Data Wykonania 26.02.2013r.	Tomasz Pisarczyk
Gr. W1C3LP5	Wyznaczanie modułu Younga	Nr ćwiczenia 21

1. Wprowadzenie

Siły działające na Ciało mogą wywoływać jego odkształcanie, które polega na przemieszczaniu się cząstek tego ciała z pierwotnego położenia równowagi w inne położenie. Wyróżnia się odkształcenia sprężyste oraz plastyczne. Temu przemieszczaniu się przeciwdziałają siły wzajemnego oddziaływania między cząsteczkami.
Wielkość fizyczną, równą liczbowo sile sprężystości F przypadającej na jednostkę powierzchni przekroju ciała, nazywamy naprężeniem σ.

σ=F/S, [σ]=N/m²=Pa

R. Hooke stwierdził na drodze doświadczalnej, że naprężenie ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała.

gdzie:

K - współczynnik sprężystości zależny od właściwości materiału z którego wykonane jest ciało,
ε - odkształcenie względne.

Natomiast miarą odkształcenia pręta jest strzałka ugięcia H (odległość między środkową warstwą pręta przed i po odkształceniu). Z prawa Hooke’a wynika następujący wzór na wartość strzałki ugięcia dla pręta o długości l:

gdzie:

E - moduł Younga dla danego materiału
h – grubość pręta mierzona kierunku działania siły F
l- długość pręta mierzona między krawędziami podparcia pręta.

Przekształcając powyższe równanie otrzymujemy wzór na moduł Younga:

Moduł Younga jest naprężeniem wywołującym przyrost długości równy długości początkowej.

3. Obliczenia

H_śr obliczono wg wzoru:

, gdzie Δ_dl= 1mm natomiast Δ_el=3mm

$u\left( l \right) = \sqrt{\frac{{(1mm)}^{2} + ({3mm)}^{2}}{3}} =$1,8mm

$u\left( a \right) = \sqrt{\frac{{(\Delta_{d}a)}^{2} + ({\Delta_{e}a)}^{2}}{3}}$, gdzie Δ_da= 0,01mm natomiast Δ_ea=0,03mm

$u\left( a \right) = \sqrt{\frac{{(0,01m)}^{2} + ({0,03m)}^{2}}{3}} =$0,02mm

$u\left( H \right) = \sqrt{\frac{{(\Delta_{d}h)}^{2} + ({\Delta_{e}h)}^{2}}{3}}$, gdzie Δ_dh= 0,01mm natomiast Δ_eh=0,03mm

$u\left( H \right) = \sqrt{\frac{{(0,01mm)}^{2} + ({0,03mm)}^{2}}{3}} =$0,02mm

$$u\left( m \right) = \frac{\text{Δm}}{\sqrt{3}} = \frac{0,010kg}{\sqrt{3}} = 0,0057kg$$

g=9,81 m/s², u(g)=0,10 m/s²

3. Obliczenie modułu Younga dla prętów:

Pręt pierwszy (miedź):

=10801 x 10⁷ N/m²

Pręt drugi (aluminium):

=8703 x 10⁷ N/m²

Pręt trzeci (stal):

=23621 x 10⁷ N/m²

3. Obliczenie niepewności ze wzoru dla funkcji wielu zmiennych dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych.

$$u(\overset{\overline{}}{x}) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{{{(x}_{1} - \overset{\overline{}}{x})}^{2} + \ldots\left( x_{6} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{6\ (6 - 1)}}$$

Gdzie $\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{x_{i} = \frac{1}{6}}\sum_{i = 1}^{6}x_{i}$

x₁=F₁/H₁, x₂=F₂/H₂, x₃=F₃/H₃ …. x₆=F₆/H₆

dla pręta 1: u($\overset{\overline{}}{x}$)= 313, 95 N/m

dla pręta 2: u($\overset{\overline{}}{x}$)= 455.94 N/m

dla pręta 3: u($\overset{\overline{}}{x}$)= 384.78 N/m

$$u\left( E \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial E}{\partial l}*u(l) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial E}{\partial a}*u(a) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial E}{\partial h}*u(H) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial E}{\partial\overset{\overline{}}{x}}*u(\overset{\overline{}}{x}) \right\rbrack^{2}}$$

u(E₁) = 256 × 10⁷ N/m2 ∖ nu(E₂) = 236 × 10⁷

, F=mg

gdzie: u(m)=0,0057 kg , u(g)=0,010 m/s² , m=1,09 kg, g=9,81m/s²

u(F₁)=0,052 N

u(F₂)=0,10 N

u(F₃)=0,156 N u_śr(F)=0,181 N

u(F ₄)=0,208 N

u(F ₅)=0,26 N

u(F ₆)=0,312 N

gdzie: Δ_d(H)=0,01 mm, Δ_e(H)=0,03 mm

u(H)=0,00002 m=0,02mm

3. Wartość modułu Younga wyznaczona z wykresu:

$$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}\frac{\text{ΔH}}{\text{ΔF}}}\ $$

Gdzie: ΔH=133*10^-5m,
ΔF=49,05m/s²

Pręt 1 (miedź):

$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}\frac{\text{ΔH}}{\text{ΔF}}}\ $=10986 x 10⁷ N/m²

Pręt 2 (aluminium):

$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}\frac{\text{ΔH}}{\text{ΔF}}}$=5693 x 10⁷ N/m²

Pręt 3 (stal):

$E = \frac{l^{3}}{4ah^{3}\frac{\text{ΔH}}{\text{ΔF}}}$=22024 x 10⁷ N/m²

3. Wnioski

Wyznaczony moduł Younga, kolejno dla każdego pręta wynosi:

Pret stalowy :   E = 22024 x 10⁷N/m²,   E_TAB. = 18140 − 23000 × 10⁷N/m²

Nie wszystkie wyniki pomiarów zgadzają się z danymi tablicowymi i może to wynikać z takich kwestii jak np.:
- z niedokładności odczytu przyrządów,
- ze wstrząsów pochodzenia zewnętrznego,
- z powodu niedoskonałości wycechowania odważników,
- zaokrąglenia poszczególnych wartości.