Wstęp.

Rezonans elektryczny jest to zjawisko polegające na tym, że w obwodzie elektrycznym zawierającym elementy o reaktancjach indukcyjnych i pojemnościowych następuje, dla pewnych częstotliwości prądu, wzajemna kompensacja tych reaktancji. W wyniku tego wypadkowa reaktancja obwodu równa jest zeru i prąd płynący ze źródła jest w fazie z jego siłą elektromotoryczną.

Wyróżniamy rezonans szeregowy i rezonans równoległy. Obwód będący w stanie rezonansu nie pobiera ze źródła mocy biernej, występuje zjawisko kompensacji mocy. Moc bierna indukcyjna, pobierana przez obwód, jest równa mocy biernej pojemnościowej. Moce te są przeciwne, dlatego w warunkach rezonansu całkowita moc bierna obwodu jest równa zeru.

W układzie szeregowym rezystora, cewki i kondensatora, zasilanego napięciem sinusoidalnym U, prąd w obwodzie wynosi:

$$\mathbf{I =}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{Z}}$$

gdzie:

Z=

Stan rezonansu występuje wtedy, gdy reaktancja indukcyjna jest równa reaktancji pojemnościowej:

X_C=X_L

Jeśli wiadomo, że:

X_L=ωL

oraz:

$$\mathbf{X}_{\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{ωC}}}$$

otrzymujemy:

$$\mathbf{\omega L =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{ωC}}}$$

Prąd płynący wówczas w obwodzie wynosi:

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{R}}$$

Napięcia na reaktancjach są sobie równe, lecz przeciwnie skierowane:

U_L=−U_C

Do stanu rezonansu można doprowadzić układ zawierający cewkę i kondensator przez odpowiedni dobór ich reaktancji (przez zmianę indukcyjności lub pojemności), lub zmianę pulsacji napięcia zasilającego.

Częstotliwość przy której jest spełniony warunek rezonansu szeregowego, nazywamy częstotliwością rezonansową:

V_r=

Zjawisko rezonansu szeregowego może wywołać niepożądane efekty, w postaci przepięć, ponieważ rezystancja obwodu jest mała, a napięcia na cewce i kondensatorze bardzo duże.

2. Obliczenia.

1. Rezonans napięć.

• Wykres zależności I=I(V) (załącznik nr1)

• Częstotliwość rezonansowa odczytana z wykresu wynosi ok. V_R=5050 Hz.

Częstotliwość rezonansową obliczymy wg wzoru:

V_r=

W naszym ćwiczeniu dane było:

L=10 mH

C= 0,1 µF

Zatem:

=Hz

• Szerokość połówkową krzywej rezonansu ΔV obliczymy ze wzoru dla obwodu LC:

ΔV=V2-V1

Gdzie:

V2,V1 -częstotliwości dla których $I = \frac{I_{R}}{\sqrt{2}}$

Natężenie prądu I dla I_R=1090 µA odczytanego z wykresu wynosi:

I=µAµA

Zatem :

V₂≈6080 Hz

V₁≈4190 Hz

Szerokość połówkowa krzywej rezonansu ΔV wynosi zatem:

ΔV=V2-V1=6080Hz-4200Hz=1880Hz

Na podstawie uzyskanego wyniku oraz odczytanej z wykresu częstotliwości rezonansowej mogę obliczyć względną szerokość połówkową krzywych rezonansowych

==

• Szerokość połówkową krzywej rezonansu ΔV obliczymy ze wzoru dla obwodu R LC:

ΔV=V2-V1

Gdzie:

V2,V1 -częstotliwości dla których $I = \frac{I_{R}}{\sqrt{2}}$

Natężenie prądu I dla I_R=1090 µA odczytanego z wykresu wynosi:

I=µAµA

Zatem :

V₂≈7400 Hz

V₁≈3400 Hz

Szerokość połówkowa krzywej rezonansu ΔV wynosi zatem:

ΔV=V2-V1=7400Hz-3400Hz=4000Hz

Na podstawie uzyskanego wyniku oraz odczytanej z wykresu częstotliwości rezonansowej mogę obliczyć względną szerokość połówkową krzywych rezonansowych

==

3. Wnioski.

Częstotliwość rezonansowa odczytana z wykresu dla obwodu LC wynosi ok. V_R= 5050 Hz, natomiast obliczona ok V_R=5037 Hz. Analizując wykresy zależności I=I(V) dla obwodu z dołączoną rezystancją oraz bez niej stwierdzić można, że częstotliwości rezonansowe dla obu obwodów są niemal identyczne natomiast maksymalne prądy znacznie się różnią co wynika z oporności, która dla cewki wynosi około

15 Ω ,przez co uzyskujemy skończoną wartość natężenia prądu przy rezonansie, który wynosi 1090 µA. Natomiast przy rezonansie z oporemnikiem w obwodzie, R=135 Ω uzyskaliśmy prąd 500 µA. Wartość względnej szerokości połówkowej wyniosła 0,37 dla obwodu LC a 0,80 dla obwodu RLC, ponadto stwierdzić można, że wspomniana szerokość dla RLC jest niemal dwukrotnie większą jak dla odwodu LC co ma przełożenie na wartości prądów przy rezonansie, dla obu obwodów. Prąd w przy rezonansie dla pierwszego pomiarowego odwodu jest prawie dwukrotnie wyższy od prądu rezonansowego drugiego obwodu. Wartości prądów skutecznych wykazują podobną zależność. Opisane zależności można porównać w poniższej tabeli.

Rodzaj obwodu	Imax	Isk
LC	1090µA	770,7 µA	0,37
RLC	500 µA	356,6 µA	0,80