WERYFIKACJA MODELU EKONOMETRYCZNEGO

• Dla jednej zmiennej objaśniającej

t	Yt	X1t	Yt^*	Ut = Yt − Yt^*	Ut^2
1	5	3	4,745	0,250	0,062500
2	5	3	4,745	0,250	0,062500
3	8	5	7,995	0,005	0,000025
4	6	4	6,370	-0,370	0,136900
5	7	5	7,995	-0,995	0,990000
6	10	6	9,620	0,380	0,144400
7	10	6	9,620	0,380	0,144400
8	10	6	9,620	0,380	0,144400
9	11	7	11,245	-0,245	0,060000
$$\sum_{}^{}\ $$	-	-	-	0,035	1,745125

Po oszacowaniu modelu otrzymaliśmy

Y_t =  1, 625X_1t  − 0, 13 + u_t

y_t^* =  1, 625x_1t  − 0, 13

MIARY STRUKTURY STOCHASTYCZNEJ

Liczymy reszty modelu

u_t = Y_t − Y_t^*

1. y_t^* =  1, 625 × 3  − 0, 13 = 4, 745

2. … (dane w tabeli)

Wariancja resztowa

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{t = 1}^{m}\left( Y_{t} - {Y_{t}}^{*} \right)^{2}$$

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{t = 1}^{m}{u_{t}}^{2}$$

$$\sum_{t = 1}^{t}{u_{t}}^{2} = 1,75$$

Suma reszt musi być najmniejsza

Liczymy wariancję resztową

n = 9 k=2 n − k = 7 ← 7 stopni swobody

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{7} \times 1,75 = 0,25\ \left\lbrack . \right\rbrack^{2}$$

$$Su = \sqrt{0,25} = 0,5\left\lbrack . \right\rbrack$$

[.] ← jednostka

Rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej Y_t odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 0,5 jednostki od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

(Jaki jest związek między średnią wartością oczekiwaną reszt E(u_t) = 0 od Su (odchylenie standardowe) ?

Średnią mamy mieć na poziomie 0. Im większe jest Su tym lepiej dla nas, ale zawsze będą odchylenia)

Miary służące badaniu precyzji modelu

Skalujemy macierz przez wariancję

D²(a) = Su²(X^′X)⁻¹

$${{(x}^{'}x)\ }^{- 1} = \ \begin{bmatrix} 0,06 & - 0,31 \\ - 0,31 & 1,67 \\ \end{bmatrix}$$

$$\text{Su}^{2}{(X^{'}X)}^{- 1} = \ 0,25 \times \begin{bmatrix} 0,06 & - 0,31 \\ - 0,31 & 1,67 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,02 & - 0,08 \\ - 0,08 & 0,42 \\ \end{bmatrix}$$

$$D^{2}\left( a \right) = \begin{bmatrix} 0,02 & - 0,08 \\ - 0,08 & 0,42 \\ \end{bmatrix}$$

$$D\left( a_{1} \right) = \sqrt{0,02} = 0,13$$

$$D\left( a_{0} \right) = \sqrt{0,42} = 0,65$$

Y_t =  1, 625X_1t  − 0, 13 + u_t

(0,13) (0,65)

Parametr 1,625 jest dobrze oszacowany

DOPASOWANIE MODELU DO DANYCH EMPIRYCZNYCH

Współczynnik zbieżności – badanie obciążoności

$$\mathbf{\varphi}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\sum_{t = 1}^{m}\left( Y_{t} - {Y_{t}}^{*} \right)^{2}}{\sum_{t = 1}^{m}\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)^{2}}\mathbf{\times 100\%}$$

$$\overset{\overline{}}{Y} = 8$$

$$\overset{\overline{}}{{Y_{t}}^{*}} = 7,99$$

(z punku widzenia tej miary te „światy” są takie same)

t	Yt	$$\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)$$	$$\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)^{2}$$
1	5	-3	9
2	5	-3	9
3	8	0	0
4	6	-2	4
5	7	-1	1
6	10	2	4
7	10	2	4
8	10	2	4
9	11	3	9
$$\sum_{}^{}\ $$	-	-	44

$$\varphi^{2} = \frac{1,75}{44} \times 100 = 3,9773 \approx 3,98\%$$

3,98% wariancji zmiennej endogenicznej Y_t nie zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny

R² = 100%−φ²

R² = 100%−3, 98%=96, 02%

96,02% wariancji zmiennej endogenicznej zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny

Współczynnik zmienności losowej

$$Vs = \frac{\text{Su}}{\overset{\overline{}}{Y}} \times 100\%$$

$$Vs = \frac{0,5}{8} \times 100 = 6,25\%$$

6,25% przeciętnego poziomu zmiennej endogenicznej stanowią wahania przypadkowe

• Dla dwóch zmiennych objaśniających

t	Yt	X1t	X2t	Yt^*	Ut = Yt − Yt^*	Ut^2
1	2	0	0	2,4	-0,4	0,16
2	3	1	0	2,8	0,2	0,04
3	2	0	0	2,4	-0,4	0,16
4	4	0	1	3,6	0,4	0,16
5	4	0	1	3,6	0,4	0,16
6	3	1	0	2,8	0,2	0,04
7	5	1	2	5,2	-0,2	0,04
8	5	1	2	5,2	-0,2	0,04
$$\sum_{}^{}\ $$	-	-	-	-	0,0	0,80

Y_t  = α₀ + α₁X_1t  +  α₂X_2t + ξ_t

$Y = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \\ 3 \\ 5 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$ $X = \begin{bmatrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

$X^{'}X = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 4 \\ 6 & 4 & 10 \\ \end{bmatrix}$ $X^{'}Y = \begin{bmatrix} 28 \\ 16 \\ 28 \\ \end{bmatrix}$

Obliczamy wyznacznik

$$X^{'}X = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 4 \\ 6 & 4 & 10 \\ \end{bmatrix}\ $$

$\begin{matrix} 8 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 4 \\ \end{matrix}$

−144 320

−128 96

−160 96   

−432 512

det(X^′X) = 512 − 432 = 80

macierz odwrotna $A^{- 1} = \frac{1}{\left| A \right|} \times D^{T}$

$${{(X}^{'}X)}^{- 1} = \begin{bmatrix} 0,03 & - 0,2 & - 0,1 \\ - 0,2 & 0,55 & - 0,1 \\ - 0,1 & - 0,1 & 0,2 \\ \end{bmatrix}$$

$$a = \begin{bmatrix} 2,4 \\ 0,4 \\ 1,2 \\ \end{bmatrix}\begin{matrix} \alpha_{0} \\ \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \end{matrix}$$

Y_t  = 2, 4 + 0, 4X_1t  +  1, 2X_2t + u_t

α₀ = 2, 4 - taką średnią wartość przyjmuje zmienna endogeniczna Y_t w przypadku gdy zmienne objaśniające X_1t oraz X_2t będą równe zero

Wzrost zmiennej objaśniającej o jedną jednostkę czyli o 1 spowoduje wzrost przeciętego poziomu zmiennej endogenicznej Y_t o 0,4 jednostki pod warunkiem, że zmienna objaśniająca X_2t nie ulegnie zmianie.

Wzrost zmiennej objaśniającej X_2t o 1 spowoduje wzrost przeciętnego poziomu zmiennej objaśniającej Y_t o 1,2 pod warunkiem, że zmienna objaśniająca X_1t nie ulegnie zmianie.

Obliczenie wartości teoretycznych

Y_t ^* = 2, 4 + 0, 4X_1t  +  1, 2X_2t

Y₁^* = 2, 4 + 0, 4 × 0  +  1, 2 × 0 = 2, 4

Y₂^* = 2, 4 + 0, 4 × 1  +  1, 2 × 0 = 2, 8

Y₃^* = 2, 4 + 0, 4 × 0  +  1, 2 × 0 = 2, 4

Y₄^* = 2, 4 + 0, 4 × 0  +  1, 2 × 1 = 3, 6

Y₅^* = 2, 4 + 0, 4 × 0  +  1, 2 × 1 = 3, 6

Y₆^* = 2, 4 + 0, 4 × 1  +  1, 2 × 0 = 2, 8

Y₇^* = 2, 4 + 0, 4 × 1  +  1, 2 × 2 = 5, 2

Y₈^* = 2, 4 + 0, 4 × 1  +  1, 2 × 2 = 5, 2

W domu zinterpretować jak poprzednie zadanie

Wariancja resztowa

n = 8 k=3 n − k = 5

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{t = 1}^{m}{u_{t}}^{2}$$

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{5} \times 0,80 = 0,16\ \left\lbrack . \right\rbrack^{2}$$

$$Su = \sqrt{0,16} = 0,4\left\lbrack . \right\rbrack$$

[.] ← jednostka

Rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej Y_t odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 0,4 jednostki od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

Badanie precyzji modelu

Skalujemy macierz przez wariancję

D²(a) = Su²(X^′X)⁻¹

$${{(X}^{'}X)}^{- 1} = \begin{bmatrix} 0,03 & - 0,2 & - 0,1 \\ - 0,2 & 0,55 & - 0,1 \\ - 0,1 & - 0,1 & 0,2 \\ \end{bmatrix}$$

$$\text{Su}^{2}{(X^{'}X)}^{- 1} = \ 0,16 \times \begin{bmatrix} 0,03 & - 0,2 & - 0,1 \\ - 0,2 & 0,55 & - 0,1 \\ - 0,1 & - 0,1 & 0,2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,005 & - 0,032\ & - 0,016\ \\ - 0,032\ & \ \ 0,088 & - 0,016 \\ - 0,016\ & - 0,016 & \ 0,032 \\ \end{bmatrix}$$

$$D^{2}\left( a \right) = \begin{bmatrix} 0,005 & - 0,032\ & - 0,016\ \\ - 0,032\ & \ \ 0,088 & - 0,016 \\ - 0,016\ & - 0,016 & \ 0,032 \\ \end{bmatrix}$$

$$D\left( a_{0} \right) = \sqrt{0,005} = 0,071$$

$$D\left( a_{1} \right) = \sqrt{0,088} = 0,297$$

$$D\left( a_{2} \right) = \sqrt{0,032} = 0,179$$

Y_t  = 2, 4 + 0, 4X_1t  +  1, 2X_2t + u_t

(0,071) (0,297) (0,179)

Parametr 1,625 jest dobrze oszacowany

Współczynnik zbieżności – badanie obciążoności

$$\mathbf{\varphi}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\sum_{t = 1}^{m}\left( Y_{t} - {Y_{t}}^{*} \right)^{2}}{\sum_{t = 1}^{m}\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)^{2}}\mathbf{\times 100\%}$$

$$\overset{\overline{}}{Y} = 3,5$$

$$\overset{\overline{}}{{Y_{t}}^{*}} = 3,5$$

t	Yt	$$\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)$$	$$\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)^{2}$$
1	2	-1,5	2,25
2	3	-0,5	0,25
3	2	-1,5	2,25
4	4	0,5	0,25
5	4	0,5	0,25
6	3	-0,5	0,25
7	5	1,5	2,25
8	5	1,5	2,25
$$\sum_{}^{}\ $$	-	-	10

$$\varphi^{2} = \frac{0,80}{10} \times 100 = 8\%$$

8% wariancji zmiennej endogenicznej Y_t nie zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny

R² = 100%−φ²

R² = 100%−8%=92%

92% wariancji zmiennej endogenicznej zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny

Współczynnik zmienności losowej

$$Vs = \frac{\text{Su}}{\overset{\overline{}}{Y}} \times 100\%$$

$$Vs = \frac{0,4}{3,5} \times 100 = 11,43\%$$

11,43% przeciętnego poziomu zmiennej endogenicznej stanowią wahania przypadkowe