23 24 Σ

Nazwisko

0

Imię

Indeks

ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr

12

,

3.01.2012

, godz. 10.15-11.00

Wykład: J. Wróblewski

PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW

Zadanie

23.

(5 punktów)

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność

|f (x) − f (y)| ¬ |x − y| ,

gdzie f (x) =

√

x

2

+ 37.

Rozwiązanie:

Przekształcamy lewą stronę dowodzonej nierówności:

|f (x) − f (y)| =






√

x

2

+ 37 −

q

y

2

+ 37






=






√

x

2

+ 37 −

q

y

2

+ 37






·

√

x

2

+ 37 +

√

y

2

+ 37

√

x

2

+ 37 +

√

y

2

+ 37

=

=

|x

2

− y

2

|

√

x

2

+ 37 +

√

y

2

+ 37

= |x − y| ·

|x + y|

√

x

2

+ 37 +

√

y

2

+ 37

.

Dowód danej w treści zadania nierówności będzie zakończony, jeśli wykażemy nierów-

ność

|x + y|

√

x

2

+ 37 +

√

y

2

+ 37

¬ 1 ,

która jest równoważna nierówności

|x + y| ¬

√

x

2

+ 37 +

q

y

2

+ 37 .

Powyższą nierówność dowodzimy korzystając z nierówności trójkąta i wykorzystując

równość |x| =

√

x

2

:

|x + y| ¬ |x| + |y| =

√

x

2

+

q

y

2

<

√

x

2

+ 37 +

q

y

2

+ 37 .

Zadanie

24.

(7 punktów)

W każdym z poniższych 16 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N:
Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny)
R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)
N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem

rozbieżny)

Za udzielenie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0, n − 10) punktów.
Siódmy punkt za komplet poprawnych odpowiedzi.

Wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny, szereg

∞

X

n=1

b

n

jest rozbieżny, ciąg (c

n

) jest

zbieżny, ciąg (d

n

) jest rozbieżny. Co można wywnioskować o zbieżności

a) ciągu (a

n

) Z

b) szeregu

∞

X

n=1

c

n

N

c) ciągu (b

n

) N

d) szeregu

∞

X

n=1

d

n

R

e) ciągu (a

n

+ b

n

) N

f ) szeregu

∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

) R

g) ciągu (c

n

+ d

n

) R

h) szeregu

∞

X

n=1

(c

n

+ d

n

) R

i) ciągu (a

n

+ c

n

) Z

j) szeregu

∞

X

n=1

(a

n

+ c

n

) N

k) ciągu (a

n

+ d

n

) R

l) szeregu

∞

X

n=1

(a

n

+ d

n

) R

m) ciągu (b

n

+ c

n

) N

n) szeregu

∞

X

n=1

(b

n

+ c

n

) N

o) ciągu (b

n

+ d

n

) N

p) szeregu

∞

X

n=1

(b

n

+ d

n

) N