Temat 2 zestawu: Zmienne losowe. Dystrybuanta i gęstość. Obliczanie prawdopodobieństw.

Zadanie 1. Wiadomo, że 30% szkód zgłaszanych do PZU stanowią włamania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zgłoszonych 10 szkód liczba włamań będzie: a)równa 5, b) większa niż 3, c) nie przekroczy 4, d) nie mniejsza niż 3 i nie większa niż 7.

Rozkład Bernoulliego:

P(X=x_k)= $\left( \frac{n}{k} \right) \bullet p^{k}\ \bullet \ q^{n - k}$

p=0,3 - prawdopodobieństwo, że zgłoszona szkoda jest włamaniem

q= 1-0,3= 0,7 – prawdopodobieństwo, że zgłoszona szkoda nie jest włamaniem

n=10

k- liczba włamań

1. k=5

P(X=x₅)= $\frac{10!}{5! \bullet 5!}\ \bullet {0,3}^{5}\ \bullet \ {0,7}^{5} = \ \frac{362800}{14400}\ \bullet 0,00243\ \bullet 0,16807 = 0,1029193$

1. k>3

P(X>x₃) = 1 – P(X≤x₃) = 1 – [P(X=x₀) + P(X=x₁) + P(X=x₂) + P(X=x₃)]

P(X=x₀) = $\frac{10!}{0! 10!}$ · 0, 3⁰ · 0, 7¹⁰ = 1 · 1 · 0,0282475 = 0,0282475

P(X=x₁) = $\frac{10!}{1! 9!}$ · 0, 3¹ · 0, 7⁹ = 10 · 0,3 · 0,0403536 = 0,1210608

P(X=x₂) = $\frac{10!}{2! 8!}$ · 0, 3² · 0, 7⁸ = 45 · 0,09 · 0,057648 = 0,2334735

P(X=x₃) = $\frac{10!}{3! 7!}$ · 0, 3³ · 0, 7⁷ = 120 · 0,027 · 0,0823543 = 0,26682

P(X>x₃) = 1 – P(X≤x₃) = 1 – [P(X=x₀) + P(X=x₁) + P(X=x₂) + P(X=x₃)] = 1 – 0,0282475 - 0,1210608 -0,2334735 – 0,26682 = 0,3504007

1. k≤4

P(X≤x₄) = P(X=x₀) + P(X=x₁) + P(X=x₂) + P(X=x₃) + P(X=x₄)

P(X=x₀) =0,0282475

P(X=x₁) = 0,1210608

P(X=x₂) = 0,2334735

P(X=x₃) = 0,26682

P(X=x₄) = $\frac{10!}{4! 6!}$ · 0, 3⁴ · 0, 7⁶ = 210 · 0,0081 · 0,117649 = 0,200109

P(X≤x₄) = P(X=x₀) + P(X=x₁) + P(X=x₂) + P(X=x₃) + P(X=x₄)= 0,0282475 + 0,1210608 + 0,2334735 + 0,26682 + 0,200109 = 0,5828917

1. 3≤k≤7

P(x₃≤X≤x₇) = P(X=x₃) + P(X=x₄) + P(X=x₅) + P(X=x₆) + P(X=x₇)

P(X=x₃) = 0,26682

P(X=x₄) =0,200109

P(X=x₅) =0,1029193

P(X=x₆) = $\frac{10!}{6! 4!}$ · 0, 3⁶ · 0, 7⁴ = 210 · 0,000729 · 0,2401= 0,0367569

P(X=x₇) = $\frac{10!}{7! 3!}$ · 0, 3⁷ · 0, 7³ = 120 · 0,0002187 · 0,343= 0,009

P(x₃≤X≤x₇) = P(X=x₃) + P(X=x₄) + P(X=x₅) + P(X=x₆) + P(X=x₇) = 0,6156273

Zadanie 2. Siła kiełkowania pewnego gatunku roślin egzotycznych wynosi 0,8. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę liczby wykiełkowanych nasion wśród 5 losowo wybranych.

Rozkład Bernoulliego:

P(X=x_k)= $\left( \frac{n}{k} \right) \bullet p^{k}\ \bullet \ q^{n - k}$

p = 0,8 - prawdopodobieństwo, że roślina wykiełkuje

q = 1-0,8 = 0,2 prawdopodobieństwo, że roślina nie wykiełkuje

n = 5

k (0,5)

P(X=x₀) = $\frac{5!}{0! \bullet 5!}$ •0, 8⁰ • 0, 2⁵ = 1•1•0,00032=0,00032

P(X=x₁) = $\frac{5!}{1! \bullet 4!}$ • 0, 8¹ • 0, 2⁴ = 5•0,8•0,0016=0,0064

P(X=x₂) = $\frac{5!}{2! \bullet 3!}$ • 0, 8² • 0, 2³ = 10•0,64•0,008=0,0512

P(X=x₃) = $\frac{5!}{3! \bullet 2!}$ • 0, 8³ • 0, 2² = 10•0,512•0,04=0,2048

P(X=x₄) = $\frac{5!}{4! \bullet 1!}$ • 0, 8⁴ • 0, 2¹ = 5•0,4096•0,2=0,4096

P(X=x₅) = $\frac{5!}{5! \bullet 0!}$ • 0, 8⁵ • 0, 2⁰ = 1•0,32768•1=0,32768

Dystrybuanta:

dla

Zadanie 3. Wiadomo, że 10% ludzi wykonujących pracę zawodową jest narażonych na silne stresy powodujące nerwice. Wybrano grupę 100 ludzi zawodowo czynnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że : a) 10 z nich cierpi na nerwicę, b) mniej niż 4 cierpi na nerwicę, c) wszyscy są zdrowi?

Rozkład Poissona:

P(X=x_k) =$\ \frac{{e^{- 2} \bullet \lambda}^{k}}{k!}$

λ = P•n = 0,1 • 100 = 10

P = 0,1

n = 100

e = 2,72

1. k=10 – ludzie cierpiący na nerwicę

Prawdopodobieństwo, że 10 osób cierpi na nerwicę:

P(X=x₁₀) = $\frac{10^{10} \bullet {2,72}^{- 10}}{10!}$ = $\frac{\left( \frac{10}{2,72} \right)^{10}}{10!}$ = $\frac{451139}{3628800}$ = 0,12432

b) k<4 – ludzie cierpiący na nerwicę

Prawdopodobieństwo, że mniej niż 4 osoby cierpią na nerwicę:

P(X<x₄) = [P(X=x₀)+ P(X=x₁)+ P(X=x₂)+ P(X=x₃)]

P(X=x₀) = $\frac{10^{0} \bullet {2,72}^{- 10}}{0!}$ = $\frac{\left( \frac{1}{2,72} \right)^{10}}{1}$ = 0,00004511

P(X=x₁) = $\frac{10^{1} \bullet {2,72}^{- 10}}{1!}$ = $\frac{\left( \frac{10}{2,72} \right)^{10}}{1}$ = 0,00004511

P(X=x₂) = $\frac{10^{2} \bullet {2,72}^{- 10}}{2!}$ = $\frac{\left( \frac{100}{2,72} \right)^{10}}{2}$ = 0,0022556

P(X=x₃) = $\frac{10^{3} \bullet {2,72}^{- 10}}{3!}$ = $\frac{\left( \frac{1000}{2,72} \right)^{10}}{6}$ = 0,007518

P(X<x₄) = [P(X=x₀)+ P(X=x₁)+ P(X=x₂)+ P(X=x₃)] = 0,0102701

c) wszystkie osoby z badanej grupy są zdrowe:

P(X=x₀) = $\frac{10^{0} \bullet {2,72}^{- 10}}{0!}$ = $\frac{\left( \frac{1}{2,72} \right)^{10}}{1}$ = 0,00004511

Zadanie 4. Wadliwość towaru wynosi 2%. Ile dobrych sztuk należy dodać do partii towaru liczącej 100 sztuk, aby z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,95 uniknąć reklamacji (tzn. aby z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,95partia zawierała 100 sztuk dobrych)?

Rozkład Poissona:

P(X=x_k) =$\ \frac{{e^{- 2} \bullet \lambda}^{k}}{k!}$

0,02 - wadliwość towaru

n = 100 – liczba sztuk

λ = 0,02 · 100 = 2

Z tablic można odczytać, że dla k prawdopodobieństwo wynosi ≥0,95:

P(X≤5) = 0,9834

Dlatego trzeba dodać 5 dobrych sztuk.

Zadanie 5. Prawdopodobieństwo, że kompania paliwowa dokonująca poszukiwań ropy trafi na złoże, wynosi 0,2. Planuje ona przeprowadzenie serii wierceń. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czwartym wierceniu trafi na złoże?

Zmienna losowa geometryczna:

P(X=x_k) = p·q^k-1

p = 0,2

q = 0,8

k = 4

P(X=x₄) = 0,2 · (0,8)^4-1 = 0,2·0,512 = 0,1024

Zadanie 6. Dla jakiej wartości C następująca funkcja jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

$$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{dla}\ x < 0 \\ C(1 - x) & \text{dla}\ 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{dla}\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Po znalezieniu C naszkicować wykres f(x). Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X i wyznaczyć następujące prawdopodobieństwa: P(X < 0,5), P(0,5 < X < 0,75), P(0 < X < 0,75), P(X > 0,8), P(X > 1). Zinterpretować wyznaczone prawdopodobieństwa na wykresach: funkcji gęstości i dystrybuanty.

Zadanie 7. Żywotność pewnego urządzenia (w godzinach) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ równym 0,001.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urządzenie będzie pracować dłużej niż 1500 godzin?

2. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że urządzenie zużyje się przed upływem 1000 godzin

λ = 0,001

1. P(x>1500) = 1 – P(x≤1500) = 1 – F(1500) = ?

F(1500) = 1 - e^{−0, 001 • 1500} = 1 - e^−1, 5 = 1 – 0,2229 = 0,7771

P(x>1500) = 1 – 0,7771 = 0,2229

1. P(x<1000) = F(1000) =1 - e^{−0, 001 • 1000} = 1 -e⁻¹ = 1 – 0,3676 = 0,6324

Zadanie 8. Wydajność pracy w pewnym zakładzie ma rozkład N(12 t/godz; 2 t/godz). Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że wydajność losowo wybranego pracownika jest: a) mniejsza niż 15 t/godz, b) zawarta w przedziale [8 t/godz; 13 t/godz], c) większa niż 14 t/godz.

Wyznaczone prawdopodobieństwa zinterpretuj na wykresach: funkcji gęstości i dystrybuanty.

X~N(12,2)

12=m

2=σ

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y =$\ \frac{X - m}{\sigma}$

1. X<15

y₁ =$\ \frac{15 - 12}{2}$ = 1,5

P(X<15)=P(Y<y₁)=F_y(y₁)=F_y(1,5)= 0,93319

1. 8<X<13

y₁ =$\ \frac{8 - 12}{2}$ = -2 y₂ = $\frac{13 - 12}{2}$ = 0,5

P(8<X<13)=P(y₁<Y<y₂)=F_y(y₂)-F_y(y₁)=F_y(0,5)-F_y(-2)=F_y(0,5)-[1-F_y(2)]=0,69149–1+0,97725=0,66874

1. X>14 y₁ =$\ \frac{14 - 12}{2}$ = 1

P(X>14)=1-P(X≤14)=1-P(Y≤y₁)=1-F_y(y₁)=1-F_y(1)=1–0,84134=0,15866

Zadanie 9. Dana jest dyskretna zmienna losowa w postaci $P\left( X_{i} = i \right) = \frac{1}{6}\text{\ \ \ \ }$ i = 1,2,…,6.

1. Napisać rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę tej zmiennej.

2. Narysować histogram i dystrybuantę tej zmiennej.

Xi	1	2	3	4	5	6
Pi	$$\frac{1}{6}$$	$$\frac{1}{6}$$	$$\frac{1}{6}$$	$$\frac{1}{6}$$	$$\frac{1}{6}$$	$$\frac{1}{6}$$

Dystrybuanta zmiennej losowej:

F(X)= dla

1. Rysunek; dystrybuanta i histogram:

Zadanie 10. Obliczyć prawdopodobieństwo P(|X| ≥ 4) dla zmiennej losowej normalnej N(3,2).

P(|X| ≥ 4)

P(x≥4) + P(x≤-4)

P$\left( \frac{x - 3}{2} > \frac{4 - 3}{2} \right) + P\left( \frac{x - 3}{2} \leq \frac{- 4 - 3}{2} \right) = \ P\left( m \geq \frac{1}{2} \right) + \ P\left( m \leq - \frac{7}{2} \right) = F\left( - \frac{7}{2} \right) + \ 1 - F\left( \frac{1}{2} \right) = 0,002 + 1 - 0,6915 = 0,3105$