REFERAT Z PRZEDMIOTU

„TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI”

R. 25.

Teoria płynięcia plastycznego.

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno – Przyrodniczy w Bydgoszczy

CIAŁA SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE

Prawo Hooke’a stasuje się do materiałów tylko w pewnym zakresie małych odkształceń. Jeśli materiał zostaje odkształcony poza granicę proporcjonalności, prawo Hooke’a przestaje obowiązywać.

Większość ciał stałych wykazuje przy odpowiednich obciążeniach zdolność do odkształceń plastycznych, to znaczy odkształceń trwałych, nie znikających po zdjęciu obciążenia. Własności takie mają np. metale ciągliwe, jak: żelazo i niektóre jego stopy, aluminium i jego stopy, miedź, mosiądz i inne. Zdolność do odkształceń plastycznych jest jednak ograniczona, ponieważ po osiągnięciu pewnego odkształcenia następuje naruszenie spójności, prowadzące do rozdzielenia ciała na części. Najprostszym i najczęściej stosowanym sposobem badania zdolności materiałów do odkształceń plastycznym jest próba rozciągania próbki.

Zdolność metali do odkształceń plastycznych wyraźnie wzrasta w wysokich temperaturach. Wybitne zdolności do odkształceń plastycznych wykazują niektóre grunty. Własności plastyczne gruntów gliniastych o znacznej wilgotności dają się opisać teoretycznie podobnie jak własności metali.

Przy odpowiednich sposobach obciążenia można wywołać znaczne odkształcenia plastyczne również w ciałach, które uważane są za ciała kruche. Przykładem takiego zachowania może być ściskana próbka marmuru, obciążona jednocześnie ciśnieniem bocznym. Badania P. W. Bridgmana wykazały, że wiele innych materiałów zwiększa swą zdolność do odkształceń plastycznych przy wysokich ciśnieniach hydrostatycznych.

Ważnym czynnikiem mającym istotny wpływ na zdolność ciał do odkształceń plastycznych jest prędkość odkształcenia. W zakresie większych prędkości odkształcenia obserwuje się wzrost oporu materiału i utratę spójności przy zmniejszonej wielkości odkształcenia plastycznego.

Różnorodność problemów spotykanych przy plastycznym płynięciu materiałów wymusza wprowadzenie do teorii plastycznego płynięcia pewnych wyidealizowanych modeli zachowania się ciała. Podstawowym modelem, w którym plastyczne właściwości ciał wyidealizowano w maksymalnym stopniu, jest tak zwany model ciała sztywno-plastycznego. Odkształcenie sprężyste jest w tym modelu pominięte, natomiast naprężenie, przy którym następuje plastyczne płynięcie, ma stałą wartość R_e o jest niezależne zarówno od wielkości odkształcenia, jak i prędkości odkształcenia. Zatem model ten jest bardzo daleko idącym uproszczeniem, jednak w wielu przypadkach, szczególnie przy dużych odkształceniach plastycznych dość dobrze odpowiada rzeczywistości. W rzeczywistych ośrodkach, często w początkowej fazie obciążenia odkształcenia w całej objętości są sprężyste, obszary plastyczne zaczynają się tworzyć przy wzroście obciążenia w miejscach koncentracji naprężeń. W takich przypadkach przy teoretycznej analizie należy wprowadzić model, w którym uwzględnione są odkształcenia sprężyste. Często stosowany jest model ciała sprężysto-idealnie plastycznego. Po osiągnięciu naprężeń równych R_e rozpoczyna się plastyczne płynięcie przy stałym obciążeniu. Wprowadza się również modele sprężysto-plastyczne ze wzmocnieniem uwzględniające zależność opory plastycznego od wielkości odkształcenia plastycznego. Modele te znacznie komplikują rozważania teoretyczne i stosowane są głównie w analizach numerycznych, np. przy użyciu Metody Elementów Skończonych. Zachowanie opisanych modeli przedstawiono na poniższych wykresach:

model ciała sztywno-plastycznego model ciała sprężysto-idealnie plastycznego.

modele sprężysto-plastyczne ze wzmocnieniem

Każdy z podanych modeli ma swoje zalety i wady, a wybór odpowiedniego z nich zależy od rodzaju rozpatrywanego problemu. Zjawisko utraty spójności (de kohezja) nie jest uwzględnione w przedstawionych modelach. Stosując je można otrzymać teoretyczne rozwiązania, w których odkształcenia mogą być dowolnie duże. W rzeczywistości po przekroczeniu granicznych odkształceń następuje pęknięcie. Zjawisko pękania rozpatrywane jest przez odrębną gałąź mechaniki ciała stałego.

PRAWO PLASTYCZNEGO PŁYNIECIA

W czasie badań eksperymentalnych zaobserwowano, że materiał przy odkształceniach plastycznych nie zmienia objętości (jest nieściśliwy), kierunki główne dla tensorów prędkości odkształcenia i naprężenia pokrywają się oraz składowe dewiatorów prędkości odkształcenia i naprężenia są proporcjonalne. Pozwoliło to na przyjecie założenia, że prędkości odkształcenia są związane z naprężeniami zależnością:

${\dot{\varepsilon}}_{\text{ij}} = \ \lambda\ \frac{\partial\ F(\sigma_{\text{ij}})}{\partial\ \sigma_{\text{ij}}}$, i, j = 1, 2, 3,

gdzie F_ij jest funkcją występującą w warunku plastyczności F(I₁, I₂, I₃) = 0

Zależność tę nazywamy stowarzyszonym z warunkiem plastyczności prawem płynięcia. Wynika z niego, że wektor prędkości odkształcenia plastycznego jest ortogonalny do powierzchni plastyczności. Ortogonalne do powierzchni plastyczności będą również wektory przyrostów odkształcenia. Fakt ten został stosunkowo dobrze potwierdzony doświadczalnie. Współczynnik proporcjonalności λ nie jest stałą materiałową. Jego wielkość jest w danej chwili i w danym punkcie ciała stałego, ale zwykle zmienia w czasie trwania procesu odkształcenia orz jest inna w każdym punkcie ciała. Przedstawiona teoria wywodzi się z prac Levy’ego i Misesa i nie jest jedyną stosowaną w praktyce.

Oprócz niej korzysta się z teorii Prandtla-Reussa, według której prędkość odkształcenia plastycznego zależy nie tylko od stanu naprężenia, ale również od prędkości wzrostu naprężeń. Najprostszą teorią jest teoria Hencky-Iliuszyna, która nie posługuje się prędkościami odkształceń czy naprężeń, a więc nie wprowadza czynnika czasu. Niestety, stosowalność tej teorii – jak wykazują doświadczenia – jest dość ograniczona.

Wprowadzając do zależności prędkości odkształcenia od naprężeń warunek plastyczności Hubera-Misesa otrzymamy:

${\dot{\varepsilon}}_{\text{ij}} = \lambda\ s_{\text{ij}} = \ \lambda\ \left( \sigma_{\text{ij}} - \frac{1}{3}\ \delta_{\text{ij}}\ \sigma_{\text{kk}} \right)$, i, j, k = 1, 2, 3,

gdzie s_ij jest dewiatorem stanu naprężenia, natomiast δ_ij symbolem Kroneckera.

W ogólnym przypadku plastycznego płynięcia należy wyznaczyć dziewięć niewiadomych w każdym punkcie rozpatrywanego obszaru: sześć składowych tensora naprężenia σ_ij oraz trzy składowe wektora prędkości płynięcia ϑ_i. Dziesiątą niewiadomą, którą zwykle przy rozwiązywaniu można wyeliminować, jest skalarny mnożnik λ, występujący w prawie plastycznego płynięcia.

Układ dziesięciu równań tworzą:

• trzy równania ruchu (równania równowagi) uzupełnione o siły bezwładności

$\frac{\partial\sigma_{\text{ij}}}{\partial\ x_{j}}\ + F_{i} = \ \rho\ \left( \frac{\partial\vartheta_{i}}{\partial\ x_{j}} + \upsilon_{j}\frac{\partial\vartheta_{i}}{\partial\ x_{j}} \right)$, i, j = 1, 2, 3

• warunek plastyczności:

F′(σ_ij) =  0

• sześć zależności między składowymi wektora prędkości ϑ_i a składowymi tensora naprężenia σ_ij

$\frac{1}{2}\left( \frac{\partial\vartheta_{i}}{\partial\ x_{j}} + \frac{\partial\vartheta_{j}}{\partial\ x_{i}} \right) = \ \lambda\ \frac{\partial\ F(\sigma_{\text{ij}})}{\partial\ \sigma_{\text{ij}}}$, i, j = 1, 2, 3

Podane równania opisują dynamiczne zagadnienie plastycznego płynięcia.

Większość znanych przypadków plastycznego płynięcia dotyczy zagadnień quasi-statycznych, w których siły bezwładności są pomijalnie małe.

Weźmy pod uwagę belkę o przekroju prostokątnym poddaną czystemu zginaniu. Z elementarnej teorii zginania, opartej na założeniu płaskich przekrojów, wynika, że odkształcenie liniowe ε_x podłużnych włókien belki jest proporcjonalne do krzywizny zgięcia l/ρ i do odległości z od warstwy obojętnej (w tym przypadku jest to płaszczyzna symetrii x, y)

$\varepsilon_{x} = \frac{z}{\rho}$

Ponadto obowiązuje założenie:

γ_xy = γ_yz = γ_zx = 0

σ_y = σ_z = 0,

σ_x ≠ 0,

Przyjmujemy model ciała sprężysto-idealnie plastycznego. Warunek plastyczności można zatem przedstawić w postaci:

σ_x² - R_e² = 0

Belka poddana zginaniu:

Przy ciągłym wzroście momentu zginającego M_y możemy wyróżnić dwa etapy uplastycznienia przekroju belki:

1. Etap sprężysty. W każdym punkcie przekroju odkształcenia ε_x są wyłącznie sprężyste. Pozostałe odkształcenia i naprężenia oraz moment zginający M_y możemy wyznaczyć z zależności:

σ_x = E ε_x = $\frac{E\ z}{\rho}$,

ε_y = ε_z = - ν ε_y = - ν $\frac{z}{\rho}$,

τ_xy = τ_yz = τ_zx = 0,

M_y = b $\int_{- \frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}{\text{\ σ}_{x}\text{\ z}}\ d_{z} = \ {\text{\ σ}_{x}}^{M}\ \frac{\text{b\ }h^{2}}{6}$

$${\text{\ σ}_{x}}^{M} = \frac{E\ h}{2\ \rho}\ $$

Etap ten kończy się gdy skrajne włókna osiągną granicę plastyczności σ_x^M = R_e

1. Etap sprężysto-plastyczny. W belce istnieją obie strefy: zewnętrzna – uplastyczniona – w której działają naprężenia o stałej wartości R_e i wewnętrzna – sprężysta – poddana działaniu naprężeń proporcjonalnych do odległości od warstwy obojętnej.

Moment zginający, który wywołuje częściowe uplastycznienie przekroju, możemy obliczyć ze wzoru:

M_y = b $\int_{- \frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}{\text{\ σ}_{x}\text{\ z}}\ d_{z} = \ \frac{R_{e}\text{\ b\ }h^{2}}{12}\ \left\lbrack 3 - \left( \frac{2\ z_{g}}{h} \right)^{2} \right\rbrack\ $,

gdzie z_g jest współrzędną powierzchni rozgraniczającej obie strefy plastyczne od środkowej strefy sprężystej. Etap ten kończy się, gdy wszystkie włókna ulegną uplastycznieniu (z_g = 0).

Wtedy moment gnący osiąga wartość graniczną:

M_y^g = $\frac{R_{e}\text{\ b\ }h^{2}}{4}$,

przy której, zgodnie z przyjętym modelem materiału, wyczerpana jest całkowicie nośność belki.