Temat 4 zestawu: Dystrybuanta empiryczna. Estymatory.

Zadanie 1. Żywotność żarówek produkowanych przez pewną firmę ma rozkład normalny. Średnia żywotność żarówki tej firmy wynosi 1000 godz, a odchylenie standardowe czasu świecenia żarówki wynosi 250 godz. Kupiono 9 żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni czas świecenia kupionych żarówek jest:

1. dłuższy niż 1200 godz?

2. jest krótszy niż 900 godz?

3. zawarty między 950 godz, a 1100 godz?

$\overset{\overline{}}{X}$~N(1000;250)

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y = $\frac{\overset{\overline{}}{X} - m}{\sigma}\sqrt{n}$

1. $\overset{\overline{}}{X}\ $>1200

y₁=$\frac{1200 - 1000}{250}\sqrt{9}$=$\ \frac{\ 200}{250}\ $· 3=2,4

P($\overset{\overline{}}{X}$>1200)=1- P($\overset{\overline{}}{\text{X\ }}$≤ 1200)=1-P(Y ≤ y₁)=1-P(Y ≤ 2,4)=1-F_y(2,4)=1-0,9918=0,0082

1. $\overset{\overline{}}{X}$ < 900

y₁=$\frac{900 - 1000}{250}\sqrt{9}$=$\ \frac{- 100}{250}$ · 3= -1,2

P($\overset{\overline{}}{X}$<900)=P(Y< y₁)=P(Y<-1,2)=F_y(-1,2)=1-F_y(1,2)=1-0,88493=0,11507

1. 950< $\overset{\overline{}}{X}\ $<1100

y₁=$\frac{950 - 1000}{250}\sqrt{9}$= $\frac{- 50}{250}\ $ · 3= -0,6

y₂=$\frac{100}{250}$ · 3=1,2

P(950<$\overset{\overline{}}{\text{\ X}}\ $<1100)=P(y₁< Y <y₂)=P(-0,6< Y<1,2)=F_y(1,2)-F_y(-0,6)=F_y(1,2)-[1-F_y(0,6)]=0,88493-1+0,72575=0,61068

Zadanie 2. Europaleta ma wagę brutto, która może być opisana za pomocą rozkładu normalnego z parametrami: wartość oczekiwana i odchylenie standardowe . Na samochód wchodzi dokładnie 10 europalet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich łączna waga będzie w granicach od 1,22 tony do 1,28 tony?

X~N(125,10)

m=125 kg

σ=10 kg

1,22 t = 1220 kg

1,28 t = 1280 kg

1220 < Σ X_n < 1280

n=(1,2,…,10)

Σ X_n~N(10*125,10*10)

Σ X_n~N(1250,100)

m=1250 kg

σ=100 kg

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y=$\frac{\ \Sigma\text{\ X}n - m}{\sigma}$

y₁=$\frac{1220 - 1250}{100}$=-30/100= -0,3

y₂=0,3

P(1220 < Σ X_n < 1280)=P(y₁<Y<y₂)=F_y(0,3)-F_y(-0,3)=F_y(0,3)-[1-F_y(0,3)]=0,61791-1+0,61791=0,23582

Zadanie 3. W pewnym zakładzie dla 32 losowo wybranych pracowników otrzymano następujące informacje o zatrudnionych:

Wiek pracowników	20-25	25-30	30-35	35-40
Liczba pracowników	5	8	11	8

Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, przy poziomie ufności 0,95 wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego wieku pracowników.

Zadanie 4. Wyznacz przedział ufności dla wartości średniej m cechy X w całej populacji, jeśli:

1. $\overset{\overline{}}{X} = 70,\ \ S = 4,\ \ n = 50,\ \ \alpha = 0,05$

2. $\overset{\overline{}}{X} = 70,\ \ S = 4,\ \ n = 20,\ \ \alpha = 0,05$

3. $\overset{\overline{}}{X} = 70,\ \ S = 4,\ \ n = 20,\ \ \alpha = 0,01$

4. $\overset{\overline{}}{X} = 70,\ \ \sigma = 4,\ \ n = 20,\ \ \alpha = 0,05$

$\overset{\overline{}}{X}$~N(m,$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)

Standaryzacja:

Y~N(0,1)

Y=$\frac{\overset{\overline{}}{X} - m}{\sigma}\sqrt{n}$

-y_α <$\ \frac{\overset{\overline{}}{X} - m}{\sigma}\sqrt{n}$ < y_α

$\overset{\overline{}}{X}$ - $y_{\frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ < m < $\overset{\overline{}}{X}$ + $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

1. $\overset{\overline{}}{X}$ = 70

σ = 4

n = 50

α = 0,05

$\frac{\alpha}{2}$=0,025 1- $\frac{\alpha}{2}$ =0,975

z tablic: $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ = 1,96

$\overset{\overline{}}{X}$ - $y_{\frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ < m < $\overset{\overline{}}{X}$ + $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

70-1,96 · $\frac{4}{\sqrt{50}}$ < m < 70+1,96 · $\frac{4}{\sqrt{50}}$

70-1,96 · $\frac{4}{7,07}$ < m < 70+1,96 · $\frac{4}{7,07}$

70-1,96 · 0,566 < m < 70+1,96 · 0,566

Przedział ufności:

68,8064 < m < 71,10936

1. $\overset{\overline{}}{X}$ = 70

σ = 4

n = 20

α = 0,05

$\frac{\alpha}{2}$=0,025 1- $\frac{\alpha}{2}$ =0,975

z tablic: $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ =1,96

$\overset{\overline{}}{X}$ - $y_{\frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ < m < $\overset{\overline{}}{X}$ + $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

70-1,96 · $\frac{4}{\sqrt{20}}$ < m < 70+1,96 · $\frac{4}{\sqrt{20}}$

70-1,96 · $\frac{4}{4,47}$< m < 70+1,96 · $\frac{4}{4,47}$

70-1,96 · 0,895 < m < 70+1,96 · 0,895

Przedział ufności :

68,2458 < m < 71,7542

1. $\overset{\overline{}}{X}$ = 70

σ = 4

n = 20

α = 0,01

$\frac{\alpha}{2}$ = 0,005 1- $\frac{\alpha}{2}$ = 0,995

z tablic: $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ =2,58

$\overset{\overline{}}{X}$ - $y_{\frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ < m < $\overset{\overline{}}{X}$ + $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

70-2,58 · $\frac{4}{\sqrt{20}}$ < m < 70+2,58 · $\frac{4}{\sqrt{20}}$

70-2,58 · $\frac{4}{4,47}$< m < 70+2,58 · $\frac{4}{4,47}$

70-2,58 · 0,895 < m < 70+2,58 · 0,895

Przedział ufności:

67,6909 < m < 72,3091

1. $\overset{\overline{}}{X}$ = 70

σ = 4

n = 20

α = 0,05

$\frac{\alpha}{2}$ =0,025 1- $\frac{\alpha}{2}$ =0,975

z tablic: $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ =1,96

$\overset{\overline{}}{X}$ - $y_{\frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ < m < $\overset{\overline{}}{X}$ + $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

70-1,96 · $\frac{4}{\sqrt{20}}$ < m < 70+1,96 · $\frac{4}{\sqrt{20}}$

70-1,96 · $\frac{4}{4,47}$< m < 70+1,96 · $\frac{4}{4,47}$

70-1,96 · 0,895 < m < 70+1,96 · 0,895

Przedział ufności:

68,2458 < m < 71,7542

Zadanie 5. W celu sprawdzenia dokładności pracy automatu wytwarzającego śruby dokonano pomiaru średnicy 10 losowo wybranych śrub, otrzymując wyniki (w mm): 7,0; 7,4; 6,9; 7,2; 6,8; 7,0; 6,8; 6,9; 7,1; 7,2. Przyjmując, że rozkład średnicy śrub jest normalny, przy poziomie ufności 0,98 wyznaczyć przedział ufności dla nieznanej wariancji σ² średnicy wytwarzanych śrub.

Zadanie 6. Do napełniania dwukilowych puszek z farbą używa się automatu dozującego. Dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład dozowanych ilości farby jest normalny z odchyleniem standardowym 1,1 dag. Wyznaczyć minimalną liczebność próby, aby maksymalny błąd szacunku średniej m przy poziomie ufności 0,95 wynosił 0,2 dag.

Zadanie 7. Narysować i zapisać dystrybuantę do zadania 5.

x₁ = 6,8

x₂ = 6,9

x₃ = 7,0

x₄ = 7,1

x₅ = 7,2

x₆ = 7,4

Dystrybuanta:

F(X) = $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ \frac{2}{10} \\ \frac{4}{10} \\ \end{matrix} \\ \frac{6}{10} \\ \frac{7}{10} \\ \frac{9}{10} \\ 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }$dla

Zadanie 8. Znaleźć wartości x _dgorne i x _ddolne dwustronnego symetrycznego wg wartości oczekiwanej przedziału ufności na poziomie istotności =0,90 dla nieznanej wartości oczekiwanej m przy nieznanym z danymi próbkowymi jak w zadaniu 5.

Zadanie 9. Zrobić to samo jak w zadaniu 8 ale przy znanym = 0,1mm.

x_i = {6,8; 6,8; 6,9; 6,9; 7,0; 7,0; 7,1; 7,2; 7,2; 7,4}

$\overset{\overline{}}{x_{\text{n\ }}}$ = $\frac{1}{n}\sum_{}^{}x_{i}$

$\overset{\overline{}}{x_{\text{n\ }}}$ = 7,03

σ = 0,1

α = 0,09

n = 10

${\overset{\overline{}}{X}}_{n}$ - $y_{\frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ; ${\overset{\overline{}}{X}}_{n}$ + $y_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

x _dg = 7,03 – 1,7 · $\frac{0,1}{3,16}$ = 6,976

x _dd = 7,03 + 1,7 · $\frac{0,1}{3,16}$ = 7,084

Zadanie 10. strzelano 10 razy do tarczy strzelniczej otrzymując trafienia: 2 razy w 10, raz w 8 , 3 razy w 9 krąg i jeden raz w 7, 6 i 5 krąg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ani jeden strzał nie wyjdzie poza 8, 7 lub 6 krag. Tarcza ma 10 okręgów równomiernie narysowanych na papierze. Trafienie do tarczy w ogóle odbywa się zawsze z prawdopodobieństwem 1.

Trafienia do tarczy:

2 x 10

3 x 9

1 x 8

1 x 7

1 x 6

1 x 5

P(A)- prawdopodobieństwo, że trafiony w tarczę strzał będzie w kręgu 6,7 lub 8.

Pole tarczy= π(10r²) =  100πr²

Pole kręgów 6,7,8 = 100πr² −  4πr² −  (100πr²− 25πr²) =  100πr² −  4πr² −  75πr² =  21πr²

P(A)=$\frac{m(A)}{m(\Omega)}$

m(A)- pole 6,7,8

m(A)= 21 πr²

m(Ω)- pole całej tarczy

m(Ω)= 100 πr²

P(A) = $\frac{21\ \pi r^{2}}{100\ \pi r^{2}}$ = 0,21

Łączna liczba trafień do okręgów 6,7,8 = 3

P(B)- prawdopodobieństwo, że żaden strzał nie będzie poza kręgami 6,7 i 8

P(B)=p(1-p)^k ; k=0,1,2,3…

p- prawdopodobieństwo trafienia w podany okrąg

k- ilość trafień do tego okręgu

P(B)= 0,21 (1 - 0,21)³ = 0,21 · 0,79³ = 0,10354