu.

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ:

Gdy na układ punktów materialnych działają siły zachowawcze, wówczas suma energii kinetycznej i energii potencjalnej tego układu jest wielkością stałą.

T + V + V^′ = T₀ + V₀ + V′₀

Z powyższego równania wynika, że suma energii kinetycznej T, energii potencjalnej sił zewnętrznych V i energii potencjalnej sił wewnętrznych V’ jest w danym przypadku wielkością stałą.

1. Co to jest energia potencjalna sił wewnętrznych?

Energia potencjalna to energia zmagazynowana przez ciało do użycia w przyszłości. Podaje się ją raczej w postaci względnej zmiany (poziom „zera” wyznaczamy arbitralnie) a konkretna jej postać zależy od typu siły, z którą jest związana.

Jeżeli ciało znajduje się pod działaniem pewnej siły F, to zmianę jego energii potencjalnej ΔU obliczamy jako pracę, którą trzeba wykonać, aby przesunąć to ciało w obecności tej siły:

PRACA, MOC I ENERGIA KINETYCZNA.

1. Co to jest praca elementarna siły?

Pracą elementarną siły P na przesunięciu elementarnym ds., równym przyrostowi promienia wodzącego dr, nazywamy iloczyn skalarny siły P i przemieszczenia dr:

dL= Pdr

lub korzystając z definicji iloczynu skalarnego

dL= Pdrcosα = (Pcosα)dr.

1. Jak obliczamy pracę stałej siły na prostoliniowym skończonym przesunięciu? Podać jednostkę pracy.

Pracą siły stałej na prostoliniowym przesunięciu punktu przyłożenia tej siły nazywamy iloczyn wartości bezwzględnej przesunięcia i miary rzutu siły na kierunek tego przesunięcia.

Ponieważ miara rzutu siły P na kierunek przesunięcia s równa się P cosα , gdzie α jest kątem między siłą a przesunięciem, przeto oznaczając pracę siły przez L mamy

L= Ps cosα.

Jednostką pracy jest Dżul. 1 J równy jest pracy siły równej 1 N na przesunięciu 1m, w przypadku gdy przesunięcie odbywa się w kierunku działania siły.

1. Jak obliczamy pracę siły na przesunięciu krzywoliniowym?

Załóżmy, że punkt przyłożenia zmiennej co do wartości i kierunku siły przemieszcza się po krzywoliniowym torze od punktu A do B (rys.24.2). Chcąc obliczyć pracę siły  na tym przesunięciu, dzieli się to przemieszczenie na elementarne części i oblicza się pracę siły na każdej elementarnej części, tak jak pracę stałej siły oraz wyznacza się granicę elementarnych prac przy zdążaniu liczby elementarnych części do ∞ a długości każdej elementarnej części do zera. Elementarna praca sił na odcinku MM wynosi:

Elementarną pracę oznaczono symbolem , a nie symbolem dL , gdyż w ogólnym przypadku nie jest  r óżniczką funkcji.

1. Jak wyznaczamy pracę siły ciężkości?

Obliczamy pracę siły ciężkości działającej na punkt M, na przemieszczeniu AB, przyjmując, że wartość i
kierunek siły są stałe (rys.24.5). Pracę elementarną można wyrazić wzorem:

Rzuty siły   na osie O_x, O_y, O_z są równe:
P_x = 0,  P_y = 0  P_z = -G,

a zatem:    

Sumując prace elementarne i przechodząc do granicy, otrzymujemy:

gdzie   

  Jeżeli   to  L>0,  dla   L<0,  czyli

Z powyższego wynika, że praca siły ciężkości nie zależy od trajektorii, po której przemieszcza się punkt jej położenia, lecz zależy od odległości między poziomymi płaszczyznami przechodzącymi przez początkowe i końcowe położenie punktu.

1. Jak wyznaczamy pracę siły sprężystej?

Rozpatrzmy sprężynę AD, której koniec A jest zamocowany nieruchomo (rys.24.6). Przy rozciąganiu sprężyny powstaje w niej siła sprężystości, a na ciało wywołujące rozciąganie działa siła reakcji sprężyny . Wartość tej siły jest równa

P = kAB

gdzie k jest stałą sprężystości sprężyny. Rzuty siły  na osie O_x, O_y, O_z są równe:

A zatem praca elementarna wynosi:

Praca siły sprężystości na przesunięciu AC = h  jest równa

Na (rys.24.6) pokazano wykres zmiany siły  w zależności od przemieszczenia końca sprężyny x.

1. Jak wyznaczamy pracę siły centralnej?

Siła centralnej – siła P, której linia działania, niezależnie od położenia punktu przyłożenia A tej siły, przechodzi stale przez pewien nieruchomy punkt O. Wspomniany punkt O to tzw. środek sił.

Pracę siły centralnej obliczamy ze wzoru:

L = −∫_r1^r₂P(r)dr

Z równania tego wynika że praca siły centralnej P zależy tylko od położenia początkowego i położenia końcowego punktu przyłożenia tej siły, a więc nie zależy od toru, po którym poruszał się ten punkt przechodząc z jednego położenia w drugie.

1. W jaki sposób obliczamy pracę sił zewnętrznych przyłożonych do ciała sztywnego w ruchach postępowym i obrotowym?

Praca elementarna sił działających na ciało sztywne pozostające w ruchu obrotowym dookoła nieruchomej osi jest równa iloczynom sumy momentów tych sił względem osi obrotu i elementarnego kąta obrotu. Jeżeli przy obrocie ciała wartość kąta obrotu zmienia się od ₁ do ₂, to praca całkowita będzie równa:

W przypadku, gdy suma momentów wszystkich sił względem jego osi obrotu jest stała, to jest M_z = const. mamy:

Ruch postępowy:

1. Ile wynosi praca sił wewnętrznych działających na ciało sztywne?

Praca sił wewnętrznych działających na ciało sztywne:

1. Co to jest moc siły i jaka jest jej jednostka?

Moc siły jest to: Zmiana pracy siły odniesiona do jednostki czasu [1W].

1. Jak obliczamy moc momentu w ruchu obrotowym ciała sztywnego?

Wzór na moc w ruchu obrotowym:

1. Co to jest energia kinetyczna układu punktów materialnych?

Energia kinetyczna punktów materialnych to suma energii kinetycznych wszystkich punktów tego układu: T=Σⁱ⁼ⁿ_i=1(m_iv²_i)/2

1. Jak obliczamy energię kinetyczną ciała sztywnego w ruchach: postępowym, obrotowym, płaskim ?

RUCH POSTĘPOWY:

gdzie

RUCH OBROTOWY:

RUCH PŁASKI: