Opisać koncepcje oporów w wymianie ciepła i masy.

Opór (np. przewodzenia, przejmowania, przenikania) służą do opisu transportu ciepła i/lub masy. Opory w wymianie ciepła/masy stosuje się analogicznie jak w elektrotechnice czy mechanice płynów, tzn. można je do siebie dodawać równolegle i szeregowo.

Definicja analogiczna do prawa Ohma:

$$\{ strumien\ przeplywajacy\ przez\ powierzchnie\ A_{n}\} = \{\frac{sila\ napedowa}{opor}\ \}\ $$

$$Q_{n} = \ \frac{\text{Δπ}_{i}}{R_{i}}$$

Gdzie: Δπ_i− uogólniona siła napędowa

$$R_{i} = \ \frac{1}{\kappa A_{i}}$$

Gdzie: κ− uogólniony współczynnik (przewodzenia, przejmowania, przenikania itp.)

Opór jest wielkością dyskretną.

Ważne czynniki wpływające na dodawanie oporów:

• Liniowa zależność między strumieniami a siłą napędową

• Zagadnienie równowagi termodynamicznej

Brak liniowej zależności występuje przy:

• Konwekcji swobodnej i kondensacji gdzie Q ∼ ΔT^0, 25

• Wrzeniu pęcherzykowym gdzie Q ∼ ΔT^2, 5

• Wrzeniu błotnym gdzie Q ∼ ΔT⁻²

• Promieniowaniu cieplnym gdzie Q ∼ ΔT⁴

W procesie wymiany ciepła T₁ = T₂ wyznaczenie oporu wypadkowego związanego z całkowitą różnicą temperatur, można interpretować, jako eliminowanie pośrednich temperatur wprowadzonych do różnic temperatur występujących w oporach składowych.

W wymianie ciepła. Przenikanie ciepła przez ściankę materialną z układu 1 do układu 2

1. Przejmowanie ciepła z układu 1 do ścianki

Strumień: Q = α₁A₁(T₁−T_1i); opór przejmowania: $\frac{1}{\alpha_{1}A_{1}}$

1. Przewodzenie ciepła przez ściankę

Strumień: $Q = \frac{\lambda}{\delta}A_{3}\left( T_{1i} - T_{2i} \right)$; opór przewodzenia:$\ \frac{\delta}{\lambda A_{3}}$

1. Przejmowanie ciepła od ścianki do układu 2

Strumień: Q = α₂A₂(T_2i−T₂); opór przejmowania:$\ \frac{1}{\alpha_{2}A_{2}}$

1. Przenikanie ciepła od układu 1 do układu 2

Strumień: Q = kA₁(T₁−T₂)

Opór przenikania (wypadkowy): $\frac{1}{kA_{1}} = \frac{1}{\alpha_{1}A_{1}} + \frac{\delta}{\lambda A_{3}} + \frac{1}{\alpha_{2}A_{2}}$

W najprostszym przypadku wymiany masy, gdy równowaga zadana jest zależnością liniową C₁ = mC₂ takie dodawanie nie jest możliwe i wówczas reguły dodawania oporów komplikują się. Przyjmuje się wówczas inną siłę napędową np. C₁ − C₁^*, a nie C₁ − C₂ i dla tej siły napędowej można wyznaczyć opór wypadkowy, którego wartość zależy nie tylko od oporów składowych, ale i od wartości m.

W wymianie masy. Przykład Przenikanie składnika gazowego z fazy gazowej przez lustro cieczy do fazy ciekłej – absorpcja gazu przez ciecz

• Opór przejmowania od strony gazu

$\frac{1}{k_{y}A}$; siła napędowa y  − y_i

• Opór przejmowania od strony cieczy:

$\frac{1}{k_{x}A}$; siła napędowa x_i − x

• Opór wypadkowy od strony gazu:

$$\frac{1}{K_{y}A} = \frac{1}{k_{y}A} + \frac{\text{my}}{k_{y}A}$$

• Opór wypadkowy od strony cieczy:

$$\frac{1}{K_{x}A} = \frac{1}{k_{x}A} = \frac{1}{\text{my}k_{y}A}$$

Równowaga absorpcyjna/destylacyjna, – jakich procesów dotyczy, podać zależności.

Równowaga absorpcyjna (układ ciecz-gaz)

Występuje, gdy temperatura krytyczna przynajmniej jednego składnika (gazu) jest niższa niż temperatura krytyczna układu.

STAŁA RÓWNOWAGI

$$K = \frac{\left\{ stezenie\ skladnika\ A\ w\ fazie\ gazowej \right\}}{\left\{ stezenie\ skladnika\ A\ w\ fazie\ cieklej \right\}}$$

Równowaga destylacyjna (układ ciecz-para)

Występuje, gdy temperatura krytyczna układu jest niższa od temperatur krytycznych wszystkich składników. (Np. woda-etanol)

IZOTERMY RÓWNOWAGI

$$y_{i} = \frac{p_{i}}{P};\ K_{i} = \frac{y_{i}}{x_{i}}$$

Scharakteryzować dyfuzje równo molową/jednokierunkową, podać zależności

Dyfuzja Równo molowa

Częsty przypadek: N_Az = −N_Bz.

Tak, więc równanie podstawowe dyfuzji upraszcza się do postaci:$\ N_{\text{Az}} = - \text{CD}_{\text{AB}}\left( \frac{dy_{A}}{\text{dz}} \right)\ $

Np. dyfuzja gazu przez warstwę ośrodka równoległymi płaszczyznami z₁ i z₂

Całkując równanie dla N_Az = const – proces ustalony;

D_AB i C = const – ośrodek izotermiczny i nieściśliwy;

ostatecznie otrzymujemy: $N_{\text{Az}} = \left\lbrack \frac{CD_{\text{AB}}}{z_{2} - z_{1}} \right\rbrack\left( y_{A1} - y_{A2} \right)$

Dyfuzja jednokierunkowa (jednego składnika przez drugi inertny)

Ten przypadek np. pochłanianie (absorpcja) NH₃ lub CO₂ z gazu obojętnego (powietrze), odparowanie cieczy do gazu nieruchomego itp.

Dla tego przypadku: N_Bz = 0.

Tak, więc równanie podstawowe dyfuzji upraszcza się do postaci: $N_{\text{Az}} = - \text{CD}_{\text{AB}}\left( \frac{dy_{A}}{\text{dz}} \right) + y_{A}N_{\text{Az}}$, ostatecznie: $\ N_{\text{Az}} = \frac{\left\lbrack - \text{CD}_{\text{AB}}/\left( 1 - y_{A} \right) \right\rbrack}{\frac{dy_{A}}{\text{dz}}}$

Model penetracyjny lub warstewkowy

Model warstewkowy

Założenia:

• Koncepcja laminarnej warstwy zastępczej o grubości „δ” (w zasadzie nieruchomej) przy powierzchni międzyfazowej

• Przenoszenie masy w tej warstwie odbywa się tylko w wyniku ustalonej 1-wymiarowej dyfuzji molekularnej

• Elementy płynu położone poza warstwą są doskonale wymieszane na skutek ruchów konwekcyjnych

To oznacza, że dyfuzyjny opór warstwy zastępczej o grubości δ jest równoważny oporowi rzeczywistego wnikania masy przez dyfuzję, konwekcję i przenoszenie turbulentne.

Równanie dyfuzji ma postać: $D_{\text{AB}} = \frac{\partial^{2}c_{A}}{\partial^{2}z^{2}}$; warunki brzegowe: dla z = 0 c_A = c_Ai; dla dla z = δ c_A = c_A0.

Rozkład stężeń: $c_{A} = c_{\text{Ai}} - \frac{\frac{z}{\delta}}{\left( c_{\text{Ai}} - c_{A0} \right)}$.

Strumień: $N_{\text{Az}} = - D_{\text{AB}}\left( \frac{\partial c_{A}}{\partial z} \right) = \frac{\left( \frac{D_{\text{AB}}}{\delta} \right)}{\left( c_{\text{Ai}} - c_{A0} \right)}$;

Ponieważ N_Az = k_c(c_Ai−c_A0) to ostatecznie dla dyfuzji równo molowej: $k_{c} = \frac{D_{\text{AB}}}{\delta}$.

Współczynnik wnikania dla innych stężeń i dyfuzji równo molowej: $k_{y} = \frac{\text{CD}_{\text{AB}}}{\delta}$, $k_{p} = \frac{D_{\text{AB}}}{\text{RTδ}}$. Współczynnik wnikania dla dyfuzji jednokierunkowej: $k_{c} = \frac{D_{\text{AB}}}{\delta c_{\text{Bm}}}$, $k_{y} = \frac{\text{CD}_{\text{AB}}}{\delta y_{\text{Bm}}}$, $k_{p} = \frac{PD_{\text{AB}}}{\text{RTδ}p_{\text{Bm}}}$

Modele penetracyjne

Założenia:

• •Wewnątrz płynu wiry nie są tłumione przy powierzchni międzyfazowej lecz dochodzą do tej powierzchni, powodując jej ciągłe odnawianie

• •Powierzchnia płynu stanowi mozaikę elementów o różnym „wieku”

Stąd średnia wartość gęstości strumienia masy wyniesie:

N = ∫₀^∞Φ(t)N_t(t)dt gdzie: Φ(t)− funkcja rozkładu wieku elementów powierzchni,

N_t(t)− chwilowy strumień masy w odniesieniu do elementu o wieku t.

Zakładamy, że wnikanie masy do poszczególnych elementów płynu wyniesionych na powierzchnię przebiega tak samo, jak wnikanie do środowiska nieruchomego o nieskończonej głębokości, co wynika z dużych rozmiarów elementu w stosunku do zasięgu penetracji składnika

Penetracyjny model wnikania masy

Równanie dyfuzji nieustalonej ma postać: $\frac{\text{dc}}{\text{dt}} = D_{\text{AB}}\frac{\partial^{2}c_{A}}{\partial z^{2}}$,

Warunki graniczne:

dla t = 0 z > 0 c_A = c_A0,

dla t > 0 z = 0 c_A = c_Ai,

dla t > 0 z → ∞ c_A = c_A0.

Znajdujemy chwilowy strumień masy: $N_{t}\left( t \right) = - D_{\text{AB}}\left( \frac{\partial c_{A}}{\partial z} \right)_{z = 0} = \left( c_{\text{Ai}} - c_{A0} \right)\sqrt{\frac{D_{\text{AB}}}{\text{πt}}}$.

Postać wyrażenia na średni strumień masy zależeć będzie od przyjętej postaci funkcji rozkładu wieku elementów powierzchni Φ(t).

Model penetracyjny Higbiego: „czas życia” wszystkich elementów powierzchni jest jednakowy i wynosi τ, tj. po upływie czasu τ każdy element zostaje odnowiony,

Stąd:

$\Phi\left( t \right) = \frac{1}{\tau} = const$ dla 0 ≤ t ≤ τ;

Φ(t) = 0 dla t < 0 i t > τ

Wówczas $N = \frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}{\Phi\left( t \right)N_{t}\left( t \right)\text{dt}} = 2\left( c_{\text{Ai}} - c_{A0} \right)\sqrt{\frac{D_{\text{AB}}}{\text{πt}}}$

Model penetracyjny Danckwersta: prawdopodobieństwo odnowienia elementu powierzchni nie zależy od „wieku” tego elementu, co prowadzi do wniosku, że:

Φ(t) = sexp(−st) dla t ≥ τ,

Φ(t) = 0 dla t < 0,  

gdzie: s –szybkość odnawiania powierzchni, tj. ułamek powierzchni odnowiony w jednostce czasu, wówczas: $N = \int_{0}^{\tau}{\left( c_{\text{Ai}} - c_{A0} \right)se^{- st}\text{dt}} = \left( c_{\text{Ai}} - c_{A0} \right)\sqrt{D_{\text{AB}}s}$, pamiętając, że średni strumień można zapisać w postaci ogólnej, jako: N = k_c(c_Ai−c_A0). Stwierdzamy, że wg wszystkich modeli: k_c = f(D_AB,  charakterystyki hydrodynamicznej tj. δ, τ, s) ponieważ wielkości δ,  τ,  s w większości przypadków można wyznaczyć jedynie na podstawie pomiarów k_c, to praktycznie jest obojętne którego modelu użyje się do opisu konkretnego układu. W praktyce zwykle używa się modelu warstewkowego.

• wg teorii warstewkowej: k_c ∼ D_AB

• wg teorii penetracyjnej: $k_{c} \sim \sqrt{D_{\text{AB}}}$

• w rzeczywistości wykładnik n przybiera wartości: k_c ∼ (D_AB)ⁿ 0, 5 < n < 1

W korelacjach doświadczalnych wartość n wynosi najczęściej n = 0, 67 (n=2/3), co świadczy, że rzeczywisty mechanizm wnikania nie odpowiada w pełni założeniom dwóch skrajnych modeli. Dla wzrastającej burzliwości, jednak n → 0, 5.

Prawo Raoult'a i drugie na Prawo Henry'ego

Prawo Raoult’a – określa skład pary nasyconej nad cieczą o znanym składzie. Dla idealnej mieszaniny wieloskładnikowej substancji ciekłych ciśnienie cząstkowe składnika „i” jest dane, jako:

p_i = y_i * P;    p_i = x_i * P_i

p_i− ciśnienie cząstkowe

P_i− ciśnienie pary nasyconej czystej substancji ciekłej „i”

P− ciśnienie całkowite fazy gazowej równe sumie ciśnień cząstkowych p_i.

Prawo Raoult’a stosuje się wyłącznie do roztworów rozcieńczonych. Pozwala na określenie pary nasyconej P mieszaniny o określonym składzie:

$$P = \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}*P_{i}}$$

Zgodnie z prawem Raoult’a faza gazowe będzie zawsze bogatsza od fazy ciekłej w składniki łatwiej lotne.

Odchylenia:, jeśli ciśnienie pary nasyconej jest wyższe niż przewidywane przez prawo Raoult’a mówi się o dodatnim odchyleniu, jeżeli jest niższe to mówi się o ujemnym odchyleniu.

Prawo Henry'ego – ułamek molowy x_i składnika gazowego rozpuszczonego w cieczy (i niewchodzącego w reakcje z cieczą) jest wprost proporcjonalny do ciśnienia cząstkowego p_i tego składnika nad roztworem:

p_i = x_i * H_c − g

H_c − g−Stała Henry’ego wyrażająca podatność gazu do rozpuszczania się w cieczy zależy od temperatury.

Rozpuszczanie gazu w cieczy może być traktowane, jako pochłanianie objętościowe, czyli absorpcja.

Jest to przybliżona zależność eksperymentalna o charakterze izotermy, która jednak powinna być spełniona dla niewielkich ciśnień dowolnego układu gaz-ciecz. Równanie to zawodzi, gdy mechanizm niektórych procesów związanych z rozpuszczaniem (np. dysocjacja elektrolityczna, asocjacja cząsteczek) prowadzi do nieliniowości.

Podobny charakter ma izoterma adsorpcji Henry'ego stosowana do opisu adsorpcji w fazie gazowej i ciekłej.

Współczynnik dyfuzji. Charakterystyka, jak zależy od ciśnienia i temperatury. Co jest gdy są więcej niż 2 składniki.

Dyfuzja – przenoszenie molekularna składnika. Szybkość molekularnego przenoszenia masy (doskonały roztwór 2-składnikowy) opisuje I prawo Ficka: $J_{\text{Az}} = - D_{\text{AB}}\left( \frac{dc_{A}}{\text{dz}} \right)$.

J_Az− strumień molowy składnika A w kierunku osi z [kmol/(m2/s)]

D_AB− współczynnik dyfuzji (dyfuzyjność) skł. A wzgl. B [m2/s]

c_A− koncentracja molowa skł. A [kmol/m3] dla układu dwu składnikowego D_AB = D_BA

Współczynnik dyfuzji (dyfuzyjność) – wielkość charakteryzująca dyfuzję, pojawia się w prawach Ficka, zależy od temperatury i ciśnienia. Współczynnik równy jest liczbowo ilości składnika dyfundującego przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu, przy jednostkowym gradiencie stężeń.

• dla gazów A i B można obliczyć (np. wzór Gillianda lub Othmer)

• w pozostałych przypadkach – dobrać z tablic

Zależność od temperatury i ciśnienia:

DT1/ DT2= (T1/ T2)1,5

DP1/ DP2= (P2/ P1)

Dyfuzja jednego gazu przez mieszaninę gazów (wzór Wilke’go): DA(B,C,..,N)= (1 –yi) / Σ(yi/DAi)

Rodzaje granic rozdziału w wymiennikach i ich właściwości

11. Równanie podstawowe dyfuzji

Gęstość strumienia składnika względem miejscowego układu współrzędnych (dla układu 2-składnikowego):

$$N_{\text{Az}} = - \text{CD}_{\text{AB}}\left( \frac{dy_{A}}{\text{dz}} \right) + y_{A}\left( N_{\text{Az}} + N_{\text{Bz}} \right)$$

$$\begin{Bmatrix} gestosc \\ \text{strumienia} \\ skladnika \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} czlon\ dyfuzyjny \\ wynikajacy\ z \\ roznicy\ stezen \\ \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} \text{przemieszczanie} \\ skladnika\ na\ skutek \\ przeplywu\ mieszaniny \\ \end{Bmatrix}$$

Analogiczny związek można zapisać dla składnika B.

Porównując oba związki dla warunku C = constans oraz uwzględniając y_a + y_b = 1 to $- D_{\text{AB}}\left( \frac{dy_{A}}{\text{dz}} \right) = D_{\text{BA}}\left( \frac{dy_{B}}{\text{dz}} \right)$ ,czyli J_Az = −J_Bz

a następnie $- D_{\text{AB}}\left( \frac{dy_{A}}{\text{dz}} \right) = - D_{\text{BA}}\left( \frac{dy_{B}}{\text{dz}} \right)$

skąd wynika istotny związek dla układu 2 składnikowego D_AB = D_BA

12. Koncentracja

Parametr intensywny określający ilość składnika w układzie

{stężenie składnika j-ego w układzie} =$\text{\ \ }\frac{ilosc\ substancji\ skladnika\ j - ego\ w\ ukladzie}{ilosc\ substancji\ w\ ukladzie}$