Nazwisko
0
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 13, 10.01.2012, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 25. (5 punktów) Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego
∞ n! · 2 n · x 3 n X
.
3 n
n=1 nn ·
n
Rozwiązanie:
Stosujemy kryterium d’Alemberta:
3 n
( n + 1)! · 2 n+1 · x 3 n+3
nn ·
( n + 1) · 2 · |x| 3
n
·
=
=
( n+1) n+1
( n + 1) n+1 · 3 n+3
n! · 2 n · x 3 n
· (3 n+3) ·(3 n+2) ·(3 n+1) n+1
nn
( n+1) ·(2 n+2) ·(2 n+1) 2 · |x| 3 · ( n + 1) · (2 n + 2) · (2 n + 1) 2 · |x| 3 · ( n + 1) · 2 · (2 n + 1) 8 · |x| 3
=
=
→
( n+1) n
n
· (3 n + 3) · (3 n + 2) · (3 n + 1) 1 + 1
· 3 · (3 n + 2) · (3 n + 1) e · 27
nn
n
przy n → ∞.
Zatem dany w zadaniu szereg potęgowy jest zbieżny, jeżeli 8 · |x| 3 < 1 , e · 27
czyli
√
3 3 e
|x| <
,
2
a rozbieżny, jeżeli
8 · |x| 3 > 1 , e · 27
czyli
√
3 3 e
|x| >
.
2
√
3 3 e
Odpowiedź: Dany w zadaniu szereg potęgowy ma promień zbieżności
.
2
Zadanie 26. (9 punktów) W każdym z czterech poniższych zadań udziel sześciu odpowiedzi TAK/NIE.
W każdym z zadań za udzielenie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0 , n − 4) punktów.
Za udzielenie 24 poprawnych odpowiedzi otrzymasz 9 punktów.
Za całe zadanie 26 nie można uzyskać dokładnie 8 punktów.
∞
26.1 Czy szereg X nk jest zbieżny, jeżeli n=1
a) k = − 3 / 2 TAK
b) k = 3 / 2 NIE
c) k = − 1 NIE
d) k = 1 NIE
e) k = − 1 / 2 NIE
f ) k = 1 / 2 NIE
∞
26.2 Czy szereg X nk jest zbieżny, jeżeli k=1
a) n = − 3 / 2 NIE
b) n = 3 / 2 NIE
c) n = − 1 NIE
d) n = 1 NIE
e) n = − 1 / 2 TAK
f ) n = 1 / 2 TAK
∞
26.3 Czy szereg X kn jest zbieżny, jeżeli n=1
a) k = − 3 / 2 NIE
b) k = 3 / 2 NIE
c) k = − 1 NIE
d) k = 1 NIE
e) k = − 1 / 2 TAK
f ) k = 1 / 2 TAK
∞
26.4 Czy szereg X( − 1) n · nk jest zbieżny, jeżeli n=1
a) k = − 3 / 2 TAK
b) k = 3 / 2 NIE
c) k = − 1 TAK
d) k = 1 NIE
e) k = − 1 / 2 TAK
f ) k = 1 / 2 NIE