Nr ćwiczenia: 10	Adrian Cholewa		Data wykonania: 28.05.2008r.
WB Gr. 2	Tytuł ćwiczenia: Wyznaczanie modułu Younga	Ocena:	Podpis:

Działaniu sił zewnętrznych powodujących zmiany objętości lub kształtu badanego ciała towarzyszy zakłócenie rozkładu sił międzycząsteczkowych, objawiające się pojawieniem się sił wewnętrznych zwanych siłami sprężystości.

Odkształcenie ciała sztywnego pod wpływem sił zewnętrznych polega na przemieszczaniu się cząsteczek tego ciała z pierwotnego położenia równowagi w inne. Temu przemieszczaniu się przeciwdziałają siły wzajemnego oddziaływania między cząsteczkami.

Wielkość fizyczną, równą liczbowo sile sprężystości F przypadającej na jednostkę powierzchni przekroju ciała, nazywamy naprężeniem σ.

σ=FS^-1­

Jednostką naprężenia jest Nm­^-2, nazywana również Pascalem.

Angielski fizyk R. Hooke stwierdził na drodze doświadczalnej, że naprężenie ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała - rys. powyżej.

gdzie:

K - współczynnik sprężystości zależny od właściwości materiału z którego wykonane jest ciało,

ε - odkształcenie względne.

Nas, z powodu, iż mamy do czynienia z prętami o stosunkowo dużej powierzchni przekroju, interesować będzie zginanie ciała, które możemy rozpatrywać jako równoczesne ściskanie górnej i rozciąganie dolnej powierzchni. Miarą odkształcenia jest strzałka ugięcia H (odległość między środkową warstwą pręta przed i po odkształceniu).

Z prawa Hooke’a wynika następujący wzór na wartość strzałki ugięcia dla pręta o długości l i przekroju w kształcie prostokąta o podstawie a i wysokości h.

gdzie: E - moduł Younga dla danego materiału.

Tabela Pomiarowa:

Rodzaj pręta	Nr pomiaru	Obciążenie F [N]	H1 [mm]	H2 [mm]	Hsr [m]	F/H [N/m]	Wartość średnia F/H [N/m]	E [N/m2]
Aluminium	1	9,81	0,18	0,18	0,000180	54500,0	54550,37
	2	19,62	0,35	0,36	0,000355	55267,6
	3	29,43	0,53	0,54	0,000535	55009,3
	4	39,24	0,72	0,73	0,000725	54124,1
	5	49,05	0,91	0,91	0,000910	53901,1
	6	58,86	1,08	1,08	0,001080	54500,0
Miedź	1	9,81	0,33	0,5	0,000415	23638,6	25234,8
	2	19,62	0,68	0,85	0,000765	25647,1
	3	29,43	1,07	1,22	0,001145	25703,1
	4	39,24	1,48	1,6	0,001540	25480,5
	5	49,05	1,9	1,97	0,001935	25348,8
	6	58,86	2,3	2,3	0,002300	25591,3
Stal	1	9,81	0,18	0,19	0,000185	53027,0	54884,57
	2	19,62	0,35	0,35	0,000350	56057,1
	3	29,43	0,53	0,53	0,000530	55528,3
	4	39,24	0,71	0,72	0,000715	54881,1
	5	49,05	0,89	0,9	0,000895	54804,5
	6	58,86	1,07	1,07	0,001070	55009,3
Miedź	1	9,81	0,26	0,27	0,000265	37018,9	37306,35
	2	19,62	0,53	0,54	0,000535	36672,9
	3	29,43	0,78	0,79	0,000785	37490,4
	4	39,24	1,05	1,06	0,001055	37194,3
	5	49,05	1,3	1,3	0,001300	37730,8
	6	58,86	1,56	1,56	0,001560	37730,8

Rodzaj pręta	Długość l	Krawędzie ai[m]	$$\overset{\overline{}}{a}$$	Krawędzie hi[m]	$$\overset{\overline{}}{h}$$
	0,482	0,012	0,0118	0,0116	0,0118
		0,0117		0,0119
		0,0118		0,0119
	0,215	0,0164	0,0164	0,003	0,003
		0,0164		0,0031
		0,0164		0,0029
	0,312	0,0129	0,0127	0,0051	0,0051
		0,126		0,0052
		0,126		0,0049
	0,336	0,02	0,021	0,0052	0,0051
		0,021		0,0051
		0,022		0,005

$$u\left( l \right) = \sqrt{\frac{{0,001}^{2} + {0,001}^{2}}{3}} = 0,000816$$

$$u\left( a \right) = u\left( h \right) = \sqrt{\frac{{0,00005}^{2} + {0,00005}^{2}}{3}} = 0,000008$$

Obliczam wartość modułu Younga:

$$E = \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}}\frac{F}{H}$$

1. Dla pręta Aluminiowego

$$E = \frac{{0,482}^{3}}{{4 \times 0,0118 \times 0,0118}^{3}} \times 54550,37 = 7876,8\ \times 10^{7}$$

1. Dla pręta miedzianego 1

E = 14159  × 10⁷

1. Dla preta stalowego

E = 24736  × 10⁷

1. Dla preta miedzianego 2

E = 12700  × 10⁷

Moduł Younga wyznaczony z regresji liniowej

1. Dla pręta Aluminiowego

$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,003785$$

$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,485$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i}^{2} = 0,0000029648$$

$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} =}0,1611$$

X = 10104, 8

a = 0, 00001849

$$E = \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}a} = 7,8093 \times 10^{11}$$

σ = 1, 2345

S_a = 0, 03008

1. Dla preta miedzianego 1

$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,0081$$

$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,485$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i}^{2} = 0,0000134743$$

$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} = 0,3434}$$

X = 10104, 8

a = 0, 00003877

E = 1, 4472  × 10¹¹

σ = 1, 197

S_a = 0, 02916

1. Dla pręta stalowego

$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,003745$$

$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,485$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i}^{2} = 0,0000028948$$

$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} = 0,1592}$$

X = 10104, 8

a = 0, 00001818

E = 2, 5467  × 10¹¹

σ = 1, 2206

S_a = 0, 02972

1. Dla pręta miedzianego 2

$$\sum_{i = 1}^{6}{F_{i} =}206.01$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i} = 0,0055$$

$$\sum_{i = 1}^{6}F_{i}^{2} = 8757,485$$

$$\sum_{i = 1}^{6}H_{i}^{2} = 0,0000062093$$

$$\sum_{i = 1}^{6}{H_{i}F_{i} = 0,2331}$$

X = 10104, 8

a = 0, 00002627

E = 1, 1479 * 10¹¹

σ = 1, 2439

S_a = 0, 03031

Niepewności wyznaczyłem ze wzoru dla funkcji wielu zmiennych dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych, który jest zawarty w skrypcie:

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{6}\left( \frac{F}{H}_{i} - \overset{\overline{}}{\frac{F}{H}} \right)^{2}}{30}}$$

1. Dla pręta pierwszego

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 210,8212$$

1. Dla preta drugiego

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 323,339$$

1. Dla preta trzeciego

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 418,7984$$

1. Dla pręta czwartego

$$u\left( \frac{F}{H} \right) = 172,3012$$

$$u_{c}\left( E_{\text{obl}} \right) = \text{\ \ }\sqrt{\left\lbrack \frac{{3l}^{2}}{{4ah}^{3}} \times \frac{F}{H} \times u(l) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{{- l}^{3}}{{4a}^{2}h^{3}} \times \frac{F}{H} \times u(a) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{{- 3l}^{3}}{{4ah}^{4}} \times \frac{F}{H} \times u(h) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}} \times u\left( \frac{F}{H} \right) \right\rbrack^{2}}$$

u_c(E₁) = 48 × 10⁷

u_c(E₂) = 165 × 10⁷

u_c(E₃) = 209 × 10⁷

u_c(E₄) = 95 × 10⁷

$$u_{c}\left( E_{\text{graf}} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{{3l}^{2}}{{4ah}^{3}\text{tgα}} \times u(l) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{{- l}^{3}}{{4a}^{2}h^{3}\text{tgα}} \times u(a) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{{- 3l}^{3}}{{4ah}^{4}\text{tgα}} \times u(h) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{l^{3}}{{4ah}^{3}\text{tgα}^{2}} \times S_{a} \right\rbrack^{2}}$$

u_c(E₁) = 43 × 10⁷

u_c(E₂) = 207 × 10⁷

u_c(E₃) = 228 × 10⁷

u_c(E₄) = 113 × 10⁷

Wnioski:

Moduł Younga dla prętów nr 1, 2, 3, 4 wykonanych odpowiednio z: aluminium, miedzi, stali i miedzi, nie są dokładnie takie, jakie powinny być, a ma to związek z różnymi zjawiskami nieuwzględnianymi podczas wyznaczania.

Dla porównania podaje moduł Younga obliczony wraz z wartościami tablicowymi:

1. Pret Aluminiowy E_OBL. = 7876(48)  × 10⁷ E_GRAF. = 7089(43)×10⁷

E_TAB. = 6800 − 7350 × 10⁷

1. pret Miedziany E_OBL. = 14159(65)  × 10⁷ E_GRAF. = 14472(207)×10⁷

E_TAB. = 7800 − 12700 × 10⁷

1. pret Stalowy E_OBL. = 24736 (209)  × 10⁷  E_GRAF. = 25467(228)×10⁷

E_TAB. = 18140 − 23000 × 10⁷

1. pret Miedziany E_OBL. = 12700(95)  × 10⁷  E_GRAF. = 11479(113)×10⁷

E_TAB. = 7800 − 12700 × 10⁷

Jak widać z wyników nie wszystko zgadza się z wartościami tablicowymi, a wynikiem tego mogą być popełnione błędy przy wykonywaniu pomiarów? Na popełnione błędy składają się takie zjawiska jak:

1. Niedokładności punktu 0 na śrubie mikrometrycznej;

2. Ze wstrząsów pochodzenia zewnętrznego;

3. Z niedokładności odczytu przyrządów;

4. Z powodu niedoskonałości wycechowania odważników;

5. Zaokrąglenia poszczególnych wartości,

0, 00001849