$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = x_{2} \\ x_{2} = - x_{1} - 5x_{2} + 4u(t) \\ \end{matrix} \right.\ $

y = x₁

Postać wektorowo-macierzowa:

$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & - 5 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \lbrack\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ \end{matrix}\rbrack*u(t)$$

$$\left\lbrack y \right\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \lbrack 0\rbrack*u(t)$$

1. Wprowadź macierze opisujące w przestrzeni stanu układ dynamiczny SISO drugiego rzędu. Za pomocą funkcji dokonujących konwersji postaci modelu znajdź transmitancję operatorową układu. Przedstaw transmitancję w alternatywnych postaciach: iloczynowej (zer-biegunów), sumy ułamków prostych.

Macierze:

$$A = \left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & - 5 \\ \end{matrix} \right|$$

$$B = \lbrack\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ \end{matrix}\rbrack$$

$$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

D = [0]

Postać transmitancyjna:

$$G\left( s \right) = \frac{a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + a_{1}s + a_{0}}{b_{m}s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + b_{1}s + b_{0}}$$

$$G\left( s \right) = \frac{0 + 0 + 4}{{1s}^{2} + {5s}^{1} + 1^{0}}$$

Postać zero-biegunowa:

$H\left( s \right) = \ \frac{4}{\left( s + 4,7917 \right)(s + 0,2087)}$

Postać sum ułamków prostych:

$\frac{B\{ s)}{A(s)} = \frac{- 0,8729}{s + 4,7913} + \frac{0,8729}{s + 0,2087}$

Program w matlab:

%wprowadzenie macierzy

A=[0 1;-1 -5]

A =

0 1

-1 -5

>> B=[0;4]

B =

0

4

>> C=[1 0]

C =

1 0

>> D=[0]

D =

0

%konwersja do postaci transmitancji operatorowej

>> [NUM,DEN]=ss2tf(A,B,C,D)

NUM =

0 0 4.0000

DEN =

1.0000 5.0000 1.0000

%przedstawienie transmitancji w postaci iloczynowej(zer-biegunów)

>> [Z,p,k]=tf2zp(NUM,DEN)

Z =

Empty matrix: 0-by-1

p =

-4.7913

-0.2087

k =

4.0000

%przedstawienie transmitancji w postaci sumy ułamków prostych

>> [R,P,K]=residue(NUM,DEN)

R =

-0.8729

0.8729

P =

-4.7913

-0.2087

K =

[]

- Wyznaczyliśmy postać transmitancji operatorowej układu. Do wyznaczenia została użyta funkcja MatLab’a SS2TF.

- Przeprowadziliśmy konwersję do postaci iloczynowej. Licznik transmitancji operatorowej był równy jeden, stąd Z policzona przez program nie dała nam żadnej wartości (licznik odpowiada za zero). Za bieguny odpowiada mianownik transmitancji operatorowej. k odpowiada za wzmocnienie.

1. Wyznacz (narysuj wykresy czasowe) odpowiedzi skokowej i impulsowej układu. Wyznacz (za pomocą odpowiedniej funkcji) wzmocnienie układu w stanie ustalonym i porównaj jego wartość z odczytaną z wykresu odpowiedzi skokowej układu.

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

Program:

>> step(A,B,C,D) %odpowiedź skokowa

>> impulse(NUM,DEN) %odpowiedź impulsowa

>> k=dcgain(A,B,C,D) %wzmocnienie układu

k = 4

- Do przedstawienia transmitancji do postaci sumy ułamków prostych użyliśmy funkcji RESIDUE.

- Wykreśliliśmy na wykresach odpowiedź skokową i impulsową. Odpowiedź skokowa wzrasta i dąży do 4. Odpowiedź impulsowa gwałtownie wzrasta w ciągu pierwszych 2 sekundach a następnie maleje do 0. Wzmocnienie układu wynosi 4.

1. Zbadaj sterowalność I obserwowalność układu. Wykorzystaj w tym celu funkcje tworzące odpowiednie macierze sterowalności i obserwowalności oraz funkcje „rank”, która wyznacza rząd macierzy.

>> A=[0,1;-1,-5]

A =

0 1

-1 -5

>> B=[0;4]

B =

0

4

>> C=[1,0]

C =

1 0

>> D=[0]

D =

0

>> ster=ctrb(A,B)

ster =

0 4

4 -20

>> o=obsv(A,C)

o =

1 0

0 1

>> rank(ster)

ans =

2

>> rank(o)

ans =

2

Z wyznaczonych rzędów macierzy „ster” i „o” wynika iż dany układ jest sterowalny, gdyż obie wyznaczone przez nas wartości są sobie równe.

5. Wprowadź model transmitancyjny układu SISO trzeciego rzędu zgodnie z poleceniem prowadzącego ćwiczenia, wykorzystaj jedną z podanych niżej postaci transmitancji i zestawu wartości parametrów.

$$G_{1}\left( s \right) = \frac{1}{s\left( T_{1}s + 1 \right)(T_{2}s + 1)}$$

T₁ = 1.0

T₂ = 0.5

$$G_{1}\left( s \right) = \frac{1}{s\left( s + 1 \right)(0,5s + 1)} = \frac{1}{s(0,5s^{2} + s + 0,5s + 1)} = \frac{1}{s(0,5s^{2} + 1,5s + 1)} = \frac{1}{0,5s^{3} + 1,5s^{2} + s + 0}$$

>> L=[0,0,0,1]

L =

0 0 0 1

>> M=[0.5,1.5,1,0]

M =

0.5000 1.5000 1.0000 0

>> trans=tf(L,M)

Transfer function:

1

---------------------

0.5 s^3 + 1.5 s^2 + s

6.

G(s)=$\frac{1}{1 + sT_{1}}$ układ inercyjny

Program:

L=[0,1]

M=[0.5,1]

nyquist(L,M)

bode(L,M)

Wykresy:

G(s)=$\frac{1}{s(1 + sT_{1})}$ układ całkowania

Program:

L=[0,0,1]

M=[0.5,1,0]

nyquist(L,M)

bode(L,M)

Wykresy:

G(s)=$\frac{(1 + sT_{3})}{\left( 1 + sT_{1} \right)(1 + sT_{2})}$ układ inercyjny

Program:

L=[0,2,1]

M=[0.5,1.5,1]

nyquist(L,M)

bode(L,M)

Wykresy:

G(s)=$\frac{(1 + sT_{3})}{\left( 1 + sT_{1} \right)(1 + sT_{2})}$ układ różniczkujący

Program:

L=[0,0,2,1];

M=[0.5,1.5,1,0];

bode(L,M)

nyquist(L,M)

Wykresy: