Zad 1. Wyznaczyć rozwiązanie równania y(n) jeżeli: a=2, oraz a=10 przy warunku początkowym y(-1)=0

ay(k) + y(k) = 10▫(k)

□(k) – funkcja dyskretna skoku jednostkowego

□(k)$\left\{ \begin{matrix} 0,\ k < 0 \\ 1,\ K \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ y(k) =  y(k+1) − y(k)→ 1-róznica funkcji dyskretnej

a y(k+1) – a y(k) +y(k) = 10 ⦁□(k)

a y(k+1) – (a-1) +z(z+5)y(k) = 10 ⦁□(k) → postać rekurencyjna

Wyznacz początkowe rozwiązania metodą iteracyjną

y(0) – (a-1) y(-1) = 10 ⦁□(-1)

y(0) – $\frac{(a - 1)}{a}y( - 1)$ = 10 ⦁□(-1)

y(0) – $\frac{(a - 1)}{a}y( - 1)$ + 10 ⦁□(-1) = $\frac{(a - 1)}{a}0 + 100 = 0$

y(1) – $\frac{(a - 1)}{a}y(0)$ + 10 ⦁□(-0) = $\frac{(a - 1)}{a}0 + 101 = 10$

y(2) – $\frac{(a - 1)}{a}y(1)$ + 10 ⦁□(-1) = $\frac{(a - 1)}{a}10 + 101 = 10(1 + \frac{a - 1}{a})$

y(3) – $\frac{(a - 1)}{a}y(2)$ + 10 ⦁□(2) = $\frac{(a - 1)}{a}10(1 + \frac{a - 1}{a}) + 10$

Zad 3 Oblicz transformatę odwrotną

Z^-1$\left\lbrack \frac{z^{2} + 5z}{z^{2} + 5z + 4} \right\rbrack = Z^{- 1}\lbrack\frac{z^{2} + 5z}{\left( z + 1 \right)\left( z + 4 \right)}\rbrack$

=b² − 4ac = 25 − 16 = 9

Z₁=$\frac{- b - \sqrt{}}{2a} = \frac{- 5 - 3}{2} = - 4$ y(k)=$\frac{4}{3}{( - 1)}^{k} - \frac{1}{3}{( - 4)}^{k}$

Z₂=$\frac{- b + \sqrt{}}{2a} = \frac{- 5 + 3}{2} = - 1$

Wzór => f(k)=$\sum_{i = 1}^{n}{\text{ves\ zi\ F}\left( 2 \right)z^{k - 1}}$

Ves _zi F(2)z^K-1=$\frac{1}{\left( m_{i} - 1 \right)!}\frac{d^{m_{i} - 1}}{{d_{z}}^{mi - 1}}$(F(2)z^K-1⦁(z-z_i)^mi

Ves_zi=-1 F(2)z^K-1=$\frac{z^{2} + 5z}{\left( z + 1 \right)\left( z + 4 \right)}z^{k - 1}\left( z + 1 \right) = \frac{\left( - 1 + 3 \right)}{\left( - 1 + 4 \right)}\left( - 1 \right)^{k - 1} = - \frac{4}{3}\left( - 1 \right)^{k}\left( - 1 \right) = \frac{4}{3}\left( - 1 \right)^{k}$

Ves _zi=-4 F(2)z^K-1=$\frac{z\left( z + 5 \right)}{\left( z + 1 \right)\left( 2 + 4 \right)}z^{k - 1}(z + 4)$ _z=-4 $\frac{z + 5}{z + 1}z^{k}$ _z=-4 =$\frac{1}{3}{( - 4)}^{k}$

Równania różnicowe (w domu wyznaczyć regułę wsteczna)

Zad 2. Korzystając z metody Eulera w przód, dokonaj dyskretyzacji z okresem próbkowania T=0.1[s] następnego R.R.

$$\frac{^{2}t(K)}{T^{2}} + 2\frac{y(K)}{T} + 5y\left( \text{KT} \right) = 101(KT)$$

Przy użyciu metod prostokątnej w przód pierwsza różnica zapisywana jest następująco:

y(KT) = y(KT+T) − y(KT)

Druga różnica:

²y(KT) = y(KT+T) − y(KT) = y(KT+2T) − y(KT+T) − y(KT+T) + y(KT) = y(KT+2T) − 2y(KT+T) + y(KT)

Podstawiamy różnice do równania różnicowego

$$\frac{y\left( KT + 2T \right) - 2y\left( KT + T \right) + y(KT)}{T^{2}} + \frac{2y\left( KT + T \right) - 2y(KT)}{T} + 5y\left( \text{KT} \right) = 10\text{KT}\ \ \ \ /T^{2}$$

y(K+2)T-2y(K+1)T+y(k)T+2y(K+1)T²⦁(-2y(K)T²)+5y(K)T⦁T²=10⦁T²⦁□(KT)

y(K+2)T+y(k+1)(-2T+2T²)+y(k)(T-2T²+5T³)=10⦁T³⦁□(KT)

Podstawiając okres próbkowania T=0.1s otrzymujemy:

y(k+2)0,1+y(k+1)(-0,18)+y(k)(0,085)=0,01□(K) -> R.R. w postaci rekurencyjnej

Do wyznaczenia pozostaje jeszcze drugi warunek początkowy

y¹(0)=$\frac{y\left( 1 \right) - y(0)}{T}$ stąd y(1)=y(0)+T y⁽¹⁾(0)=-4+0,1⦁(-10)=-5