Temat 1 zestawu: Zdarzenia losowe. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń. Tw. Bayesa

Zadanie 1. Zbudować przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w doświadczeniu: podrzucanie czworościanem foremnym (thetraedem). Wyznaczyć σ-ciało β dla tego doświadczenia (wzorować się na doświadczeniu: podrzucanie kostką sześcienną).

Przy podrzucaniu czworościanem foremnym za wynik rzutu uznajemy ilość oczek na ścianie, na której stoi czworościan foremny (na jego podstawie).

Ω= $\left\{ \begin{matrix} \omega_{1} - \ \text{czworo}s\text{cian}\ \text{zatrzyma}l\ \text{si}e\ \text{na}\ s\text{cianie}\ z\ 1\ \text{oczkiem} \\ \omega_{2} - \ \text{czworo}s\text{cian}\ \text{zatrzyma}l\ \text{si}e\ \text{na}\ s\text{cianie}\ z\ 2\ \text{oczkami} \\ \omega_{3} - \text{\ czworo}s\text{cian\ zatrzyma}l\text{\ si}e\text{\ na\ }scianie\ z\ 3\ oczkami \\ \omega_{4} - \text{\ czwor}os\text{cian\ zatrzyma}l\text{\ si}e\text{\ na\ }scianie\ z\ 4\ oczkami \\ \end{matrix} \right.\ $

Ω= {ω₁;  ω₂;  ω₃;  ω₄ }

Ω = {1 ,2, 3, 4}

σ − cialo β :   |β| =  2⁴ = 16

Zadanie 2. W doświadczeniu: podrzucanie kostką sześcienną wypisać wszystkie zdarzenia losowe, będące kombinacją 3 różnych zdarzeń elementarnych.

{123} {124} {125} {126} {134}

{135} {136} {145} {146} {156}

{234} {235} {236} {245} {246}

{256} {345} {346} {356} {456}

Zadanie 3. Znaleźć prawdopodobieństwo poprawnej pracy w czasie t systemu składającego się z trzech niezależnych układów. Prawdopodobieństwa poprawnej pracy trzech układów odpowiednio wynoszą: p₁ = 0,7; p₂ = 0,8; p₃=0,9. Układ prawidłowo funkcjonuje, gdy funkcjonuje pierwszy układ oraz drugi lub trzeci.

t- czas pracy systemu.

p₁= 0,7 – prawdopodobieństwo poprawnej pracy układu 1

p₂= 0,8 – prawdopodobieństwo poprawnej pracy układu 2

p₃= 0,9 – prawdopodobieństwo poprawnej pracy układu 3

1-p2- prawdopodobieństwo tego, że układ 2 nie funkcjonuje =0,2

1-p3-prawdopodobieństwo tego, że układ 3 nie funkcjonuje = 0,1

Prawdopodobieństwo poprawnej pracy całego układu:

P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃)= ?

A₁- prawdopodobieństwo poprawnej pracy całego układu, gdy nie działa układ 3

A₂- prawdopodobieństwo poprawnej pracy całego układu, gdy nie działa układ 2

A₃- prawdopodobieństwo poprawnej pracy całego układy, gdy wszystkie układy działają

A₁ ­= p₁ · p₂ · (1- p₃)

A₂= p₁ · p₃ · (1-p₂)

A₃= p₁ · p₂ · p₃

A₁= 0,7 · 0,8 · 0,1= 0,056

A₂= 0,7 · 0,9 · 0,2= 0,126

A₃= 0,7 · 0,8 · 0,9= 0,504

P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃)= 0,056 + 0,126 + 0,504= 0,686

Zadanie 4. W urnie znajduje się 10 kul – 6 białych i 4 czarne. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 3 kul białych jedna za drugą w losowaniu ze zwracaniem i bez zwracania wylosowanej kuli białej. Przytoczyć odpowiednie wzory obliczeniowe.

10 kul:

- 6 kul białych,

-4 kule czarne.

1. Wylosowanie 3 kul białych jedna za drugą w losowaniu ze zwracaniem.

2. Wylosowanie 3 kul białych jedna za drugą w losowaniu bez zwracania.

Ze zwracaniem:

A₁- wylosowanie pierwszej kuli białej

A₂- wylosowanie drugiej kuli białej

A₃- wylosowanie trzeciej kuli białej

P(A₁∩A₂∩A₃) =  ? - prawdopodobieństwo wylosowania 3 kul białych jedna za drugą ze zwracaniem.

$P\left( A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \right) = \ P\left( A_{1} \right) \bullet P\left( A_{2} \right) \bullet P\left( A_{3} \right) = \ \frac{6}{10} \bullet \frac{6}{10} \bullet \frac{6}{10} = 0,216$

Bez zwracania:

A₁- wylosowanie pierwszej kuli białej

A₂- wylosowanie drugiej kuli białej

A₃- wylosowanie trzeciej kuli białej

P(A₁∩A₂∩A₃) =  ? - prawdopodobieństwo wylosowania 3 kul białych jedna za drugą ze zwracaniem.

$P\left( A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \right) = \ P\left( A_{1} \right) \bullet P\left( A_{2}/A_{1} \right) \bullet P\left( A_{3}/A_{1} \cap A_{2} \right) = \ \frac{6}{10} \bullet \frac{5}{9} \bullet \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = 0,216$

Zadanie 5. Trzy monety 10gr, 20gr i 50gr są podrzucane jednocześnie. Jaki jest oczekiwany wynik w groszach, jeżeli 2 monety spośród trzech wypadną reszką?

Trzy monety: 10 gr, 20 gr, 50 gr.

A₁- wypadło 10 gr; 20 gr; orzeł

A₂- wypadło 20 gr; 50 gr; orzeł

A₃- wypadło 50 gr; 10 gr; orzeł

P(A₁)= $\frac{1}{3}$

P(A₂)= $\frac{1}{3}$

P(A₃)= $\frac{1}{3}$

Oczekiwany wynik w groszach= 30 · $\frac{1}{3}$ + 60 · $\frac{1}{3}$ + 70 · $\frac{1}{3}$ = 53$\frac{1}{3}$ gr.

Zadanie 6. W przedsiębiorstwie wykonuje się oporniki na trzech różnych maszynach. Na maszynie pierwszej wykonano 25% wszystkich oporników. Maszyna druga wykonała 35% wszystkich oporników. Resztę oporników wykonano na trzeciej maszynie. Wadliwości na poszczególnych maszynach wynoszą odpowiednio: 5%, 4% i 2%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przypadkowo wylosowany opornik jest wadliwy oraz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany opornik wykonany został na 1, 2 lub 3 maszynie.

Maszyna	I	II	III
Wadliwość	5%	4%	2%
Dobre oporniki	95%	96%	98%
Procent wszystkich oporników	25%	35%	60%

P(A)- Prawdopodobieństwo, że wylosowany opornik jest wadliwy

P(A)= $\frac{25}{100}\ \bullet \ \frac{5}{100} + \ \frac{35}{100}\ \bullet \ \frac{4}{100} + \ \frac{60}{100}\ \bullet \ \frac{2}{100} = \ \frac{125 + 140 + 120}{10000} = \ \frac{385}{10000} = 0,0385$

P(B)- wylosowany opornik został wykonany na 1 maszynie

P(C)- wylosowany opornik został wykonany na 2 maszynie

P(D)- wylosowany opornik został wykonany na 3 maszynie

P(B)= 0,25

P(C)= 0,35

P(D)= 0,6

Zadanie 7. W pojemniku są 4 kule białe i 2 czarne. Losujemy dwa razy po jednej kuli. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że kule będą różnokolorowe, jeśli

1. losowanie było bezzwrotne,

2. losowano ze zwracaniem.

2 kule czarne

4 kule białe

A₁- wylosowanie pierwszej kuli czarnej

A₂- wylosowanie drugiej kuli białej

1. Losowanie bezzwrotne:

P(A₁∩ A₂)= P(A₁) · P(A₂/A₁) – prawdopodobieństwo wylosowania jednej kuli czarnej oraz jednej kuli białej bez zwracania kul do pojemnika.

P(A₁∩ A₂)= $\frac{2}{6}\ \bullet \ \frac{4}{5} = \ \frac{8}{30} = 0,26(6)$

1. Losowanie ze zwracaniem:

P(A₁∩A₂)= P(A₁) · P(A₂)- prawdopodobieństwo wylosowania jednej kuli czarnej oraz jednej kuli białej ze zwracaniem kul do pojemnika.

P(A₁∩A₂)=$\ \frac{2}{6}\ \bullet \ \frac{4}{6} = \ \frac{8}{36} = 0,2(2)$

Zadanie 8. W urnie znajduje się 500 losów, a wśród nich jedna wygrana za 500 zł, dwie po 300 zł, dwie po 200 zł, pięć po 100 zł oraz dziesięć po 50 złotych. Gracz kupuje 4 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra przynajmniej 1000zł?

500- liczba losów znajdujących się w urnie

20- liczba losów wygrywających

Ilość poszczególnych wygranych:

1x 500 PLN

2x 300 PLN

2x 200 PLN

5x 100 PLN

10x 50 PLN

Losy z wygraną co najmniej 1000 PLN:

x- los niewygrywający

{500, 300, 300, x }

{500, 300, 300, 200}

{500, 300, 300, 100}

{500, 300, 300, 50}

{500, 300, 200, x}

{500, 300, 200, 200}

{500, 300, 200, 100}

{500, 300, 200, 50}

{500, 200, 200, 100}

{500, 300, 100, 100}

{300, 300, 200, 200}

A=$\ \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{480}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{5}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{10}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{480}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{5}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{10}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{5}{1} \right) + \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{5}{1} \right) \bullet \left( \frac{4}{1} \right) + \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) \bullet \left( \frac{2}{1} \right) \bullet \left( \frac{1}{1} \right) = \ $3032

Ω= $\left( \frac{500}{4} \right) = \ \frac{500}{\left( 500 - 4 \right)4!} = 2973031125$

P(A)- prawdopodobieństwo wygrania przynajmniej 1000 PLN przy kupieniu 4 losów.

P(A)=$\frac{3032}{2973031125} =$0,00000102

Zadanie 9. Zakłady A, B, C produkują pewien wyrób. Wadliwość w zakładzie A wynosi 15%, w zakładzie B – 10%, a w zakładzie C 5%. W magazynie wyroby z zakładów są w stosunku 1:3:6. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:

1. losowo wybrany wyrób jest wadliwy,

2. losowo wybrany wyrób jest dobry i pochodzi z A,

3. losowo wybrany wyrób pochodzi z B, jeśli wiadomo, że jest to wyrób dobry.

Wadliwość w zakładach:

- A- 15%

- B- 10%

-C- 5%

Stosunek wyrobów w magazynie:

A:B:C; 1:3:6

1. A- losowo wybrany wyrób jest wadliwy

P(A)= $\frac{15}{100}\ \bullet \frac{10}{100} + \frac{10}{100} \bullet \frac{30}{100} + \frac{5}{100} \bullet \frac{60}{100} = \ \frac{150}{10000} + \frac{300}{10000} + \frac{300}{10000} = \ \frac{750}{10000} = 0,075$

1. B- losowo wybrany wyrób jest dobry i pochodzi z A

P(B)= 0,1 · 0,85= 0,085

1. C- losowo wybrany wyrób pochodzi z B

P(A’)- wyrób jest dobry

P(A’)= 1- P(A)= 1- 0,075 = 0,925

P(C$\cap A') = \ \frac{30}{100}\ \bullet \ \frac{925}{1000} = \ \frac{2775}{10000}$

P(C/A’)= $\frac{\ P(C \cap A')}{P(A)} = \ \frac{\frac{2775}{10000}}{\frac{925}{1000}} = 0,3$

Zadanie 10. Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli kierowców ubiegających się o polisę na klasy B₁, B₂, B₃, zależnie od ryzyka wypadku. Według oceny towarzystwa 30% kierowców należy do klasy B₁, gdzie ryzyko jest niewielkie, 50% do klasy B₂, gdzie ryzyko jest średnie, a pozostali kierowcy należą do klasy B₃, z dużym ryzykiem. Prawdopodobieństwo wypadku w ciągu roku wynosi 0,01, 0,03 i 0,1 odpowiednio dla kierowców z klas B₁, B₂ i B₃.

1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy należy do klasy B₂, jeśli w ciągu roku nie miał wypadku.

2. Zakładając, że posiadacz polisy nie miał wypadku w ciągu 5 lat, oraz że wypadki w poszczególnych latach są niezależne, obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy on do klasy B₁, a jakie, że należy do klasy B₃.

1. P(A)- prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy miał w ciągu roku wypadek

P(B₁)= 0,3 – prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy należy do klasy B₁

P(B₂)= 0,5 – prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy należy do klasy B₂

P(B₃)= 0,2 – prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy należy do klasy B₃

P(A|B₁)= 0,01 – prawdopodobieństwo wypadku w ciągu roku dla kierowcy z klasy B₁

P(A|B₂)= 0,03 – prawdopodobieństwo wypadku w ciągu roku dla kierowcy z klasy B₂

P(A|B₃)= 0,1 – prawdopodobieństwo wypadku w ciągu roku dla kierowcy z klasy B₃

P(A)= 0,3 · 0,01 + 0,5 · 0,03 + 0,2 · 0,1= 0,38

P(B₃|A)= $\frac{0,2\ 0,1}{0,038} = 0,53$

1. A’₅ – posiadacz polisy, nie miał wypadku w ciągu 5 lat

P(A’₅|B₁)= (1 - 0,01)⁵= 0,99⁵

P(A’₅|B₂)= (1 – 0,03)⁵= 0,97⁵

P(A’₅|B₃)= (1 – 0,1)⁵= 0,9⁵

P(A’₅)= 0,3 · 0,99⁵ + 0,5 · 0,97⁵ · 0,2 · 0,9⁵= 0,833

Prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy nie miał wypadku w ciągu 5 lat i należy do klasy B₁:

P(B₁|A’₅)= 0,343

Prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy nie miał wypadku w ciągu 5 lat i należy do klasy B₃:

P(B₃|A’₅)= 0,142