Nazwisko
0
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 12, 3.01.2012, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 23. (5 punktów) Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność
|f ( x) − f ( y) | ¬ |x − y| ,
√
gdzie f ( x) =
x 2 + 37.
Rozwiązanie:
Przekształcamy lewą stronę dowodzonej nierówności:
√
√
√
√
q
q
x 2 + 37 +
y 2 + 37
|f ( x) − f ( y) | =
√
x 2 + 37 −
y 2 + 37 = x 2 + 37 −
y 2 + 37 ·
√
=
x 2 + 37 +
y 2 + 37
|x 2 − y 2 |
|x + y|
= √
√
= |x − y| · √
√
.
x 2 + 37 +
y 2 + 37
x 2 + 37 +
y 2 + 37
Dowód danej w treści zadania nierówności będzie zakończony, jeśli wykażemy nierów-ność
|x + y|
√
√
¬ 1 ,
x 2 + 37 +
y 2 + 37
która jest równoważna nierówności
√
q
|x + y| ¬
x 2 + 37 +
y 2 + 37 .
Powyższą nierówność dowodzimy korzystając z nierówności trójkąta i wykorzystując
√
równość |x| =
x 2:
√
√
q
q
|x + y| ¬ |x| + |y| =
x 2 +
y 2 <
x 2 + 37 +
y 2 + 37 .
Zadanie 24. (7 punktów) W każdym z poniższych 16 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N: Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny) N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny)
Za udzielenie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0 , n − 10) punktów.
Siódmy punkt za komplet poprawnych odpowiedzi.
∞
∞
Wiadomo, że szereg X a
X
n jest zbieżny, szereg bn jest rozbieżny, ciąg ( cn) jest n=1
n=1
zbieżny, ciąg ( dn) jest rozbieżny. Co można wywnioskować o zbieżności
∞
a) ciągu ( a
X
n) Z
b) szeregu
cn N
n=1
∞
c) ciągu ( b
X
n) N
d) szeregu
dn R
n=1
∞
e) ciągu ( a
X
n + bn) N
f ) szeregu
( an + bn) R
n=1
∞
g) ciągu ( c
X
n + dn) R
h) szeregu
( cn + dn) R
n=1
∞
i) ciągu ( a
X
n + cn) Z
j) szeregu
( an + cn) N
n=1
∞
k) ciągu ( a
X
n + dn) R
l) szeregu
( an + dn) R
n=1
∞
m) ciągu ( b
X
n + cn) N
n) szeregu
( bn + cn) N
n=1
∞
o) ciągu ( b
X
n + dn) N
p) szeregu
( bn + dn) N
n=1