Rozkład zmiennej losowej

Dla zmiennej losowej  o wartościach  z prawdopodobieństwami 

Parametry klasyczne rozkładu zmiennej losowej skokowej

 

wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna)
odchylenia przeciętne
wariancja (dyspersja)
odchylenie standardowe

Dla zmiennych losowych  określonych na tym samym zbiorze  - wartości zmiennej  z prawdopodobieństwem  

oraz 

Własności wartości oczekiwanej

 

Własności wariancji zmiennej losowej

 

Dla zmiennej losowej  i zmiennej losowej standaryzowanej  określonych na tym samym zbiorze 

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej standaryzowanej

 gdzie 
 

Rozkład zmiennej losowej	Wartość oczekiwana	Wariancja
zero-jedynkowy
jednostajny
dwumianowy

       
Dla zmiennej losowej  o wartościach  z prawdopodobieństwami 

Parametry pozycyjne rozkładu zmiennej losowej skokowej

 

Mediana	Dominanta

Dla zmiennej losowej  o rozkładzie Bernoulliego i najbardziej prawdopodobnej liczbie sukcesów 

Własność dominanty zmiennej losowej

Własności prawdopodobieństwa 

0≤ P (A) ≤ 1 
dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω

P (Ω) = 1 
Ω - zdarzenie pewne

P (Ø) = 0 
Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω)

P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω, 

zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω.


Zdarzenia niezależne 

Zdarzenia A ⊂ Ω, B ⊂ Ω są niezależne, gdy

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)


Prawdopodobieństwo warunkowe 

Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0.

Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, ze zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę:

 


Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym 

Jeżeli zdarzenia B₁, B₂, ..., B ⊂ Ω spełniają warunki:

1. B_i ∩ B_j = Ø dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j

2. B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω,

3. P (B_i) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n

to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość:

P (A) = P (A | B₁) · P (B₁) + P (A | B₂) · P (B₂) + ... + P (A | B_n)· P (B_n)


Schemat Bernoulliego

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie nprób Bernoulliego wyraża się wzorem :



gdzie:

p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,

q- prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.