ZAKRES NA EGZAMIN Z MECHANIKI TECHNICZNEJ II DLA SEMESTRU III

Wytrzymałość materiałów:

1. Naprężenia tnące przy zginaniu belek.

Część rozciągana jest dłuższa od części ściskanej. Na granicy dwóch plastrów powstaje poślizg. Naprężenia tnące redukują ten poślizg.

2. Istota metody obciążeń granicznych:

Założenia metody OG:

- materiał nie może odpowiadać większą plastycznością jak granica plastyczności

- materiał musi spełniać warunki nośności granicznych:

a) P ≤ P_gr^*, gdzie P_gr^* = Re  A - pewna siła graniczna powodująca że materiał dalej nie popłynie,

P = A ⋅ σ_x – siła działająca na materiał, Re – granica plastyczności

b) σ_x ≤ Re, w momencie gdy wartości są równe to w każdym punkcie momentu rozciągającego materiał jest w takim samym stanie

Podsumowanie metody OG

- metoda ta umożliwia znacznie bardziej precyzyjne projektowanie konstrukcji z optymalnym współczynnikiem bezpieczeństwa

( dod. Współczynnik bezpieczeństwa n - liczba mówiąca, ile razy naprężenie σ występujące podczas normalnej pracy konstrukcji jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σ_n.)

- przez analizę dwóch stanów granicznych zapewnia właściwą pracę konstrukcji zarówno pod względem nośności, jak i cech użytkowych ;

- konieczność sprawdzania dwóch stanów granicznych — nośności i użytkowania, jak również uwzględnienie w normie wielu czynników mających wpływ na wystąpienie tych stanów w konstrukcji.

3. Twierdzenie Castigliano, Menabre ’a. Przykłady zastosowania.

Twierdzenie Castigliano: stosuje się do obliczania statycznie wyznaczalnych ram i belek.

I. Pochodna energii sprężystej układu Clapeyrona względem siły zewnętrznej równa się składowej przemieszczenia punktu przyłożonego do tej siły w kierunku działania siły.

δ_i = $\frac{\text{\ Ep}}{\text{\ Pi}}$ = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{\text{M\ }\frac{\text{\ M}}{\text{\ Pi}}}\ dx$ ( gdzie : po wykonaniu rachunku P_i = 0 )

II. Twierdzenie można rozszerzyć na momenty:

Pochodna energii sprężystej względem siły zew. jest równa kątowi obrotu dookoła osi wyznaczonej przez moment fragmentu materiału w rejonie przyłożenia momentu.

δ_A = $\frac{\text{\ Ep}}{\text{\ Q}}\ $ = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{\text{M\ }\frac{\text{\ M}}{\text{\ Q}}}\ \text{dx}$ ( gdzie: po wykonaniu rachunku Q = 0 )

• W Tw. Castigliano w miejsce energii potencjalnej można wziąć pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych.

(dod. Clapeyrona układ, układ mech., w którym występujące odkształcenia są proporcjonalne do odpowiadających im sił.)

Twierdzenie Menabre ’a stosuje się do obliczania statycznie niewyznaczalnych ram i belek.

Pochodna energii odkształcenia sprężystego względem wielkości hiperstatycznej (wielkości niewyznaczalnej) równa się 0.

a) do wyliczenia reakcji w punkcie założenie mówi że przemieszczenie jest zerowe:

δ_i = 0 = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{\text{M\ }\frac{\text{\ M}}{\text{\ Pi}}}\ \text{dx}$ , P_i – szukana reakcja

b) do wyliczenia momentu w punkcie założenie mówi że kąt obrotu jest zerowy:

δ_A = 0 = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{\text{M\ }\frac{\text{\ M}}{\text{\ Q}}}\ \text{dx}$ , Q – szukany moment

4. Opisać metodę sił lub metodę Maxwella-Mohra.

Metoda sił:

Istota metody opiera się na pozbawieniu rozpatrywanego, obciążonego układu nadliczbowych więzów, dbając jednak przy tym o to, aby pozostał on geometrycznie niezmienny. W miejsce myślowo usuniętych więzów wstawiamy niewiadome siły. Następnie, aby zachować kinematyczną identyczność układu rzeczywistego z nowym, nazywanym dalej układem podstawowym w metodzie sił, określamy sumaryczne przemieszczenia po kierunkach działania tych sił. Ponieważ w rzeczywistości w tych miejscach istniały więzy,

przemieszczenia te są równe zero. Układając te warunki w równania otrzymujemy wyznaczalny układ, a zatem możemy obliczyć wartości nadliczbowych niewiadomych .

Układ podstawowy, który na ogół jest układem statycznie wyznaczalnym, musi spełniać również trzy warunki odpowiedniości:

– identyczność geometryczna (zgodność wymiarów),

– identyczność kinematyczna (zgodność przemieszczeń – równania kanoniczne),

– identyczność statyczna (zgodność obciążeń).

Metoda Maxwella – Mohra:

Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.

Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną (siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.

a. obliczenia z całki: f_A = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{\text{M\ }\text{\ m}}\ \text{dx}$ gdzie m – moment wewnętrzny dla belki po przyłożeniu siły/momentu jednostkowego

b. metoda Wereszczagina: f_A = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{\text{M\ }\text{\ m}}\ \text{dx}$ = $\frac{1}{\text{EI}}$ [ Ω_M ⋅ y_m ]

Postępowanie:

I. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych M od obciążenia układu siłami czynnymi (rzeczywiście działającymi na konstrukcje)

II. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych m od obciążenia układu siłą jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

III. Obliczyć powierzchnię Ω i wyznaczyć środki ciężkości x_c pól wykresu M odpowiadających odcinkom prostym m

IV. Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji) ϖ=m(x_c) odpowiadające położeniom środków ciężkości pół wykresu M

5. Hipoteza wytężeniowa Hubera.

Jest to hipoteza energii odkształcenia postaciowego , zakłada że ciało jest doskonale sprężyste i że praca naprężenia zredukowanego równa jest sumie prac wszystkich naprężeń składowych.

- Dla przestrzennego stanu naprężeń:

σ_red =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sqrt{\left(_{1} - \ _{2} \right) + \left(_{2} - \ _{3} \right) + \left(_{3} - \ _{1} \right)\ }$

- Dla płaskiego stanu naprężeń:

σ_red = $\sqrt{_{x}^{2} + \ _{y}^{2} -_{x}_{y} + 3_{\text{xy}}^{2}}$

σ_red = $\sqrt{_{1}^{2} + \ _{2}^{2} -_{1}_{2}}$

6. Naprężenia w zbiornikach cienkościennych. Naprężenia zredukowane wg. Hubera i Treski dla zbiornika kulistego i walcowego.

Powłoki cienkościenne – to ciało albo ustrój, gdzie materia ciała jest położona blisko przestrzennej powierzchni która nazywamy powierzchnią środkową. Prostopadle do tej powierzchni mierzymy grubość (g). W praktyce za cienkościenne przyjmuje się te zbiorniki, dla których g < $\frac{1}{20}$ D , gdzie D-średnica zbiornika.

Element podlega rozciąganiu w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach: w kierunku osiowym – wskutek naprężeń σ₁ , w kierunku stycznym do obwodu – wskutek naprężeń σ₂.

Naprężenia osiowe wynosi: σ₁ = $\frac{F_{1}}{S_{1}} = \ \frac{\text{D\ }\text{\ p}}{4g}$ , gdzie: S – przekrój , p – ciśnienie wewnętrzne

Naprężenia obwodowe: σ₂ = $\frac{F_{1}}{S_{1}} = \ \frac{\text{D\ }\text{\ p}}{2g}$

7. Teoria Eulera- stateczność prętów ściskanych.

Wyboczenie pręta ściskanego osiowo jest jednym z przykładów utraty stateczności. W przypadku wyboczenia zniszczenie pręta następuje nie poprzez przekroczenie wytrzymałości na ściskanie lecz poprzez zmianę jego kształtu i związanej z tym zmiany charakteru stanu naprężenia w pręcie.

Rozróżniamy trzy rodzaje stanu równowagi układów mechanicznych:

A)równowaga obojętna B) równowaga trwała C)równowaga chwiejna: (położenie równowagi i położenie niestateczne)

Nagłą zmianę równowagi nazywa się wyboczeniem pręta. Jeżeli oś pręta ulegnie zakrzywieniu to dla danej siły ściskającej ustali się pewna równowaga trwała czyli przemieszczenia pręta nie będą rosnąć. W punkcie w którym nastąpi zmiana równowagi wystąpi siła krytyczna P_kryt.

Siłę krytyczną wyznacza się ze wzoru nazywanego wzorem Eulera, który dla dowolnego typu pręta ściskanego osiowo ma postać: P_kryt = $\frac{\ ^{2}\text{\ E\ }\ J_{\text{mi}n}}{L_{w}^{2}}$

Gdzie: L_w – długość wyboczeniowa pręta, L_w = L ⋅ α

J_min – minimalny moment bezwładności

- współczynnik zależny od warunków przegubowych zamocowania pręta

W punkcie gdzie wystąpi siła krytyczna wystąpią także naprężenia krytyczne, przy czym: σ_kryt= $\frac{P_{\text{kryt}}}{A}$ , gdzie: A – pole przekroju pręta

σ_kryt = $\frac{^{2}\ \text{\ E}}{^{2}}$ , gdzie: λ - smukłość pręta, λ = $\frac{L_{w}}{i}$

i – promień bezwładności, i = $\sqrt{\frac{J_{\min}}{A}}$

Dynamika:

1. Zasada prac wirtualnych (przygotowanych).

Istnieją dwie zasady prac wirtualnych:

- zasada o pracy rzeczywistych obciążeń na wirtualnych przemieszczeniach

- zasada o pracy wirtualnych obciążeń na rzeczywistych przemieszczeniach

Jeżeli dane są dwa stany obciążeń (określone przez obciążenia czynne, reakcje i siły przekrojowe) oraz odpowiadające im stany przemieszczeń (określone przez stany przemieszczenia i odkształcenia) oraz jeśli jeden z nich jest stanem rzeczywistym to praca obciążeń czynnych i reakcji jednego stanu na przemieszczeniach drugiego stanu jest równa pracy sił przekrojowych jednego stanu na odkształceniach drugiego stanu.

Zasady te są słuszne niezależnie od sprężystości materiału z którego wykonany jest pręt.

Drgania mechaniczne:

Ruch drgający układu: sytuacja, gdzie współczynniki opisujące ruch zbliżają się i/lub oddalają od pewnej wartości przeciętnej.

1. Rodzaje drgań i parametry służące do opisu ich cech.

RODZAJE DRGAŃ:

- rozpatrywane w fizyce:

• drgania mechaniczne (ruch drgający): wahadło matematyczne, ciało na sprężynie, wahadło fizyczne, drgania cząsteczek sieci krystalicznych, drgania strun instrumentów muzycznych, drgania powietrza itp.

• drgania elektryczne: okresowe zmiany natężenia prądu np. w układzie kondensatora i cewki itp.

• drgania elektromechaniczne: np. drgania krystalicznych sieci jonowych, drgania plazmy w polu magnetycznym lub elektrycznym itp.

- ze względu na własności matematyczne:

• drgania okresowe (np. ruch harmoniczny)

• drgania nieokresowe

- ze względu na rodzaj równań drgań

• liniowe (gdy ciało porusza się wzdłuż prostej)

• nieliniowe

- jeżeli na drgający układ ma wpływa inny układ:

• drgania wymuszone (zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii)

• drgania swobodne (drgania własne) - są to drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły. Dzieli się je na:

  • zachowawcze (energia drgań nie zmienia się)

  • tłumione (energia zmniejsza się)

  • samowzbudne (energia drgań rośnie)

• drgania aperiodyczne – po wychyleniu asymptotycznie będą wracały do równowagi

- drgania ortogonalne (Dla ciał mogących wykonywać drgania własne o różnej częstotliwości, kierunkach lub układach można określić zestaw takich drgań, że każde drganie jest sumą drgań własnych)

PARAMETRY OPISUJĄCE ICH CECHY:

f – częstotliwość, f = $\frac{1}{T}$ [$\ \frac{1}{s}$ = Hz]

T – okres drgań, T = $\frac{2}{}$ [s^-1]

ω - częstość drgań, $= \frac{2}{T}$ [$\frac{\text{rad}}{s}$]

A – amplituda drgań – wartość max wychylenia z położenia równowagi, [-]

S – sygnał harmoniczny, s = A ⋅ cos(ωt + ϕ)

ϕ - faza początkowa [rad] dla chwili t=0

2. Modele tłumienia i współczynnik tłumienia.

Tłumienie (gaśnięcie) drgań, to stopniowe zmniejszenie się amplitudy drgań swobodnych wraz z upływem czasu, związane ze stratami energii układu drgającego. Tłumienie obserwowane jest zarówno w układach mechanicznych jak elektrycznych. W przypadku fal biegnących tłumienie prowadzi do zmniejszania się amplitudy fali wraz ze wzrostem odległości od źródła, co wynika z rozpraszania energii w otoczeniu falowodu.

I. przypadek z tłumieniem podkrytycznym

, , ,

II. przypadek nadkrytyczny

, , ,

III. przypadek krytyczny

, , ,

Współczynnik względny tłumienia:

Gdzie: Q – współczynnik jakości (dobroci układu)

3. Krzywe rezonansowe przy wymuszeniach siłowych, kinematycznych i zależnych od częstości (wybrać do omówienia jeden przypadek). Układy o jednym stopniu swobody.

Drgania harmoniczne tłumione występują dla wymuszonego oscylatora harmonicznego tłumionego, czyli drgań o jednym stopniu swobody, tłumionych i wymuszonych. Przy tłumieniu i wymuszaniu nie zmieniającym się w czasie układ dochodzi do drgań z częstotliwością wymuszającą i stałą amplitudą. Taka sytuacja zwana jest stanem stacjonarnym.

4. Częstość drgań własnych i formy drgań własnych.

Drgania swobodne (drgania własne) są to drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia.

Formy drgań własnych:

- drgania po wpływem sił sprężystości (Częstotliwość drgań własnych zależy tylko od własności fizycznych i kształtu ciała, lub układu drgającego, jeżeli drgania wykonywane są pod wpływem wewnętrznych sił sprężystości ciała)

- drgania swobodne pod wpływem sił zewnętrznych (Siłami będącymi przyczyną drgań własnych może być siła grawitacji, siła oddziaływania elektrostatycznego i inne. Przykładem drgań własnych wywoływanych zewnętrzną siłą jest wahadło.)

- drgania harmoniczne (zachodzące gdy siła przywracająca równowagę jest proporcjonalna do wychylenia, Drgania takie wykonują ciała sprężyste, jeżeli amplituda drgań nie jest zbyt duża)

Częstość drgań własnych: y = $\frac{}{_{n}}$

5. Zasada tłumienia dynamicznego drgań.

1) σ² - _n²  0

$\sqrt{{\ }^{2}\ \ - \ _{n}^{2}\ } = \ \sqrt{\left( - 1 \right)(\ _{n}^{2} - \ {\ }^{2}\ )\ } = j\ \sqrt{_{n}^{2} - \ {\ }^{2}\ }$ = jω ω = $\sqrt{_{n}^{2} - \ {\ }^{2}\ }$

Stąd: ρ₁ = - σ + jω, ρ₂ = - σ - jω

[ x₀ cos(ωt +ϕ)] e^−t rozw. X = C₁ e^1t+ C₂ e^2t

x = x₀ e^−t ⋅ cos (ωt +ϕ) , x₀ i ϕ przyjmowane z zadanych warunków początkowych

- fala nigdy nie dojdzie do 0

- cały czas będzie oscylowała dookoła położenia równowagi

x₀e^−t

-x₀e^−t

2) σ² - _n² > 0

ρ₁ = - σ + jω, ρ₂ = - σ - jω x e Re

x = x₀₁ e^₁t + x₀₂ e^₂t

- drgania są aperiodyczne ( po wypchnięciu asymptotycznie wracają do położenia równowagi)

x

t

3) σ² - _n² = 0 PRZYPADEK KRYTYCZNY

ρ₁ = ρ₂ = - σ

X = (x₀₁ + x₀₂ ) ⋅ e^{- σt} wielomian o jeden stopień niższy od pierwiastka

Tłumienie krytyczne – to tłumienie, które zeruje pierwiastek ; C_kr

ρ² = _n² ρ = ω_n ; $\frac{C_{\text{kr}}}{m} = 2\ = 2_{n}$

6. Co konstruktor powinien zrobić aby obniżyć wpływ drgań na konstrukcje.

- zwiększyć sztywność konstrukcji,

-szeroko rozstawić podpory,

-ustawić przeciwwagę (jądro wewnętrzne tłumiące drgania),

-elastyczna obudowa – elewacja,

- odpowiednia bryła.

7. Przyrządy do pomiaru drgań – ich zasada.

- akcelerometry

- sejsmografy

- sejsmometr

Istnieją dwie zasady działania przyrządów do pomiaru drgań:

SPOSÓB I : przyrządami o stałym układzie odniesienia

Drgania wybranego punktu badanego obiektu mierzymy względem wybranego, praktycznie

nieruchomego, układu odniesienia. Nieruchomym układem odniesienia, względem którego drga badany obiekty, jest tutaj oś obracającego się bębna.

SPOSÓB II: przyrządami inercyjnymi, bezwładnościowymi lub sejsmicznymi.

Na obiekcie umieszczany dodatkowy układ mechaniczny w postaci oscylatora harmonicznego

(układ o jednym stopniu swobody). Układ odniesienia, względem którego mierzymy badaną wielkość, jest związany z masą oscylatora.

m – masa na sprężynie i tłumiku

->bęben obrotowy

X(t) odległość zmienna w czasie

Obudowa przyrządu jest sztywno połączona z badanym obiektem i wykonuje wraz z nim drgania. Pisak zapisuje drgania na obrotowym bębnie, rejestruje przemieszczenie w stosunku do obudowy.

Równanie przyrządu pomiarowego opisujące drgania masy :

m$\frac{d^{2}}{dt^{2}}\ \ x + \ x_{0}\ + C\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \ \text{kx} = 0$

Gdzie: (x+x₀) – przemieszczenie w tłumiku

C – siła w tłumiku

$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ - przemieszczenie w stosunku do obudowy

8. Wpływ drgań na organizm ludzki.

Z punktu widzenia ochrony oraz bezpieczeństwa pracownika, drgania mechaniczne są bardzo szkodliwym czynnikiem fizycznym.

Wibracje o charakterze ogólnym powodują:

- Zmiany w układzie kostnym - występują patologiczne zmiany we fragmencie lędźwiowym kręgosłupa, niekiedy w odcinku szyjnym. W licznych krajach, ból kręgosłupa został zakwalifikowany jako choroba zawodowa;

- Zmiany w narządach wewnętrznych - występują liczne zmiany w prawidłowym funkcjonowaniu układu pokarmowego jak na przykład żołądka oraz przełyku, problemy z narządem przedsionkowo -ślimakowym (organum vestibulocochleare), narządach układu płciowego kobiet, narządach w klatce piersiowej, narządach w jamie nosowo - gardłowej;

Poza wymienionymi skutkami biologicznymi występują również:

- Wzrost czasu reakcji ruchowej;

- Wzrost czasu reakcji wzrokowej;

- Problemy z koordynacją ruchów;

- Rozdrażnienie;

- Problemy z pamięcią

- Bezsenność;

9. Rodzaje niewyrównoważenia wirników ( ciał wirujących) i metody wyrównoważenia.

Niewyrównoważenie - to wspólna cecha wszystkich elementów wirujących zarówno wałów maszyn wirnikowych, jak i wałów wykorbionych maszyn tłokowych. W pierwszym jednak przypadku niewyrównoważenie jest ubocznym efektem niedoskonałości materiału (np. niejednorodność), procesu wytwarzania a także efektem zużycia eksploatacyjnego (np. erozja). W drugim zaś przypadku niewyrównoważenie wału korbowego jest charakterystyką

maszyny dobrane świadomie przez konstruktora, niezmienne w procesie eksploatacji.

Rodzaje niewyrównoważenia:

- niewyrównoważenie statyczne

- niewyrównoważenie właściwe

- niewyrównoważenie momentowe – powstaje wtedy gdy naddatki masy rozłożone są symetrycznie i przemiennie względem środka masy

- niewyrównoważenie quasi statyczne – powstaje wtedy gdy masa niezrównoważona leży poza płaszczyzną środka ciężkości

- niewyrównoważenia dynamiczne – powstaje gdy oś bezwładności jest wichrowata do osi obrotu w odległości e

Metody wyrównoważenia:

- wyrównoważenie statyczne

- wyrównoważenie dynamiczne jedno- (dla wirników o kształcie tarczowym) i dwupłaszczyznowe (dla wszystkich innych)

- wyrównoważenie konstrukcyjne

- wyrównoważenie technologiczne