- SPRAWOZDANIE -

1. Wstęp

Celem ćwiczenia było zbadanie dyfrakcji elektronów i światła na sieci krystalicznej. Podstawą tego ćwiczenia jest hipoteza de Broglie’a, która poruszającej się cząstce przypisuje określoną długość fali λ zgodnie z zależnością:

$$\mathbf{\lambda =}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{p}}$$

Gdzie: h – stała Plancka, a p – pęd cząstki.

Istotny jest również fakt, iż podstawową własnością materii jest dualizm korpuskularno-falowy. Przydatny jest także wzór Bragga, wiążący długość fali λ, odległość między płaszczyznami atomowymi d oraz kąt poślizgu θ:

2dsinθ = nλ

Aby potwierdzić słuszność hipotezy de Broglie’a wykonuje się doświadczenie Thomsona, polegające na przepuszczaniu wiązki elektronów przez cienką folię polikrystaliczną (w naszym ćwiczeniu była to folia grafitowa o sieci heksagonalnej). Zaobserwowane na ekranie układy pierścieni pozwalają nam wyznaczyć odległość między płaszczyznami atomowymi w folii. Ponadto, jeśli wykres funkcji:

$$\frac{\mathbf{2}\mathbf{\text{rh}}}{\mathbf{D}}\mathbf{= d*}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{meU}}}$$

Gdzie: r – odległość folia-ekran

h – stała Plancka

D – średnica pierścienia

d – odległość między płaszczyznami atomowymi

m – masa elektronu
e – ładunek elektronu
U – napięcie przyspieszające elektrony

2. Układ pomiarowy

Ćwiczenie składało się z dwóch części, a więc wymagało dwóch układów pomiarowych: pierwsza część to doświadczenie Thomsona, druga to zbadanie obrazu interferencyjnego powstałego na skutek umieszczenia na drodze światła laserowego siatki dyfrakcyjnej. W pierwszej części wykorzystaliśmy lampę oscyloskopową, zasilacz oraz ekran, na którym pojawiały się pierścienie:

Układ pomiarowy w drugiej części ćwiczenia był następujący:

3. Wykonanie ćwiczenia

Część I – doświadczenie Thomsona

1. Zapoznanie się z obsługą zasilacza lampy oscyloskopowej i upewnienie się, że pokrętło regulacji napięcia przyspieszającego elektrony jest w położeniu zerowym.

2. Zwiększenie napięcia zasilacza na 9 kV i zmierzenie średnic wewnętrznych i zewnętrznych powstałych na ekranie pierścieni.

3. Zmniejszanie napięcia zasilającego i mierzenie średnic kolejnych pierścieni dla 6 pomiarów.

4. Zmniejszenie napięcia zasilającego do 0 kV i wyłączenie zasilania.

Część II – dyfrakcja światła na sieci krystalicznej

1. Włączenie lasera i ustawienie go w oznaczonym na stole laboratoryjnym miejscu.

2. Wstawienie w bieg wiązki światła laserowego siatki dyfrakcyjnej B5 i odrysowanie powstałego obrazu interferencyjnego.

3. Analogiczne postąpienie jak w punkcie 2. z siatką D1

4. Zabezpieczenie wszystkich siatek dyfrakcyjnych i wyłączenie zasilania lasera.

4. Wyniki i ich opracowanie, rachunek niepewności

Część I – doświadczenie Thomsona

Zmierzyliśmy średnice zewnętrzne i wewnętrzne dwóch pierścieni, które pojawiły się na ekranie. Wyniki zaprezentowane są w tabeli:

Nr pomiaru	U [V]	Średnica pierścienia [m]
		D1
1	9000	0,029
2	7880	0,031
3	7450	0,033
4	6590	0,035
5	4780	0,041
6	3400	0,050

Odległość folia-ekran: r = 0, 127 ± 0, 001 [m]

Stała Plancka: h = 6,  63 *  10⁻³⁴ [Js]

Masa elektronu: m = 9,  11 * 10⁻³¹ [kg]

Ładunek elektronu: e = 1,  6 * 10⁻¹⁹ [C]

Szerokość prążka: 0,003 [m]

Korzystając ze wzoru:

$$D = \frac{2rh}{d\sqrt{2meU}}$$

i przekształcając go do postaci:

$$\frac{\mathbf{2}\mathbf{\text{rh}}}{\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\text{meU}}}}\mathbf{= D*d}$$

gdzie: x = D , $a = \frac{1}{\sqrt{U}}$ , $\frac{2rh}{\sqrt{2meU}} = y$

Obliczamy niepewności.

$$u\left( D \right) = \sqrt{\left( \frac{0,001}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( \frac{\frac{1}{2}*0,003}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = 0,001\ \lbrack m\rbrack$$

u(r) = 0,0005 [m]

$$u\left( U \right) = \sqrt{\left( \frac{100}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( \frac{\frac{1}{2}*500}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = 155,46\ \lbrack V\rbrack$$

$u\left( y \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)^{2}*u^{2}\left( r \right) + \left( \frac{\partial y}{\partial U} \right)^{2}*u^{2}\left( U \right)} = \sqrt{\left( \frac{2h}{\sqrt{2meU}} \right)^{2}*u^{2}\left( r \right) + \left( \frac{2rh}{\sqrt{2me}} \right)^{2}*u^{2}\left( U \right)} = \sqrt{\left( \frac{2*6,\ 63*\ 10^{- 34}}{\sqrt{2*9,\ 11*10^{- 31}*1,\ 6*10^{- 19}*U}} \right)^{2}*\left( 0,0005 \right)^{2} + \left( \frac{2*0,127*6,\ 63*\ 10^{- 34}}{\sqrt{2*9,\ 11*10^{- 31}*1,\ 6*10^{- 19}}} \right)^{2}*}\left( 155,46 \right)^{2} = \sqrt{\frac{15*10^{- 25}}{U} + 2351*10^{- 18}} = 4,8487*10^{- 8}\ $[m²]

Sporządzamy wykres zależności w programie ORIGIN dla zewnętrznej średnicy większego pierścienia.

Odczytuję z wykresu wartość d oraz jego niepewność:

d=(0, 99 ± 0, 05)*10⁻¹⁰ [m]

Obliczenia dla wybranego punktu pomiarowego:

D = 0,041 m, U = 4780 V

$$d = \frac{2rh}{D\sqrt{2meU}} = \frac{2*0,127*6,\ 63*\ 10^{- 34}}{0,041*\sqrt{2*9,\ 11*10^{- 31}*1,\ 6*10^{- 19}*4780}} = 1,1*10^{- 10}\lbrack m\rbrack$$

$$u(d) = \sqrt{\left( \frac{\partial d}{\partial r} \right)^{2}*u^{2}\left( r \right) + \left( \frac{\partial d}{\partial D} \right)^{2}*u^{2}\left( D \right) + \left( \frac{\partial d}{\partial U} \right)^{2}*u^{2}\left( U \right)} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{2h}{D\sqrt{2meU}} \right)^{2}*{0,001}^{2} + \left( - \frac{2rh}{D^{2}\sqrt{2meU}} \right)^{2}*{0,001}^{2} + \left( - \frac{\text{rh}}{D\sqrt{2meU^{3}}} \right)^{2}*{155,46}^{2}} =$$

$$= \sqrt{1,86*10^{- 24} + 92,668*10^{- 24} + 1,206*10^{- 24}} = 0,098*10^{- 10}\lbrack m\rbrack$$

Całkowitą niepewność wartości d obliczam ze wzoru na przenoszenie niepewności, gdyż są one tego samego rzędu:

$$U\left( d \right) = \sqrt{{0,015}^{2} + \frac{{0,098}^{2}}{3}} = 0,059*10^{- 10}\lbrack m\rbrack$$

Ostateczny wynik:

d = 1, 10(±12)*10⁻¹⁰ [m]

Wartość testu χ² dla wykresu wynosi 8, 14 * 10⁻²⁷, a wartość krytyczna dla poziomu istotności 0,05 i 4 stopni swobody wynosi 9,5. Wynika z tego, iż nie ma podstaw do odrzucenia twierdzenia o liniowości tej zależności, a co za tym idzie hipoteza de Broglie’a została potwierdzona. Obliczona wartość d jest zbliżona do wartości teoretycznej odległości płaszczyzny atomowej grafitu.

Na ekranie nie widać pierścieni interferencyjnych wyższych rzędów, ponieważ nie został spełniony warunek wzmocnienia fal zgodnie z równaniem Bragga dla więcej niż dwóch zespołów płaszczyzn o różnych odległościach atomowych.

Część II – dyfrakcja światła na sieci krystalicznej

Odrysowane obrazy interferencyjne dla dwóch siatek są załączone na końcu sprawozdania. Zmierzone pod mikroskopem zostały również wartości stałych sieciowych dla tych siatek.

Siatka B5 – siatka o sieci polikrystalicznej

Siatka D1 – siatka o sieci regularnej

Wartość stałej sieciowej zmierzonej za pomocą mikroskopu: a = 0,000045 (±5) [m]

Punkt: h = 1, k = 1

H_hk = 0, 014142 ± 0, 001 [m]

λ = 6, 6 * 10⁻⁷ [m]

L = 1, 400 ± 0, 002 [m]

$$\text{tg}\theta_{\text{hk}} = \frac{H_{\text{hk}}}{L} = \frac{0,014142\ m}{1,4\ m} = 0,0101$$

Niepewność wyliczenia tangensa wyznaczam metodą różniczki zupełnej:

$$tg\theta_{\text{hk}} = \sqrt{\left( \frac{\partial\frac{H_{\text{hk}}}{L}}{\partial H_{\text{hk}}} \right)^{2}*u^{2}\left( H_{\text{hk}} \right) + \left( \frac{\partial\frac{H_{\text{hk}}}{L}}{\partial L} \right)^{2}*u^{2}\left( L \right)} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{1}{L} \right)^{2}*u^{2}(H_{\text{hk}}) + \left( - \frac{H_{\text{hk}}}{L^{2}} \right)^{2}*u^{2}(L)} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{1}{1,4\ } \right)^{2}*{0,001}^{2}\ + \left( - \frac{0,014142\ m}{\left( 1,4\ \right)^{2}} \right)^{2}*{0,002\ }^{2}} = 7,14431*10^{- 4}$$

tgθ_hk = 0, 0071428 ⇒  θ_hk = 0, 4093

tgθ_hk = 7, 24484 * 10⁻⁴  ⇒  θ_hk = 0, 0415

Zatem:

$$d_{\text{hk}} = \frac{\lambda}{\sin\theta_{\text{hk}}} = \frac{6,6*10^{- 7}}{sin(0,4093)} = 9,2391*10^{- 5}\ \lbrack m\rbrack$$

Niepewność d_hk obliczamy metodą różniczki zupełnej:

$$d_{\text{hk}} = \sqrt{\left( \frac{\partial d_{\text{hk}}}{\partial\theta_{\text{hk}}} \right)^{2}*\left( \theta_{\text{hk}} \right)^{2}} = \sqrt{\left( - \frac{\lambda*cos\theta_{\text{hk}}}{\sin^{2}\theta_{\text{hk}}} \right)^{2}*\left( \theta_{\text{hk}} \right)^{2}} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{6,6*10^{- 7}\ *\cos\left( 0,4093 \right)}{\sin^{2}\left( 0,4093 \right)} \right)^{2}*\left( 0,0415 \right)^{2}} = 0,9367*10^{- 5}\ \lbrack m\rbrack$$

Siatka D1 ma sieć regularną, a więc stałą sieciową liczymy z następującego wzoru:

$$\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d}}_{\mathbf{\text{hk}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\sqrt{\mathbf{h}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{k}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}$$

gdzie a jest szukaną stałą sieciową.

Zatem:

$$a = d_{\text{hk}}*\sqrt{h^{2} + k^{2}} = 9,2391*10^{- 5}*\sqrt{2} = 13,06606*10^{- 5}\text{\ m}$$

Niepewność wyznaczenia stałej sieciowej będzie równa:

$$a = d_{\text{hk}}*\sqrt{2} = 0,9367*10^{- 5}\ m*\sqrt{2} = 1,3247*10^{- 5}\text{\ m}$$

Ostatecznie:

a = 0, 000131(±26) [m]

5. Wnioski

Na podstawie wykresu sporządzonego w programie ORIGIN i obliczeń przeprowadzonych przez ten program możemy stwierdzić, że badana zależność jest zależnością liniową. Otrzymany wynik potwierdza założenie hipotezy de Broglie’a, ponieważ oznacza, że wiązce elektronów (cząstek) możemy przypisać określoną długość fali.

Obrazy interferencyjne otrzymane dla przezroczy A1, B1 i C1 są praktycznie identyczne. Są to sieci regularne. Obraz interferencyjny potwierdza fakt, iż fala ulega dyfrakcji na przeszkodzie z otworami.

Siatka D1 ma mniejszą stałą sieciową niż siatki A1, B1 oraz C1(porównane z wynikami reszty zespołu).

Przezrocze B5 wykonane jest z polikryształu. Polikryształy składają się z bardzo dużej liczby monokryształów, zatem zawsze znajdzie się pewna liczba krystalitów, dla których warunek Bragga będzie spełniony dla danego kąta poślizgu - stąd otrzymany obraz interferencyjny w postaci okręgów. Obraz ten można porównać z obrazem otrzymanym dla wiązki elektronów, ponieważ zgodnie z hipotezą de Broglie’a wiązce elektronów można przypisać określoną długość fali. Wiązka elektronów potraktowana jak fala, ulega dyfrakcji na folii grafitowej tak samo, jak światło ulega dyfrakcji na polikrysztale.