Część zadaniowa

Zadanie 1. (4p) Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y jeśli Y = exp(X).

Zadanie 2. (4p) Dobrać tak stałą A i B by funkcja określona wzorem

była dystrybuantą zmiennej losowej X, a następnie wyznaczyć jej gęstość prawdopodobieństwa.

Zadanie 3. (4p) Na rys.1, gdzie z₁, z₂, z₃, oznaczają żarówki, dany jest schemat fragmentu sieci elektrycznej. Prawdopodobieństwo nieprzepalenia się w czasie t godzin jest dla wszystkich żarówek jednakowe i wynosi p. Zakładając, że żarówki przepalają się niezależnie od siebie, obliczyć prawdopodobieństwo ciągłego przepływu prądu w czasie t.

Zadanie 4. (4p) Na linii łączności nadaje się dwa rodzaje sygnałów w postaci kodowych kombinacji 111 albo 000 z prawdopodobieństwami (a priori) odpowiednio równymi 0.5 i 0.5. Sygnały podlegają losowym zakłóceniom, w rezultacie czego symbol 1 może być odebrany jako 0 z prawdopodobieństwem 0.1, i z takim samym prawdopodobieństwem symbol 0 może być odebrany jako 1. Zakładamy, że symbole 1 i 0 ulegają zakłóceniom niezależnie jeden od drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwa: a) odebrania na wyjściu sygnału 000, b) na wyjściu odebrano sygnał 101, jakie jest prawdopodobieństwo, że został on nadany jako sygnał 000.

Zadanie 5. (4p) Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

Wyznaczyć stałą C, oraz obliczyć dystrybuantę oraz

Część teoretyczna

Pytanie 1 Jak znając gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej można obliczyć jej

dystrybuantę? (3pt)

Pytanie 2. Podaj definicję warunkowej gęstości prawdopodobieństwa. (4pt)

Pytanie 3. Podaj twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym. (3pt)