Temat

Temat 17: Niektóre szczególne przypadki ruchu punktu

17.1. Sposoby klasyfikacji ruchu punktu
W temacie tym przedstawiona jest klasyfikacja ruchu punktu oraz pewne przypadki ruchu punktu,
w szczególnoŚci przypadki ruchu prostoliniowego, a z ruchów krzywoliniowych - ruch po okręgu.

Ruch punktu można sklasyfikować ze względu na;
1) geometrię toru,
2) sposób poruszania się punktu po torze.
Klasyfikacja ruchu punktu ze względu na geometrię toru:
    a) ruch prostoliniowy,
    b) ruch krzywoliniowy.
Klasyfikacja ruchu punktu ze względu na sposób poruszania się punktu po torze:
    a) ruch jednostajny,
    b) ruch jednostajnie zmienny,
    c) ruch zmienny,
    d) ruch okresowy.
17.2 Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny.

Ruch punktu jednostajny może być prostoliniowy, jeżeli , oraz krzywoliniowy, jeżeli , przy czym wartoŚć przyspieszenia normalnego wynosi: .
        Dla ruchu jednostajnego prostoliniowego i krzywoliniowego jest:

czyli .
        Całkując powyższe równanie w przedziale odpowiadającym punktom Mo i M, przy założeniu, że
OMo = so   (rys.17.1), otrzymujemy:

skąd    s - so = vt.
Równanie to można zapisać w postaci:    s = so + vt.
Z powyższego równania wynika, że droga jest liniową funkcją czsu.
        Zatem,jeżeli droga jest liniową funkcją czasu to ruch punktu jest ruchem jednostajnym.
17.3 Ruch jednostajnie zmienny
        Jeżeli to ruch punktu jednostajnie zmienny jest prostoliniowy (rys.17.2),

przy czym jeżeli i ma zwrot (czyli zwroty i pokrywają się - rys.17.2) ruch jest jednostajnie przyspieszony, a jeżeli i ma zwrot przeciwny do (czyli zwroty i nie pokrywają się), ruch jest jednostajnie opóźniony.

Jeżeli to ruch punktu jednostajnie zmienny jest krzywoliniowy (rys.17.3).

Całkowita wartoŚć przyspieszenia wynosi: .
Jeżeli w chwili początkowej to = 0, prędkoŚć początkowa wynosi , a początkowa współrzędna drogowa OMo = s o (rys.17.4), to dla obu przypadków ruchu możemy napisać równanie:

Całkując to równanie w przedziale odpowiadające punktom Mo i M otrzymujemy:

stąd v - vo = at t.
Powyższe równanie możemy zapisać w postaci: v = vo + at t.

Z równania powyższego wynika, że droga jest liniową funkcją czasu.

Ponieważ:

więc ds = vo dt + at t dt.
Całkując to równanie w przedziale odpowiadające punktom Mo i M otrzymujemy:
czyli

Jest to równanie ruchu jednostajnie zmiennego.
Ruch jest jednostajnie przyspieszony, jeżeli at>0 i jednostajnie opóźniony gdy at<0.

17.4 Ruch krzywoliniowy.
Ruch punktu po okręgu koła .
Jednym z ruchów krzywoliniowych jest ruch po okręgu koła. Z technicznego punktu widzenia jest bardzo ważnym ruchem.
Rozpatrzmy zatem ruch punktu M po okręgu koła o promieniu r i Środku O (rys.17.5).

Oznaczamy zwrot na kole i punkt początkowy Mo. Przez f oznaczamy kąt w radianach między promieniami OMo i OM liczony zgodnie z obranym zwrotem.
drogę punktu M obliczamy ze wzoru:
s = rf.
    Różniczkując powyższy wzór względem czasu otrzymyjemy:
.
     Pierwszą pochodną względem czasu nazywamy wartoŚcią prędkoŚći kątowej i oznaczamy symbolem w.
Drugą pochodną nazywamy wartoŚcią przyspieszenia kątowego i oznaczamy symbolem e.
v = rw i   at = re,
ponieważ:     więc .
WartoŚć przyspieszenia całkowitego obliczamy ze wzoru :
        Jednostką prędkoŚci kątowej jest 1/s , a przyspieszenia kątowego .
Jeżeli w praktycznych obliczeniach technicznych zastosowano prędkoŚć obrotową n obr/min, to prędkoŚć kątową w obliczamy ze wzoru: .
Ruch punktu po okręgu koła może być jednostajny, jednostajnie zmienny lub zmienny.
    Zastępująć drogę s kątem f, prędkoŚć v, prędkoŚcią kątową w, a so kątem fo, to w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, równanie ruchu można zapisać w postaci:
f = fo + wt.
W podobny sposób można napisać wyrażenie okreŚlające wartoŚć prędkoŚci kątowej oraz równanie ruchu jednostajnie zmiennego po okręgu koła:
, .