Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich

w Bydgoszczy

Wydział Budownictwa Architektury i Inżynierii Środowiska

Temat: Teoria lepkosprężystości.

Bydgoszcz, dn. 22.05.2013 r.

Teoria lepko sprężystości

W materiałach lepko sprężystych pod obciążeniem konstrukcja się odkształca i powstają odkształcenia plastyczne. Gdy odciążymy konstrukcje pozostaje z stanie zdeformowanym ale z czasem wraca do pierwotnego stanu. Odkształcenie zależy od czasu.

- Pełzanie

Przyrost odkształceń materiału w czasie przy stałym obciążeniu(naprężeniu)

Przykładem może być pręt osiowo rozciągany który po pewnym czasie działania obciążenia doznaje wydłużenia. Wydłuża się ponieważ jest sprężysty. Cecha ta bierze się z niedoskonałości materiałowych np. pustek. Zależy od rodzaju materiału lecz wszystkie materiały podlegają pełzaniu.

- Relaksacja

Spadek naprężeń w ciele przy stałym odkształceniu. Modele lepko sprężyste pozwalają nam analizować pełzanie i relaksacje. Efektywne modele lepko sprężyste (obiektywne to takie które pozwalają badać równocześnie pełzanie i relaksacje) to polaczenie modeli sprężystego i lepkiego.

W budownictwie efekty reologiczne musza być uwzględniane w:

- konstrukcjach kablobetonowych przy wymiarowaniu kabli sprężających oraz w strunobetonie przy realizacji prętów . Należy uwzględnić straty reologiczne przy obliczaniu tychże konstrukcji.

Modele lepko sprężyste

1. Model sprężysty, lepki i plastyczny

a) Model sprężysty (Hooke`a)

Ϭ=Eε

Naprężenie jest wprost proporcjonalne do odkształceń.

Model oznaczamy:

b) Model lepki- Newtona

Ϭ=ηέ

Naprężenie jest wprost proporcjonalne do prędkości odkształceń

Opisuje model dla cieczy doskonale lepkiej.

Η – moduł lepkości (moduł Newtona) [Ns/m2]

1.1 Model KELVINA-VOIGTA

Model ten polega na równoległym polaczeniu modelu Hooke`a i modelu Newtona. Opisuje on zjawisko pełzania.

Do modelowania ciał rzeczywistych które maja budowę atomowa wykorzystujemy modelowanie fenomenologiczne (nauka o tworzeniu modeli abstrakcyjnych)

Najpierw opiszmy równania fizyczne dla elementów składowych

-model Hooke`a CH^H = Eε^H (a)

-model Newtona CH^N = ηe^N (b)

Następnie piszemy warunki ciągłości (czyli integracji elementów składowych)

1. Warunki dotyczące naprezeń: CH^H + CH^N = CH (c)

2. Warunki dotyczące odkształceń : ε^H = ε^N = ε (d)

Ostatecznie warunki ciaglosci (c) i (d) wprowadzamy do równań (a) i (b) w celu uzyskania równania fizycznego całego modelu:

ad a CH^H = Eε^H = Eε

ad b CH^N =  ηe^N

CH^H + CH^N = Eε^H + ηe^N

CH = Eε+ηe - równanie fizyczne opisujące model K-V

1.2 Model MAXWELLA

Model ten polega na szeregowym polaczeniu modelu Hooke`a i modelu Newtona. Opisuje on zjawisko relaksacji.

Do modelowania ciał rzeczywistych które maja budowę atomowa wykorzystujemy modelowanie fenomenologiczne (nauka o tworzeniu modeli abstrakcyjnych)

Najpierw opiszmy równania fizyczne dla elementów składowych

-model Hooke`a CH^H = Eε^H (a)

-model Newtona CH^N = ηe^N (b)

Następnie piszemy warunki ciągłości (czyli integracji elementów składowych)

1. Warunki dotyczące naprezeń: CH^H = CH^N = CH (c)

2. Warunki dotyczące odkształceń : ε^H + ε^N = ε (d)

Ostatecznie warunki ciągłości (c) i (d) wprowadzamy do równań (a) i (b) w celu uzyskania równania fizycznego całego modelu:

ad a) CH = Eε^H /∙η$\frac{\partial}{\partial t}$

ad b) CH = ηe^N /∙E

powstaje układ równań:

ηCH = ηEe^H

CHE= ηEe^N

ηCH+ CHE = ηE(e^H + e^N)

Ostatecznie równanie fizyczne opisujące model Maxwella ma postać:

ηCH+ ECH = ηE(e^H+e^N)

1.3 Model Zenera I-go rodzaju

Model ten powstał z szeregowego polaczenia modelu K-V i modelu Hooke`a

Najpierw opiszmy równania fizyczne dla elementów składowych

-model Hooke`a CH^H = E₁ε^H (a)

-model K-V CH^K − V = E₂ε^K − V + ηe^K − V (b)

Następnie piszemy warunki ciągłości (czyli integracji elementów składowych)

1. Warunki dotyczące naprezeń: CH^H = CH^K − V = CH (c)

2. Warunki dotyczące odkształceń : ε^H + ε^K − V = ε (d)

Ostatecznie warunki ciągłości (c) i (d) wprowadzamy do równań (a) i (b) w celu uzyskania równania fizycznego całego modelu:

ad a) CH = E₁ε^H /∙E₂

ad b) CH = E₂ε^K − V + ηe^K − V /∙E₁

powstaje układ równań:

E₂CH = E₂E₁ε^H

CHE₁ = E₁E₂ε^K − V + ηe^K − VE₁

(E₁ + E₂) CH = E₁E₂(ε^H+ε^K − V) + ηe^K − V

Ostatecznie równanie fizyczne opisujące model Zenera I rodzaju ma postac:

ηCH+(E₁+E₂)CH=E₁E₂(ε^H+ε^K − V)+ηe^K − VE₁

1.4 Model Zenera II-go rodzaju

1.5 Model Burgersa

Model ten powstał z szeregowego połączenia modelu Maxwella i K-V

Jest to model czteroparametrowy.

1.6 Uogólnienie modeli fenomenologicznych

a) Model Hooke`a jest modelem jednoparametrowym i opisany równaniem:

Ϭ=Eε

b) Model Kelvina-Voigta jest modelem dwuparametrowym (E + η)

CH = Eε + ηe

c) Model Maxwella jest modelem dwuparametrowym

ηCH+ ECH = ηE(e^H + e^N)

d) Model Zenera I rodzaju jest modelem trzy-parametrowym

ηCH + (E₁ + E₂)CH = E₁E₂(ε^H+ε^K − V) + ηe^K − VE₁

Z tego wynika ze możemy budować modele wieloparametrowe o dowolnej liczbie parametrów

Ogólnie możemy to zapisać następująco:

a₀CH+a₁CH+a₂CH+…=b₀ε+b₁e+b₂ε+…

a_i, b_i- stałe materiałowe zależne od modelu lepko sprężystego

Charakterystyki prostych modeli lepko sprężystych:

Lp	Model	a0	a1	a2	b0	b1	b2
1	Hokee`a	1	0	0	E	0	0
2	Kelvina-Voigta	1	0	0	E	η	0
3	Maxwella	€ 1	(η) η/E	0	0	$(\frac{\eta}{E})$ η	0
4	Zenera I-go rodzaju	1	$$\frac{\eta}{{(E}_{1} + E)}$$	0	$$\frac{E_{1}E}{{(E}_{1} + E)}$$	$$\frac{\eta E_{}}{{(E}_{1} + E)}$$	0
5	Burgersa	1	$$\frac{\eta}{E_{1}} + \frac{\eta_{1} + \eta_{2}}{E_{2}}$$	$$\frac{\eta_{1}\eta_{2}}{E_{2}E_{1}}$$	0	η1	$$\frac{\eta_{1}\eta_{2}}{E_{2}}$$