1. Pojęcie aktu komunikacji i znaku

Komunikowanie – ogólnie mówiąc – polega na wymianie komunikatów zakodowanych za

pomocą znaków. Można też powiedzieć, że polega ono na nadawaniu, odbieraniu i

przetwarzaniu znaków. Gdy nadawca chce przekazać pewien komunikat (informację), musi go

zakodować za pomocą stosownego znaku, w szczególności nadać mu odpowiednią postać

językową. Mówimy, że nadawca produkuje znak. Odbiorca musi samodzielnie ów komunikat

odkodować. Mówimy, że odbiorca interpretuje znak.

Podstawowy schemat aktu komunikowania przedstawia następujący diagram:

Znakiem nazywamy dowolny przedmiot lub zjawisko fizyczne, które służy do

zakomunikowania komuś czegoś wobec obowiązywania pewnych konwencji dotyczących

sposobu jego rozumienia, np.:

• podniesienie ręki podczas głosowania,

• dzwonek w szkole oznajmiający przerwę,

• napis w urzędzie „Zaraz wracam”,

• nuty.

Właściwości znaku:

• jest dostrzegalny zmysłowo (dokładniej: dostrzegalny zmysłowo jest jego substrat materialny);

• jest trwały (jak w przypadku słowa pisanego) lub nietrwały (jak w przypadku słowa mówionego);

• ma nadawcę i odbiorcę;

• nadawca wytwarza znak po to, by został dostrzeżony przez odbiorcę oraz wywoływał u odbiorcy myśl o treści ustalonej przez nadawcę;

• ma charakter konwencjonalny, przy czym nadawca i odbiorca znają umowę (konwencję) jak ów znak należy zinterpretować, czyli jak należy go rozumieć;

• nic nie staje się znakiem, jak tylko wtedy, gdy zostaje zinterpretowane

1. Język, jego funkcje, perspektywy badania

Językiem nazywamy system umownych znaków słownych.

Język, którym posługujemy się na co dzień jest swego rodzaju narzędziem – narzędziem

komunikowania się (def. komunikowania w punkcie 1. str. 1)

Tak rozumiany język możemy badać z trzech różnych perspektyw, szukając odpowiedzi na następujące pytania:

• Jak wyrażenia są zbudowane?

• Co one znaczą?

• Jak są one używane?

Te trzy perspektywy wyznaczają trzy komponenty refleksji nad językiem (semiotyki):

• syntaktykę (składnię, gramatykę), dotyczącą struktury znaków i związków miedzy znakami z uwagi na ich kształt;

• semantykę, dotyczącą związków między znakami a ich znaczeniami;

• pragmatykę, dotyczącą związków między znakami a ich użytkownikami.

Funkcje języka (jako narzędzia):

• informacyjna (lub symboliczna): przekazywanie informacji;

• perswazyjno-sugestyjna: powodowanie działania lub powstrzymywanie od działania;

• performatywna (sprawcza): stwarzanie stanów rzeczy za pośrednictwem wyrażeń;

• estetyczna: zwrócenie uwagi na sam komunikat;

• ekspresywna: wyrażania lub wywoływania stanów wewnętrznych;

• fatyczna: utrzymywanie kontaktu miedzy uczestnikami aktu komunikacji;

• metajęzykowa: zwrócenie uwagi na rodzaj kodu.

• Używamy języka w funkcji informacyjnej, gdy przekazujemy informacje o świecie. Wypowiedziami występującymi w funkcji informacyjnej są na ogół zdania oznajmujące w sensie gramatycznym. Są one oceniane przede wszystkim jako prawdziwe lub fałszywe.

• W wypadku użycia języka w funkcji perswazyjno-sugestyjnej chodzi o powodowanie jakiegoś działania lub zakazywanie czynienia czegoś. Otóż wszyscy – na ogół – mówimy w jakimś celu. Wypowiedź pełni funkcję perswazyjno-sugestyjną w stosunku do swego adresata, gdy oddziałuje na niego jako bodziec skłaniający go do podjęcia lub zaniechania pewnego działania. Często w tej funkcji występują rozkazy, prośby lub zdania oznajmujące, które mówią coś o powinnościach, obowiązkach lub zakazach.

• Zadaniem wyrażeń występujących w funkcji performatywnej jest wykreowanie (powołanie do istnienia) pewnych nowych stanów rzeczy. Według Biblii pierwsze użycie języka miało właśnie charakter performatywny – świat powstał, gdy Bóg wyrzekł „Stań się”. Wypowiedziami performatywnymi (performatywami) są np. „Tak” podczas zaślubin, „Chrzczę cię imieniem…” podczas uroczystości nadawania imienia, „Skazuję na…” podczas ogłoszenia wyroku sądowego, „Niech… będzie…” w tekstach matematycznych, „Przyrzekam, że …”, itp.

• W wypadku użycia języka w funkcji estetycznej chodzi o zwrócenie uwagi odbiorcy na sam komunikat, a dokładniej na sposób jego organizacji; np. w poezji.

• Zadaniem wyrażeń występujących w funkcji ekspresywnej jest wyrażanie i wzbudzanie pewnych stanów wewnętrznych, tj. uczuć, przeżyć, doznań itd.

• W przypadku użycia języka w funkcji fatycznej chodzi o nawiązanie, podtrzymanie lub zakończenie kontaktu z rozmówcą.

• W przypadku użycia języka w funkcji metajęzykowej chodzi o zwrócenie uwagi na rodzaj kodu stosowanego podczas komunikacji. Wiąże się to z tzw. zasadą przezroczystości znaku.

Polega ona na tym, że w trakcie komunikacji znakowej niezauważana – przynajmniej na ogół – jest forma znaku. Uwaga użytkowników skupiona jest wyłącznie na przekazywanym komunikacie (z podobną sytuacja mamy do czynienia, gdy spoglądamy przez okno – na ogół nie zwracamy uwagi na szybę, interesuje nas to, co dzieje się za oknem). W pewnych jednak przypadkach istotna jest właśnie forma znaku.

1. Język naturalny i sztuczny, język sformalizowany a niesformalizowany, język przedmiotowy a metajęzyk

1. Język naturalny to – z grubsza rzecz biorąc – język potoczny, używany na co dzień w celach

komunikacyjnych. Sposób rozumienia tworzących go znaków jest wynikiem historycznego

procesu jego rozwoju i jest elementem przekazu kulturowego.

Język sztuczny to język specjalnie zbudowany dla określonych celów, np. symbolizm logiczny, esperanto, alfabet Morse’a, kod binarny itd. Umowa dotycząca rozumienia znaków jest

przedmiotem decyzji jego twórców. Mają one zawsze dobrze określony słownik, a ich składnia

jest regularna, w szczególności rozstrzygalna (obliczalna).

1. Rozważane w logice języki mają charakter języków sformalizowanych.

Język sformalizowany to język w pewien szczególny sposób opisany, tj. spełniający określone postulaty efektywności.

Konstruując taki język, rozpoczynamy od ustalenia jego słownika, do którego zaliczamy

wszystkie znaki, jakimi kiedykolwiek sie posłużymy w tym języku. Wyrażenia definiujemy jako

dowolne skończone ciągi postaci w = 〈z1 ... zn〉, złożone jedynie z elementów słownika.

Wyróżniamy następnie spośród ogółu wyrażeń (W) te wyrażenia, którymi zamierzamy się posługiwać jako zdaniami (Z).

Zakładamy, że zbiór zdań (ogólniej: formuł zdaniowych) jest nieskończony ale rozstrzygalny.

1. Języki sformalizowane dane są przez swój opis strukturalny. Odróżniać więc będziemy tu język,

będący przedmiotem rozważań, tzw. język przedmiotowy, od języka, w którym opisujemy język przedmiotowy, tzw. metajęzyk. Z rozróżnieniem tym wiąże się odróżnienie wyrażeń, które są użyte od tych, które są wymienione.

(1) Lód to zamarznięta woda. [zdanie prawdziwe]

(2) Lód składa się z trzech liter. [zdanie fałszywe]

Lód jako substancja chemiczna nie ma żadnych liter.

Litery występują w słowie „lód”, będącym nazwą owej substancji. Prawidłowa wersja zdania (2) ma więc postać:

(3) „Lód” składa się z trzech liter.

O słowie „lód” występującym w (1) mówimy, że jest użyte; o słowie „lód” występującym w (3) mówimy, że jest wymienione.

Jednym ze sposobów wskazywania, że wyrażenie jest wymienione, jest umieszczenie go w cudzysłowie.

Język przedmiotowy – język, będący przedmiotem naszych rozważań

Metajęzyk – język, w którym mówimy coś o języku przedmiotowym. Jest on o stopień wyższy od języka przedmiotowego.

Wyrażenie:

(*) 2 + 2 = 4

jest zdaniem języka arytmetyki, podczas gdy

(**) „2 + 2 = 4” jest zdaniem języka arytmetyki

jest zdaniem o zdaniu (*). Nie należy więc ono do języka arytmetyki, lecz do jego metajęzyka.

Metajęzyk oprócz nazw wyrażeń języka przedmiotowego i terminów ogólno logicznych zawiera dodatkowo pewne specyficzne wyrażenia odnoszące się do własności wyrażeń języka przedmiotowego i związków między nimi.

1. Spójnik ekstensjonalny a spójnik intensjonalny

Wyrażenia, które łącznie z jednym bądź kilkoma zdaniami tworzą na powrót zdanie, będziemy

nazywać spójnikami. W zależności od tego z iloma zdaniami tworzą zdanie, wyróżniamy

spójniki 1-argumentowe, 2-argumentowe itd.

Kategorię słówka „i” możemy określić w następujący sposób: jest ono funktorem, który tworzy

zdanie w połączeniu ze zdaniami.

Przykłady: Spójniki 1-argumentowe: „nieprawda, że …”, „możliwe, że ….” z/z

Spójniki 2-argumentowe: „oraz, lub”, „jeżeli …, to …” , „ani …, ani …” z/zz

Spójniki służą do budowy zdań złożonych

Jeżeli wartość logiczna zdania A jest określona, to tym samym zgodnie z ustalonym w języku

polskim znaczeniem wyrażenia „nieprawda, że” określona jest też wartość logiczna zdania

„Nieprawda, że A”. O spójniku tym mówimy, że jest ekstensjonalny.

Spójnik ekstensjonalny (prawdziwościowy) charakteryzuje sie tym, że wartość

logiczna zdania złożonego utworzonego przy jego pomocy zależy tylko i wyłącznie od wartości

logicznych zdań składowych.

W przypadku niektórych innych spójników, zwanych intensjonalnymi, sprawa wygląda inaczej.

Dwa różne zdania A, B mimo, że mają tę samą wartość logiczną, poprzedzone np. jednym ze

zwrotów: „wiadomo, że”, „myślę, że”, „z konieczności” mogą mieć różne wartości logiczne.

Zależy to od treści tych zdań, od tego kto je wypowiada itp. Na przykład zdarza się, że zdania A i B są

fałszywe, a wartości logiczne zdań

Możliwe, że A.

Możliwe, że B.

są rożne. Jest tak, gdy jedno z nich jest wewnętrznie sprzeczne, a drugie tylko przypadkowo

fałszywe (opisuje coś, co tylko przypadkowo nie zachodzi); np.

Możliwe, że istnieje kwadrat o polu równym polu koła.

Możliwe, że Sokrates był piekarzem.

Z podobnych względów spójnik „i” wzięty w jednym ze swych potocznych znaczeń, mianowicie

w znaczeniu „a potem”, nie jest ekstensjonalny. Łatwo się o tym przekonać zauważając, że

zmiana kolejności argumentów może zasadniczo wpłynąć na wartość logiczną zdania, np. Uciekł i go zabili.

Spójnik intensjonalny to taki, że wartość logiczna zdania złożonego utworzonego przy

jego pomocy zależy nie tylko od wartości logicznych zdań składowych, ale także od ich treści.

Analizą spójników intensjonalnych zajmują się logiki modalne (aletyczne, epistemiczne,

deontyczne, temporalne). Logika klasyczna ogranicza się do spójników ekstensjonalnych.

1. Argumentacja. Racja a następstwo

Mówiąc o argumentacji, mamy zwykle na myśli pewien rodzaj komunikacji dyskursywnej, w

trakcie której jedna osoba stara się w zaplanowany sposób wpłynąć na przekonania drugiej

osoby lub grupy osób, przedstawiając odpowiednio dobraną wypowiedź. W argumentacji mamy

więc pewien proces komunikacyjny, któremu towarzyszy moment przekonywania. W procesie

tym nadawca wypowiedzi jest stroną przekonującą (tzw. proponent), odbiorca owej wypowiedzi

jest stroną przekonywaną (tzw. audytorium), zaś sama wypowiedź to argument.

Argument ów jest zwykle pewnym ciągiem zdań, w którym wyróżnić można:

• tezę argumentacji lub konkluzję (T), komunikującą jakiś proponowany do akceptacji pogląd

oraz

• racje lub przesłanki (P), które zdaniem nadawcy uzasadniają tezę argumentacji.

Konstrukcję argumentu można wyrazić najprościej za pomocą schematu:

T, gdyż P albo P, a zatem T.

Wypowiedzią argumentacyjną nazywamy wypowiedź, w której za pomocą jednych zdań

(tzw. przesłanek) proponent uzasadnia jakieś inne, z założenia kontrowersyjne, zdanie (tzw. tezę

lub konkluzję). Wyodrębniony z wypowiedzi argumentacyjnej układ zdań złożony z przesłanek i

konkluzji nazywamy argumentem.

Przykłady. 1. Kartezjusz: Jeśli myślę, to jestem. Myślę – chociaż być może tego nie widać.

A zatem, jestem (tu i teraz).

2. Platon (Fedon): Tak samo trzeba powiedzieć i o tym, co nieśmiertelne. Jeśli to, co

nieśmiertelne, jest i niezniszczalne, to niepodobna, żeby dusza, kiedy śmierć do niej przyjdzie, ginąć miała. Bo wedle tego, cośmy powiedzieli przedtem, ona śmierci nie ulegnie i nie będzie umarła; tak samo jak mówiliśmy, że trójka nie będzie czymś parzystym, podobnie jak i nieparzystość sama, a ogień nie będzie chłodny, ani gorącość, która jest w nim.

Argumentacje są oceniane z różnych punktów widzenia, m.in. poprawności, godziwości,

skuteczności. Mówiąc intuicyjnie i niezbyt ściśle, argumentacja jest praktycznie poprawna, gdy

użyte w niej przesłanki: 1) są akceptowalne oraz 2) w dostatecznym stopniu uzasadniają tezę.

Argumentację, w której występuje przesłanka entymematyczna, tj. przesłanka nie

wymieniona w argumencie z powodu uznania jej za oczywistą, nazywamy entymematem.

Część argumentów to tzw. dedukcje. Relacja uzasadniania redukuje się wówczas do relacji

wynikania logicznego: z danych przesłanek wynika logicznie teza argumentacji.

W sposób nieścisły relację wynikania logicznego można określić następująco:

Ze zdań α1, ..., αn wynika logicznie zdanie β wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe, by wszystkie zdania α1, ..., αn były prawdziwe, a zdanie β było fałszywe. Zdania α1, ..., αn nazywamy racjami (logicznymi), a zdanie β – następstwem (logicznym).

Zauważmy, że:

• prawdziwość racji przesądza prawdziwość następstwa oraz

• fałszywość następstwa przesądza fałszywość racji.

Ujmuje to następujący diagram:

1. Warunek wystarczający i konieczny

Formułując twierdzenia i uzasadnienia używa się często pojęć warunku wystarczającego (dostatecznego) i warunku koniecznego.

Niech prawdziwe będzie zdanie warunkowe: Jeżeli p, to q.

Wówczas to, o czym mówi zdanie p, jest warunkiem wystarczającym dla tego, o czym mówi

zdanie q, a to, o czym mówi zdanie q jest warunkiem koniecznym dla tego, o czym mówi zdanie

p. Mówi się wtedy skrótowo, że p jest warunkiem dostatecznym dla q, a q jest warunkiem

koniecznym dla p.

Warunek konieczny (łac. conditio sina qua non – warunek bez którego nie) znaczy: gdyby q nie

było prawdą, to i p nie byłoby prawdą.

Przykład.

Ponieważ prawdziwe jest zdanie warunkowe: Jeżeli Zenek jest adwokatem, to jest prawnikiem,

więc bycie adwokatem jest warunkiem wystarczającym bycia prawnikiem, a bycie prawnikiem jest warunkiem koniecznym bycia adwokatem.

Jeśli prawdziwa jest równoważność: p wtw q,

to q jest zarazem warunkiem wystarczającym i koniecznym dla p.

Przykład.

Liczba n jest podzielna przez 9 wtw suma cyfr liczby n jest podzielna przez 9.

warunek zarazem wystarczający i konieczny

Uzasadniając twierdzenie postaci równoważności „A wtw B” pisze się na przykład:

• Warunek dostateczny: pokażemy, że A pociąga (implikuje) B.

• Warunek konieczny: pokażemy teraz, że B pociąga (implikuje) A.

1. Język Klasycznego Rachunku Zdań (KRZ): słownik, formuły. Schematy zdań.

1. Słownik języka KRZ tworzą następujące znaki:

p1, p2, p3, … (zmienne zdaniowe)

~, ∧, ∨, →, ≡ (spójniki ekstensjonalne)

), ( (nawiasy)

Słownik języka KRZ oprócz zmiennych zdaniowych i nawiasów zawiera wyłącznie spójniki ekstensjonalne:

~ negacja nieprawda, że (nie jest tak, że lub nie)

Konstrukcja negacji polega na poprzedzeniu formuły A symbolem ~: ~(A)

Zakładamy, że spójnik negacji ma następujące znaczenie: jeśli A jest prawdziwe, to ~(A) jest

fałszywe i odwrotnie.

∧ koniunkcja i (oraz, a, ale)

Konstrukcja koniunkcji polega na połączeniu dwóch formuł A, B – zwanych czynnikami -

symbolem ∧: (A) ∧ (B)

Zakładamy, że spójnik koniunkcji ma następujące znaczenie: koniunkcja formuł A, B jest

prawdziwa, gdy oba czynniki są prawdziwe, a fałszywa, gdy co najmniej jeden z czynników

jest fałszywy.

Jeżeli zdanie o postaci koniunkcji (A) ∧ (B) jest fałszywe i jeden jej czynnik jest prawdziwy, to

drugi musi być fałszywy.

∨ alternatywa lub

Konstrukcja alternatywy polega na połączeniu dwóch formuł A, B – zwanych składnikami –

symbolem ∨: (A) ∨ (B)

Zakładamy, że spójnik alternatywy ma następujące znaczenie: alternatywa formuł A, B jest

fałszywa, gdy oba składniki fałszywe, a prawdziwa, gdy co najmniej jeden składnik jest

prawdziwy.

Jeżeli zdanie o postaci alternatywy (A) ∨ (B) jest prawdziwe i jeden jej składnik jest fałszywy, to

drugi musi być prawdziwy.

→ implikacja jeżeli..., to... (jeśli..., to..., o ile..., to...)

Konstrukcja implikacji polega na połączeniu dwóch formuł A, B – zwanych poprzednikiem i

następnikiem – symbolem →: (A) → (B)

Zdania postaci: Jeżeli 〈poprzednik〉, to 〈następnik〉 zwie się zdaniami warunkowymi.

Spójnik implikacji ma następujące znaczenie: implikacja formuł A, B jest fałszywa, gdy

poprzednik A jest prawdziwy, a następnik B jest fałszywy. W pozostałych przypadkach jest

prawdziwa.

Jeżeli implikacja jest prawdziwa i następnik jest fałszywy, to poprzednik też musi być fałszywy.

≡ równoważność wtedy i tylko wtedy, gdy (zawsze i tylko, gdy; wówczas, gdy)

Konstrukcja równoważności polega na połączeniu dwóch formuł A, B – zwanych członami -

symbolem ≡: (A) ≡ (B); symbol ów czytamy:

Spójnik równoważności ma następujące znaczenie: równoważność formuł A, B jest prawdziwa,

gdy oba człony A, B mają tę samą wartość logiczną, tj. oba są zarazem prawdziwe, albo oba są

zarazem fałszywe.

Każde zdanie równoważne zdaniu prawdziwemu (fałszywemu) jest prawdziwe (fałszywe).

1. Wyrażeniem języka KRZ jest każdy skończony ciąg znaków ze słownika języka KRZ.

Wyrażenia poprawnie zbudowane („sensowne”) języka KRZ nazywamy formułami (zdaniowymi).

Formuła

Każda zmienna zdaniowa jest formułą języka KRZ.

Jeżeli A, B są formułami języka KRZ, to wyrażenia:

~(A), (A) ∧ (B), (A) ∨ (B), (A) → (B), (A) ≡ (B)

są także formułami języka KRZ.

Nie ma innych formuł języka KRZ poza zmiennymi zdaniowymi i takimi formułami, które powstają

dzięki zastosowaniu reguły .

Przykłady: Formułami są: p, ~ p, ~~ p, p ∧ ~q, ~(p → ~q), p ∧ q → ~~p

Formułami nie są: p ~ q, p ~ → q, ~p ∧ → q, ∨ pq

Dowolną część formuły A, która sama jest formułą nazywamy podformułą formuły A.

Do podformuł formuły A zaliczamy też samo A.

Przykład: Podformułami formuły p → ~(q ∧ ~r) są:

p, q, r, ~r, q ∧ ~r, ~(q ∧ ~r), p → ~(q ∧ ~r)

1. Formuły języka KRZ są schematami zdań jakiegoś języka, np. polskiego.

Każda formuła jest schematem nieskończonej klasy zdań.

Aby zbudować schemat zdania:

Jeżeli wypowiedziałeś alternatywę, to o ile jeden jej składnik nie jest fałszywy, to

wypowiedziałeś zdanie prawdziwe.

postępujemy następująco:

• zdania proste zastępujemy zmiennymi zdaniowymi:

Wypowiedziałeś alternatywę – p,

Jeden jej składnik jest fałszywy – q,

Wypowiedziałeś zdanie prawdziwe – r.

• spójniki zastępujemy ich symbolami

• i otrzymujemy: p → (~q → r).

1. Charakterystyka semantyczna KRZ: tautologia i kontrtautologia, relacja wynikania semantycznego, logiczna równoważność zdań, wzajemna sprzeczność zdań, wykluczanie i dopełnianie się zdań, pojęcie niezawodnej reguły wnioskowania. Wybrane tautologie.

1. Tautologia i kontrtautologia

Tautologią KRZ (albo prawem logicznym KRZ) nazywamy formułę języka KRZ, która przy dowolnej interpretacji zmiennych zdaniowych zmienia sie w zdanie prawdziwe.

Kontrtautologią KRZ nazywamy formułę języka KRZ, która przy dowolnej interpretacji

zmiennych zdaniowych zmienia sie w zdanie fałszywe.

Innymi słowy, tautologie to schematy zdań wyłącznie prawdziwych, zaś kontrtautologie to

schematy zdań wyłącznie fałszywych np. wewnętrznie sprzecznych (negacje tautologii).

Rola tautologii polega na tym, że wykorzystywane one są do określenia niezawodnych reguł

wnioskowania.

1. Relacja wynikania semantycznego

Zdefiniujmy relację wynikania logicznego (konsekwencji semantycznej). Będzie to

tzw. implikacyjna koncepcja wynikania. Odwołamy się bowiem do pojęć implikacji i tautologii.

Wynikanie logiczne

Z formuł A1, … An wynika logicznie formuła B (na gruncie KRZ) wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja A1 ∧ … ∧ An → B jest tautologią KRZ.

Symbolicznie: {A1, …, An}╞═ B wtw (A1 ∧ … ∧ An → B) ∈ Trz (Trz = zbiór tautologii KRZ).

1. Niech α i β będą zdaniami o schematach A i B. Powiemy, że:

• Zdania α i β są logicznie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy formuła A ≡ B jest tautologią.

• Dwa zdania są wzajemnie sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy jedno z nich jest negacją drugiego lub jest logicznie równoważne negacji drugiego.

• Zdanie α wyklucza się ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy, gdy ze zdania α wynika logicznie negacja zdania β, czyli formuła A → ~B jest tautologią.

• Zdanie α dopełnia się ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy, gdy z negacji zdania α wynika logicznie zdanie β, czyli formuła ~A → B jest tautologią.

Zauważmy, że:

• Zdania wykluczające się nie mogą być współprawdziwe, chociaż mogą być współfałszywe.

• Zdania dopełniające się nie mogą być współfałszywe, chociaż mogą być współprawdziwe.

• Dwa zdania są (wzajemnie) sprzeczne, gdy zarazem się wykluczają i dopełniają; zdania takie

nie mogą być współprawdziwe i współfałszywe.

1. Pojęcie niezawodnej reguły wnioskowania

Przypomnijmy: Logika: = Teoria form / schematów / reguł poprawnych wnioskowań.

Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną – co najmniej dwuwyrazową – sekwencję

zdań, z których ostatnie jest wnioskiem, a wcześniejsze są przesłankami.

Wnioskowanie nazywamy formalnie poprawnym lub dedukcyjnym wtedy i tylko wtedy, gdy jego schematem jest niezawodna reguła wnioskowania, czyli taka, która od przesłanek prawdziwych prowadzi zawsze do prawdziwego wniosku. Ogólnie mówiąc, przez regułę wnioskowania rozumie się instrukcję stwierdzającą z jakiego rodzaju zdań jako przesłanek, jakie zdanie można otrzymać jako wniosek. Przy tym instrukcja ta podaje na ogół tylko strukturę owych zdań, nie wnikając w ich treść. Reguły wnioskowania zwykle notuje się w postaci ułamkowej:

A1, ..., An

B

gdzie A1, ..., An oraz B są dowolnymi formułami KRZ. Formuły A1, ..., An interpretujemy jako

schematy przesłanek, a formułę B jako schemat wniosku.

1. Oto niektóre tautologie.

Tautologie dotyczące zdań sprzecznych:

p ∨ ~p prawo wyłączonego środka (łac. tertium non datur)

~(p ∧ ~p) prawo (nie)sprzeczności

~(p ≡ ~p) prawo nierównoważności sprzeczności

p ∧ ~p → q prawo Dunsa Szkota

Tautologie dotyczące zaprzeczenia:

~~p ≡ p silne prawo podwójnego przeczenia

~(p ∧ q) ≡ (~p ∨ ~q) prawo de Morgana negowania koniunkcji

~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q) prawo de Morgana negowania alternatywy

~(p → q ) ≡ (p ∧ ~q) prawo negowania implikacji

~(p ≡ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) prawo negowania równoważności 13

Tautologie dotyczące implikacji:

(p → q) ∧ (q → r) → (p → r) prawo sylogizmu hipotetycznego

(p → q) ∧ p → q modus ponendo ponens

(p → q) ∧ ~q → ~p modus tollendo tollens

(p ∨ q) ∧ ~p → q modus tollendo ponens

(p → q) ≡ (~q → ~p) prawo transpozycji

(p → q) ∧ (p → ~q) → ~p prawo redukcji do absurdu (dylematu destrukcyjnego)

Tautologie dotyczące równoważności:

(p ≡ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) prawo rozkładania równoważności

(p ≡ q) ≡ (~p ≡ ~q) prawo obustronnego negowania równoważności

1. Metoda 0-1

Aby sprawdzić, czy jakaś formuła jest tautologią, nie wystarczy dokonać kolejnych podstawień za zmienne – dla każdej formuły przykładów podstawień jest bowiem nieskończenie wiele. Wystarczy jednak spostrzec, że każda zmienna zdaniowa występująca w formule może uzyskać albo wartość 1, albo wartość 0 (bo każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe). W ten sposób wartość całej formuły jest jednoznacznie wyznaczona przez wartości przypisane zmiennym zdaniowym. Spostrzeżenie to stanowi podstawę tzw. metody 0-1 rozstrzygania, czy dana formuła jest tautologią.

Kwestia, czy dana formuła jest tautologią jest więc rozstrzygalna, tzn. istnieje algorytm pozwalający w każdym przypadku, po wykonaniu skończonej liczby kroków, odpowiedzieć na pytanie o tautologiczność dowolnej formuły języka KRZ.

Tzw. skróconą metodę 0-1 można przedstawić w postaci następującego algorytmu:

(1) Załóż, że badana formuła nie jest tautologią (tj. istnieje przyporządkowanie wartości logicznych

zmiennym zdaniowym, przy którym przyjmuje ona wartość 0).

(2) Wnioskując „wstecz” ustal, jakie wartości logiczne musiałyby przybrać zmienne zdaniowe,

aby otrzymać wartość 0.

(3) Wyciągnij wnioski:

(a) Jeśli można znaleźć przynajmniej jedną kombinację takich wartości logicznych dla

zmiennych zdaniowych, to badana formuła nie jest tautologią.

(b) Jeśli natomiast nie można znaleźć kombinacji takich wartości logicznych dla

zmiennych zdaniowych (tj. każda próba prowadzi do sprzeczności), to badany schemat

jest tautologią.

1. Dedukcja, wnioskowanie entymematyczne, błędy wnioskowania

Dedukcją nazywa się wnioskowanie oparte na jakiejś regule niezawodnej, czyli takie, w którym wniosek wynika logicznie z przesłanek.

Logika daje narzędzie do kontroli niezawodności wnioskowań, przede wszystkim dedukcyjnych.

Wystarczy sprawdzić, czy wnioskowanie opiera się na regule niezawodnej. Jeżeli wnioskowanie

dedukcyjne nie opiera się na takiej regule, to mówimy, że popełniono błąd formalny.

Wnioskowania przeprowadzane w języku naturalnym i naukowym zawierają często ukryte czy

domyślne przesłanki. Wnioskujący czuje się zwolniony z obowiązku ich wymieniania, gdyż

uznaje je za prawdy oczywiste lub banalne. Wnioskowania takie nazywamy wnioskowaniami

entymematycznymi lub krótko – entymematami. Rekonstrukcja formalna takiego wnioskowania wiąże się z ujawnieniem tych domyślnych przesłanek. Wnioskowanie entymematyczne jest (formalnie) poprawne, jeśli wniosek wynika logicznie z przesłanek wyraźnie wskazanych i ukrytych.

Przykład. Następujące wnioskowanie jest entymematem:

Skoro Wacka nie ma ani w barze, ani u Zenka, więc nie dostał wypłaty.

Przesłanka ukryta: Jeżeli Wacek dostał wypłatę, to jest w barze lub u Zenka.

Błędy wnioskowania:

• Błąd materialny: błąd wnioskowania popełniany wtedy, gdy do uzasadnienia wniosku użyto

fałszywej przesłanki.

• Błędne koło (łac. circulus vitiosus): błąd wnioskowania polegający na wykorzystaniu do

uzasadnienia danego wniosku samego tego wniosku bądź zdania trywialnie z nim

synonimicznego.

Przykład. Dusza jest nieśmiertelna, gdyż dusza nigdy nie umiera.

Częściej błąd ten spotyka się w argumentacjach składających się z kilku kroków; np. do

uzasadnienia twierdzenia α używa się twierdzenia β, a do uzasadnienia β używa się α.

Przykład. Ludzie są niegodziwi, bo natura ludzka jest zepsuta, a to, że natura ludzka jest zepsuta,

poznać najlepiej po niegodziwości ludzi.

• Błąd formalny: błąd wnioskowania powstający wtedy, gdy wnioskujący jest przekonany, że

wnioskuje dedukcyjnie, tymczasem reguła, wedle której przeprowadza wnioskowanie jest

zawodna, tj. wniosek nie wynika logicznie z przesłanek (nawet po uwzględnieniu przesłanek

ukrytych).

Przykłady:

• Błąd wnioskowania z prawdziwości następnika implikacji:

Jeżeli lekarstwo było skuteczne, to chory wyzdrowiał. A ponieważ chory wyzdrowiał, więc

lekarstwo było skuteczne.

• Błąd wnioskowania z negacji poprzednika implikacji:

Jeżeli Zenek jest zazdrosny, to jest zakochany. Na szczęście nie jest zazdrosny. A zatem, nie

jest również zakochany.

• Błędna transpozycja:

Jeżeli oskarżony jest winny, to był na miejscu zbrodni. Stąd, jeżeli nie jest on winny, to nie

był na miejscu zbrodni.

1. Język KRP (Klasyczny Rachunek Predykatów): słownik, formuły, zasięg kwantyfikatora, zmienna wolna i zmienna związana

1. Słownik

W skład słownika języka KRP wchodzą następujące grupy symboli:

zmienne indywiduowe (nazwowe): x1, x2, ...

stałe indywiduowe (nazwowe): a1, a2, ...

symbole funkcyjne: f1¹, f2¹, …, f1², f2², ...., fkⁿ

symbole relacyjne (predykaty): P1¹, P2¹, ..., P1², P2², ..., Pkⁿ

(górny indeks określa liczbę argumentów, a dolny służy do odróżnienia poszczególnych

symboli funkcyjnych i relacyjnych)

spójniki: ~, ∧, ∨, →, ≡

kwantyfikatory: ∀ (generalny), ∃ (egzystencjalny)

kwantyfikator generalny czytamy: dla każdego, dla dowolnego, wszystkie, a

kwantyfikator egzystencjalny czytamy: dla pewnego; istnieje takie, że; niektóre.

znaki techniczne (nawiasy): ), ( .

Spójniki i kwantyfikatory tworzą zbiór tzw. stałych logicznych. Stałe indywiduowe, symbole funkcyjne i symbole relacyjne tworzą zbiór tzw. stałych pozalogicznych.

2. Formuły

Każdy skończony ciąg symboli ze słownika języka KRP nazywamy wyrażeniem tego języka.

Mamy tu dwie kategorie wyrażeń sensownych:

• formuły nazwowe, zwane termami;

• formuły zdaniowe.

Term

(1) Wszystkie zmienne i stałe indywiduowe są termami języka KRP; nazywamy je termami prostymi.

(2) Jeżeli fkⁿ jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym, zaś t1, ..., tn są dowolnymi termami,

to wyrażenie postaci fkⁿ (t1, ..., tn) jest również termem (tzw. termem złożonym).

(3) Nie ma innych termów poza wymieniowymi w punkcie (1) i takimi, które powstają dzięki

zastosowaniu reguły (2).

Termy bez zmiennych to termy domknięte, czyli nazwy.

Formułą zdaniową atomową języka KRP nazywamy dowolne wyrażenie postaci Pkⁿ (t1, ..., tn), gdzie Pkⁿ jest n-argumentowym predykatem, zaś t1, ..., tn są dowolnymi termami.

Formuły atomowe są „cegiełkami”, z których za pomocą stałych logicznych budujemy bardziej

złożone formuły zdaniowe. Dalej, zamiast mówić „formuła zdaniowa” będę mówił po prostu

„formuła”.

Formuła zdaniowa

(1) Wszystkie formuły atomowe są formułami języka KRP.

(2) Jeżeli A, B są dowolnymi formułami języka KRP, to wyrażenia postaci:

~(A), (A) ∧ (B), (A) ∨ (B), (A) → (B), (A) ≡ (B), ∀xi(A) i ∃xi(A)

są również formułami języka KRP.

(3) Nie ma innych formuł języka KRP poza formułami atomowymi i takimi, które powstają

dzięki zastosowaniu reguły (2).

Jeżeli kwantyfikator znajduje się w jakieś formule, to zawsze bezpośrednio za nim występuje

zmienna indywiduowa. Mówimy wówczas, że kwantyfikator wiąże tę zmienną.

Formuły bez zmiennych wolnych nazywamy zdaniami.

Pozostałe formuły nazywamy funkcjami zdaniowymi.

W języku KRP mamy więc następujące rodzaje formuł:

3. Zasięg kwantyfikatora

Formułę A w formule ∀xi(A) lub ∃xi(A) nazywamy zasięgiem odpowiedniego kwantyfikatora.

Notacja: Czasem, kiedy wiadomo, jaki jest zasięg kwantyfikatora, nawiasów się nie używa;

zamiast więc ∀x(∃y(P1(x, y))) piszemy: ∀x∃yP1(x, y).

1. Zmienna wolna i zmienna związana

Zmienna związana

Zmienna xi występująca na danym miejscu w formule A jest w tym miejscu związana wtw albo występuje ona w tej formule bezpośrednio po którymś kwantyfikatorze, albo znajduje się w zasięgu jakiegoś kwantyfikatora wiążącego tę zmienną.

Zmienna xi występująca w formule A jest w niej związana wtw xi jest związana na każdym

miejscu w formule A.

Zmienna wolna

Jeżeli zmienna xi występująca na danym miejscu w formule A, nie jest na tym miejscu związana, to mówimy, że jest ona na tym miejscu wolna w A. Mówimy, że zmienna xi jest wolna w formule A wtw jest ona wolna na przynajmniej jednym miejscu w formule A.

Widzimy, że ta sama zmienna może być w formule w jednym miejscu związana, w innym

zaś – wolna.

1. Pytania i odpowiedzi: pojęcie pytania i odpowiedzi, rodzaje pytań, budowa pytania, założenia pytania, pytanie poprawnie postawione, rodzaje odpowiedzi

1. Pojęcie pytania i odpowiedzi

Pytanie to wyrażenie, które wskazuje na pewien brak w wiedzy subiektywnej lub obiektywnej i wskazuje na dążenie do uzupełnienia tego braku.

Każdemu pytaniu jest przyporządkowany zbiór możliwych odpowiedzi.

Odpowiedzią na pytanie jest wyrażenie, którego zadaniem jest przekazanie informacji, której brak stwierdzony został w pytaniu.

Zwykle – choć nie zawsze – stawiając pytanie korzystamy ze zdań pytajnych. W przeciwieństwie do odpowiedzi nie są one zdaniami w sensie logicznym, bo niczego nie opisują. Cechą wyróżniającą zdania pytajne jest występowanie w nim partykuły pytajnej, takiej jak: kto, co, gdzie, dlaczego, czy.

1. Rodzaje pytań

Nie wiem, gdzie mieszka Jan. Pytam więc: Gdzie mieszka Jan? Nie jestem pewien czy Jan mieszka w Poznaniu. Pytam więc: Czy Jan mieszka w Poznaniu? Jestem zainteresowany tym, kto jest obecnym prezydentem Francji. Pytam więc: Kto jest prezydentem Francji? Wiem, że Jan skłamał, ale nie wiem, co było tego przyczyną. Pytam więc: Dlaczego Jan skłamał?

Rodzaj użytej w pytaniu partykuły pytajnej jest podstawą następującego podziału:

• Pytanie rozstrzygnięcia to pytanie postaci „Czy A?”, gdzie A jest zdaniem w sensie logicznymi i na które oczekiwaną odpowiedzią jest zdanie „A” bądź jego negacja.

• Pytanie dopełnienia to pytanie, które: (1) zawiera partykuły pytajne takie jak: kto, co. kiedy, gdzie, jak i (2) wyznacza kształt oczekiwanej odpowiedzi.

• Pytanie założeniowe to takie pytanie, że dla pewnego zdania A, jest ono presupozycją wszystkich odpowiedzi na to pytanie, np. „Czy Jan nadal bije żonę?”, „Czy zgubiłeś już rogi?”

(Zdanie A jest presupozycją (założeniem) zdania B wtw prawdziwość A jest warunkiem koniecznym sensowności zdania B.

• Pytanie zamknięte to pytanie, które wyznacza kształt oczekiwanej odpowiedzi. Odpowiedź na to pytanie jest pojedynczym zdaniem. Szczególnym rodzajem pytań zamkniętych są pytania wyboru, pytania, którym towarzyszy zbiór ewentualnych odpowiedzi. Występują one często w ankietach lub testach.

• Pytanie otwarte to pytanie, które nie wyznacza kształtu oczekiwanej odpowiedzi. Odpowiedź na takie pytanie może być wielozdaniowa.

1. Budowa pytania

2. Założenia pytania

Przypomnijmy, pytanie – jeśli zostało na serio postawione – jest wyrazem stanu niewiedzy pytającego. Stąd nie może być wykluczona możliwość odpowiedzi prawdziwej i nie może być wykluczona możliwość odpowiedzi fałszywej. Możemy to oddać za pomocą pojęcia założenia pytania. Warunek, że istnieje przynajmniej jedna odpowiedź prawdziwa oddaje pojęcie pozytywnego założenia pytania, natomiast warunek, że istnieje przynajmniej jedna odpowiedź fałszywa oddaje pojęcie negatywnego założenia pytania.

Pozytywne założenie pytania to alternatywa wszystkich jego odpowiedzi właściwych.

Negatywne założenie pytania to alternatywa negacji wszystkich jego odpowiedzi właściwych.

Pytania nie podlegają ocenie prawdziwościowej, ale nie znaczy to, że nie są w ogóle oceniane.

Możemy je oceniać z uwagi na to, czy zostały postawione dobrze lub właściwie, czy też nie.

Pytanie dobrze (właściwie) postawione to pytanie, którego zarówno pozytywne, jak negatywne założenie jest zdaniem prawdziwym. W szczególności pytanie, które posiada co najmniej jedną odpowiedź właściwą prawdziwą nazywa się pytaniem trafnym.