1. Wstęp

Celem doświadczenia jest wyznaczenie prędkości światła przy pomocy metody korzystającej z modulacji natężenia wiązki światła.

Z punktu widzenia teorii elektromagnetyzmu Maxwella, światło jest falą, która
w ośrodkach materialnych rozchodzi się, zgodnie z rozwiązaniem falowym równań Maxwella, z prędkością opisaną wzorem (1)

(1)

gdzie ε₀ jest przenikalnością elektryczną próżni, μ₀ przenikalnością magnetyczną próżni, a ε i μ względnymi przenikalnościami, elektryczną i magnetyczną ośrodka. Dla próżni względne przenikalności są równe 1, zatem prędkość światła w próżni wyraża się wzorem (2).

(2)

Prędkość światła to jedna z najważniejszych stałych fizycznych. Próby eksperymentalnego zmierzenia jej sięgają XVII wieku, kiedy to Galileusz po raz pierwszy postanowił wyznaczyć ją doświadczalnie. Zastosowana jednak przez niego metoda (bezpośredni pomiar czasu przelotu promienia świetlnego pomiędzy dwoma wzgórzami) skazywała eksperyment na niepowodzenie. Jedyne wnioski jakie można było wyciągnąć, to takie, że albo prędkość światła jest nieskończona, albo skończona, lecz błąd jej pomiaru jest zbyt duży.

Od czasów Galileusza wielu fizyków starało się dokonać dokładniejszych pomiarów. W 1676 roku, duński fizyk i astronom, Olaf Romer dokonał pomiaru wykorzystując
do tego celu zjawisko zaćmienia księżyców Jowisza, które w zależności od tego
czy Ziemia zbliżała się do Jowisza czy oddalała, występowały nieco wcześniej,
lub nieco później (nie były idealnie regularne).

Z kolei w ziemskich warunkach pomiaru, w sposób eksperymentalny prędkość światła zmierzył po raz pierwszy w 1849 roku francuski fizyk Hippolyte Louis Fizeau. Wykorzystał on do celu wirujące koło zębate oraz układ soczewek i luster. Jego układ był bardzo duży, wysyłał on światło na odległość 8630 m do lustra, które je odbijało
i kierowało z powrotem na obracające się koło. Eksperyment Fizeua poprawił francuski fizyk Foucault zastępując koło zębate obracającym się lustrem.

Jeszcze dokładniejszy wynik pomiaru prędkości światła w próżni otrzymał
w 1956 r. szwedzki fizyk Edge za pomocą urządzenia, zwanego geodymetrem. Obecnie stosuje się jeszcze dokładniejsze metody wykorzystujące coraz bardziej zaawansowane techniki pomiarowe.

2. Układ pomiarowy i przebieg wykonania ćwiczenia

Z definicji szybkość jest stosunkiem drogi, jaką przebywa ciało, do czasu w którym ciało przebyło tą drogę. Ponieważ c jest bardzo duże, zatem czas przelotu jest bardzo mały. Trudno byłoby go zmierzyć bezpośrednio. Metoda wykorzystywana w naszym doświadczeniu korzysta z metody pośredniej, opartej na obserwacjach
krzywych Lissajous.

Do pomiarów wykorzystujemy układ, którego schemat przedstawia rys 1.

Rys.1. Schemat układu eksperymentalnego wykorzystywanego w obu częściach doświadczenia.

Za źródło światła służy nam czerwona dioda elektroluminescencyjna, wysyłająca promieniowanie o natężeniu modulowanym z częstotliwością f równą około
50 MHz (wymaganą przy stosowanych tu odległościach rzędu kilku metrów). W skład zestawu wchodzi miernik częstotliwości, który pokazuje wartość 1000 razy mniejszą niż w rzeczywistości. Światło dochodzi do układu zwierciadeł, odbija się od nich
i wracając trafia na detektor (rys.1). Ponieważ światło wysłane przebywa pewną drogę (w pewnym czasie), to pomiędzy sygnałem wysłanym, a odebranym występuje pewna różnica faz. Gdy obydwa sygnały podamy na wejścia X i Y oscyloskopu, na ekranie zaobserwujemy charakterystyczne krzywe Lissajous. Dla przypadku drgań o równych prędkościach kołowych, a tylko przesuniętych pomiędzy sobą w fazie, przyjmują one kształt elips, kół lub prostych. Te ostatnie pojawiają się gdy przesunięcie w fazie pomiędzy sygnałami wynosi całkowitą wielokrotność π (kπ gdzie k = ±1, ±2, ±3...). Proste są nachylone pod kątem α lub –α w zależności od k. Dla różnicy pomiędzy przesunięciami wynoszącej π uzyskujemy dwie proste o przeciwnych nachyleniach. Dla przesunięcia 2π obie proste są skierowane w tę samą stronę. Pomiar polega
na znalezieniu właśnie takich położeń zwierciadeł, w których na ekranie oscyloskopu widzimy prostą nachyloną w jedną stronę, następnie prostą nachyloną przeciwnie
i znów w tę samą stronę co na początku. Przesunięciu o π odpowiada różnica czasów równa połowie okresu modulacji t_π (3).

(3)

Przesunięciu zaś o 2π odpowiada różnica czasów równa t_2π (4).

(4)

Znając różnice odległości położeń zwierciadła pomiędzy miejscami gdzie występują proste, możemy znaleźć prędkość rozchodzenia się fali świetlnej. Będzie ona mogła
być obliczona na podstawie wzorów (5) i (6).

(5)

(6)

Zgodnie z rys.1, nasze odległości l_π i l_2π wyrażą się wzorami (7) i (8)

(7)

(8)

(we wzorach występuje podwojona odległość, gdyż światło biegnie zarówno w jedną jak i w drugą stronę).

Skrócona procedura pomiarowa przedstawia się następująco: skalibrować tak układ optyczny (soczewki i zwierciadła) aby uzyskać maksymalne oświetlania detektora, zwierciadła zawracające ustawić w położeniu A i przy pomocy przesuwnika fazowego uzyskać na ekranie oscyloskopu obraz prostej nachylonej pod kątem około 45° (nie występuje wtedy przesunięcie w fazie między sygnałem odbieranym i emitowanym), przesuwając zwierciadła znaleźć taki punkt B w którym na ekranie oscyloskopu uzyskamy prostą nachyloną przeciwnie niż w punkcie A, a następnie punkt C, w którym znów pojawi się prosta skierowana w tę samą stronę co w punkcie A. Zmierzyć wszystkie odległości x_A, x_B i x_C, a pomiar powtórzyć 8 razy.

Naszym układem pomiarowym możemy tez zmierzyć współczynnik załamania światła n danego ośrodka materialnego. Współczynnik załamania światła, z definicji
i korzystając ze wzorów (1) i (2), wyrazi się wzorem (9)

(9)

a ponieważ dla pól magnetycznych o częstotliwości promieniowania widzialnego względna przenikalność magnetyczna ośrodka μ wynosi 1, to nasz współczynnik załamania wyrazi się wzorem (10).

(10)

Spójrzmy na dolną część rys.1. Mamy tam punkty O, D oraz E. Impulsy odbite
od zwierciadeł w położeniu D docierają do detektora w takim samym czasie jak impulsy odbite od zwierciadeł w położeniu B. Czasy te możemy wyrazić wzorami (11) i (12)

(11)

(12)

gdzie L₀ jest długością kuwety zawierającą badaną ciecz, a t₀ jest czasem przelotu
z nadajnika do punktu O i, w drodze powrotnej, z punktu O do odbiornika, zaś wielkość c/n, równą prędkości światła w badanej cieczy, uzyskaliśmy ze wzoru (9). Jeśli punkt
D, będzie to punkt w którym na ekranie oscyloskopu uzyskamy tak samo nachyloną prostą jak w punkcie B, to oba czasy są sobie równe i możemy z tej równości wyznaczyć nasz współczynnik załamania ośrodka n (13)

(13)

gdzie l_n wyraża się wzorem (14).

(14)

W tym przypadku będziemy postępowali analogicznie jak w przypadku pierwszej części ćwiczenia. Zwierciadła ustawimy najpierw w takim położeniu B, że na ekranie uzyskamy obraz prostej, a następnie na drodze wiązki pomiarowej ustawimy dodatkowo kuwetę z badaną cieczą i znajdziemy taki punkt D, w którym uzyskamy taką samą jak
w punkcie B prostą. Zanotujemy odległości x_B i x_D, a pomiary powtórzymy ośmiokrotnie.

3. Tabele z wartościami wielkości zmierzonych w trakcie eksperymentu

Tabela 1. Pomiary pierwszej części doświadczenia (prędkość światła)

pomiar	xA [cm]	xB [cm]	xC [cm]	cπ [m/s]	c2π [m/s]
1	44,2	192,7	345,4	297000000	301200000
2	44,1	192,4	345,3	296600000	301200000
3	44,0	192,1	345,4	296200000	301400000
4	44,0	191,7	344,7	295400000	300700000
5	43,4	192,1	345,5	297400000	302100000
6	43,4	191,4	345,7	296000000	302300000
7	42,8	191,3	344,3	297000000	301500000
8	42,9	190,8	348,1	295800000	305200000

Tabela 2. Pomiary drugiej części doświadczenia (współczynnik załamania)

pomiar	xB [cm]	xD [cm]	n [-]
1	159,8	135,9	1,48
2	165,0	146,9	1,36
3	164,5	143,6	1,42
4	165,1	139,9	1,51
5	164,1	142,6	1,43
6	164,5	140,8	1,48
7	163,8	143,7	1,40
8	163,6	143,1	1,41

4. Opracowanie wyników

W tabelach zestawiono wyniki wykonanych pomiarów. W piątej i szóstej kolumnie Tabeli 1 zestawiono obliczone na podstawie wzorów (5) i (6) wartości prędkości światła. Zmierzona długość kuwety pomiarowej, potrzebna do wykonywania obliczeń, wynosi 99,60 ± 0,05 m. Jako wartość częstotliwości modulacji, obserwując wskazania miernika, możemy przyjąć 50,00 ± 0,01 MHz (taką dysponowaliśmy dokładnością przyrządu). Należy wyciągnąć wartość średnią obliczonych wartości. Policzymy ją jako średnią arytmetyczną wszystkich zestawionych wyników zgodnie ze wzorem (15).

(15)

Uzyskana w ten sposób wartość średnia obliczonej prędkości światła wynosi
299187500 [m/s]. Teraz należy się zająć Tabelą 2. W czwartej kolumnie zestawiono wartości obliczonych na podstawie wzoru (13) współczynniki załamania cieczy. Z nich także trzeba wyciągnąć wartość średnią. Postąpimy analogicznie jak w przypadku prędkości światła. Skorzystamy ze wzoru (16).

(16)

Obliczona w ten sposób średnia wartość współczynnika załamania wynosi 1,44 [-].

5. Rachunek błędów

Zauważmy, że sumowanie wartości c_π oraz c_2π (obliczonych wcześniej) i dzielenie ich przez 16, tak jak mówi nam to wzór (15), możemy zastąpić jednym wzorem. Zacznijmy od wzorów (5) i (6). Wartości średnie z tych wzorów, wyrażą zależności (17) i (18).

(17)

(18)

Uzyskawszy dwie wartości średnie dla wartości wyrażonych wzorami (5) i (6), możemy wyciągnąć z nich wartość średnią. Po przekształceniach uzyskamy wzór (19).

(19)

Obliczona ze wzoru (19) wartość, zgadza się z wartością obliczoną ze wzoru (15). Tak naprawdę wzór (19) stanowi zestawienie wszystkich kroków prowadzących
do uzyskania średniej wartości prędkości światła w jednym wzorze. Możemy do niego już zastosować metodę różniczki zupełnej w celu wyznaczenia wzoru na błąd pomiaru naszej prędkości. Zgodnie z tą metodą otrzymujemy wzór (20).

(20)

Potraktowaliśmy tu sumy l_π i l_2π jako zmienne funkcji wyrażonej wzorem (19). O ile niepewność wyznaczenia f znamy, o tyle musimy się zastanowić nad niepewnościami wyznaczenia wartości niepewności tych sum. Z pomocą przyjdzie nam tu odchylenie standardowe średniej. Zauważmy, że dla każdej wartości l_πi możemy wyznaczyć odchylenie standardowe σ_π (każda z nich jest wyznaczona z taką dokładnością), opisane wzorem (21)

(21)

i podobnie dla każdej wartości l_2πj możemy wyznaczyć odchylenie standardowe
σ_2π, opisane wzorem (22).

(22)

Ponieważ każda z wartości l_π jest wyznaczona z dokładnością σ_π, a każda wartość
l_2π jest wyznaczona z dokładnością σ_2π, to niepewności wyznaczenia sumy l_π i sumy
l_2π wyrażą się wzorami (23) i (24).

(23)

(24)

Oba odchylenia σ_π i σ_2π obliczamy na podstawie zaledwie 8-miu pomiarów. Uzasadnione jest zatem zastosowanie metody Studenta. Wybierzmy przedział ufności 95%. Współczynnik t dla tego poziomu ufności przy tej ilości pomiarów wynosi
2,36. Uwzględnimy go we wzorze końcowym na niepewność wyznaczenia prędkości światła. Pozostaje nam zatem jeszcze policzyć pochodne cząstkowe funkcji wyrażonej wzorem (19) po wszystkich zmiennych i podstawić je do wzoru (20). Ostatecznie otrzymamy wzór (25).

(25)

Całkiem analogicznie można postąpić w przypadku obliczania współczynnika załamania. Przyjrzyjmy się wzorowi (13). Bezpośredni wzór na wartość średnią współczynnika załamania n, wyrazi się wzorem (26).

(26)

Wartość obliczona na podstawie wzoru (26) jest identyczna z wartością obliczoną
na podstawie wzoru (16), gdyż znów wzór (26) stanowi zestawienie poszczególnych kroków prowadzących do uzyskania wartości średniego współczynnika załamania.
Do wzoru (26) można zastosować metodę różniczki zupełnej celem wyznaczenia wzoru na błąd pomiaru współczynnika załamania n. Otrzymujemy wzór (27).

(27)

I tym razem potraktowaliśmy sumę l_n jako zmienną funkcji opisanej wzorem
(26) i znów niepewność wyznaczenia L₀ znamy a musimy obliczyć niepewność wyznaczenia sumy l_n. I tym razem z pomocą przychodzi nam odchylenie standardowe. Dla każdej wartości l_ni możemy wyznaczyć odchylenie standardowe σ_n (każda z nich jest wyznaczona z taką dokładnością), opisane wzorem (28).

(28)

Ponieważ każda z wartości l_n jest wyznaczona z dokładnością σ_n, to niepewności wyznaczenia sumy l_n wyrazi się wzorem (29).

(29)

Odchylenie σ_n jest wyznaczone, tak jak poprzednie, na podstawie 8-miu pomiarów. Uzasadnione jest zatem zastosowanie metody Studenta. I tym razem wybieramy przedział ufności 95% dla którego współczynnik t wynosi 2,36. Uwzględnimy
go we wzorze końcowym na niepewność wyznaczenia współczynnika załamania. Pozostaje nam zatem jeszcze policzyć pochodne cząstkowe funkcji wyrażonej wzorem (26) po obu zmiennych i podstawić je do wzoru (27). Ostatecznie otrzymamy wzór (30).

(30)

Tym sposobem uzyskaliśmy wzory na niepewności wyznaczenia prędkości światła
(25) i współczynnika załamania (30).

6. Zapis końcowy

Końcowe wyniki doświadczenia, wraz z obliczonymi ze wzorów
(25) i (30) niepewnościami przedstawiają się następująco:

Tablicowa wartość prędkości światła wynosi: 2,997925·10⁸ m/s, a współczynnika załamania 1,333 [-] (ale dla długości fali λ=589,3 nm).

7. Wnioski

Uzyskana w doświadczeniu wartość prędkości światła dość dobrze zgadza się z jej wartością tablicową, a względna niepewność jej wyznaczenia jest na poziomie około 1%. Jak na warunki pracowni jest to bardzo dobry wynik. Co do współczynnika załamania, różni się on od wartości tablicowej, ale wartość tablicowa została wyznaczona dla fali żółtej, a my w doświadczeniu używaliśmy diody o kolorze czerwonym. Woda jest ośrodkiem dyspersyjnym, zatem współczynnik załamania zależy w niej od częstości, a zatem i długości, fali. Względna niepewność wyznaczenia współczynnika załamania jest na poziomie 4%. Nie jest to tak świetny wynik jak
w przypadku prędkości światła, ale jak na warunki pracowni zadowalający.

Dużą trudność podczas doświadczenia przedstawiała początkowa faza, tzn. ustawienie całego układu optycznego (soczewek i zwierciadeł) tak aby detektor był maksymalnie oświetlony. Dla pomiarów z pierwszej części doświadczenia (prędkości światła
w powietrzu) na ekranie oscyloskopu widzieliśmy dość wyraźne zmiany nawet
w skrajnych położeniach zwierciadeł (blisko punktu C – rys.1). Natomiast
dla pomiarów drugiej części doświadczenia (współczynnika załamania) uzyskanie wyraźnych zmian dla ustawień zwierciadła w odległych położeniach było praktycznie niemożliwe ze względu na znaczne osłabienie wiązki w kuwecie z wodą. Dlatego pomiary zostały przeprowadzone dla punktów D i B choć można by było
je przeprowadzić (analogicznie) również dla punktów E i C (rys.1).

Błąd pomiaru współczynnika załamania może, oprócz wyznaczonej niepewności, mieć składnik systematyczny. Kuweta miała oczywiście dwie przeźroczyste i cienkie ścianki, przez które promień świetlny musiał przejść nim załamał się w wodzie. Nie wiemy
z jakiego materiału były wykonane ścianki, a zatem nie jesteśmy w stanie określić ich współczynników załamania. Ścianki były cienkie, nie mniej wnosiły jakiś błąd
w nasze rozważania.

Pomiar można by poprawić stosując zamiast diody, laser. Ułatwiło by to pomiary, poprzez łatwiejszą kalibrację układu optycznego, i sprawiło, że można by wykonać
w przypadku pomiaru współczynnika załamania również pomiar dla punktów
E i C. Również możliwość spuszczenia wody z naszej kuwety pomiarowej i pomiar dla samej kuwety pozwoliłby nam wyeliminować błąd związany z przechodzeniem światła przez jej ścianki.

8. Literatura

1. Fizyka 2, David Halliday, Robert Resnick, PWN, Warszawa 1996, str. 403-407.

2. Laboratorium Fizyki – Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki, red. Sylwester Kania, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 2007, str. 152-157.

3. Tablice matematyczne fizyczne chemiczne astronomiczne, T. Szymczyk,
   S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, PPU „Park”, Bielsko-Biała 2001,
   str. 172, 217, 219.

1. Wstęp do Analizy Błędu Pomiarowego, John R. Taylor, PWN, Warszawa 1995, str.98-105, 84-87.