Wydział: Geodezji i Kartografii	Dzień/godz.: czwartek/godz. 14 ^00 – 17 ^00	Nr zespołu 16
	Data: 28.03.2013 r.
Nazwisko i imię: 1. Boros Iwona 2. Murawski Paweł 3. Napiórkowska Marta	Ocena z przygotowania	Ocena ze sprawozdania
Prowadzący Rafał Tarkowski Imię i nazwisko	Podpis prowadzącego

SPRAWOZDANIE

Ćwiczenie nr 7

STATYSTYCZNY CHARAKTER

ROZPADU PROMIENIOTWÓRCZEGO

Wstęp teoretyczny

Rozpad promieniotwórczy, którego podstawowe prawa zostały zdefiniowane przez H. Becquerela i zbadane przez małżeństwo Marię i Piotra Curie jest spontaniczną przemianą jądra atomowego danego izotopu w inne jądro. Mogą wystąpić następujące typy przemian:

1. Rozpad α – z jądra zostaje wyemitowana cząstka alfa, czyli podwójnie zjonizowane jądro helu.

2. Rozpad β – rozróżniamy dwa podtypy tego rozpadu:

• Beta minus (β -) – emisja z jądra elektronu i antyneutrino elektronowego,

• Beta plus (β +) – emisja z jądra pozytonu i neutrina elektronowego.

1. Promieniowanie γ – promieniowanie elektromagnetyczne, które zwykle towarzyszy przemianom α i β, polega na wyzbyciu się przez jądro nadmiaru energii (energii wzbudzenia).

Cechą charakterystyczną rozpadów jest to, że ich liczba maleje wykładniczo z czasem. Liczba jąder promieniotwórczych po upływie czasu t jest równa:

N(t) = N₀ e^{- λ t}

Prawdopodobieństwo rozpadu dowolnego jądra jest stałe w czasie i nie zależy od warunków zewnętrznych. Oznacza to, że rozpad pierwiastków promieniotwórczych jest zjawiskiem przypadkowym i nie potrafimy podać, które z jąder ulegnie w danej chwili rozpadowi.

P = dN/dt * 1/N (t) = λ

Możemy jednak podać średni czas życia jądra do chwili rozpadu w zależności od stałej rozpadu λ:

Konsekwencją przypadkowości rozpadu promieniotwórczego powinno być istnienie fluktuacji statycznych, czyli rozrzutu zmierzonych wielkości wokół wartości średniej. Statystyczny charakter tego zjawiska sprawia jednak, że wyniki pomiarów rzeczywistej aktywności nie będą układały się idealnie na krzywej wykładniczej.

1.Cel ćwiczenia

Celem wykonanego ćwiczenia jest sprawdzenie czy rozpad promieniotwórczy ma charakter statystyczny. Niestety w warunkach laboratorium studenckiego nie jest możliwe dokładne zweryfikowanie tego prawa, ponieważ istniejące warunki pozwalają jedynie zbadać rozkład częstotliwości rozpadów promieniotwórczych próbki o bardzo długim okresie połowicznego zaniku, dostatecznie długim w porównaniu z czasem obserwacji, aby założenie o stałej aktywności próbki było w pełni uzasadnione.

2.Wykorzystane urządzenia

Do wykonania ćwiczenia został użyta aparatura pomiarowa, której schemat działania jest następujący:

Jako źródło promieniowania w doświadczeniu użyliśmy izotopu ²²Na.

3.Wykonanie ćwiczenia

Wykonanie ćwiczenia w laboratorium rozpoczęto od wstępu teoretycznego, następnie dokonano pomiaru bez włożonego źródła promieniowania (tzw. pomiar tła). Kolejna czynnością wyło umieszczenie źródła ²²Na w detektorze i dokonanie serii pomiarów (przy ilości prób równej 100 i bramce wynoszącej 95 ms) tak, aby średnia pomiaru wynosiła ok. 1,1. Były to pomiary próbne, po których wykonaniu rozpoczęliśmy wykonanie właściwych pomiarów. Należało dokonać serii pięciu prób dla wartości bramek: 50 ms, 100 ms, 150 ms, 200 ms, 250 ms przy ilości prób równej 300.

Wykonując ćwiczenie obserwowaliśmy rozkład częstotliwości rozpadów promieniotwórczych i porównywaliśmy go z teoretycznym rozkładem Poissona. Z rozkładem tym mamy do czynienia wtedy, gdy w określonym przedziale liczymy zdarzenia od siebie niezależne. Prawdopodobieństwo, że w kolejnym pomiarze zarejestrujemy n zliczeń wynosi:

gdzie:

– wartość oczekiwana rozkładu (średnia liczba obserwowanych rozpadów)

n – wartość, dla której liczymy prawdopodobieństwo

Zgodność serii pomiarów z krzywą teoretyczną badaliśmy za pomocą testu χ² :

Dla rozkładu Poissona liczba stopni swobody wyraża się wzorem:

f=n-2

gdzie:

n – ilość otrzymanych w doświadczeniu różnorodnych kombinacji ilości zliczeń

Dla wybranych przez asystenta wartość średnich dla bramek 100 ms, 150 ms oraz 250 ms zarejestrowano ilości zliczeń w poszczególnych przedziałach i dla nich zostaną wykonane histogramy oraz dla bramki 250 ms rozkład Poissona zostanie porównany z rozkładem Gaussa.

4.Wyniki i opracowanie pomiarów

Dla wykonanego pomiaru wstępnego o parametrach

Ilość prób	100
Bramka [ms]	95
Czas pomiaru [s]	10

wyniki są następujące:

Odczyt liczby zliczeń w przedziale
Przedział
0
1
2
3
4
Średnia

Poniżej przedstawione są wyniki właściwych pomiarów, które zostaną opracowane zgodnie z wytycznymi ustalonymi przez asystenta.

I.

Ilość prób	300
Bramka [ms]	50

Lp.	Średnia	Chi^2
1	0,71	1,30
2	0,51	3,00
3	0,47	1,14
4	0,64	2,42
5	0,67	0,26

II.

Ilość prób	300
Bramka [ms]	100

Lp.	Średnia	Chi^2
1	1,23	5,30
2	1,20	15,21
3	1,18	12,84
4	1,29	6,75
5	1,18	896,06

Dla pomiaru nr 3 1,18
Odczyt liczby zliczeń w przedziale
Przedział
0
1
2
3
4
5
6

III.

Ilość prób	300
Bramka [ms]	150

Lp.	Średnia
1	1,85	4,68
2	1,96	3,46
3	1,80	2,99
4	1,82	8,47
5	1,91	150,58

Dla pomiaru nr 2 1,96
Odczyt liczby zliczeń w przedziale
Przedział
0
1
2
3
4
5
6
7

IV.

Ilość prób	300
Bramka [ms]	200

Lp.	Średnia	Chi^2
1	2,40	3,51
2	2,40	4,51
3	2,52	8,13
4	2,53	5,93
5	2,41	48,69

V.

Ilość prób	300
Bramka [ms]	50

Lp.	Średnia	Chi^2
1	3,04	3,59
2	3,06	11,31
3	3,02	2,98
4	3,04	17,43
5	2,90	20,38

Dla pomiaru nr 3 3,02
Odczyt liczby zliczeń w przedziale
Przedział
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Pierwszym wykres, który wykonano na podstawie powyższych wyników przestawia zależność uzyskanych średnich w poszczególnych bramkach. Jego wykonanie w pierwszej kolejności polegało na wyliczeniu wartości średnich z 5 pomiarów dla każdej z bramki. Następujących wzorów użyto do obliczeń:

1. wzór na wartość średnią

1. wzór na obliczenie niepewności standardowej wartości średniej

Otrzymano następujące wyniki:

	bramka [ms]	średnia	U(s) +/-
I.	50	0,600	0,047
II.	100	1,216	0,021
III.	150	1,868	0,030
IV.	200	2,452	0,030
V.	250	3,012	0,029

Poniżej zestawiono parametry prostej dopasowania powyższych wyników otrzymano stosując metodę najmniejszych kwadratów (do obliczeń użyto funkcji w Excelu – REGLINP):

a	0,01212	0,0116	b
S(a)	0,0002	0,033095	S(b)

Następnie dla wybranych przez asystenta wartości średnich dla wybranych bramek przeanalizowano rozkłady Poissona. Polegało to na wykonaniu histogramu, policzeniu wartości zmiennej losowej i porównaniu jej z wartością otrzymaną przez program. Na histogramy naniesiono również wartości teoretyczne, wraz z ich błędami.

A.

Średnia	1,18	Bramka [ms]	100
Odczyt liczby zliczeń w przedziale	St. Swobody	5
	Chi^2 lab.	12,84
Przedział	Liczba zliczeń	N teor. (P(x)*300)	Błąd	(Nteor-N)^2/Nteor
0	98	92,18	9,60	0,37
1	103	108,78	10,43	0,31
2	69	64,18	8,01	0,36
3	15	25,24	5,02	4,16
4	9	7,45	2,73	0,32
5	5	1,76	1,33	5,98
6	1	0,35	0,59	1,24
		Chi^2 teor.	12,74

B.

Średnia	1,96	Bramka [ms]	150
Odczyt liczby zliczeń w przedziale	St. Swobody	6
	Chi^2 lab.	3,46
Przedział	Liczba zliczeń	N teor. (P(x)*300)	Błąd	(Nteor-N)^2/Nteor
0	45	42,26	6,50	0,18
1	82	82,82	9,10	0,01
2	77	81,17	9,01	0,21
3	57	53,03	7,28	0,30
4	22	25,98	5,10	0,61
5	10	10,19	3,19	0,00
6	6	3,33	1,82	2,15
7	1	0,93	0,97	0,01
			Chi^2 teor.	3,46

C.

Średnia	3,02	Bramka [ms]	50
Odczyt liczby zliczeń w przedziale	St. Swobody	8
	Chi^2 lab.	2,98
Przedział	Liczba zliczeń	N teor. (P(x)*300)	Błąd	(Nteor-N)^2/Nteor
0	16	14,64	3,83	0,13
1	48	44,21	6,65	0,32
2	62	66,76	8,17	0,34
3	69	67,21	8,20	0,05
4	48	50,74	7,12	0,15
5	28	30,65	5,54	0,23
6	15	15,43	3,93	0,01
7	9	6,66	2,58	0,83
8	4	2,51	1,59	0,88
9	1	0,84	0,92	0,03
			Chi^2 teor.	2,96

Dla opracowywanych wyników z podpunktu C wykonano dodatkowo dopasowanie teoretyczne do danych doświadczalnych na podstawie statystycznego rozkładu prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa. Wyniki tego opracowania zamieszczono w poniższej tabeli i zestawiono razem z wcześniej wyliczonym rozkładem Poissona.

Średnia	3,02	Bramka [ms]	50
Odczyt liczby zliczeń w przedziale	St. Swobody	8
	Chi^2 lab.	2,98
Przedział	Liczba zliczeń	Poisson	Gauss
0	16	14,64	15,21
1	48	44,21	35,05
2	62	66,76	57,97
3	69	67,21	68,87
4	48	50,74	58,75
5	28	30,65	35,99
6	15	15,43	15,83
7	9	6,66	5,00
8	4	2,51	1,13
9	1	0,84	0,18

Kolejnym elementem, jaki policzono była wartość testu dla obu rozkładów.

Chi^2 teor. Poisson	2,96
Chi^2 teor. Gauss	22,92

Korzystając z tablicy rozkładu możemy powiedzieć, że poziom istotności jaki otrzymaliśmy dla rozkładu Poissona wynosi 0,95, czyli poziom ufności równa się 0,05. Natomiast dla rozkładu Gaussa poziom istotności jest bardzo mały, co oznacza, iż poziom ufności jest wysoki.

Wynik powyżej analizy przedstawiono na poniższym wykresie:

Wnioski

Na podstawie przeprowadzonych pomiarów oraz wyników obliczeń możemy stwierdzić, że rozpad promieniotwórczy ma charakter statystyczny. Charakterystyka rozpadów promieniotwórczych może być opisywana za pomocą rozkładu Poissona, a w niektórych przypadkach także rozkładu Gaussa. Na podstawie pierwszej części laboratorium możemy stwierdzić ze rozkład Poissona dość dobrze opisuje charakter rozpadu promieniotwórczego dla małej liczby zliczeń, zaś na podstawie ostatniej części laboratorium można stwierdzić, iż dla dużej liczby zliczeń rozkład Poissona przechodzi w rozkład Gaussa.