PARAMETRY MATERIAŁOWE:

- Beton C50/60:

f_ck=50 MPa

f_cm=f_ck+8=50+8=58 MPa

f_ctm=0,3*$\sqrt[3]{f_{\text{ck}}^{2}} =$0,3*$\sqrt[3]{50_{}^{2}} = 4,07\ MPa$

E_cm=37 MPa

f_cd=$\frac{f_{\text{ck}}}{\gamma_{c}} = \frac{50}{1,5} = 33,33\ MPa$

- Stal sprężająca:

Sploty ⌀=7,8 mm

a_p=35,6 mm²

Odmiana II:

f_pk=1740 MPa

f_pd=$\frac{f_{\text{pk}}*0,9}{\gamma_{p}} = \frac{1740*0,9}{1,25} = 1252,8\ MPa$

E_p=190 MPa

1. DOBÓR GEOMETRII PRZEKROJU BELKI SPRĘŻONEJ:

-wysokość przekroju:

0,04*l ≤ h ≤ 0,06*l

0,04*9,8 ≤ h ≤ 0,06*9,8

0,39 ≤ h ≤ 0,59

Przyjęto h=55 cm

-grubość środnika:

0,1*h ≤b_w ≤ 0,12*h

0,1*55 ≤b_w ≤ 0,12*55

5,5 ≤b_w ≤ 6,6

Przyjęto b_w=6 cm

-wysokość półki górnej:

0,1*h≤h_f’≤0,15*h

0,1*55≤h_f’≤0,15*55

5,5≤ h_f’≤ 8,25

Przyjęto h_f’=8 cm

-szerokość półki górnej:

0,4*h≤b_f’≤0,8*h

0,4*55≤b_f’≤0,8*55

22 ≤b_f’≤44

Przyjęto b_f’=30 cm

-wysokość półki dolnej:

0,12*h≤h_f≤0,2*h

0,12*55≤h_f≤0,2*55

6,6 ≤ h_f ≤ 11

Przyjęto hf=10 cm

-szerokość półki dolnej:

0,3*h≤b_f≤0,6*h

0,3*55≤b_f≤0,6*55

16,5≤b_f≤33

Przyjęto b_f=25 cm

-wypadkowa cięgien:

a=0,5*h_f=0,5*10= 5 cm

Parametry przekrojowe:

-Przekrój betonowy:

Pole przekroju:

A_c=b_f*h_f+b_f’*h_f’+(h-h_f-h_f’)*b_w=25*10+8*30+6*(55-10-8)=712 cm²

Moment statyczny:

S_c= b_f*h_f*$\frac{h_{f}}{2}$+b_f’*h_f’*(h-$\frac{{h'}_{f}}{2})$+(h-h_f-h_f’)*b_w*(h_f+$\frac{{h - h_{f} - h'}_{f}}{2})$= 25*10*$\frac{10}{2}$+8*30*(55-$\frac{8}{2})$+(55-8-10)*6*(10+$\frac{{55 - 10 - 8}_{}}{2})$=19817 cm³

Środek przekroju:

v_c=$\frac{S_{c}}{A} = \frac{19817}{712} =$27,83 cm

v_c’=55-27,83=27,17 cm

Moment bezwładności:

I_c=$\frac{{b'}_{f}*{h'}_{f}^{3}}{12}$+b_f’*h_f’*(v_c’-$\frac{{h'}_{f}}{2}$)²+$\ \frac{b_{f}*h_{f}^{3}}{12}$+b_f*h_f*(v_c-$\frac{h_{f}}{2}$)²+$\frac{b_{w}*{({h - h_{f} - h^{'}}_{f})}^{3}}{12}$+(h-h_f-h_f’)*b_w*(v_c’-h_f’-$\frac{{h - h_{f} - h'}_{f}}{2})$²=

=$\frac{30*8_{}^{3}}{12}$+30*8*(27,17-$\frac{8}{2}$)²+$\ \frac{25*10_{}^{3}}{12}$+25*10*(27,83-$\frac{10}{2}$)²+$\frac{6*{({55 - 8 - 10}_{})}^{3}}{12}$+(55-8-10)*6*(27,17-8-$\frac{{55 - 8 - 10}_{}}{2})$²=287941 cm⁴

Wskaźniki wytrzymałości:

W_c=$\frac{I_{c}}{v_{c}} = \frac{287941}{27,83} =$10345 cm³

W’_c=$\frac{I_{c}}{{v'}_{c}} =$ $\frac{287941}{27,17} = 10\ 599$ cm³

1. OBCIĄŻENIA:

- ciężar własny:

g_k=A_c*γ_c=712*10^-4*25=1,78 kN/m

g_d=γ_f*g_k=1,35*1,78=2,4 kN/m

-obciążenie zmienne:

q_d=γ_f*q_k=11,2*1,5=16,8 kN/m

1. MAKSYMALNE MOMENTY ZGINAJĄCE:

-od ciężaru własnego:

Charakterystyczny:

M_gk=0,125*g_k*l_eff²=0,125*1,78*9,8²=21,37 kNm

Obliczeniowy:

M_gd=0,125*g_d*l_eff²=0,125*2,4*9,8²=28,85 kNm

-od obciążenia zmiennego::

Charakterystyczny:

M_qk=0,125*q_k*l_eff²=0,125*11,2*9,8²=134,46 kNm

Obliczeniowy:

M_qd=0,125*q_d*l_eff² =0,125*16,8*9,8²=201,68 kNm

-całkowite momenty zginające:

Charakterystyczne:

M_k=M_gk+M_qk=21,37+134,46=155.82 kNm

Obliczeniowe:

M_d=M_gd+M_qd=28,85+201,68=230,53 kNm

1. SPRAWDZENIE POPRAWNOŚCI WYNIKÓW:

-współczynnik tęgości:

0,18≤β≤0,3

β=$\frac{A_{c}}{h^{2}}$=$\frac{712}{55^{2}}$=0,235 [-]

0,18≤ β=0,235≤0,3 Warunek został spełniony

-wskaźnik wydajności:

0,45≤ρ≤0,55

Ρ=$\frac{W_{c} + {W'}_{c}}{A_{c}*h} = \frac{10345 + 10599}{712*55} = 0,535$ [-]

0,45≤ρ=0,535≤0,55 Warunek został spełniony

1. PARAMETRY SPRĘŻENIA:

Ramię sił wewnętrznych:

z≈0,7*h≈0,7*55=38,5 cm

Potrzebna liczba splotów:

n_p=$\frac{M_{d}}{z*f_{\text{pd}}*a_{p1}} = \frac{230,53}{0,385*1252800*0,00000356} =$13,43

Przyjęto 14 splotów.

Pole wszystkich splotów:

A_p=n_p*a_p1=14*35,6=498,4 mm²

Wymagane pole półki górnej:

A_min≤b’_f*h’_f

A_min=$\frac{f_{\text{pd}}*A_{p}}{f_{\text{cd}}} = \frac{1252800*4,984}{33330} =$187,34 cm²

b’_f*h’_f=30*8=240 cm²

A_min=187,34 cm² ≤b’_f*h’_f =240 cm² Warunek został spełniony

Wymagane pole półki dolnej:

A_min≤b_f*h_f

A_min=50*Ap=50*4,984=249,2 cm²

b_f*h_f=10*25=250 cm²

A_min=249,2 cm² ≤b_f*h_f=250 cm² Warunek został spełniony

Siła sprężająca:

N_p= μ*f_pk*A_p=0,55*1740000*4,984*10^-4=476,97 kN

Przekrój sprowadzony-parametry:

α_p=$\frac{E_{p}}{E_{\text{cm}}} = \frac{190}{37} = 5,14$ [-]

Pole przekroju:

A_cs=A_c+ α_p*A_p=712+5,14*4,984=737,59 cm²

Moment statyczny:

S_cs=S_c+α_p*A_p*a=19817+5,14*4,984*5=19944,97 cm³

Środek ciężkości:

v_sc=$\frac{S_{\text{cs}}}{A_{\text{cs}}}$=$\frac{19944,97}{737,59}$=27,04 cm

v’_sc=h-v_sc=55-27,04=27,96 cm

Moment bezwładności:

I_sc=I_c+A_c*(v_sc’-v_c’)²+α_p*A_p*(v_sc-a)²=287491+712*(27,96-27,17)²+5,14*4,984*(27,04-5)²=300821 cm⁴

Wskaźniki wytrzymałości:

W_sc=$\frac{I_{\text{sc}}}{v_{\text{sc}}} = \frac{300821}{27,04} = 11125$ cm³

W_sc’=$\frac{I_{\text{sc}}}{{v'}_{\text{sc}}} = \frac{300821}{27,96} =$10759 cm³

O_c-O_sc=v_c-v_sc=27,83-27,04=0,79 cm

$$\frac{I_{\text{sc}}}{I_{c}} = \frac{300821}{287491} = 1,04$$

$$\frac{W_{\text{sc}}}{W_{c}} = \frac{11125}{10345} = 1,08\ $$

$$\frac{{W'}_{\text{sc}}}{{W'}_{c}} = \frac{10759}{10599} = 1,02$$

Mimośród:

e_p=v_c-a=27,83-5=22,83 cm

1. OBLICZENIA NAPRĘŻEŃ KRAWĘDZIOWYCH W FAZACH PRACY:

   1. Stan wyjściowy po sprężeniu:

Naprężenia na górnej krawędzi:

σ_g=$\frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{'}}_{c}} = \frac{476,97}{0,0712} - \frac{476,97*0,2283}{0,010599} = -$3576 kPa=-3,6 MPa

Naprężenia na dolnej krawędzi:

σ_d=$\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{}}_{c}} = \frac{476,97}{0,0712} + \frac{476,97*0,2283}{0,010345} = 17226$ kPa=17,2 MPa

1. Ciężar własny:

Naprężenia na górnej krawędzi:

σ_g=$\frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{'}}_{c}}$+$\frac{M_{g}}{{W'}_{\text{cs}}}$=$\frac{476,97}{0,0712} - \frac{476,97*0,2283}{0,010599} + \frac{21,37}{0,010759}$=-1590 kPa=-1,6 MPa

Naprężenia na dolnej krawędzi:

σ_d=$\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{}}_{c}} - \frac{M_{g}}{W_{\text{cs}}} = \frac{476,97}{0,0712} + \frac{476,97*0,2283}{0,010345} - \frac{21,37}{0,011125}$=15305 kPa=15,3 MPa

1. Dekompresja:

σ_d=$\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{W_{c}} - \frac{M_{g} + M_{q}}{W_{\text{cs}}} = 0$

Moment powodujący dekompresję:

M_q,de=($\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{}}_{c}}$)W_cs-M_g=($\frac{476,97}{0,0712} + \frac{476,97*0,2283}{0,010345})$* 0, 011125 − 21, 37=170,27 kNm

M_q,de=170,27 kNm > M_q=134,46 kNm Dekompresja nie wystąpi.

Obciążenia powodujące dekompresję:

q_de=$\frac{8*M_{q,de}}{l^{2}}$=$\frac{8*170,27}{{11,2}^{2}}$=14,18 kN/m

q_de=14,18 kN/m > q_k=11,2 kN

Zadane obciążenie nie przekracza obciążeń powodujących dekompresję.

Całkowite obciążenie powodujące dekompresję:

g+q_de=1,78+14,18=15,96 kN/m

Naprężenia na górnej krawędzi:

σ_g=$\frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{'}}_{c}}$+$\frac{M_{g} + M_{q,de}}{{W'}_{\text{cs}}}$=$\frac{476,97}{0,0712} - \frac{476,97*0,2283}{0,010599} + \frac{21,37 + 170,27}{0,010759}$=14235 kPa=14,2 MPa

Sprawdzenie:

σ_d=$\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{}}_{c}} - \frac{M_{g} + M_{q,de}}{W_{\text{cs}}} = \frac{476,97}{0,0712} + \frac{476,97*0,2283}{0,010345} - \frac{21,37 + 170,27}{0,011125}$=0 kPa

1. Zarysowanie:

Naprężenia na dolnej krawędzi:

σ_d=f_ctm

σ_d=$\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{W_{c}} - \frac{M_{g} + M_{q}}{W_{\text{cs}}} =$-f_ctm

Moment powodujący zarysowanie przekroju:

M_g+M_q=M_CR=($\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{W_{c}} +$fctm)*W_cs=($\frac{476,97}{0,0712} + \frac{476,97*0,2283}{0,010345} + 4070)*\ 0,011125 = 236,962$ kNm

M_q=M_CR-M_g=236,96-21,37=215,56 kNm

Obciążenie powodujące zarysowanie:

q=$\frac{8*M_{q}}{l^{2}}$=$\frac{8*215,56}{{11,2}^{2}}$=17,96 kN/m

g+q=17,96+1,78=19,74 kN/m

Naprężenia na górnej krawędzi:

σ_g=$\frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{'}}_{c}}$+$\frac{M_{g} + M_{q}}{{W'}_{\text{cs}}}$=$\frac{476,97}{0,0712} - \frac{476,97*0,2283}{0,010599} + \frac{21,37 + 170,27}{0,010759}$=18455 kPa=18,5 MPa

1. Obciążenie eksploatacyjne:

Naprężenia na górnej krawędzi:

σ_g=$\frac{N_{p}}{A_{c}} - \frac{N_{p}*e_{p}}{{W^{'}}_{c}}$+$\frac{M_{g} + M_{q}}{{W'}_{\text{cs}}}$=$\frac{476,97}{0,0712} - \frac{476,97*0,2283}{0,010599} + \frac{21,37 + 155,82}{0,010759}$=10907 kPa=10,9 MPa

Naprężenia na dolnej krawędzi:

σ_d=$\frac{N_{p}}{A_{c}} + \frac{N_{p}*e_{p}}{W_{c}} - \frac{M_{g} + M_{q}}{W_{\text{cs}}} = \frac{476,97}{0,0712} + \frac{476,97*0,2283}{0,010345} - \frac{21,37 + 155,82}{0,011125}$=3219 kPa=3,2 MPa

1. OBLICZENIE WZROSTU NAPRĘŻEŃ W CIĘGNACH I SIŁY W CIĘGNACH Z TYTUŁU PRZYROSTU ODKSZTAŁCEŃ W POSZCZEGÓLNYCH FAZACH PRACY:

   1. Faza wyjściowa:

Wyznaczenie naprężeń w betonie na poziomie stali sprężającej - σ_x

$$\frac{{- \sigma}_{g} + \sigma_{d}}{h} = \frac{\sigma_{x} - \sigma_{g}}{h - a}$$

$$\frac{17,2 + 3,6}{55} = \frac{\sigma_{x} + 3,6}{55 - 5}$$

σ_x$= \frac{55 - 5}{55}*$(17,2+3,6)-3.6=15335 kPa=15,3 MPa

Odkształcenia odpowiadające naprężeniom w betonie na poziomie stali sprężającej:

ε_x1=$\frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}}$=$\frac{15,3}{37000}$=0,415 %0

Wydłużenie w cięgnie wypadkowym w momencie przeniesienia naprężeń na beton:

ε_p=0,55*$\frac{f_{\text{pk}}}{E_{p}} =$0,55*$\frac{1740}{190000} =$0,00504=5,04‰

Siła sprężająca:

Np=476,97 kN

1. Stan dekompresji:

$$\frac{\sigma_{g}}{h} = \frac{\sigma_{x}}{a}$$

$$\frac{14,2}{55} = \frac{\sigma_{x}}{5}$$

σ_x$= \frac{14,2*5}{55}$ =1,29 MPa

Odkształcenia odpowiadające naprężeniom w betonie na poziomie stali sprężającej:

ε_x2=$\frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}}$=$\frac{1,29}{37000}$=0,035 %0

Przyrost odkształceń w stali sprężającej:

∆ε_p=ε_x,1-ε_x,2=0,415-0,035=0,3795‰

Przyrost naprężeń w stali sprężającej:

∆σ_p=∆ε_p*E_p=0,3795*10^-3*190000=72,11 MPa

Przyrost siły sprężającej:

∆N_p=∆σ_p*A_p=72,11*10³*4,984*10^-4=35,94 kN

$\frac{N_{p} + {N}_{p}}{N_{p}}$=$\frac{476,97 + 35,94}{476,97} = 1,075$=7,5 %

1. Stadium eksploatacyjne:

$$\frac{\sigma_{g} - \sigma_{d}}{h} = \frac{\sigma_{x} - \sigma_{d}}{a}$$

$$\frac{10,9 - 3,2}{55} = \frac{\sigma_{x} - 3,2}{5}$$

σ_x$= \frac{5}{55}*$(10,9-3,2)+3.2=3,92 MPa

Odkształcenia odpowiadające naprężeniom w betonie na poziomie stali sprężającej:

ε_x3=$\frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}}$=$\frac{3,92}{37000}$=0,106 %0

Przyrost odkształceń w stali sprężającej:

∆ε_p=ε_x,1-ε_x,3=0,415-0,106=0,309 ‰

Przyrost naprężeń w stali sprężającej:

∆σ_p=∆ε_p*E_p=0,309*10^-3*190000=58,63 MPa

Przyrost siły sprężającej:

∆N_p=∆σ_p*A_p=58,63*10³*4,984*10^-4=29,22 kN

$\frac{N_{p} + {N}_{p}}{N_{p}}$=$\frac{476,97 + 29,\ 22}{476,97} = 1,061$=6,1 %

1. Stan zarysowania:

$$\frac{\sigma_{g} - \sigma_{d}}{h} = \frac{\sigma_{x} - \sigma_{d}}{a}$$

$$\frac{18,45 + 4,07}{55} = \frac{\sigma_{x} + 4,07}{5}$$

σ_x$= \frac{5}{55}*$(18,45+4,07)-4,07=-2,03 MPa

Odkształcenia odpowiadające naprężeniom w betonie na poziomie stali sprężającej:

ε_x4=$\frac{\sigma_{x}}{E_{\text{cm}}}$=$\frac{- 2,03}{37000}$=0,055 %0

Przyrost odkształceń w stali sprężającej:

∆ε_p=ε_x,1-ε_x,4=0,415+0,055=0,47 ‰

Przyrost naprężeń w stali sprężającej:

∆σ_p=∆ε_p*E_p=0,47*10^-3*190000=89,14 MPa

Przyrost siły sprężającej:

∆N_p=∆σ_p*A_p=89,14*10³*4,984*10^-4=44,43 kN

$\frac{N_{p} + {N}_{p}}{N_{p}}$=$\frac{476,97 + 44,43}{476,97} = 1,093$=9,3 %

1. OBLICZENIE NAPRĘŻEŃ GŁÓWNYCH NA STYKU PÓŁKI GÓRNEJ I DOLNEJ ZE ŚRODNIKIEM, W ODLEGŁOŚCI H OD PODPORY.

Reakcja podporowa:

R=0,5*(g+q)*l=0,5*(11,2+1,78)*9,8=63,6 kN

Siła w odległości h od podpory:

V(0,55)=R-(g+q)*h=63,6-(11,2+1,78)*0,55=56,46 kN

Moment w odległości h od podpory:

M(0,55)=R*h-0,5*(g+q)*h=63,6*0,55-0,5*(11,2+1,78)*0,55=33,02 kNm

1. Naprężenia główne na styku półki górnej ze środnikiem.

σ_x=$\frac{N_{p}}{A_{c}}$-$\frac{N_{p}*e_{p}}{I_{c}}*$(v_c’-h_f’)+$\frac{M(0,55)}{I_{\text{cs}}}*$(v_sc’-h_f’)=$\ \frac{476,97}{0.0712}$-$\frac{476.97*0,228}{0,00287941}*$(0,272-0,08)+$\frac{33,02}{0,00300821}*$(0,2796-0,08)=1,64 MPa

S_sc^A=b_f’*h_f’*(v_sc’-$\frac{h_{f}^{'}}{2}$)= 30*8*(0,2796-$\frac{8}{2}$)=5750,26 cm³

τ_xy=$\frac{V\left( 0,55 \right)*S_{\text{sc}}^{A}}{Isc*a} = \frac{56,46*0,005750}{0,00300821*0,05}$= 2,16 MPa

Naprężenia główne:

σ_1,2=$\frac{\sigma_{x}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{2} \right)^{2} + \tau_{\text{xy}}^{2}}$

σ₁=$\frac{1,64}{2} + \sqrt{\left( \frac{1,64}{2} \right)^{2} + {2,16}_{}^{2}}$=3,13 MPa

σ₂=$\frac{1,64}{2} - \sqrt{\left( \frac{1,64}{2} \right)^{2} + {2,16}_{}^{2}}$= -1,49 MPa

1. Naprężenia główne na styku półki dolnej ze środnikiem:

σ_x=$\frac{N_{p}}{A_{c}}$-$\frac{N_{p}*e_{p}}{I_{c}}*$(v_c-h_f)+$\frac{M(0,55)}{I_{\text{cs}}}*$(v_sc-h_f)=$\ \frac{476,97}{0.0712}$-$\frac{476.97*0,228}{0,00287941}*$(0,278-0,1)+$\frac{33,02}{0,00300821}*$(0,2704-0,1)=1,84 MPa

S_sc^A=b_f*h_f*(v_sc-$\frac{h_{f}^{'}}{2}$)= 25*10*(0,2704-$\frac{10}{2}$)=5510,15 cm³

τ_xy=$\frac{V\left( 0,55 \right)*S_{\text{sc}}^{A}}{Isc*a} = \frac{56,46*0,005510}{0,00300821*0,05}$= 2,07 MPa

Naprężenia główne:

σ_1,2=$\frac{\sigma_{x}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{2} \right)^{2} + \tau_{\text{xy}}^{2}}$

σ₁=$\frac{1,84}{2} + \sqrt{\left( \frac{1,84}{2} \right)^{2} + {2,07}_{}^{2}}$=3,17 MPa

σ₂=$\frac{1,84}{2} - \sqrt{\left( \frac{1,84}{2} \right)^{2} + {2,07}_{}^{2}}$= -1,35 MPa