Aerodynamika

Projekt 1

Jednowymiarowe przepływy izentropowe.

TREŚĆ PRACY DO WYKONANIA:

Należy wyznaczyć przekrój krytyczny i wylotowy dyszy silnika rakietowego na paliwo stałe, dla zadanej wartości ciągu startowego P_s na wysokości H=0 m n.p.m. Założyć, że w tych warunkach rozprężanie jest prawidłowe.

Należy wyznaczyć parametry gazodynamiczne p(x), T(x), Ma(x), λ(x), ρ(x), V(x) wzdłuż osi dyszy naddźwiękowej. Należy przyjąć dla uproszczenia, że część naddźwiękowa dyszy ma kształt stożka o kącie wierzchołkowym 20^o

Wyznaczyć charakterystykę wysokościową silnika P_s=P_s(H) w zakresie wysokości 0...40 km,

oraz masę paliwa przy założeniu, że silnik ma pracować przez t=240 s

Zakładamy, że spalanie odbywa się izobarycznie przy ciśnieniu p₀=5 MPa

Obliczanie parametrów zadanych:

P_s=2 [MN]

T₀=2258 [K]

f=R_iT₀ = 824 [kJ/kg]

κ=c_p/c_v =1,33

p_A = 0, 101325[MPa]

Obliczenia wg. ,,Silniki rakietowe” Stanisław Torecki. :

Temperatura krytyczna:

$$\mathbf{T}_{\mathbf{K}} = \frac{2}{k + 1}*T_{0} = \mathbf{1938,3\lbrack K\rbrack}$$

Ciśnienie krytyczne:

$$\mathbf{p}_{\mathbf{K}} = p_{0}*\left( \frac{T_{K}}{T_{0}} \right)^{\frac{k}{k - 1}} = p_{0}*\left( \frac{2}{k + 1} \right)^{\frac{k}{k - 1}} = \mathbf{2,7\ }\left\lbrack \mathbf{\text{MPa}} \right\rbrack$$

Wiem, że moc paliwa f=824 [kJ/kg] =824000[J/kg], oraz R=8314 [J/kmolK]

f = R_ispalin * T₀

$$\mathbf{R}_{\mathbf{\text{ispal}}} = \frac{f}{T_{0}} = \mathbf{364,9\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\mathbf{\text{kgK}}} \right\rbrack$$

$$R_{\text{ispal}} = \frac{R}{M}$$

$$\mathbf{M} = \frac{R}{R_{\text{ispal}}} = \mathbf{22,78\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{\text{kmol}}} \right\rbrack$$

W warunkach komory spalania, dla jednego kilograma:

$$\mathbf{V} = \frac{m*R_{\text{ispal}}*T_{0}}{p_{0}} = \mathbf{0,1648}$$

Więc gęstość spalin:

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{\text{spk}}} = \mathbf{6,068\ }\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$

Przyjęłam duże uproszczenie wynikające z zastosowania równania gazu doskonałego.

Przy założeniu właściwego rozprężania, tzn. przy rozprężaniu do ciśnienia otoczenia prędkość na wylocie:

$$\mathbf{w}_{\mathbf{a}} = \sqrt{\frac{2k}{k - 1}*R_{\text{ispal}}*T_{0}*\left\lbrack 1 - \left( \frac{p_{\text{atm}}}{p_{0}} \right)^{\frac{k - 1}{k}} \right\rbrack} = \mathbf{2030\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$

Ciąg jest równy:

$$P_{s} = \dot{m}*w$$

Więc przy prędkości wylotowej obliczonej wyżej:

$$\dot{\mathbf{m}} = \frac{P_{s}}{w} = \mathbf{986\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$

Pole powierzchni wylotu równe jest:

$$\mathbf{F}_{\mathbf{A}} = \frac{\dot{m}}{\sqrt{\frac{2k}{k - 1}*p_{0}*\rho_{\text{spk}}*\left\lbrack \left( \frac{p_{\text{atm}}}{p_{0}} \right)^{\frac{2}{k}} - \left( \frac{p_{\text{atm}}}{p_{0}} \right)^{\frac{k + 1}{k}} \right\rbrack}} = \mathbf{1,51\ }\left\lbrack \mathbf{m}^{\mathbf{2}} \right\rbrack$$

Więc średnica wylotowa:

$$\mathbf{D}_{\mathbf{A}} = \sqrt{\frac{4*F_{A}}{\pi}} = \mathbf{1,39\ }\left\lbrack \mathbf{m} \right\rbrack$$

Pole powierzchni przekroju krytycznego jest równe (zakładając taki sam wydatek masowy):

$$\mathbf{F}_{\mathbf{K}} = \frac{\dot{m}}{\sqrt{\frac{2k}{k - 1}*p_{0}*\rho_{\text{spk}}*\left\lbrack \left( \frac{p_{K}}{p_{0}} \right)^{\frac{2}{k}} - \left( \frac{p_{K}}{p_{0}} \right)^{\frac{k + 1}{k}} \right\rbrack}} = \mathbf{0,27\ }\left\lbrack \mathbf{m}^{\mathbf{2}} \right\rbrack$$

Więc średnica :

$$\mathbf{D}_{\mathbf{K}} = \sqrt{\frac{4*F_{K}}{\pi}} = \mathbf{0,59\ }\left\lbrack \mathbf{m} \right\rbrack$$

A więc długość dyszy wyniesie około Aby narysować przebiegi zmian parametrów można posłużyć się parametrem X:

$$X = \frac{p}{p_{0}}$$

jest on funkcją zbieżności oraz wykładnika adiabaty

$$\xi = \frac{d}{d_{\min}}$$

i jest różny dla części pod i naddźwiękowej. Poniżej fragment wykresu

W tym przypadku maksymalna wartość zbieżności wynosi:

$$\mathbf{\xi}_{\mathbf{\max}} = \frac{D_{A}}{D_{k}} = \mathbf{2,3559}$$

Natomiast pozostałe parametru obliczam ze wzorów:

$$T = T_{0}*X^{\frac{k - 1}{k}}$$

$$\rho = \rho_{0}*X^{\frac{1}{k}}$$

$$w = \sqrt{\frac{2k}{k - 1}*R_{\text{ispal}}*T_{0}*\left\lbrack 1 - X^{\frac{k - 1}{k}} \right\rbrack}$$

$$a = \sqrt{k*R_{\text{ispal}}*T}$$

$$M_{a} = \frac{w}{a}$$

• Po przeliczeniu parametrów w arkuszu kalkulacyjnym otrzymuję wykresy:

• Charakterystyka wysokościowa, zgodnie ze wzorem:

$$h_{R} = \frac{P(H)}{P_{\text{obl}}} = 1 + \frac{F_{A}\left( p_{A} - p_{Z} \right)}{\dot{m}*w_{A}}$$

Gdzie: F_A, p_A, w_A – parametry na wyjściu z dyszy, p_z – ciśnienie na zewnątrz.

Przykład obliczeń dla H = 10km

$$h_{R} = \frac{P(H)}{P_{\text{obl}}} = 1 + \frac{F_{A}\left( 101325 - 26436,91714 \right)}{986*2030} = 1,056495871$$

• Masa paliwa

$$m_{\text{pal}} = \frac{P*t}{J_{1}}$$

J₁ jest impulsem jednostkowym

$$J = \frac{P}{\dot{m}} = 2028\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{\text{kg}} \right\rbrack$$

m_pal = 236686 [kg]