Osoby wykonujące ćwiczenie: Andrzej Szeszycki Mateusz Toczko |
Laboratorium wytrzymałości materiałów | Data wykonania ćwiczenia: 18.04.2013r. |
---|---|---|
Wydział: Fizyka Techniczna Kierunek: Edukacja Techniczno-Informatyczna |
Semestr: IV rok II. Rok: 2012/2013 |
Prowadzący: Dr inż. P. Stasiewicz |
Ocena: |
Szkic belki z usytuowaniem czujników tensometrycznych (w załączniku)
Opis stosowanej aparatury.
Do przeprowadzonego ćwiczenia zastosowany został układ tensometryczny mostka Wheatstone`a i obliczeniowy program komputerowy.
Tablice w z wynikami pomiarów i obliczeń.
Statyczne pomiary tensometryczne
Lp. | Układ pomiarowy | Czułość układu K |
Masa obciążnika m |
Odkształcenie εs |
Naprężenie |
---|---|---|---|---|---|
doświadczalne σsd |
|||||
- | - | - | kg | μm/m | ‰ |
1 | ½ | 2 | 0,25 | 11,6 | 0,0116 |
2 | ½ | 2 | 1 | 45,7 | 0,0457 |
3 | ¼ | 1 | 0,25 | 10,9 | 0,0109 |
4 | ¼ | 1 | 1 | 45,5 | 0,0455 |
Aby wyznaczyć odkształcenie w promilach, wykorzystujemy następującą zależność:
$$1\frac{\text{μm}}{m} = \frac{1}{1000000} = 0,001\% 0$$
$$11,6\ \frac{\text{μm}}{m} = \frac{11,6}{1000000} = 0,0116\ \% 0$$
$$45,7\ \frac{\text{μm}}{m} = \frac{45,7}{1000000} = 0,0457\ \% 0$$
$$10,9\ \frac{\text{μm}}{m} = \frac{10,9}{1000000} = 0,0109\ \% 0$$
$$45,5\ \frac{\text{μm}}{m} = \frac{45,5}{1000000} = 0,0455\ \% 0$$
Naprężenie doświadczalnie wyznaczamy z prawa Hooke’a:
σsd = E ε
Przyjmując, ze moduł Younga E dla stali wynosi 2, 05*105, możemy policzyć naprężenia dla różnych odkształceń.
σ1 = 0, 205 * 106 * 11, 6 * 10−6 = 2, 378 MPa
σ2 = 0, 205 * 106 * 45, 7 * 10−6 = 9, 369 MPa
σ3 = 0, 205 * 106 * 10, 9 * 10−6 = 2, 235 MPa
σ4 = 0, 205 * 106 * 45, 5 * 10−6 = 9, 328 MPa
Naprężenia teoretyczne obliczamy z zależności:
$$\sigma_{\text{st}} = \frac{M_{g}}{W_{x}} = \frac{\text{mg}L_{2}}{\frac{ab^{2}}{6}}$$
Dla obciążenia 0,25 kg:
$$\sigma_{\text{st}} = \frac{M_{g}}{W_{x}} = \frac{\text{mg}L_{2}}{\frac{ab^{2}}{6}} = \frac{0,25*9,81*0,177}{\frac{0,031*{(0,006)}^{2}}{6}} = 2,334\ MPa$$
Dla obciążenia 1 kg:
$$\sigma_{\text{st}} = \frac{M_{g}}{W_{x}} = \frac{\text{mg}L_{2}}{\frac{ab^{2}}{6}} = \frac{1*9,81*0,177}{\frac{0,031*{(0,006)}^{2}}{6}} = 9,335\ Mpa$$
Dynamiczne obciążenia bijakiem o masie 0,25 kg
Odkształcenie statyczne | εs | μm/m | 11,6 |
---|---|---|---|
Wysokość spadku | h | m | 0,4 |
Prędkość w chwili uderzenia | v | m/s | 2,8 |
Maksymalne odkształcenie dynamiczne | εd | μm/m | 1149 |
Amplituda odkształcenia | εl | μm/m | 483 |
Amplituda odkształcenia | εl+k | μm/m | 177 |
Liczba okresów | k | - | 10 |
Pierwsza postać drgań | T1*k | s | 0,0954 |
Druga postać drgań | n | - | 2 |
T2*k | s | 0,00281 | |
Współczynnik nadwyżek dynamicznych | Kd | - | 99,05 |
Kdt | - | 110,7 | |
Dekrement logarytm. tłumienia | δ | - | 0,1 |
Okres drgań | T1 | s | 0,00954 |
T2 | s | 1,4 *10-3 | |
Częstotliwość drgań | f1 | Hz | 104,8 |
f2 | Hz | 711,77 | |
Częstotliwość teoretyczna | f1t | Hz | 117,9 |
f2t | Hz | 744,2 |
Prędkość w chwili uderzenia możemy wyznaczyć ze wzoru:
$$v = \sqrt{2*g*h}$$
Dla wysokości spadku 0,4 m:
$$v = \sqrt{2*9,81*0,4} = 2,8\ m/s$$
Dla wysokości spadku 0,3 m:
$$v = \sqrt{2*9,81*0,3} = 2,4\ m/s$$
Dla wysokości spadku 0,2 m:
$$v = \sqrt{2*9,81*0,2} = 1,9\ m/s$$
Dla wysokości spadku 0,1 m:
$$v = \sqrt{2*9,81*0,1} = 1,4\ m/s$$
Aby wyznaczyć współczynnik nadwyżek dynamicznych, korzystamy z zależności:
$$K_{d} = \frac{\varepsilon_{d}}{\varepsilon_{s}}$$
$$K_{\text{dt}} = \sqrt{1 + \frac{2h}{f_{s}(1 + \alpha\frac{m_{b}}{m})}}$$
Gdzie:
$$f_{s} = \frac{m*g*l_{1}^{3}}{3*E*I}$$
$$\alpha = \frac{105 - 105\eta + 35\eta^{2} - 2\eta^{3}}{140\eta^{2}}$$
$$\eta = \frac{l_{1}}{l}$$
mb = a b l γ
Dla maksymalnego odkształcenia dynamicznego równego 1149 μm/m:
$$K_{d} = \frac{1149}{11,6} = 99,05$$
$$I = \frac{a*b^{3}}{12} = \frac{0,31*{(0,06)}^{2}}{12} = 5,58*10^{- 10}$$
$$f_{s} = \frac{0,25*9,81*{(0,197)}^{3}}{3*2,05*10^{11}*\ 5,56*10^{- 10}} = 5,48*10^{- 5}$$
$$\eta = \frac{0,197}{0,205} = 0,96$$
$$\alpha = \frac{105 - 105*0,96 + 35{(0,96)}^{2} - 2{(0,96)}^{3}}{140{(0,96)}^{2}} = 0,027$$
mb = 0, 031 * 0, 006 * 0, 205 * 7850 = 0, 29 kg
Dla wysokości spadku 0,4:
$$K_{\text{dt}} = \sqrt{1 + \frac{2*0,4}{5,48*10^{- 5}*\left( 1 + 0,027*\frac{0,29}{0,25} \right)}} = 110,7$$
Dla maksymalnego odkształcenia dynamicznego równego 920 μm/m:
$$K_{d} = \frac{920}{11,6} = 79,31$$
Dla wysokości spadku 0,3:
$$K_{\text{dt}} = \sqrt{1 + \frac{2*0,3}{5,48*10^{- 5}*\left( 1 + 0,027*\frac{0,29}{0,25} \right)}} = 95,9$$
Dla maksymalnego odkształcenia dynamicznego równego 810 μm/m:
$$K_{d} = \frac{810}{11,6} = 69,83$$
Dla wysokości spadku 0,2:
$$K_{\text{dt}} = \sqrt{1 + \frac{2*0,2}{5,48*10^{- 5}*\left( 1 + 0,027*\frac{0,29}{0,25} \right)}} = 78,3$$
Dla maksymalnego odkształcenia dynamicznego równego 579 μm/m:
$$K_{d} = \frac{579}{11,6} = 49,91$$
Dla wysokości spadku 0,1:
$$K_{\text{dt}} = \sqrt{1 + \frac{2*0,1}{5,48*10^{- 5}*\left( 1 + 0,027*\frac{0,29}{0,25} \right)}} = 55,4$$
Logarytmiczny dekrement tłumienia obliczamy z zależności:
$$\ = \frac{1}{k}\ln\frac{\varepsilon_{i}}{\varepsilon_{i + k}}$$
Dla wysokości spadku 0,4 m:
$$\ = \frac{1}{10}\ln\frac{483}{177} = 0,100$$
Dla wysokości spadku 0,3 m:
$$\ = \frac{1}{10}\ln\frac{406}{163} = 0,091$$
Dla wysokości spadku 0,2 m:
$$\ = \frac{1}{10}\ln\frac{341}{139} = 0,089$$
Dla wysokości spadku 0,1 m:
$$\ = \frac{1}{10}\ln\frac{248}{107} = 0,084$$
Częstotliwość teoretyczną obliczamy ze wzoru:
$$f_{\text{it}} = \beta_{j}\frac{b}{l^{2}}\sqrt{\frac{E}{\gamma}}$$
Gdzie:
$${\beta_{1} = 0,1617\backslash n}{\beta_{2} = 1,02\backslash n}{\gamma = 7850\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}}$$
$$f_{1t} = 0,1617\frac{0,006}{{(0,205)}^{2}}\sqrt{\frac{2,05*10^{11}}{7850}} = 117,9$$
$$f_{2t} = 0,102\frac{0,006}{{(0,205)}^{2}}\sqrt{\frac{2,05*10^{11}}{7850}} = 744,2$$
Naprężenia teoretyczne wyznaczamy z zależności:
σd = σ Kd
σd1 = 2, 378 * 99, 05 = 235, 54 MPa
σd2 = 2, 378 * 79, 31 = 188, 59 MPa
σd3 = 2, 378 * 69, 83 = 166, 05 MPa
σd4 = 2, 378 * 49, 91 = 118, 6 MPa