Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

Teoria sprężystości i plastyczności

Temat:XII.2.3_R Metoda Lewego rozwiązania płyt

Opracowała:

Deyzi Tofil

Budownictwo stacjonarne

Studia II stopnia

Sem I, TOB

Prowadzący: dr hab. inż. Mykhaylo Delyavskyy

Zastosowanie metody Lewego (pojedynczych szeregów Fouriera) do obliczania ugięć płyt prostokątnych.

1. Założenia:

- obciążenie zmienia się tylko w kierunku osi x

- oba brzegi płyty (x=0 i x=L_x) są swobodnie podparte

Rys. 1 Schemat obciążenia płyty

Przy tych założeniach możliwych jest 6 różnych schematów podparcia płyty, które zostały pokazane na rys. 2.

Rys. 2 Schematy podparcia płyt

2. Równanie powierzchni ugięcia:

Powierzchnię ugięcia opisujemy równaniem:

w(x,y) =  w₁(x,y) +  w₂(x) (1)

Po podstawieniu (1) do równania równowagi płyty otrzymamy:

$\nabla^{4}\left\lbrack w_{1}\left( x,y \right) + \ w_{2}\ \left( x \right) \right\rbrack = \ \frac{p(x)}{D}$ (2)

co pozwala zapisać to równanie jako:

∇⁴w₁(x,y) =  0 (3a)

$\frac{\nabla^{4}w_{2}(x)}{dx^{4}} = \frac{p(x)}{D}$ (3b)

Poszukując rozwiązania równania (3b) w postaci szeregu:

$w_{2}\left( x \right) = \ \sum_{i = 1}^{\infty}{\lbrack E_{i}\sin \propto_{i}x}$ (4)

rozwiniemy obciążenie w szereg sinusowy:

$p\left( x \right) = \ \sum_{i = 1}^{\infty}{p_{i}\sin{\propto_{i}x}}$ (5)

gdzie $p_{i} = \ \frac{2}{L_{x}}\ \int_{0}^{L_{x}}{p\left( x \right)\sin{\propto_{i}x\ \text{dx},\ \ \ \ \propto_{i} = \frac{\text{iπ}}{L_{x}}}}$

Po podstawieniu do (3b) otrzymamy:

$\sum_{i = 1}^{\infty} \propto_{i}^{4}E_{i}\text{si}n \propto_{i}x = \ \frac{1}{D}\ \sum_{i = 1}^{\infty}{p_{i}\sin \propto_{i}x}$ (6)

a w konsekwencji:

$E_{i} = \ \frac{p_{i}}{D\ \propto_{i}^{4}}$ (7)

Rozwiązanie równania (3a) również będzie poszukiwane w postaci szeregu sinusowego:

$w_{1}\left( x \right) = \ \sum_{i = 1}^{\infty}{f_{i}\left( y \right)\sin \propto_{i}x}$ (8)

który po podstawieniu do (3a) daje warunek określający funkcję f_i(y):

$\propto_{i}^{4}\frac{d^{4}f_{i}}{dy^{4}} + 2 \propto_{i}^{2}\frac{d^{2}f_{i}}{dy^{2}} + f_{i} = 0\ \ $ (9)

Rozwiązanie liniowego równania różniczkowego (9) można przedstawić w postaci:

f_i(y) = A_ish∝_iy + B_ich∝_iy + C_i∝_iysh∝_iy + D_i∝_iych∝_iy (10)

gdzie stałe A_i, B_i, C_i, D_i należy dobrać tak, aby spełnione zostały warunki brzegowe płyty dla obu brzegów y=const.

W dalszych rozważaniach często będą występować pochodne funkcji f(y):

3. Przykłady zastosowania metody Lewego:

3.1 Płyta o dwóch przeciwległych brzegach sztywno zamocowanych i dwóch swobodnie podpartych (rys. 2a)

Warunki brzegowe dla obu brzegów zamocowanych są następujące:

$y = \pm \frac{1}{2}L_{y}:\ \ \ w = 0,\ \varphi_{x} = \frac{\partial_{w}}{\partial_{y}} = 0$ (11)

Symetria powierzchni ugięcia względem osi x powoduje znikanie w równaniu (10) tych członów, które zawierają funkcje niesymetryczne, czyli A_i = 0  oraz D_i = 0.

Równanie (10) po uwzględnieniu warunków (11) przybierze zatem postać:

f_i(y) = B_ich∝_iy + C_i∝_iysh∝_iy (12)

Równanie powierzchni ugięcia (1) upraszcza się do postaci:

$w\left( x,y \right) = \ w_{1}\left( x,y \right) + \ w_{2}\left( x \right) = \sum_{i = 1}^{\infty}{(B_{i}ch \propto_{i}y + C_{i} \propto_{i}\text{ys}h \propto_{i}y +}E_{i})\sin \propto_{i}x\ $ (13)

Po podstawieniu warunków brzegowych mamy:

$\sum_{i = 1}^{\infty}{\left( B_{i}ch \propto_{i} + C_{i}\mathbf{\lambda}_{i}sh\mathbf{\lambda}_{i} + E_{i} \right)\sin \propto_{i}x = 0}$ (14a)

$\sum_{i = 1}^{\infty}{\propto_{i}\lbrack\left( B_{i}sh\mathbf{\lambda}_{i} + C_{i}(sh\mathbf{\lambda}_{i} + \mathbf{\lambda}_{i}ch\mathbf{\lambda}_{i} \right)\rbrack\sin \propto_{i}x = 0}$ (14b)

gdzie $\mathbf{\lambda}_{i} = \frac{\propto_{i}L_{y}}{2} = \frac{i\pi L_{y}}{2L_{x}}$

Aby układ równań (14) spełniony był dla każdego x, musi być:

B_ichλ_i + C_iλ_ishλ_i + E_i = 0 (15a)

B_ishλ_i + C_i(shλ_i+λ_ichλ_i) = 0 (15b)

Po rozwiązaniu układu równań (15) mamy:

$C_{i} = E_{i}\frac{ch\mathbf{\lambda}_{i}}{1 + \mathbf{\lambda}_{i}(\text{ct}h\mathbf{\lambda}_{i} - th\mathbf{\lambda}_{i})}$ (16)

B_i = −C_i(1 + λ_icthλ_i) (17)

Tak więc obliczając z równań (7), (16), (17) wszystkie stałe, możemy z równania (13) obliczyć ugięcie płyty.

3.2 Płyta na jednym brzegu sztywno zamocowana a na pozostałych swobodnie podparta (rys. 2b)

Warunki brzegowe dla krawędzi y=const. są następujące:

y = 0 :

w(x,0) = 0, (18a)

$\varphi_{x}\left( x,0 \right) = \frac{\partial_{w}}{\partial_{y}}|_{y = 0} = 0,$ (18b)

y = L_y:

w (x, L_y) =  0, (18c)

$M_{y}\left( x,L_{y} \right) = D(\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} + v\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}})_{y = L_{y}} = 0,$ (18d)

Warunek (18d) po uwzględnieniu (18c) redukuje się do równania:

${\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}}|}_{y = L_{y}} = 0.$ (18e)

Powierzchnia ugięcia nie jest symetryczna, więc równanie powierzchni ugięcia (1) przyjmuje postać:

$w\left( x,y \right) = \sum_{i = 1}^{\infty}{{(A}_{i}sh \propto_{i}y + B_{i}ch \propto_{i}y + C_{i} \propto_{i}\text{ys}h \propto_{i}y + D_{i} \propto_{i}\text{yc}h \propto_{i}y + E_{i})\sin \propto_{i}x}\text{\ .}$ (19)

Uwzględnienie warunków (18a) i (18b) daje równania:

B_i +  E_i = 0, (20a)

A_i +  D_i = 0. (20b)

Warunki (18c) i (18e) dają równania:

A_ishλ_i + B_ichλ_i + C_iλ_ishλ_i + D_iλ_ichλ_i + E_i = 0 (20c)

A_ishλ_i + B_ichλ_i + C_i(2chλ_i+λ_ishλ_i) + D_i(2shλ_i + λ_ichλ_i)=0 (20d)

gdzie $\propto_{i} = \propto_{i}L_{y} = \ \frac{\text{iπ}L_{y}}{L_{x}}\text{\ .}$

Układ równań (20a,b,c,d) ma rozwiązanie:

$C_{i} = \ \frac{E_{i}}{1 - \propto_{i}\ (\text{ct}h\ \lambda_{i} - th\lambda_{i})}$, A_i =  C_icthλ_i  ,   B_i =   − E_i , D_i =   − A_i  ,

gdzie E_i określone jest przez równanie (7).

Wstawiając obliczone stałe do równania (19) wyznaczamy powierzchnie ugięcia.

3.3 Płyta na jednym brzegu sztywno zamocowana a na przeciwległym swobodnie a dwóch pozostałych swobodnie podparta (rys. 2c).

Warunki brzegowe dla krawędzi równoległych do osi x są następujące:

y = 0 :

w(x,0) = 0, (21a)

$\varphi_{x}\left( x,0 \right) = \frac{\partial_{w}}{\partial_{y}}|_{y = 0} = 0,$ (21b)

y = L_y:

$M_{y}\left( x,L_{y} \right) = D(\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} + v\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}})_{y = L_{y}} = 0,$ (21c)

$V_{y}\left( x,L_{y} \right) = - D(\frac{\partial^{3}w}{\partial y^{3}} + (2 - v)\frac{\partial^{3}w}{\partial_{y}\partial x^{2}})_{y = L_{y}} = 0,$ (21d)

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, powierzchnia ugięcia nie jest symetryczna, więc równanie powierzchni ugięcia (1) przyjmuje postać:

$w\left( x,y \right) = \sum_{i = 1}^{\infty}{{(A}_{i}sh \propto_{i}y + B_{i}ch \propto_{i}y + C_{i} \propto_{i}\text{ys}h \propto_{i}y + D_{i} \propto_{i}\text{yc}h \propto_{i}y + E_{i})\text{sinx}}\text{\ .}$ (22)

Uwzględnienie warunków (21a) i (21b) daje równania:

B_i +  E_i = 0, (23a)

A_i +  D_i = 0. (23b)

Warunek (21c) po uwzględnieniu (23a) i (23b) redukuje się do równania:

−A_i[(1−v)shλ_i+(1+v)λ_ichλ_i] + C_i[2chλ_i+(1+v)λ_ishλ_i] = E_i[(1+v)chλ_i − v] (24a)

a warunek (21a) po podstawieniu (23a) i (23b) daje równanie:

$- A_{1}\left\lbrack \frac{2}{3 - v}\text{ct}h\lambda_{i} + \lambda_{i} \right\rbrack + C_{i}\left\lbrack \frac{5 - v}{3 - v} + \lambda_{i}\text{ct}h\lambda_{i} \right\rbrack = E_{i}$ , (24b)

gdzie $\propto_{i} = \propto_{i}L_{y} = \ \frac{\text{iπ}L_{y}}{L_{x}}\text{\ .}$

Jeżeli zapisać układ równań (24a) i (24b) w formie macierzowej:

$\begin{bmatrix} g_{1i} & g_{2i} \\ g_{3i} & g_{4i} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{i} \\ C_{i} \\ \end{bmatrix} = E_{i}\begin{bmatrix} h_{1i} \\ 1 \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }$ , (25)

gdzie g_1i = −(1−v)shλ_i − (1+v)λ_ichλ_i , g_2i = 2chλ_i + (1+v)λ_ishλ_i ,

$g_{3i} = - \frac{2}{3 - v}\text{ct}h\lambda_{i} - \lambda_{i}\ ,$ $g_{4i} = \frac{5 - v}{3 - v} + \lambda_{i}\text{ct}h\lambda_{i}\ ,$

h_1i = (1+v)chλ_i − v ,

to rozwiązanie otrzymujemy w postaci:

$A_{1} = E_{i}\left\lbrack \frac{h_{1i}g_{4i} - g_{2i}}{G_{i}} \right\rbrack$ , $C_{1} = E_{i}\left\lbrack \frac{g_{1i} - h_{1i}g_{3i}}{G_{i}} \right\rbrack$ , B_i =   − E_i , D_i =   − A_i , (26)

gdzie G_i =  g_lig_4i − g_2ig_3i.

3.4 Płyta na wszystkich brzegach swobodnie podparta (rys. 2d)

Warunki brzegowe dla obu brzegów y=const. są następujące:

y = $\pm \frac{1}{2}L_{y}\ :$

w(x,$\ \frac{1}{2}L_{y}$) = 0 (27a)

$M_{y}\left( x,\frac{1}{2}L_{y} \right) = D(\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} + v\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}})_{y = \frac{1}{2}L_{y}} = 0,$ (27b)

Podobnie jak w przypadku 3.1, symetria powierzchni względem osi x powoduje znikanie w równaniu (10) tych członów, które zawierają funkcje niesymetryczne, czyli A_i=0 oraz D_i = 0.

Tak więc równanie (10), po uwzględnieniu symetrii warunków (27) przybierze postać:

f_i(y) = B_ich∝_iy + C_i∝_iysh∝_iy. (28)

Równanie powierzchni ugięcia (1) upraszcza się w tym przykładzie do postaci:

$w\left( x,y \right) = w_{1}\left( x,y \right) + w_{2}\left( x \right) = \sum_{i = 1}^{\infty}{(B_{i}ch \propto_{i}y + C_{i} \propto_{i}\text{ys}h \propto_{i}y + E_{i})\sin \propto_{i}x}\ $ (29)

Drugi z warunków brzegowych (27b) po uwzględnieniu (27a) redukuje sie do

$\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} = \sum_{i = 1}^{\infty}{f_{x}^{"}\sin \propto_{i}x = 0.}$ (30)

Po podstawieniu warunków brzegowych mamy:

$\sum_{i = 1}^{\infty}{{(B}_{i}ch\lambda_{i} + C_{i}\lambda_{i}sh\lambda_{i} + E_{i})\sin}$ ∝_ix = 0 (31a)

$\sum_{i = 1}^{\infty}{{\propto_{i}^{2}\lbrack B}_{i}ch\lambda_{i} + C_{i}(2ch\lambda_{i} + \lambda_{i}sh\lambda_{i})\rbrack\sin}$ ∝_ix = 0 (31b)

gdzie $\lambda_{i} = \frac{\lambda_{i}L_{y}}{2} = \frac{\text{iπ}L_{y}}{2L_{x}}.$

Aby układ równań (31) spełniony był dla każdego x, musi być:

B_ichλ_i + C_iλ_ishλ_i + E_i = 0, (32a)

B_ichλ_i + C_i(2chλ_i + λ_ishλ_i)=0, (32b)

Po rozwiązaniu układu równań (32) mamy:

$C_{i} = \ \frac{E_{i}}{2ch\lambda_{i}}$ , (33)

B_i =  −C_i(2+λ_ithλ_i). (34)

3.5 Płyta na trzech wszystkich brzegach swobodnie podparta a na czwartym swobodnie (rys. 2e)

Warunki brzegowe dla krawędzi równoległych do osi x są następujące:

y = 0 :

w(x,0) = 0, (35a)

$M_{y}\left( x,0 \right) = D(\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} + v\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}})_{y = 0} = 0,$ (35b)

y = L_y:

$M_{y}\left( x,L_{y} \right) = D(\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} + v\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}})_{y = L_{y}} = 0,$ (35c)

$V_{y}\left( x,L_{y} \right) = - D(\frac{\partial^{3}w}{\partial y^{3}} + (2 - v)\frac{\partial^{3}w}{\partial_{y}\partial x^{2}})_{y = L_{y}} = 0,$ (35d)

Równania (35a) i (35b) można sprowadzić do znacznie prostszej postaci:

B_i +  E_i = 0, (36a)

B_i +  2C_i = 0. (36b)

co pozwala łatwo wyliczyć wartości stałych: $B_{i} = - E_{i},\ \ \ \ C_{1} = \frac{1}{2}E_{i}.$

Równania (35c) i (35d) mogą zostać przedstawione w postaci:

gdzie $\propto_{i} = \propto_{i}L_{y} = \ \frac{\text{iπ}L_{y}}{L_{x}}\text{\ .}$

Podobnie jak w przykładzie 3.3 wygodnie będzie zapisać ten układ równań w formie macierzowej:

$\begin{bmatrix} 1 & g_{1i} \\ 1 & g_{2i} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{i} \\ D_{i} \\ \end{bmatrix} = E_{i}\begin{bmatrix} h_{1i} \\ h_{2i} \\ \end{bmatrix}\ ,\ $ (38)

gdzie $g_{1i} = \frac{2}{1 + v} + \lambda_{i}\text{ct}h\lambda_{i}\ ,$ $g_{2i} = \frac{v}{1 + v} + \left( \text{ct}h\lambda_{i} - 1 \right) - \frac{\lambda_{i}}{2}\ ,$

$g_{3i} = \frac{5 - v}{3 - v} + \lambda_{i}th\lambda_{i}\ ,$ $g_{4i} = \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{1 - v}{3 - v}th\lambda_{i} - \lambda_{i} \right\rbrack.$

Rozwiązanie (38) otrzymujemy w postaci:

3.6 Płyta na dwóch brzegach swobodnie podparta o pozostałych dwóch swobodnych (rys. 2f)

Warunki brzegowe dla obu brzegów y=const. są następujące:

y = $\pm \frac{1}{2}L_{y}\ :$

$M_{y}\left( x,\frac{1}{2}L_{y} \right) = D(\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} + v\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}})_{y = \frac{1}{2}L_{y}} = 0,$ (40a)

$V_{y}\left( x,\frac{1}{2}L_{y} \right) = - D(\frac{\partial^{3}w}{\partial y^{3}} + (2 - v)\frac{\partial^{3}w}{\partial_{y}\partial x^{2}})_{y = \frac{1}{2}L_{y}} = 0,$ (40b)

Podobnie jak w przykładach 3.1 i 3.4 symetria powierzchni ugięcia względem osi x powoduje znikanie w równaniu (10) tych członów, które zawierają funkcje niesymetryczne, czyli stałe A_i = 0 oraz D_i = 0.

Warunki brzegowe (40a) i (40b) przybierają w tym przypadku postać:

gdzie $\lambda_{i} = \frac{\propto_{i}L_{y}}{2} = \frac{\text{iπ}L_{y}}{2L_{x}}$

Podobnie jak w przykładzie 3.5, wygodnie będzie zapisać ten układ równań w formie macierzowej:

$\begin{bmatrix} 1 & g_{1i} \\ 1 & g_{2i} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{i} \\ C_{i} \\ \end{bmatrix} = E_{i}\begin{bmatrix} h_{1i} \\ 0 \\ \end{bmatrix}\ ,\ $ (42)

gdzie $g_{1i} = \frac{2 + v}{1 + v} + \lambda_{i}th\lambda_{i}\ ,$ $h_{1i} = \frac{- v}{\left( 1 + v \right)ch\lambda_{i}}\ ,$

$g_{2i} = \frac{5 - v}{3 - v} + \lambda_{i}\text{ct}h\lambda_{i}\ ,$

Rozwiązanie (42) otrzymujemy w postaci:

$B_{i} = \ E_{i}\frac{h_{1i}g_{2i}}{g_{2i} - g_{1i}}$, $C_{i} = \ - E_{i}\frac{h_{1i}}{g_{2i} - g_{1i}}$, (43)