STATYSTYKA – wykład 03.12.2011

12.01.2012, GODZINA 17³⁰ – SALA C1 LUB C2 – WPISY.

Przykład:

Badano 7 krakowskich uczelni ze względu na liczbę studentów i powierzchnię sal dydaktycznych. Sporządzić wykres rozrzutu i ocenić siłę związku między badanymi cechami.

y – liczba studentów (tys. Osób);

x – powierzchnia sal dydaktycznych (tys. m²).

UCZELNIA	yi	xi	$$y_{i} - \overset{\overline{}}{y}$$	$$x_{i} - \overset{\overline{}}{x}$$	$${(\ x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}$$	$${(\ y_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}$$	$$({x_{i} - \overset{\overline{}}{x})*(y}_{i} - \overset{\overline{}}{y})$$
UR	4	4,5	-4	-1,9	3,61	16	7,6
UE	12	8,8	4	2,4	5,76	16	9,6
WSP	6	4,2	-2	-2,2	4,84	4	4,4
UJ	21	17	13	10,6	112,36	169	137,8
PK	9	6	1	-0,4	0,16	1	-0,4
ASP	1	1,8	-7	-4,6	21,16	49	32,2
AWF	3	2,5	-5	-3,9	15,21	25	19,5
RAZEM (N=7) Bo jest 7 uczelni	56	44,8	0– żeby się sprawdzić, to musi wyjść, ale nie podstawiamy tego zera do wzoru	0 – żeby się sprawdzić, to musi wyjść, ale nie podstawiamy tego zera do wzoru	163,1	280	210,7

Odp. Na powyższym wykresie widzimy korelację liniową dodatnią.

1 MIARA:

$$r_{\text{xy}} = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)*\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}*}\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}}}$$

$\overset{\overline{}}{x} = 44,8 : 7 = 6,4$ r_xy ∈   < −1,   + 1>

$\overset{\overline{}}{y}$ = 56 ∶ 7 = 8

$$r_{\text{xy}} = \frac{\frac{1}{7}\ *210,7\ }{\sqrt{\frac{163,1}{7}*\ \sqrt{\frac{280}{7}}}} = \ \frac{30,1}{6,32*4,83} = 0,986$$

Odp. Pomiędzy badanymi cechami występuje bardzo silna korelacja dodatnia.

2 MIARA:

Współczynnik korelacji rang Spearmana – służy do badania korelacji cech gdy:

• Cechy są mierzalne a badana zbiorowość jest nieliczna;

• Cechy maja charakter jakościowy i istnieje możliwość uporządkowania obserwacji empirycznych w określonej kolejności.

$$r_{s} = 1 - \ \frac{6*\ \sum_{i = 1}^{N}{({t_{\text{xi}} - t_{\text{yi}}\ )}^{2}}}{N*\ \left( N^{2} - \ 1 \right)}$$

r_s  ∈   < −1,   + 1>

tx_i, ty_i – rangi nadane zaobserwowanym wartościom zmiennych x i y.

ZADANIE:

Określić ścisłość związku między zaangażowaniem w pracy organizacji studenckich a średnią ocen w nauce w badanej zbiorowości studenckiej.

student	Stopień zaangażowania x	Średnia Ocen y	Rangi x txi	Rangi y tyi	txi − tyi	(txi − tyi )^2
A	Mniej niż przeciętny	5,0	3	7	-4	16
B	Niski	3,5	2	4	-2	4
C	Wysoki	2,5	6	1,5	4,5	20,25
D	Przeciętny	4,0	4,5	5,5	-1	1
E	Bardzo wysoki	2,5	7	1,5	5,5	30,25
H	Bardzo niski	3,0	1	3	-2	4
G	Przeciętny	4,0	4,5	5,5	-1	1
Σ	-	-	28	28	x	76,5

Aby się upewnić, że w tabelce policzyliśmy dobrze rangi, to korzystamy z następującego wzoru:

$$\frac{N\ (N = 1)}{2} = \ \frac{7*(7 + 1)}{2} = 28$$

Wiemy wtedy jaka ma być suma rang, suma tx_i oraz ty_i musi być taka sama!!!

$r_{s} = 1 - \ \frac{6*76,5}{7*(7^{2} - 1)}$ = 1 – 1,366 = - 0,366

Odp. Przeciętnie rzecz biorąc wraz ze wzrostem zaangażowania maleje średnia ocen.

ZADANIE DOMOWE:

Uczniów klasy drugiej poddano testowi na umiejętności czytania. W badaniach poszukiwano związku pomiędzy ilością błędów a absencją uczniów w szkole.

NUMER UCZNIA W DZIENNIKU	NIEOBECNOŚĆ W godzinach x	ILOŚĆ POMYŁEK W TEŚCIE y
1	5	1
2	21	6
3	17	5
4	11	4
5	26	7
6	40	9
7	33	8
8	32	9
9	2	2
Σ	-	-

3 MIARA:

Związek cech niemierzalnych, np. czy wynik zaliczenia jest zależny od płci studenta – współczynnik V Cramera.

WSPÓŁCZYNNIK CRAMERA:

Trzeci krok: $V = \ \sqrt{\frac{\chi}{N*min\left\{ \left( r - 1 \right);\left( s - 1 \right) \right\}}}$ Vϵ < 0,  1>

Drugi krok: $\chi^{2} = \ \sum_{i = 1}^{r}{\sum_{j = 1}^{s}\frac{{(n_{\text{ij}}{- \ n^{*}}_{\text{ij}})}^{2}}{{n^{*}}_{\text{ij}}}}$

Pierwszy krok: ${n^{*}}_{\text{ij}} = \ \frac{n_{\text{i.}}\ *n_{\text{.j}}}{N}$

n_ij −  liczebnosci empiryczne

n^*_ij −  liczebnosci teoretyczne

χ² −  (chi kwadrat) −  pamietaj,  to nie jest zwykle x!

r – liczba wierszy w tablicy kontyngencji

s – liczba kolumn w tablicy kontyngencji

• Jeżeli V = 0 to cechy X i Y są niezależne;

• Im bliższa 1 jest wartość V tym silniejsze jest powiązanie pomiędzy cechami X i Y.

PRZYKŁAD:

W grupie 750 mężczyzn w wieku 50 – 60 lat zbadano zależność między ilością wypalanych dziennie papierosów a wystąpieniem pewnych niekorzystnych zmian w płucach. Zebrane dane przedstawiono w poniższej tablicy wielodzielczej:

x	y	ni.
	niepalący	Palący mało
Zmiany występują	121,3 26	132,2 125
Zmiany nie występują	89,7 185	97,8 105
n.j	211	230

Krok pierwszy:

$${n^{*}}_{\text{ij}} = \ \frac{n_{\text{i.}}\ *n_{\text{.j}}}{N}$$

$${n^{*}}_{11} = \frac{n_{1.}\ *n_{.1}}{N} = \ \frac{431*211}{750} = 121,3$$

$${n^{*}}_{12} = \frac{n_{1.}\ *n_{.2}}{N} = \ \frac{431*230}{750} = 132,2$$

$${n^{*}}_{23} = \frac{n_{2.}\ *n_{.3}}{N} = \frac{319*309}{750} = 131,4$$

n^*₂₃ = 2 − gi wiersz,  3 − cia kolumna

Krok drugi:

$\chi^{2} = \ \sum_{i = 1}^{r}{\sum_{j = 1}^{s}{\frac{{(n_{\text{ij}}{- \ n^{*}}_{\text{ij}})}^{2}}{{n^{*}}_{\text{ij}}} = \ \frac{{(26 - 121,3)}^{2}}{121,3}}} + \frac{{(125 - 132,2)}^{2}}{132,2} + \frac{{(280 - 177,6)}^{2}}{177,6} + \frac{{(185 - 89,7)}^{2}}{89,7} + + \frac{{(105 - 97,8)}^{2}}{97,8} + \frac{{(29 - 131,4)}^{2}}{131,4} = 315,886$

Krok trzeci:

$$V = \ \sqrt{\frac{\chi}{N*min\left\{ \left( r - 1 \right);\left( s - 1 \right) \right\}}} = \sqrt{\frac{315,886}{750*1}} = 0,649$$

r=2, czyli r – 1 = 1

s = 3, czyli s – 1 = 3 – 1= 2

bierzemy ta mniejszą liczbę, czyli 1.

Odp. Zależność jest wyraźna.

ZADANIE DOMOWE:

Dla sprawdzenia przypuszczenia, że stosunek uczuciowy matki do dziecka ma znaczny wpływ na występowanie zaburzeń nerwowych, wybrano losowo 100 dzieci i uzyskano dane:

WYSTĘPOWANIE ZABURZEŃ NERWOWYCH	STOSUNEK UCZUCIOWY MATKI DO DZIECKA	ni.
	SERDECZNY	RZECZOWY
TAK	10	9
NIE	40	21
n.j	50	30

Stosując odpowiednią miarę sprawdź, czy wyniki uzyskane w próbie potwierdzają postawioną tezę.