Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

Teoria sprężystości i plastyczności

Teoria płynięcia plastycznego.

TEORIA PŁYNIĘCIA PLASTYCZNEGO

1.Wstęp

Prawem plastycznego płynięcia nazywamy związek między składowymi tensora przyrostów odkształcenia, a składowymi tensora naprężenia, jakie zachodzi w procesach odkształcenia ciał sztywno idealnie plastycznych. Prawa te są formułowane na podstawie założeń, które są przedmiotem nieustannej weryfikacji doświadczalnej. Potrzeba ciągłej weryfikacji wynika stąd, że nie zawsze otrzymuje się pełną zgodność teorii z doświadczeniem. Zgodność ta zależy w znacznym stopniu od rodzaju materiału oraz warunków przeprowadzenia samego doświadczenia

2.Potencjał plastyczny

Teoria plastycznego płynięcia opiera się na założeniu istnienia w przestrzeni naprężeń potencjału plastycznego G(σ_ij). Istnienie tego potencjału nie udało się ściśle i w sposób ogólny wyprowadzić za pomocą analizy fizycznych właściwości materiałów. Doświadczenia potwierdzają jednak jego istnienie.
Opierając się na hipotezie o istnieniu potencjału plastycznego R.Mises zaproponował prawo plastycznego płynięcia, wiążące dewiator przyrostu odkształcenia de_ij, z funkcją potencjału plastycznego G(σ_mn) następująco:

(1)

oraz

(1a)

Występujące w definicji płynięcia materiałów idealnie plastycznych (1) wielkości dλ i λ są parametrami zależnymi odpowiednio od energii lub mocy odkształcenia plastycznego. Funkcja potencjału plastycznego G(σ_ij) w przestrzeni naprężeń opisuje hiper powierzchnię, natomiast pochodna cząstkowa δG(σ_ij)/δσ_ij jako gradient tej funkcji jest wektorem normalnym do tej hiperpowierzchni. Wynika stąd, że zarówno dewiator przyrostu odkształcenia de_ij jak i dewiator prędkości odkształcenia e_ij, jako współliniowe z gradientem potencjału plastycznego, są ortogonalne do powierzchni G(σ_ij).

Rys.1 Geometryczna interpretacja ortogonalności dewiatora przyrostu odkształcenia i prędkości odkształcenia do powierzchni potencjału plastycznego w punkcie aktualnego stanu naprężenia

Jeśli utożsamimy funkcję potencjału plastycznego G(σ_ij)z warunkiem plastyczności F(σ_ij) to co prawda ogranicza klasę funkcji potencjału plastycznego, ale w zamian uzyskuje się prostą interpretację fizyczną i geometryczną. Takie prawo plastycznego płynięcia, w którym funkcją potencjału jest warunek plastyczności nazywa sie prawem płynięcia stowarzyszonym z tym warunkiem plastyczności. Stowarzyszone prawo płynięcia dla dewiatora przyrostów odkształcenia uzyskuje postać:

(2)
i dla dewiatora prędkości odkształcenia

(2a)

Funkcja F(σ_ij) może być dowolnym warunkiem plastyczności, a szczególnie warunkiem plastyczności Hubera-Misesa lub Treski. W przestrzeni naprężeń stowarzyszone prawo płynięcia jest interpretowane jako warunek ortogonalności dewiatora przyrostu odkształcenia lub dewiatora prędkości odkształcenia do powierzchni plastyczności.

Rys.2 Geometryczna interpretacja ortogonalności dewiatora przyrostu odkształcenia i prędkości odkształcenia do powierzchni plastyczności w punkcie aktualnego stanu naprężenia.

3.Prawo płynięcia stowarzyszone z warunkiem plastyczności Hubera-Misesa

Jeżeli za funkcję potencjału plastycznego G(σ_ij) przyjmie się warunek plastyczności Hubera-Misesa

(3)

to można wykazać, że gradient tej funkcji

(4)


W konsekwencji prawo płynięcia stowarzyszone z warunkiem plastyczności Hubera-Misesa (2) zapisane dla dewiatora przyrostu odkształcenia sprowadza się do postaci:

(5)

i podobnie dla dewiatora prędkości odkształcenia

(5a)

Jeśli to liniowa zależność między składowymi dewiatorów przyrostów odkształcenia plastycznego bądź prędkości odkształcenia a składowymi dewiatora naprężenia. Stowarzyszone prawo płynięcia w postaci liniowej (5) zostało zaproponowane przez M.Levy'ego oraz B.De Saint-Venanta, a następnie rozwinięte przez R.Misesa i jest znane pod nazwą prawa płynięcia Levy'ego-Misesa. Z prawa przyrostu odkształcenia plastycznego z dewiatorem naprężenia. Korzystając z dewiatora naprężenia

(6)

prawo płynięcia (5) stowarzyszone z warunkiem plastyczności Hubera-Misesa dla materiałów nieściśliwych uzyskuje postać:

(7)

a po rozpisaniu dla każdej ze składowych:

(8)

oraz

(8a)

Stowarzyszone prawa płynięcia (8) spełniają tożsamościowo warunek nieściśliwości, co łatwo sprawdzić przez podstawienie. Z każdego wiersza (8a) można wyznaczyć parametr dλ i zapisać prawo płynięcia stowarzyszone z warunkiem płynięcia Hubera-Misesa w postaci proporcji:

(9)

Podobnie dla prędkości odkształcenia
(9a)

Odejmując odpowiednio stronami pierwsze trzy równania (8) można stowarzyszone prawo płynięcia przedstawić w postaci różnicowej

(9b)

i podobnie

(9c)

4.Szczególne przypadki

W przypadku płaskiego stanu naprężenia kierunek 3 jest kierunkiem głównym, wtedy σ₁₃=0, i=1, 2, 3, a stowarzyszone prawo płynięcia (9) po rozpisaniu przybierze postać:

(10)

W przypadku płaskiego staniu odkształcenia, kiedy dε₃₃=0 oraz p= σ₃₃ =1/2(σ₁₁₊ σ₂₂), stowarzyszone prawo płynięcia wyraża się jako

(11)

5.Prawo płynięcia stowarzyszone z nieciągłym warunkiem plastyczności

W przypadku powierzchni plastyczności z osobliwościami występującymi na przecięciu się segmentów powierzchni gładkich, warunek plastyczności zapisuje się zespołem funkcji

(12)

gdzie A jest liczbą tych funkcji. Każda z funkcji opisuje płat powierzchni. Płaty tworzą powierzchnię z nieciągłościami wzdłuż przecięć i w narożach. Zgodnie z tym warunkiem materiał uplastycznia się wtedy, kiedy co najmniej jedna funkcja Fγ(σ_ij)=0 dla γ=α.





Prawo płynięcia stowarzyszone z warunkiem plastyczności, na którego powierzchni w przestrzeni naprężeń występują nieciągłości, dla dewiatora przyrostów odkształcenia ma postać:

(13)

i podobnie dla dewiatora prędkości odkształcenia

(13a)

Wzdłuż krawędzi nieciągłości kierunek wektora przyrostu odkształcenia de_ij bądź wektora prędkości odkształcenia e_ij jest sumą odpowiednich wektorów na tych krawędziach do powierzchni Fγ(σ_ij) oraz Fγ₊₁(σ_ij) tworzących tę krawędź, a mianowicie de_ij⁽γ⁾ oraz de_ij⁽γ+1⁾ bądź e_ij⁽γ⁾ oraz e_ij⁽γ+1⁾.

Rys.3 Geometryczna interpretacja prawa płynięcia w punkcie nieciągłości powierzchni plastycznego płynięcia.

6.Prawo płynięcia stowarzyszone z warunkiem plastyczności Treski

Jeżeli za funkcję potencjału naprężeń G(σ_ij) przyjmie się warunek plastyczności Treski to w przestrzeni naprężeń warunek ten przedstawia powierzchnię z nieciągłościami wzdłuż krawędzi graniastosłupa. Taka przyjęta funkcja

Rys.4 Konstrukcja geometryczna do wyprowadzania warunku plastyczności Treski dla płaskiego stanu odkształcenia.

Dla i,j=1, 2, 3 oraz i≠j przedstawia sześć równań postaci:

(15)

Opisujących cześć płaszczyzn tworzących ograniczenia wnętrza graniastosłupa Treski. Ustalając wskaźnik i, j ustala się w ten sposób powierzchnię (bok) graniastosłupa, na którym stowarzyszone prawo płynięcia dla przyrostów odkształcenia wyrazi się zależnością:

(16)

a dla prędkości odkształcenia

(16a)

Żeby ustalić znak składowych głównych dewiatora przyrostu odkształcenia dek bądź prędkości odkształcenia k, należy pozbyć się znaku bezwzględnej wartości we wzorach (16). Można to uczynić , jeśli znane jest uporządkowanie wartości składowych głównych tensora naprężenia, co zależy od charakteru procesu.
Jeśli założy się, że σ_i> σ_j, to dla i, j, k=1, 2, 3 przy i≠j otrzyma się:

(17a)

oraz

(17b)

7.Niestowarzyszone prawo płynięcia

Niestowarzyszonym prawem płynięcia nazywamy takie prawo płynięcia, w którym funkcja potencjału plastycznego G(σ_ij) nie jest warunkiem plastyczności F(σ_ij). Zarówno funkcja potencjału plastycznego jak i warunek plastyczności opisują w przestrzeni naprężeń pewne hiperpowierzchnie.
Hiperpowierzchnię opisywaną przez funkcję potencjału plastycznego G(σ_ij) =0 nazywamy powierzchnię potencjału plastycznego w odróżnieniu od powierzchni plastyczności, opisanej przez warunek plastyczności F(σ_ij)=0. Wektor przyrostu odkształcenia dε_ij określony wzorem (1) jest normalny do powierzchni potencjału plastycznego G(σ_ij) =0 w punkcie reprezentującym aktualny stan naprężenia σ_ij i jest odchylony od normalnej do powierzchni plastyczności n_F o kąt α

Rys.5 Geometryczna interpretacja niestowarzyszonego prawa płynięcia