Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

1

BADANIE ODBIORNIKÓW R, L, C W OBWODZIE

PR DU SINUSOIDALNEGO

Cel wiczenia

Celem wiczenia jest poznanie metod technicznych wyznaczania podstawowych parametrów

pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C i ich układów poł cze przy zasilaniu napi ciem

sinusoidalnie zmiennym.

Program wiczenia:

♦ pomiary parametrów pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C,

♦ pomiary parametrów układu szeregowo poł czonych odbiorników R, L, C,

♦ pomiary parametrów układu równolegle poł czonych odbiorników R, L, C,

1. CHARAKTERYSTYKA IDEALNYCH ELEMENTÓW R, L, C

Odbiorniki o charakterze R, L, C (elementy rzeczywiste), mo na przedstawi za pomoc

schematów zast pczych, w których wyst puj poł czenia elementów idealnych, tak np. odbiornik o

charakterze L przy niezbyt du ych cz stotliwo ciach mo na przedstawi jako szeregowe poł czenie

idealnej indukcyjno ci L i idealnej rezystancji R (rezystancja cewki).

Idealne elementy R, L, C przyjmowane w analizie obwodów elektrycznych s

idealizowanymi liniowymi modelami matematycznymi fizycznych elementów obwodu. Idealne

elementy R, L, C s w tym sensie, e ka dy jest całkowicie wolny od wła ciwo ci dwóch

pozostałych oraz e ich zale no mi dzy napi ciem na ich zaciskach, a pr dem jest liniowa.

Oznacza to, e zale no u(i) jest opisana przez liniowe równania ró niczkowe oraz e

współczynniki tych równa s stałe. R, L, C s stałymi obwodu, a ich warto jest niezale na od

pulsacji oraz amplitudy pr du i napi cia.

1.1. Opornik idealny

Je eli do zacisków o napi ciu u = U

m

sin(

ωt) zostanie wł czony opornik idealny (rys. 1), to

zgodnie z prawem Ohma w obwodzie popłynie pr d:

i

U

R

t

I

t

m

m

=

=

sin( )

sin( )

ω

ω

który ma t sam faz , co wywołuj ce go napi cie.

Amplituda pr du wynosi:

,

za warto skuteczna:

R

U

I

m

m

=

R

U

R

U

I

m

=

=

2

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

2

Rys. 1. Opornik idealny w obwodzie pr du sinusoidalnego:

a) schemat poł cze , b) wykres czasowy napi cia i pr du, c) wykres wskazowy

Na rys. 1b i 1c przedstawiono przebieg sinusoidalny napi cia i pr du oraz ich wykresy

wskazowe. Wektory U i I maj te same zwroty, iloczyn RI nazywa si napi ciem czynnym.

1.2. Cewka idealna

Je eli do zacisków o chwilowej warto ci napi cia u (rys. 2a) zostanie wł czona idealna

cewka, to popłynie przez ni pr d, którego zmiana w czasie spowoduje indukowanie si na

zaciskach cewki siły elektromotorycznej samoindukcji:

e

L

di

dt

L

= −

Niech pr d płyn cy przez cewk b dzie równy:

i I

t

m

=

sin( )

ω

Poniewa na zaciskach cewki u = -u

L

, to:

u L

di

dt

LI

t

LI

t

U

t

m

m

m

=

=

=

+

=

+

ω

ω

ω

ω

ω

cos( )

sin(

)

sin(

)

Π

Π

2

2

Z porównania równa wynika, e napi cie u na zaciskach cewki wyprzedza w fazie przepływaj cy

przez ni pr d i o k t fazowy

ϕ

= Π

2

Amplituda napi cia:

U

m

=

ω

Li

m

za warto skuteczna:

U =

ω

LI = X

L

I

Równanie powy sze ma posta podobn do prawa Ohma dla pr du stałego (U = RI), dlatego

przez analogi X

L

nazwano oporem indukcyjnym lub reaktancj indukcyjn .

X

L

=

ω

L = 2

Π

fL

W obwodzie w którym znajduje si idealna cewka, wyst puje przy przepływie pr du tylko

indukcyjny spadek napi cia U = X

L

I, natomiast nie wyst puje strata mocy, poniewa R = 0, za

moc, jak wiadomo, wynosi RI

2

. Iloczyn X

L

I nazywa si napi ciem indukcyjnym.

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

3

Rys. 2. Cewka idealna w obwodzie pr du sinusoidalnego:

a) schemat poł cze , b) wykres czasowy napi cia i pr du, c) wykres wskazowy

1.3. Kondensator idealny

Je eli kondensator przył czony b dzie do ródła napi cia przemiennego, to jego elektrody

b d na przemian ładowane i rozładowywane, wobec czego w przewodach popłynie pr d

przemienny (rys. 3a).

Warto chwilowa pr du ładowania kondensatora wynosi:

i

dq

dt

=

Poniewa Q = CU, wi c przyrostowi ładunku dq odpowiada przyrost napi cia du w czasie dt, czyli:

dq = C du

po podstawieniu otrzymujemy

:

i C

du

dt

=

Je eli kondensator wł czony jest do napi cia u = U

m

sin(

ωt), to warto chwilowa pr du ładowania

wyniesie:

(

)

i C

du

dt

C

d

dt

U

t

C U

t

m

m

=

=

=

sin( )

cos( )

ω

ω

ω

lub:

i CU

t

I

t

m

m

=

+

=

+

sin(

)

sin(

)

ω

ω

Π

Π

2

2

z równania tego wynika, e pr d ładowania kondensatora wyprzedza napi cie o k t fazowy:

ϕ

= Π

2

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

4

Rys. 3. Kondensator idealny w obwodzie pr du sinusoidalnego:

a) schemat poł cze , b) wykres czasowy napi cia i pr du, c) wykres wskazowy

Amplituda pr du ładowania wynosi:

I

CU

U

C

U

X

m

m

m

m

c

=

=

=

ω

ω

1

za warto skuteczna:

I

U

C

U

X

c

=

=

1

ω

Równanie powy sze ma posta prawa Ohma, wi c wielko X

C

nazywa si oporem biernym

pojemno ciowym lub reaktancj pojemno ciow .

X

C

fC

C

=

=

1

1

2

ω

Π

Iloczyn X

C

I nazywa si napi ciem pojemno ciowym; równa si on napi ciu przyło onemu do

zacisków kondensatora.

2. ELEMENTY RZECZYWISTE R, L, C

2.1 . Odbiornik o charakterze R

Przy niezbyt du ych cz stotliwo ciach odbiornik taki mo na przedstawi jako szeregowe

poł czenie idealnej rezystancji R i idealnej indukcyjno ci L (rys. 4a).

Rys. 4. Odbiornik o charakterze R:

a) schemat zast pczy, b) wykres wskazowy pr du i napi

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

5

Przy szeregowym poł czeniu elementów R i L suma napi chwilowych na tych elementach

wynosi:

u = u

R

+ u

L

K t przesuni cia fazowego pomi dzy napi ciem, a pr dem mo na najłatwiej wyznaczy wykre lnie

(rys. 4b), dodaj c geometrycznie wskazy U

R

oraz U

L

. Budow wykresu wskazowego rozpoczyna si

od wskazu pr du I, który jako wskaz wyj ciowy odkłada si zgodnie z dodatnim kierunkiem osi x.

Wskaz napi cia U

R

= RI jest w fazie z wskazem pr du I. Do wskazu U

R

dodaje si wskaz napi cia

U

L

= X

L

I, który wyprzedza w fazie wskaz pr du o k t +

Π/2.

2.2. Odbiornik o charakterze L

Przy niezbyt du ych cz stotliwo ciach odbiornik taki mo na przedstawi jako szeregowe

poł czenie idealnej indukcyjno ci L i idealnej rezystancji R analogicznie jak dla odbiornika o

charakterze R, z t ró nic , e X

L

>> R.

Wykres wskazowy dla tego przypadku przedstawiono na rys. 5.

Rys. 5. Wykres wskazowy pr du i napi

dla odbiornika o charakterze L

2.3. Odbiornik o charakterze C, kondensator rzeczywisty

Kondensator rzeczywisty przy doprowadzeniu do niego napi cia sinusoidalnego wydziela

ciepło. Jest to spowodowane pr dem upływowym nagrzewaj cym izolacj . Ponadto wyst puj

straty energii na rezystancji słu cej do rozładowywania kondensatora. Przy doprowadzeniu do

okładzin napi cia sinusoidalnie zmiennego wyró niamy dwa rodzaje pr du kondensatora:

pr d pojemno ciowy, wyprzedzaj cy w fazie napi cie o k t prosty,

pr d upływowy, b d cy w fazie z napi ciem.

Odpowiednio do tych dwóch rodzajów pr du przyporz dkowujemy kondensatorowi

rzeczywistemu schemat zast pczy równoległy przedstawiony na rys. 6a, zło ony z dwóch

elementów idealnych R, C i znajduj cych si pod tym samym napi ciem U.

Na rys. 6b przedstawione s wskazy pr dów:

pr du upływowego, b d cego w fazie z napi ciem i maj cego charakter pr du czynnego

I

U

R

cz

=

pr du pojemno ciowego, wyprzedzaj cego w fazie napi cie o k t prosty i maj cego

charakter pr du biernego.

I

b

=

ωCU

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

6

Rys. 6. Układ zast pczy równoległy kondensatora rzeczywistego:

a) schemat układu, b) wykres wskazowy

Pr d w gał zi głównej, czyli pr d płyn cy przez kondensator rzeczywisty, jest sum

geometryczn powy szych składowych.

Układ ten ma charakter pojemno ciowy, wobec czego k t przesuni cia fazowego

ϕ jest

ujemny. Oznaczony przez

δ k t dopełniaj cy warto bezwzgl dn |ϕ| do k ta prostego nazywamy

k tem strat, a tg(

δ) - współczynnikiem strat.

3. Ł CZENIE ELEMENTÓW R, L, C

3.1. Szeregowe poł czenie elementów R, L, C

Dla szeregowego poł czenia elementów R, L, C (rys. 7a) suma napi chwilowych na tych

elementach wynosi:

u = u

R

+ u

L

+ u

C

Je eli pr d płyn cy przez obwód zmienia si sinusoidalnie:

i = I

m

sin(

ωt)

To napi cie przyło one, równe sumie trzech sinusoidalnych napi składowych, b dzie równie

funkcj sinusoidaln , któr mo na przedstawi jako:

u = U

m

sin(

ωt + ϕ)

Warto skuteczn napi cia przyło onego U oraz k t przesuni cia fazowego

ϕ pomi dzy napi ciem,

a pr dem mo na wyznaczy wykre lnie (rys. 7b) dodaj c geometryczne wskazy U

R

, U

L

, oraz U

C

.

Rysunek wykonano dla przypadku X

L

>X

C

. Dla ka dego elementu przesuni cie fazowe pomi dzy

pr dem i napi ciem jest takie same jak w przypadku rozpatrywania tego elementu jako jedynego w

obwodzie.

Napi cie wypadkowe oblicza si z zale no ci geometrycznych (trójk t OAB, rys. 7b):

U

U

U

U

R

L

C

=

+

−

2

2

(

)

lub:

U

RI

X

X

I

I R

X

X

L

C

L

C

=

+

−

=

+

−

2

2 2

2

2

(

)

(

)

Wielko

R

X

X

L

C

2

2

+

−

(

)

oznacza si przez Z i nazywa si impedancj lub oporem pozornym gał zi szeregowej R, L, C.

Zastosowanie impedancji pozwala zapisa prawo Ohma w postaci:

U = ZI

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

7

Impedancj zast pcz mo na wyznaczy równie z trójk ta oporów (rys. 7c). Rysunek wykonano

dla przypadku X

L

>X

C

Rys. 7. Szeregowe poł czenie elementów R, L, C:

a) schemat poł cze , b) wykres wskazowy napi , c) trójk t oporów

3.2. Równoległe poł czenie elementów R, L, C

Przy równoległym poł czeniu elementów R, L, C (rys. 8a) wyst puje zagadnienie

wyznaczania pr du w ka dym odbiorniku, a tak e wypadkowego pr du płyn cego z sieci.

Warto chwilowa pr du płyn cego z sieci jest według I prawa Kirchhoffa równa sumie warto ci

chwilowych pr dów poszczególnych odbiorników:

i = i

R

+ i

L

+ i

C

Je eli napi cie sieci zmienia si sinusoidalnie:

u = U

m

sin(

ωt + ϕ)

to pr d płyn cy z sieci, równy sumie trzech sinusoidalnych pr dów składowych, b dzie równie

funkcj sinusoidaln , któr mo na przedstawi jako:

i = I

m

sin(

ωt + ϕ)

Warto skuteczn pr du wypadkowego I najpro ciej wyznacza si wykre lnie (rys. 8b) dodaj c

geometrycznie wektory pr dów I

R

, I

L

, I

C

. Rysunek wykonano dla przypadku B

L

>B

C

.

Rys. 8. Równoległe poł czenie elementów R, L, C:

a) schemat poł cze , b) wykres wskazowy pr dów, c) trójk t przewodno ci

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

8

4. WYKONANIE WICZENIA
4.1. Pomiary i obliczenia rezystancji, reaktancji, mocy czynnej, mocy biernej i pozornej

oraz cosϕϕϕϕ dla pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C

1. Nastawi pokr tło autotransformatora w lewym skrajnym poło eniu.

2. Ustawi

woltomierze na zakres pomiarowy 300V, amperomierze na zakres 2A i watomierz

na zakres pomiarowy

200W.

Uwaga! Przy odczycie z mierników zwróci uwag na ustawienia zakresu pomiarowego i

ewentualnie wskazania miernika odpowiednio pomno y lub podzieli np. dla amperomierza

przy ustawieniu zakresu na 2A nale y wskazanie pomno y przez 2.

3. W celu wykonania pomiarów nale y do

zacisków autotransformatora podł czy układ w/g

rys. 9.

Zaciski watomierza oznaczone gwiazdk podł czy do wyj cia amperomierza.

Rys. 9. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów odbiorników R, L, C

4.

Po zestawieniu poł czenia dla odbiornika R wezwa prowadz cego celem sprawdzenia

poprawno ci wykonanych poł cze .

5. Po weryfikacji poł cze zał czy zasilanie główne stanowiska i przekr caj c pokr tło

autotransformatora w prawo stopniowo zwi ksza napi cie zasilania do warto ci

220V,

obserwowa wskazania przyrz dów pomiarowych. Skorygowa ustawienia zakresu

pomiarowego przyrz dów, tak aby dokona pomiarów dla mo liwie najdokładniejszego zakresu.

6. Wyniki pomiarów dla poszczególnych odbiorników nale y zestawi w tabeli.

Uwaga! Po wykonaniu pomiaru ustawi pokr tło autotransformatora w lewe skrajne poło enie i

wył czy zasilanie stanowiska. Pomiary dla pozostałych odbiorników wykona w/g punktu 4 i 5.

Pomiary

Obliczenia

Odbior-

niki

U [V] I [A] P[W] f[Hz] R[

Ω] L [H] C [F] S[VA] Q[var] cosϕ ϕ

R

L

C

Wzory do oblicze :

Na

podstawie

oblicze

wykona

wykresy wskazowe pr dów i napi .

.

cos

,

,

2

,

2

1

,

,

,

2

2

2

2

2

S

P

Z

R

P

S

Q

f

X

L

fX

C

R

Z

X

I

U

Z

I

P

R

C

C

=

=

−

=

Π

=

Π

=

−

=

=

=

ϕ

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

9

4.2. Pomiary parametrów obwodu zło onego z szeregowo poł czonych odbiorników o

charakterze R, L, C

1. Analogicznie do pkt. 4.1 wykona pomiary dla szeregowo poł czonych odbiorników RLC

w/g rys. 10.

2.

Uwaga! Po ka dym zestawieniu poł cze wezwa prowadz cego celem sprawdzenia

wykonanych poł cze .

Rys. 10. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów obwodu zło onego z szeregowo

poł czonych odbiorników o charakterze R, L, C

Wyniki pomiarów nale y zestawi w tabeli.

Pomiary

Obliczenia

Odbior-

niki

U

1

I

P

U

2

U

3

U

4

Z

R

X

S

Q cos

ϕ ϕ

R+L

R+C

R+L+C

Na podstawie wyników pomiarów wykona wykresy wskazowe pr dów i napi oraz trójk ty

oporno ci i mocy. Przy wykonywaniu wykresów nale y uwzgl dni charakter odbiorników ustalony

w p. 5.1.

Politechnika Warszawska, IIM w Płocku –

Laboratorium z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

10

4.3. Pomiary parametrów obwodu zło onego z równolegle poł czonych odbiorników R, L, C

1.

Analogicznie do pkt 4.1 i 4.2 wykona pomiary dla równolegle poł czonych odbiorników.

Rys. 11. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów obwodu zło onego z równolegle

poł czonych odbiorników o charakterze R, L, C

Wyniki pomiarów nale y zestawi w tabeli.

Pomiary

Obliczenia

Odbiorniki

U I

1

p

I

2

I

3

I

4

G

Y

B

S

Q cos

ϕ ϕ

R||L

R||C

R||C||L

Wzory do oblicze :

G

R

P

U

Y

I

U

B

Y

G

Q

S

P S U I

P

S

=

=

=

=

−

=

−

= ⋅

=

1

2

2

2

2

2

1

,

,

,

,

,cos

.

ϕ

2. Na podstawie wyników pomiarów nale y wykona wykresy wskazowe pr dów i napi oraz

trójk ty przewodno ci i mocy. Nale y uwzgl dni charakter odbiorników ustalony w p. 4.1.

3. Na zako czenie rozł czy zestawione poł czenia.