Nazwisko
0
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 9, 11.12.2012, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 17. (7 punktów) W każdym z dziewięciu poniższych zadań podaj wartość granicy funkcji (liczba rze-czywista) lub granicy niewłaściwej (+ ∞ lub −∞).
Wpisz literkę R, jeśli nie istnieje granica ani granica niewłaściwa.
Za udzielenie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0 , n − 2) punktów.
√
3 x − 4
17.1
lim
= 1 / 48
x→ 64 x − 64
x − 64
17.2
lim √
= 16
x→ 64
x − 8
√
3 x − 4
17.3
lim √
= 1 / 3
x→ 64
x − 8
17.4
lim 221 /x = + ∞
x→ 0+
17.5
lim 221 /x = 1
x→ 0 −
17.6
lim 221 /x = 2
x→+ ∞
17.7
lim 2221 /x = + ∞
x→ 0+
17.8
lim 2221 /x = 2
x→ 0 −
17.9
lim 2221 /x = 4
x→+ ∞
Zadanie 18. (5 punktów) Rozstrzygnąć zbieżność szeregu
∞ (3 n)! · an X
n! · n 2 n n=1
w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego a. Dla jednej wartości a można nie udzielić odpowiedzi.
Rozwiązanie:
Stosując kryterium d’Alemberta otrzymujemy (3 n + 3)! · an+1
n! · n 2 n (3 n + 1) · (3 n + 2) · (3 n + 3) · a 27 a
·
=
→
,
( n + 1)! · ( n + 1)2 n+2 (3 n)! · an
2 n
1 + 1
· ( n + 1)3
e 2
n
skąd wynika, że szereg jest zbieżny, gdy 27 a
e 2
< 1 , czyli
a <
e 2
27
oraz rozbieżny, gdy 27 a
e 2
> 1 , czyli
a >
.
e 2
27