Projekt techniczny żebra stropu międzykondygnacyjnego

2.1) ŻEBRO STROPU MIĘDZYKONDYGNACYJNEGO:

A) Obciążenia działające na żebro:

-stałe:

$$g_{kz} = 12,188\frac{\text{kN}}{m}$$

$$g_{dz} = 12,188*1,35 = 16,454\frac{\text{kN}}{m}$$

-zmienne:

$$p_{kz} = 9,2\frac{\text{kN}}{m}$$

$$p_{dz} = 9,2*1,5 = 13,8\frac{\text{kN}}{m}$$

-całkowite:

$$q_{kz} = 12,188 + 9,2 = 21,388\frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{dz} = 16,454 + 13,8 = 30,254\frac{\text{kN}}{m}$$

B) Rozpiętości efektywne:

b_sc = 0, 25m

b_pod = 0, 4m

h_pl = 0, 11m

l_1z = 6, 05m

b_z = 0, 25m

h_z = 0, 5m

-Przęsło skrajne:

$$a_{1} = min\begin{Bmatrix} 0,5*b_{sc} \\ 0,5*h_{z} \\ \end{Bmatrix} = min\begin{Bmatrix} 0,5*0,25 \\ 0,5*0,5 \\ \end{Bmatrix} = min\begin{Bmatrix} 0,125m \\ 0,25m \\ \end{Bmatrix} = 0,125m$$

$$a_{2} = min\begin{Bmatrix} 0,5*b_{\text{pod}} \\ 0,5*h_{z} \\ \end{Bmatrix} = min\begin{Bmatrix} 0,5*0,4 \\ 0,5*0,5 \\ \end{Bmatrix} = min\begin{Bmatrix} 0,2m \\ 0,25m \\ \end{Bmatrix} = 0,2m$$

l_eff1 = l_n1, z + a₁ + a₂ = 5, 725 + 0, 125 + 0, 2 = 6, 05m

-Przęsło środkowe:

$$a_{1} = a_{2} = min\begin{Bmatrix} 0,5*b_{\text{pod}} \\ 0,5*h_{z} \\ \end{Bmatrix} = min\begin{Bmatrix} 0,5*0,4 \\ 0,5*0,5 \\ \end{Bmatrix} = min\begin{Bmatrix} 0,2m \\ 0,25m \\ \end{Bmatrix} = 0,2m$$

l_eff2 = l_n2, z + 2 * a₁ = 5, 65 + 2 * 0, 2 = 6, 05m

C) Wyznaczenie obwiedni momentów i sił tnących od obciążeń obliczeniowych:

M = (g_d*k_g+p_d*k_p) * l_eff²

V = (g_d*k_g+p_d*k_p) * l_eff

Schematy – belka czteroprzęsłowa:

M_Ed, 1(max) = (16,454*0,077+13,8*0,100) * 6, 05² = 96, 153 kNm zla wartość z kalkulatora

M_Ed, 1(min) = (16,454*0,077+13,8*(−0,023)) * 6, 05² = 34, 756 kNm

M_Ed, 2(max) = (16,454*0,036+13,8*0,081) * 6, 05² = 62, 596 kNm

M_Ed, 2(min) = (16,454*0,036+13,8*(−0,045)) * 6, 05² = −1, 049 kNm

V_A(max) = (16,454*0,393+13,8*0,446) * 6, 05 = 76, 358 kN

M_Ed, B(max) = (16,454*(−0,107)+13,8*(−0,004)) * 6, 05² = −66, 462 kNm

V_L, B(max) = (16,454*(−0,607)+13,8*0,013) * 6, 05 = −59, 339 kN

V_P, B(max) = (16,454*0,536+13,8*0,603) * 6, 05 = 103, 702 kN

M_Ed, B(min) = (16,454*(−0,107)+13,8*(−0,121)) * 6, 05² = −125, 56 kNm

V_L, B(min) = (16,454*(−0,607)+13,8*(−0,620)) * 6, 05 = −112, 189 kN

V_P, B(min) = (16,454*0,536+13,8*(−0,067)) * 6, 05 = 47, 763 kN

V_A(min) = (16,454*0,393+13,8*(−0,036)) * 6, 05 = 36, 116 kN

M_C(max) = (16,454*(−0,071)+13,8*0,018) * 6, 05² = −33, 668 kNm

V_C, L(max) = (16,454*(−0,464)+13,8*0,040) * 6, 05 = −42, 85 kN

V_C, P(min) = (16,454*0,464+13,8*(−0,040)) * 6, 05 = 42, 85 kN

M_C(min) = (16,454*(−0,071)+13,8*(−0,107)) * 6, 05² = −96, 808 kNm V_C, L(min) = (16,454*(−0,464)+13,8*(−0,571)) * 6, 05 = −93, 86 kN V_C, P(max) = (16,454*0,464+13,8*0,571) * 6, 05 = 93, 86 kN

Obwiednia momentów:

Obwiednia sił tnących:

D) Wyznaczenie szerokości współpracującej z płytą:

l_o1 = 0, 85 * l_1, z = 0, 85 * 6, 05m = 5, 1425m

l_o2 = 0, 15 * (l_1, z + l_2, z)=0, 15 * (6, 05 + 6, 05)=1, 815m

l_o3 = 0, 7 * l_2, z = 0, 7 * 6, 05m = 4, 235m

l_o4 = 0, 15 * (l_2, z + l_2, z)=0, 15 * (6,05+6,05) = 1, 815m = l_o2

$$b_{\text{eff}} = \sum_{i = 1}^{n}{b_{eff,i} + b_{\text{bw}} \leq b}$$

$$b_{eff,i} = 0,2*b_{i} + 0,1*l_{o} \leq \begin{Bmatrix} 0,2*l_{o} \\ b_{i} \\ \end{Bmatrix}$$

b₁ = 0, 5 * l_n1, pl = 0, 5 * 1, 60m = 0, 8m

b₂ = 0, 5 * l_n2, pl = 0, 5 * 2, 05m = 1, 025m

Przęsło skrajne A-B:

h_pl = 0, 11m

l₀ = 0, 85 * l_eff1 = 0, 85 * 6, 05m = 5, 1425m

b₂ = 0, 5 * l_n2, pl = 0, 5 * 2, 05m = 1, 025m

$$b_{eff,2} = min\begin{Bmatrix} 0,2*b_{2} + 0,1*l_{0} \\ 0,2*l_{0} \\ b_{2} \\ \end{Bmatrix}$$

$$b_{eff,2} = min\begin{Bmatrix} 0,2*1,025 + 0,1*5,1425 = 0,719m \\ 0,2*5,1425 = 1,0285m \\ 1,025m \\ \end{Bmatrix}$$

b_eff, 2 = b_eff, 1 = 0, 719m

b_eff = b_eff, 1 + b_eff, 2 + b_w = 0, 719 + 0, 719 + 0, 25 = 1, 688m

Przęsło środkowe B-C:

l₀ = 0, 7 * l_eff2 = 0, 7 * 6, 05m = 4, 235m

b₂ = 0, 5 * l_n2, pl = 0, 5 * 2, 05m = 1, 025m

$$b_{eff,2} = min\begin{Bmatrix} 0,2*b_{2} + 0,1*l_{0} \\ 0,2*l_{0} \\ b_{2} \\ \end{Bmatrix}$$

$$b_{eff,2} = min\begin{Bmatrix} 0,2*1,025 + 0,1*4,235 = 0,6285m \\ 0,2*4,235 = 0,847m \\ 1,025m \\ \end{Bmatrix}$$

b_eff, 2 = b_eff, 1 ≈ 0, 629m

b_eff = b_eff, 1 + b_eff, 2 + b_w = 0, 629 + 0, 629 + 0, 25 = 1, 508m

Ostatecznie dla przęseł:

Przyjmuję b_eff=1, 508m

Podpora:

l₀ = 0, 15 * (l_eff1 + l_eff2)=0, 15 * (6, 05 + 6, 05)=1, 815m

b₂ = 0, 5 * l_n2, pl = 0, 5 * 2, 05m = 1, 025m

$$b_{eff,2} = min\begin{Bmatrix} 0,2*b_{2} + 0,1*l_{0} \\ 0,2*l_{0} \\ b_{2} \\ \end{Bmatrix}$$

$$b_{eff,2} = min\begin{Bmatrix} 0,2*1,025 + 0,1*1,815 = 0,3865m \\ 0,2*1,815 = 0,363m \\ 1,025m \\ \end{Bmatrix}$$

b_eff, 2 = b_eff, 1 = 0, 363m

b_eff = b_eff, 1 + b_eff, 2 + b_w = 0, 363 + 0, 363 + 0, 25 = 0, 976m

E) Dane materiałowe:

- klasa środowiska: XC2

- klasa konstrukcji: S4

- syt. trwała i przejściowa

-BETON: C30/37; f_ck=30 MPa; γ_c=1,4; α_cc=1,0; f_ctm=2,9; ɛ_cu2=0,0035;

f_cd= $\alpha_{\text{cc}}*\frac{f_{\text{ck}}}{\gamma_{c}} = 1,0*\frac{30}{1,4} = 21,42\ \text{MPa}$

-STAL: klasa B o f_yk=400 MPa; γ_s=1,15; $f_{\text{yd}} = \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{s}} = \frac{400}{1,15} = 347,83\ MPa$; E_s=200 GPa;

$$\varepsilon_{\text{yd}} = \frac{f_{\text{yd}}}{E_{s}} = \frac{347,8}{200*10^{3}} = 0,0017$$

F) Wymiarowanie na zginanie:

- Przęsło A-B (zbrojenie dołem):

Minimalne pole zbrojenia:

$$A_{s1\ min} = \begin{Bmatrix} 0,0013*b_{z}*d = 0,0013*0,25*0,44 = 1,43\text{cm}^{2} \\ 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b_{z}*d = 0,26*\frac{2,9}{400}*0,25*0,44 = 2,08\text{cm}^{2} \\ \end{Bmatrix}$$

A_s1 min = 2, 08cm²

Sprawdzenie teowości:

x_eff ≤ h_f

$$\xi_{\text{eff\ lim}} = \lambda*\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} + \varepsilon_{\text{yd}}} = 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + 0,0017} = 0,538$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{ed}}}{b_{\text{eff}}*d^{2}*\eta*f_{\text{cd}}} = \frac{96,153}{1,508*{0,44}^{2}*1,0*21,42*10^{3}} = 0,015$$

$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,015} = 0,015 < \xi_{\text{eff\ lim}}$ -> przekrój jest pojedynczo zbrojony

x_eff = ξ_eff * d = 0, 015 * 0, 44 = 0, 0066m

h_f = 0, 11m

$$x_{\text{eff}} \leq h_{f} \rightarrow \mathbf{wystepuje\ przypadek\ przekroju\ "pozornie\ teowego"}$$

ζ_eff = 1 − 0, 5 * ξ_eff = 1 − 0, 5 * 0, 015 = 0, 9925

$$A_{s1} = \frac{M_{ed1}}{\zeta_{\text{eff}}*d*f_{\text{yd}}} = \frac{96,153}{0,9925*0,44*347,83*10^{3}} = 6,33\text{cm}^{2} > A_{\text{s\ min}} = 2,08\text{cm}^{2}$$

- Przęsło B-C (zbrojenie dołem):

Minimalne pole zbrojenia:

$$A_{s1\ min} = \begin{Bmatrix} 0,0013*b_{z}*d = 0,0013*0,25*0,44 = 1,43\text{cm}^{2} \\ 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b_{z}*d = 0,26*\frac{2,9}{400}*0,25*0,44 = 2,08\text{cm}^{2} \\ \end{Bmatrix}$$

A_s1 min = 2, 08cm²

Sprawdzenie teowości:

x_eff ≤ h_f

$$\xi_{\text{eff\ lim}} = \lambda*\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} + \varepsilon_{\text{yd}}} = 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + 0,0017} = 0,538$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{ed}}}{b_{\text{eff}}*d^{2}*\eta*f_{\text{cd}}} = \frac{62,596}{1,508*{0,44}^{2}*1,0*21,42*10^{3}} = 0,01$$

$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,01} = 0,01 < \xi_{\text{eff\ lim}}$ -> przekrój jest pojedynczo zbrojony

x_eff = ξ_eff * d = 0, 01 * 0, 44 = 0, 0044m

h_f = 0, 11m

$$x_{\text{eff}} \leq h_{f} \rightarrow \mathbf{wystepuje\ przypadek\ przekroju\ "pozornie\ teowego"}$$

ζ_eff = 1 − 0, 5 * ξ_eff = 1 − 0, 5 * 0, 01 = 0, 995

$$A_{s1} = \frac{M_{ed1}}{\zeta_{\text{eff}}*d*f_{\text{yd}}} = \frac{62,596}{0,995*0,44*347,83*10^{3}} = 4,11\text{cm}^{2} > A_{\text{s\ min}} = 2,08\text{cm}^{2}$$

- Przęsło B-C (zbrojenie górą):

$$M_{Ed,min} = max\begin{Bmatrix} \frac{1}{3}{*(M}_{Ed,B(max)} + M_{Ed,2(min)}) = \frac{1}{3}*\left( - 66,462 - 1,049 \right) = - 22,504\ kNm \\ M_{2(min)} = - 1,049\ kNm \\ \end{Bmatrix}$$

M_Ed, min = −22, 504 kNm

Minimalne pole zbrojenia:

$A_{s1\ min} = \begin{Bmatrix} 0,0013*b_{t}*d = 0,0013*0,879*0,44 = 5,03\text{cm}^{2} \\ 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b_{t}*d = 0,26*\frac{2,9}{400}*0,879*0,44 = 7,29\text{cm}^{2} \\ \end{Bmatrix}$

$$b_{t} = \frac{b_{\text{eff}} + b_{w}}{2} = \frac{1,508 + 0,25}{2} = 0,879m$$

A_s1 min = 7, 29cm²

$$\xi_{\text{eff\ lim}} = \lambda*\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} + \varepsilon_{\text{yd}}} = 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + 0,0017} = 0,538$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{ed}}}{b_{w}*d^{2}*\eta*f_{\text{cd}}} = \frac{22,504}{0,25*{0,44}^{2}*1,0*21,42*10^{3}} = 0,022$$

$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,022} = 0,022 < \xi_{\text{eff\ lim}}$ -> przekrój pojedynczo zbrojony

ζ_eff = 1 − 0, 5 * ξ_eff = 1 − 0, 5 * 0, 022 = 0, 989

$$A_{s1} = \frac{M_{ed1}}{\zeta_{\text{eff}}*d*f_{\text{yd}}} = \frac{22,504}{0,989*0,44*347,83*10^{3}} = 1,47\text{cm}^{2} < A_{\text{s\ min}} = 7,29\text{cm}^{2}$$

Przyjmuję A_s1=A_{s min}=7, 29cm²

- Podpora B (zbrojenie górą):

Minimalne pole zbrojenia:

$A_{s1\ min} = \begin{Bmatrix} 0,0013*b_{t}*d = 0,0013*0,879*0,44 = 5,03\text{cm}^{2} \\ 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b_{t}*d = 0,26*\frac{2,9}{400}*0,879*0,44 = 7,29\text{cm}^{2} \\ \end{Bmatrix}$

$b_{t} = \frac{b_{\text{eff}} + b_{w}}{2} = \frac{1,508 + 0,25}{2} = 0,879m$ musi być beff z podpor

A_s1 min = 7, 29cm²

$$\xi_{\text{eff\ lim}} = \lambda*\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} + \varepsilon_{\text{yd}}} = 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + 0,0017} = 0,538$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{ed}}}{b_{w}*d^{2}*\eta*f_{\text{cd}}} = \frac{125,56}{0,25*{0,44}^{2}*1,0*21,42*10^{3}} = 0,121$$

$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,121} = 0,129 < \xi_{\text{eff\ lim}}$ -> przekrój pojedynczo zbrojony

ζ_eff = 1 − 0, 5 * ξ_eff = 1 − 0, 5 * 0, 129 = 0, 9355

$$A_{s1} = \frac{M_{ed1}}{\zeta_{\text{eff}}*d*f_{\text{yd}}} = \frac{125,56}{0,9355*0,44*347,83*10^{3}} = 8,77\text{cm}^{2} > A_{\text{s\ min}} = 7,29\text{cm}^{2}$$

- Podpora C (zbrojenie górą):

Minimalne pole zbrojenia:

$A_{s1\ min} = \begin{Bmatrix} 0,0013*b_{t}*d = 0,0013*0,879*0,44 = 5,03\text{cm}^{2} \\ 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b_{t}*d = 0,26*\frac{2,9}{400}*0,879*0,44 = 7,29\text{cm}^{2} \\ \end{Bmatrix}$

$b_{t} = \frac{b_{\text{eff}} + b_{w}}{2} = \frac{1,508 + 0,25}{2} = 0,879m$ musi być beff z podpor

A_s1 min = 7, 29cm²

$$\xi_{\text{eff\ lim}} = \lambda*\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} + \varepsilon_{\text{yd}}} = 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + 0,0017} = 0,538$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{ed}}}{b_{w}*d^{2}*\eta*f_{\text{cd}}} = \frac{96,808}{0,25*{0,44}^{2}*1,0*21,42*10^{3}} = 0,093$$

$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,093} = 0,098 < \xi_{\text{eff\ lim}}$ -> przekrój pojedynczo zbrojony

ζ_eff = 1 − 0, 5 * ξ_eff = 1 − 0, 5 * 0, 098 = 0, 951

$$A_{s1} = \frac{M_{ed1}}{\zeta_{\text{eff}}*d*f_{\text{yd}}} = \frac{96,808}{0,951*0,44*347,83*10^{3}} = 6,65\text{cm}^{2} < A_{\text{s\ min}} = 7,29\text{cm}^{2}$$

Przyjmuję A_s1=A_{s min}=7, 29cm²

G) Sprawdzenie stanu granicznego zarysowania:

$$g_{kz} = 12,188\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$p_{kz} = 9,2\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

M_Ek, 1(max) = (12,188*0,077+9,2*0,100) * 6, 05² = 68, 025 kNm

M_Ek, 2(max) = (12,188*0,036+9,2*0,081) * 6, 05² = 43, 336 kNm

Przęsło skrajne :

M_Ek, 1(max) = 68, 025 kNm

Zbrojenie rozciągane A_s1, req = 6, 33cm²

b_eff = 1, 508m

*Wyznaczenie naprężeń w stali:

w_max = 0, 3mm → dla klasy ekspozycji XC2

$$\xi_{\text{eff\ lim}} = \lambda*\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} + \varepsilon_{\text{yd}}} = 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + 0,0017} = 0,538$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{Ek,1(max)}}{b_{\text{eff}}*d^{2}*\eta*f_{\text{ck}}} = \frac{68,025}{1,508*{0,44}^{2}*1,0*30,0*10^{3}} = 0,0078$$

$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0078} = 0,0078 < \xi_{\text{eff\ lim}}$ -> przekrój pojedynczo zbrojony

ζ_eff = 1 − 0, 5 * ξ_eff = 1 − 0, 5 * 0, 0078 = 0, 9961

$$\sigma_{s} = \frac{M_{Ek,1(max)}}{\zeta_{\text{eff}}*d*A_{s1,req}} = \frac{68,025}{0,9961*0,44*6,33*10^{- 4}} = 245193,65\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 245,19MPa$$

*położenie osi obojętnej w fazie Ia pracy belki żelbetowej:

$$\alpha_{e} = \frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}} = \frac{200\ GPa}{32\ GPa} = 6,25$$

$$x_{I} = \frac{0,5*b_{w}*h^{2} + 0,5*\left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f}^{2} + \alpha_{e}*A_{s1}*d + \alpha_{e}*A_{s2}*d_{2}}{b_{w}*h + \left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f} + \alpha_{e}*{(A}_{s1} + A_{s2})} = \frac{0,5*0,25*{0,5}^{2} + 0,5*\left( 1,508 - 0,25 \right)*{0,11}^{2} + 6,25*6,33*10^{- 4}*0,44 + 6,25*0*0}{0,25*0,5 + \left( 1,508 - 0,25 \right)*0,11 + 6,25*(6,33*10^{- 4} + 0)} = 0,154m$$

*wysokość strefy rozciąganej tuż przed zarysowaniem:

h_cr = h_z − x_I = 0, 5 − 0, 154 = 0, 346m

*pole przekroju strefy rozciąganej betonu:

A_ct = h_cr * b_w = 0, 346 * 0, 25 = 0, 0865m²

*minimalne pole przekroju ze względu na zarysowanie:

A_s, minσ_s = k_c * k * f_ct, eff * A_ct

- Interpolacja wartości współczynnika „k”

k=1,0 -> dla środników o wysokości h ≤ 300mm i półek o szerokości mniejszej niż 300mm

k=0,65 -> dla środników o wysokości h ≥ 800mm i półek o szerokości większej niż 800mm

- wg szerokości półki -> k=0,65 (ponieważ b_eff = 1508mm ≥ 800mm)

- wg wysokości środnika -> interpolacja wartości:

800 mm – 300 mm=500 mm

1,0 -0,65 = 0,35

500mm → 0, 35

(390−300) = 90mm → x

$$x = \frac{90*0,35}{500} = 0,063$$

k = 1, 0 − x = 1, 0 − 0, 063 = 0, 937

Wyliczam ostateczną wartość współczynnika „k”:

$$k = \frac{0,65 + 0,937}{2} = 0,7935$$

$$k_{c} = 0,4 \left( 1 - \frac{\sigma_{c}}{k_{1} \frac{h}{h^{*}} f_{ct,eff}} \right) = 0,4$$

A_s, min * 245, 19 * 10³ = 0, 4 * 0, 7935 * 2, 9 * 10³ * 0, 0865 = 79, 61979

$$A_{s,min} = \frac{79,61979}{245,19*10^{3}} = 3,25\text{cm}^{2}$$

A_s1, req = 6, 33cm² > A_s, min = 3, 25cm² → warunek spelniony,  mozna sprawdzic zarysowanie met.uproszczona.

*dobór maksymalnej średnicy prętów:

$$\frac{280 - 240}{16 - 12} = \frac{280 - 245,19}{x}$$

$$\frac{40}{4} = \frac{34,81}{x}$$

$$x = \frac{4*34,81}{40} = 3,48\ mm$$

y = 12 + x = 12 + 3, 48 = 15, 48 mm=ϕ_s^*

$$\phi_{s} = \phi_{s}^{*}*\frac{f_{ct,eff}}{2,9}*\frac{k_{c}*h_{\text{cr}}}{2*(h - d)} = 15,48*\frac{2,9}{2,9}*\frac{0,4*346}{2*(500 - 440)} = 17,85\ mm$$

Maksymalna średnica jaką można zastosować w przęśle A-B wynosi 17mm.

Przęsło środkowe:

M_Ek, 2(max) = 43, 336 kNm

Zbrojenie rozciągane A_s1, req = 4, 11cm²

Zbrojenie ściskane A_s2, req = 7, 29cm²

b_eff = 1, 508m

*Wyznaczenie naprężeń w stali:

w_max = 0, 3mm → dla klasy ekspozycji XC2

$$\xi_{\text{eff\ lim}} = \lambda*\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} + \varepsilon_{\text{yd}}} = 0,8*\frac{0,0035}{0,0035 + 0,0017} = 0,538$$

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{Ek,2(max)}}{b_{\text{eff}}*d^{2}*\eta*f_{\text{ck}}} = \frac{43,336}{1,508*{0,44}^{2}*1,0*30,0*10^{3}} = 0,0049$$

$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0049} = 0,0049 < \xi_{\text{eff\ lim}}$ -> przekrój pojedynczo zbrojony

ζ_eff = 1 − 0, 5 * ξ_eff = 1 − 0, 5 * 0, 0049 = 0, 99755

$$\sigma_{s} = \frac{M_{Ek,2(max)}}{\zeta_{\text{eff}}*d*A_{s1,req}} = \frac{43,336}{0,99755*0,44*4,11*10^{- 4}} = 240225,80\frac{\text{kN}}{m^{2}} = 240,23MPa$$

*położenie osi obojętnej w fazie Ia pracy belki żelbetowej:

$$\alpha_{e} = \frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}} = \frac{200\ GPa}{32\ GPa} = 6,25$$

d₁ = d₂ = 60mm

$$x_{I} = \frac{0,5*b_{w}*h^{2} + 0,5*\left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f}^{2} + \alpha_{e}*A_{s1}*d + \alpha_{e}*A_{s2}*d_{2}}{b_{w}*h + \left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f} + \alpha_{e}*{(A}_{s1} + A_{s2})} = \frac{0,5*0,25*{0,5}^{2} + 0,5*\left( 1,508 - 0,25 \right)*{0,11}^{2} + 6,25*4,11*10^{- 4}*0,44 + 6,25*7,29*10^{- 4}*0,06}{0,25*0,5 + \left( 1,508 - 0,25 \right)*0,11 + 6,25*(4,11*10^{- 4} + 7,29*10^{- 4})} = 0,149m$$

*wysokość strefy rozciąganej tuż przed zarysowaniem:

h_cr = h_z − x_I = 0, 5 − 0, 149 = 0, 351m

*pole przekroju strefy rozciąganej betonu:

A_ct = h_cr * b_w = 0, 351 * 0, 25 = 0, 08775m²

*minimalne pole przekroju ze względu na zarysowanie:

A_s, minσ_s = k_c * k * f_ct, eff * A_ct

- Interpolacja wartości współczynnika „k”

k=1,0 -> dla środników o wysokości h ≤ 300mm i półek o szerokości mniejszej niż 300mm

k=0,65 -> dla środników o wysokości h ≥ 800mm i półek o szerokości większej niż 800mm

- wg szerokości półki -> k=0,65 (ponieważ b_eff = 1508mm ≥ 800mm)

- wg wysokości środnika -> interpolacja wartości:

800 mm – 300 mm=500 mm

1,0 -0,65 = 0,35

500mm → 0, 35

Powinno być tutaj wysokość zebra z plyta czyli 500 mm-> (390−300) = 90mm → x

$$x = \frac{90*0,35}{500} = 0,063$$

k = 1, 0 − x = 1, 0 − 0, 063 = 0, 937

Wyliczam ostateczną wartość współczynnika „k”:

$$k = \frac{0,65 + 0,937}{2} = 0,7935$$

$$k_{c} = 0,4 \left( 1 - \frac{\sigma_{c}}{k_{1} \frac{h}{h^{*}} f_{ct,eff}} \right) = 0,4$$

A_s, min * 240, 23 * 10³ = 0, 4 * 0, 7935 * 2, 9 * 10³ * 0, 08775 = 80, 77

$$A_{s,min} = \frac{80,77}{240,23*10^{3}} = 3,36\text{cm}^{2}$$

A_s1, req = 4, 11cm² > A_s, min = 3, 36cm² → warunek spelniony,  mozna sprawdzic zarysowanie met.uproszczona.

*dobór maksymalnej średnicy prętów:

$$\frac{280 - 240}{16 - 12} = \frac{280 - 240,23}{x}$$

$$\frac{40}{4} = \frac{39,77}{x}$$

$$x = \frac{4*39,77}{40} = 3,98\ mm$$

y = 12 + x = 12 + 3, 98 = 15, 98 mm=ϕ_s^*

$$\phi_{s} = \phi_{s}^{*}*\frac{f_{ct,eff}}{2,9}*\frac{k_{c}*h_{\text{cr}}}{2*(h - d)} = 15,98*\frac{2,9}{2,9}*\frac{0,4*348}{2*(500 - 440)} = 18,54\ mm$$

Maksymalna średnica jaką można zastosować w przęśle B-C wynosi 18mm.

H) Dobór zbrojenia:

Przekroj	As1, req [cm^2]	Maksymalna srednica [mm]	Dobrane prety	As1, prov [cm^2]
Przęsło A-B zbr. dołem	6,33	17	4 ⌀16	8,04
Podpora B	8,77	---	4 ⌀16 i 2 ⌀10	9,61
Przęsło B-C zbr. dołem	4,11	18	2 ⌀18	5,08
Przęsło B-C zbr. górą	7,29	18	4 ⌀16	8,04
Podpora C	7,29	---	4 ⌀16	8,04

I) Obliczenie zbrojenia ze względu na ścinanie:

Podpora A z prawej strony:

V_Ed, A = 76, 358 kN

Miarodajna siła tnąca na krawędzi:

V_Ed, k = V_Ed, max − 0, 5 * t * q_dz = 76, 358 − 0, 5 * 0, 25 * 30, 254 = 72, 576 kN

Miarodajna siła w odległości „d” od krawędzi podpory:

V_Ed, d = V_Ed, k − d * q_dz = 72, 576 − 0, 44 * 30, 254 = 59, 264 kN

Nośność przekroju na ścinanie – bez zbrojenia na ścinanie:

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack C_{Rd,c}*k*\left( 100*\rho_{l}*f_{\text{ck}} \right)^{\frac{1}{3}} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right\rbrack*b_{w}*d > \left( \nu_{\min} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right)*b_{w}*d$$

$$C_{Rd,c} = \frac{0,18}{\gamma_{c}} = \frac{0,18}{1,4} \approx 0,13$$

$$k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} = 1 + \sqrt{\frac{200}{440}} = 1,674 < 2,0$$

$$\rho_{l} = \frac{A_{\text{sl}}}{b_{w}*d} = \frac{8,04*10^{- 4}}{0,25*0,44} = 0,0073 = 0,73\%$$

σ_cp = 0 → nie wystepuja podluzne sily sciskajace

$$\nu_{\min} = 0,035*k^{\frac{3}{2}}*f_{\text{ck}}^{\frac{1}{2}} = 0,035*{1,674}^{\frac{3}{2}}*30^{\frac{1}{2}} = 0,415\ MPa$$

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack 0,13*1,674*\left( 100*0,0073*30 \right)^{\frac{1}{3}} \right\rbrack*0,25*0,44 = 0,06697\ MN = 67,97\ kN > 0,415*0,25*0,44 = 0,04565 = 45,65\ kN$$

V_Rd, c = 67, 97 kN > V_Ed, d = 59, 264 kN → Przyjmuje strzemiona konstrukcyjne.

s_l, max = 0, 75 * d * (1 + cotα) = 0, 75 * 0, 44 * (1+0) = 0, 33 m

Długość odcinka żebra na którym należy zastosować zbrojenie na ścinanie:

$$a_{w} = \frac{V_{Ed,k} - V_{Rd,c}}{q_{dz}} = \frac{72,576\ - 67,97}{30,254} = 0,152\ m$$

Przyjmuje strzemiona 2 − ramienne o ⌀_w=4, 5mm oraz o f_ywd=347, 83 MPa w rozstawie s_l, max=30 cm  tylko takie tutaj można bo nie wszedzie mam w przekroju po 4 pr na gorze i na dole

Podpora B z lewej strony:

V_Ed, A = 112, 189 kN

Miarodajna siła tnąca na krawędzi:

V_Ed, k = V_Ed, max − 0, 5 * t * q_dz = 112, 189 − 0, 5 * 0, 25 * 30, 254 = 108, 407 kN

Miarodajna siła w odległości „d” od krawędzi podpory:

V_Ed, d = V_Ed, k − d * q_dz = 108, 407 − 0, 44 * 30, 254 = 95, 095 kN

Nośność przekroju na ścinanie – bez zbrojenia na ścinanie:

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack C_{Rd,c}*k*\left( 100*\rho_{l}*f_{\text{ck}} \right)^{\frac{1}{3}} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right\rbrack*b_{w}*d > \left( \nu_{\min} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right)*b_{w}*d$$

$$C_{Rd,c} = \frac{0,18}{\gamma_{c}} = \frac{0,18}{1,4} \approx 0,13$$

$$k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} = 1 + \sqrt{\frac{200}{440}} = 1,674 < 2,0$$

$$\rho_{l} = \frac{A_{\text{sl}}}{b_{w}*d} = \frac{9,61*10^{- 4}}{0,25*0,44} = 0,0087 = 0,87\%$$

σ_cp = 0 → nie wystepuja podluzne sily sciskajace

$$\nu_{\min} = 0,035*k^{\frac{3}{2}}*f_{\text{ck}}^{\frac{1}{2}} = 0,035*{1,674}^{\frac{3}{2}}*30^{\frac{1}{2}} = 0,415\ MPa$$

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack 0,13*1,674*\left( 100*0,0087*30 \right)^{\frac{1}{3}} \right\rbrack*0,25*0,44 = 0,07101\ MN = 71,01\ kN > 0,415*0,25*0,44 = 0,04565 = 45,65\ kN$$

V_Rd, c = 71, 01 kN < V_Ed, d = 95, 095 kN

$$a_{w} = \frac{V_{Ed,k} - V_{Rd,c}}{q_{dz}} = \frac{108,407 - 71,01}{30,254} = 1,236\ m$$

α = 90 → kat nachylenia strzemion

θ = 45 → kat nachylenia krzyzulcow

Przyjmuje strzemiona 4 − ramienne o ⌀_w=6mm oraz o f_ywd=347, 83 MPa

$$V_{Rd,s} = \frac{A_{\text{sw}}}{s}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta$$

cotθ = 1, 0

z = 0, 9 * d = 0, 9 * 0, 44 = 0, 396m

f_ywd = 347, 83 MPa

$$A_{\text{sw}} = n*\frac{\pi*d^{2}}{4} = 4*\frac{\pi*{0,6}^{2}}{4} = 1,13\ \text{cm}^{2}$$

V_Rd, s = V_Ed, d = 95, 095 kN

$$\text{Wyznaczam\ rozstaw\ strzemion\ }\mathrm{"s":}$$

$$s = \ \frac{A_{\text{sw}}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta}{V_{Ed,d}} = \frac{1,13*10^{- 4}*0,396*347,83*10^{3}*1,0}{95,095} = 0,163\ m = 16,3\ cm$$

Przyjmuje s = 16, 0 cm

$$V_{Rd,s} = \frac{A_{\text{sw}}}{s}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta = \frac{1,13*10^{- 4}}{0,16}*0,396*347,83*10^{3}*1,0 = 97,28\ kN > V_{Ed,d} = 95,095\ kN$$

Sprawdzenie procentu zbrojenia:

$$\rho_{w} = \frac{A_{\text{sw}}}{s*b_{w}} > \rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{f_{\text{ck}}}}{f_{\text{yk}}}$$

$$\rho_{w} = \frac{1,13*10^{- 4}}{0,16*0,25} = 0,0028 > \rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{30}}{400} = 0,0011$$

Sprawdzenie na maksymalne efektywne pole zbrojenia na scinanie:

$$\frac{A_{sw,max}*f_{\text{ywd}}}{s*b_{w}} \leq \frac{1}{2}*\frac{\alpha_{\text{cw}}*\nu_{1}*f_{\text{cd}}}{\sin\alpha}$$

α_cw = 1, 0

$$\nu_{1} = 0,6*\left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = 0,6*\left( 1 - \frac{30}{250} \right) = 0,528$$

$$\frac{1,13*10^{- 4}*347,83*10^{3}}{0,16*0,25} = 982,62\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} \leq \frac{1}{2}*\frac{1,0*0,528*21,42*10^{3}}{1,0} = 5654,88\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

warunek spelniony

Sprawdzenie nosnosci krzyzulcow:

$$V_{Rd,max} = \frac{1}{2}*\alpha_{\text{cw}}*b_{w}*z*\nu_{1}*f_{\text{cd}} = \frac{1}{2}*1,0*0,25*0,396*0,528*21,42*10^{3} = 559,83\ kN > V_{Ed,k} = 108,407\ kN \rightarrow warunek\ spelniony$$

Sprawdzenie sily w zbrojeniu rozciaganym:

$$M_{Ed,d} = V_{Ed,max}*\left( 0,5*t + d \right) - q_{\text{Ed}}*\frac{{(0,5*t + d)}^{2}}{2} = 112,189*\left( 0,5*0,25 + 0,44 \right) - 30,254*\frac{{(0,5*0,25 + 0,44)}^{2}}{2} = 58,557\ kNm\ $$

F_td = 0, 5 * V_Ed, d * cotθ = 0, 5 * 95, 095 * 1, 0 = 47, 548 kN

$$F_{\text{td}} = {F}_{\text{td}} + \frac{\left| M_{Ed,d} \right|}{z} = 47,548 + \frac{58,557}{0,396} = 195,42\ kN \leq \frac{\left| M_{Ed,max} \right|}{z} = \frac{125,56}{0,396} = 317,07\ kN$$

F_td ≤ F_s = A_s1 * f_yd = 9, 61 * 10⁻⁴ * 347, 83 * 10³ = 334, 26 kN → warunek spelniony

Podpora B z prawej strony:

V_Ed, B = 103, 702 kN

Miarodajna siła tnąca na krawędzi:

V_Ed, k = V_Ed, max − 0, 5 * t * q_dz = 103, 702 − 0, 5 * 0, 25 * 30, 254 = 99, 92 kN

Miarodajna siła w odległości „d” od krawędzi podpory:

V_Ed, d = V_Ed, k − d * q_dz = 99, 92 − 0, 44 * 30, 254 = 86, 608 kN

Nośność przekroju na ścinanie – bez zbrojenia na ścinanie:

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack C_{Rd,c}*k*\left( 100*\rho_{l}*f_{\text{ck}} \right)^{\frac{1}{3}} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right\rbrack*b_{w}*d > \left( \nu_{\min} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right)*b_{w}*d$$

$$C_{Rd,c} = \frac{0,18}{\gamma_{c}} = \frac{0,18}{1,4} \approx 0,13$$

$$k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} = 1 + \sqrt{\frac{200}{440}} = 1,674 < 2,0$$

$$\rho_{l} = \frac{A_{\text{sl}}}{b_{w}*d} = \frac{9,61*10^{- 4}}{0,25*0,44} = 0,0087 = 0,87\%$$

σ_cp = 0 → nie wystepuja podluzne sily sciskajace

$$\nu_{\min} = 0,035*k^{\frac{3}{2}}*f_{\text{ck}}^{\frac{1}{2}} = 0,035*{1,674}^{\frac{3}{2}}*30^{\frac{1}{2}} = 0,415\ MPa$$

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack 0,13*1,674*\left( 100*0,0087*30 \right)^{\frac{1}{3}} \right\rbrack*0,25*0,44 = 0,07101\ MN = 71,01\ kN > 0,415*0,25*0,44 = 0,04565 = 45,65\ kN$$

V_Rd, c = 71, 01 kN < V_Ed, d = 86, 608 kN

$$a_{w} = \frac{V_{Ed,k} - V_{Rd,c}}{q_{dz}} = \frac{99,92 - 71,01}{30,254} = 0,956\ m$$

α = 90 → kat nachylenia strzemion

θ = 45 → kat nachylenia krzyzulcow

Przyjmuje strzemiona 4 − ramienne o ⌀_w=6mm oraz o f_ywd=347, 83 MPa

$$V_{Rd,s} = \frac{A_{\text{sw}}}{s}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta$$

cotθ = 1, 0

z = 0, 9 * d = 0, 9 * 0, 44 = 0, 396m

f_ywd = 347, 83 MPa

$$A_{\text{sw}} = n*\frac{\pi*d^{2}}{4} = 4*\frac{\pi*{0,6}^{2}}{4} = 1,13\ \text{cm}^{2}$$

V_Rd, s = V_Ed, d = 86, 608 kN

$$\text{Wyznaczam\ rozstaw\ strzemion\ }\mathrm{"s":}$$

$$s = \ \frac{A_{\text{sw}}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta}{V_{Ed,d}} = \frac{1,13*10^{- 4}*0,396*347,83*10^{3}*1,0}{86,608} = 0,180\ m = 18,0\ cm$$

Przyjmuje s = 17, 0 cm

$$V_{Rd,s} = \frac{A_{\text{sw}}}{s}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta = \frac{1,13*10^{- 4}}{0,17}*0,396*347,83*10^{3}*1,0 = 91,557\ kN > V_{Ed,d} = 86,608\ kN$$

Sprawdzenie procentu zbrojenia:

$$\rho_{w} = \frac{A_{\text{sw}}}{s*b_{w}} > \rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{f_{\text{ck}}}}{f_{\text{yk}}}$$

$$\rho_{w} = \frac{1,13*10^{- 4}}{0,17*0,25} = 0,0027 > \rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{30}}{400} = 0,0011$$

Sprawdzenie na maksymalne efektywne pole zbrojenia na scinanie:

$$\frac{A_{sw,max}*f_{\text{ywd}}}{s*b_{w}} \leq \frac{1}{2}*\frac{\alpha_{\text{cw}}*\nu_{1}*f_{\text{cd}}}{\sin\alpha}$$

α_cw = 1, 0

$$\nu_{1} = 0,6*\left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = 0,6*\left( 1 - \frac{30}{250} \right) = 0,528$$

$$\frac{1,13*10^{- 4}*347,83*10^{3}}{0,17*0,25} = 924,82\ \frac{\text{kN}}{m^{2}} \leq \frac{1}{2}*\frac{1,0*0,528*21,42*10^{3}}{1,0} = 5654,88\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

warunek spelniony

Sprawdzenie nosnosci krzyzulcow:

$$V_{Rd,max} = \frac{1}{2}*\alpha_{\text{cw}}*b_{w}*z*\nu_{1}*f_{\text{cd}} = \frac{1}{2}*1,0*0,25*0,396*0,528*21,42*10^{3} = 559,83\ kN > V_{Ed,k} = 99,92\ kN \rightarrow warunek\ spelniony$$

Sprawdzenie sily w zbrojeniu rozciaganym:

$$M_{Ed,d} = V_{Ed,max}*\left( 0,5*t + d \right) - q_{\text{Ed}}*\frac{{(0,5*t + d)}^{2}}{2} = 103,702*\left( 0,5*0,25 + 0,44 \right) - 30,254*\frac{{(0,5*0,25 + 0,44)}^{2}}{2} = 53,763\ kNm\ $$

F_td = 0, 5 * V_Ed, d * cotθ = 0, 5 * 86, 608 * 1, 0 = 43, 304 kN

$$F_{\text{td}} = {F}_{\text{td}} + \frac{\left| M_{Ed,d} \right|}{z} = 43,304 + \frac{53,763}{0,396} = 179,07\ kN \leq \frac{\left| M_{Ed,max} \right|}{z} = \frac{125,56}{0,396} = 317,071\ kN$$

F_td ≤ F_s = A_s1 * f_yd = 9, 61 * 10⁻⁴ * 347, 83 * 10³ = 334, 26 kN → warunek spelniony

Podpora C z lewej strony:

V_Ed, C = 93, 86 kN

Miarodajna siła tnąca na krawędzi:

V_Ed, k = V_Ed, max − 0, 5 * t * q_dz = 93, 86 − 0, 5 * 0, 25 * 30, 254 = 90, 078 kN

Miarodajna siła w odległości „d” od krawędzi podpory:

V_Ed, d = V_Ed, k − d * q_dz = 90, 078 − 0, 44 * 30, 254 = 76, 766 kN

Nośność przekroju na ścinanie – bez zbrojenia na ścinanie:

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack C_{Rd,c}*k*\left( 100*\rho_{l}*f_{\text{ck}} \right)^{\frac{1}{3}} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right\rbrack*b_{w}*d > \left( \nu_{\min} + k_{1}*\sigma_{\text{cp}} \right)*b_{w}*d$$

$$C_{Rd,c} = \frac{0,18}{\gamma_{c}} = \frac{0,18}{1,4} \approx 0,13$$

$$k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} = 1 + \sqrt{\frac{200}{440}} = 1,674 < 2,0$$

$$\rho_{l} = \frac{A_{\text{sl}}}{b_{w}*d} = \frac{8,04*10^{- 4}}{0,25*0,44} = 0,0073 = 0,73\%$$

σ_cp = 0 → nie wystepuja podluzne sily sciskajace

$$\nu_{\min} = 0,035*k^{\frac{3}{2}}*f_{\text{ck}}^{\frac{1}{2}} = 0,035*{1,674}^{\frac{3}{2}}*30^{\frac{1}{2}} = 0,415\ MPa$$

$$V_{Rd,c} = \left\lbrack 0,13*1,674*\left( 100*0,0073*30 \right)^{\frac{1}{3}} \right\rbrack*0,25*0,44 = 0,06697\ MN = 66,97\ kN > 0,415*0,25*0,44 = 0,04565 = 45,65\ kN$$

V_Rd, c = 66, 97 kN < V_Ed, d = 76, 766 kN

$$a_{w} = \frac{V_{Ed,k} - V_{Rd,c}}{q_{dz}} = \frac{90,078 - 66,97}{30,254} = 0,764\ m$$

α = 90 → kat nachylenia strzemion

θ = 45 → kat nachylenia krzyzulcow

Przyjmuje strzemiona 4 − ramienne o ⌀_w=6mm oraz o f_ywd=347, 83 MPa

$$V_{Rd,s} = \frac{A_{\text{sw}}}{s}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta$$

cotθ = 1, 0

z = 0, 9 * d = 0, 9 * 0, 44 = 0, 396m

f_ywd = 347, 83 MPa

$$A_{\text{sw}} = n*\frac{\pi*d^{2}}{4} = 4*\frac{\pi*{0,6}^{2}}{4} = 1,13\ \text{cm}^{2}$$

V_Rd, s = V_Ed, d = 76, 766 kN

$$\text{Wyznaczam\ rozstaw\ strzemion\ }\mathrm{"s":}$$

$$s = \ \frac{A_{\text{sw}}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta}{V_{Ed,d}} = \frac{1,13*10^{- 4}*0,396*347,83*10^{3}*1,0}{76,766} = 0,203\ m = 20,3\ cm$$

Przyjmuje s = 19 cm

$$V_{Rd,s} = \frac{A_{\text{sw}}}{s}*z*f_{\text{ywd}}*cot\theta = \frac{1,13*10^{- 4}}{0,19}*0,396*347,83*10^{3}*1,0 = 81,919\ kN > V_{Ed,d} = 76,766\ kN$$

Sprawdzenie procentu zbrojenia:

$$\rho_{w} = \frac{A_{\text{sw}}}{s*b_{w}} > \rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{f_{\text{ck}}}}{f_{\text{yk}}}$$

$$\rho_{w} = \frac{1,13*10^{- 4}}{0,19*0,25} = 0,0024 > \rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{30}}{400} = 0,0011$$

Sprawdzenie na maksymalne efektywne pole zbrojenia na scinanie:

$$\frac{A_{sw,max}*f_{\text{ywd}}}{s*b_{w}} \leq \frac{1}{2}*\frac{\alpha_{\text{cw}}*\nu_{1}*f_{\text{cd}}}{\sin\alpha}$$

α_cw = 1, 0

$$\nu_{1} = 0,6*\left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = 0,6*\left( 1 - \frac{30}{250} \right) = 0,528$$

$$\frac{1,13*10^{- 4}*347,83*10^{3}}{0,19*0,25} = 827,469\frac{\text{kN}}{m^{2}} \leq \frac{1}{2}*\frac{1,0*0,528*21,42*10^{3}}{1,0} = 5654,88\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

warunek spelniony

Sprawdzenie nosnosci krzyzulcow:

$$V_{Rd,max} = \frac{1}{2}*\alpha_{\text{cw}}*b_{w}*z*\nu_{1}*f_{\text{cd}} = \frac{1}{2}*1,0*0,25*0,396*0,528*21,42*10^{3} = 559,83\ kN > V_{Ed,k} = 90,078\ kN \rightarrow warunek\ spelniony$$

Sprawdzenie sily w zbrojeniu rozciaganym:

$$M_{Ed,d} = V_{Ed,max}*\left( 0,5*t + d \right) - q_{\text{Ed}}*\frac{{(0,5*t + d)}^{2}}{2} = 93,86*\left( 0,5*0,25 + 0,44 \right) - 30,254*\frac{{(0,5*0,25 + 0,44)}^{2}}{2} = 48,202kNm\ $$

F_td = 0, 5 * V_Ed, d * cotθ = 0, 5 * 76, 766 * 1, 0 = 38, 383 kN

$$F_{\text{td}} = {F}_{\text{td}} + \frac{\left| M_{Ed,d} \right|}{z} = 38,383 + \frac{48,202}{0,396} = 160,105\ kN \leq \frac{\left| M_{Ed,max} \right|}{z} = \frac{96,808}{0,396} = 244,465\ kN$$

F_td ≤ F_s = A_s1 * f_yd = 8, 04 * 10⁻⁴ * 347, 83 * 10³ = 279, 655 kN → warunek spelniony

J) Ścinanie między środnikiem, a półką:

Półka ściskana

przęsło AB

R_A = 36, 116 kN

$$g_{\text{sd}} = 16,454\frac{\text{kN}}{m}$$

$$p_{\text{sd}} = 13,8\frac{\text{kN}}{m}$$

R_A = x • (p_sd+g_sd) = 0 → x

$$x = \frac{R_{A}}{p_{\text{sd}} + g_{\text{sd}}} = \frac{36,116}{13,8 + 16,454} = 1,194m$$

Δx = 0.5 • x = 0.5 • 1, 194 = 0.597m

$$M\left( \Delta x \right) = R_{A} \bullet \Delta x - \left( p_{\text{sd}} + g_{\text{sd}} \right) \bullet \frac{{\Delta x}^{2}}{2} = 36,116 \bullet 0.597 - \left( 13,8 + 16,454 \right) \bullet \frac{{0.597}^{2}}{2}$$

M(Δx) = 16, 170 kNm

z = 0.9 • d = 0.9 • 0.44 = 0.396m

b_eff1 = (b_eff−b_w) ÷ 2 = (1.508−0.25) ÷ 2 = 0, 629m

$$\beta = \frac{b_{\text{eff}1}}{b_{\text{eff}}} = \frac{0.629}{1.508} = 0.417$$

$${F}_{\ \text{td}} = \frac{M\left( x \right)}{z} \bullet \ \beta = \frac{16,170}{0.396} \bullet 0.417 = 17,028\ kN$$

$$\nu_{\text{Ed}} = \frac{{F}_{\ \text{td}}}{h_{pl} \bullet \Delta x} = \frac{17,028}{0.11 \bullet 0.597} = 260,819\ kN/m^{2}$$

$$f_{\text{ctd}} = \frac{f_{ctk,0.05}}{\gamma_{c}} = \frac{2,0}{1.4} = 1.429MPa$$

ν_Ed=260, 819 kN/m²  < k • f_ctd=0.4 • 1.429•10³=571, 6  kN/m² 

Nie należy stosować dodatkowego zbrojenia na ścinanie.

$$\theta_{f} = 45^{}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\nu_{1} = 0.6 \bullet \left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = 0.6 \bullet \left( 1 - \frac{30}{250} \right) = 0.528\ $$

ν_Rd = ν₁ • f_cd • sinθ_f • cosθ_f = 0.528 • 21, 42 • 10³ • sin45 • cos45 = 5654, 88kN/m²

ν_Ed = 260, 819 kN/m² < ν_Rd = 5654, 88 kN/m²

Warunek na zmiazdzenie krzyzulcow spelniony.

Półka rozciągana

podpora B (z lewej strony)

V_B = 112, 189 kN

l_eff1 = 6, 05m

M_B,  max = −66, 462 kNm

V_A = (p_d, z+g_d, z) • l_eff1 − V_B = (13,8+16,454) • 6, 05 − 112, 189 = 70, 848kN

$$V_{A} \bullet a - \left( p_{d,z} + g_{d,z} \right) \bullet \frac{a^{2}}{2} = 0$$

$$a \bullet \left( V_{A} - \frac{\left( p_{d,z} + g_{d,z} \right)}{2} \bullet a \right) = 0$$

$$V_{A} - \frac{\left( p_{d,z} + g_{d,z} \right)}{2} \bullet a = 0$$

$$a = \frac{2 \bullet V_{A}}{\left( p_{d,z} + g_{d,z} \right)} = \frac{2 \bullet 70,848}{\left( 13,8 + 16,454 \right)} = 4,684m$$

x₁ = l_eff1 − a = 6, 05 − 4, 684 = 1, 366m

x = 0, 5 • x₁ = 0, 5 • 1, 366 = 0, 683m

$$M\left( a + \frac{x_{1}}{2} \right) = V_{A} \bullet \left( a + \frac{x_{1}}{2} \right) - \left( p_{d,z} + g_{d,z} \right) \bullet \frac{\left( a + \frac{x_{1}}{2} \right)^{2}}{2}$$

$$M\left( a + \frac{x_{1}}{2} \right) = 70,848 \bullet \left( 4,684 + \frac{1,366}{2} \right) - \left( 13,8 + 16,454 \right) \bullet \frac{\left( 4,684 + \frac{1,366}{2} \right)^{2}}{2}$$

$M\left( a + \frac{x_{1}}{2} \right) = - 55,487$ kNm

z ≈ 0, 9 • d = 0, 9 • 0, 44 = 0, 396 m

$M\left( x \right) = M_{B,\ max} - \text{\ M}\left( a + \frac{x_{1}}{2} \right) = - 66,462 - 55,487 = - 121,949\ kNm$

A_s1 = 9, 61 cm²

A_s1¹ = 0, 789 cm²

$$\beta = \frac{A_{s1}^{1}}{A_{s1}} = \frac{0,789}{9,61} = 0,082$$

$${F}_{\ \text{td}} = \frac{M\left( x \right)}{z} \bullet \ \beta = \frac{121,949}{0.396} \bullet 0.082 = 25,252\ kN$$

$$\nu_{\text{Ed}} = \frac{{F}_{\ \text{td}}}{h_{pl} \bullet \Delta x} = \frac{25,252}{0.11 \bullet 0.683} = 336,111kN/m^{2}$$

$$f_{\text{ctd}} = \frac{f_{ctk,0.05}}{\gamma_{c}} = \frac{2,0}{1.4} = 1.429MPa$$

$$\mathbf{\nu}_{\mathbf{\text{Ed}}}\mathbf{= 336,111}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{<}k \bullet \mathbf{f}_{\mathbf{\text{ctd}}}\mathbf{= 0.4 \bullet 1.429 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{= 571,6\ \ kN/}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\ }$$

Warunek spełniony, nie ma konieczności stosowania dodatkowego zbrojenia na ścinanie.

$$\theta_{f} = 45^{}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\nu_{1} = 0.6 \bullet \left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = 0.6 \bullet \left( 1 - \frac{30}{250} \right) = 0.528\ $$

ν_Rd = ν₁ • f_cd • sinθ_f • cosθ_f = 0.528 • 21, 42 • 10³ • sin45 • cos45 = 5654, 88kN/m²

$$\nu_{\text{Ed}} = 336,111\frac{\text{kN}}{m^{2}}\ < \nu_{\text{Rd}} = 5654,88\frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ }$$

Warunek na zmiazdzenie krzyzulcow spelniony.

podpora B (z prawej strony)

V_B = 103, 702 kN

l_eff1 = 6, 05m

M_B,  max = −66, 462 kNm

$${V^{P}}_{B,max} \bullet x_{2} - M_{B,\ \max} - \left( p_{d,z} + g_{d,z} \right) \bullet \frac{{x_{2}}^{2}}{2} = 0$$

$$103,702\ \bullet x_{2} - 66,462 - \left( 13,8 + 16,454 \right) \bullet \frac{{x_{2}}^{2}}{2} = 0/ \bullet \left( - 2 \right)$$

30, 254 • x₂² − 207, 404•x₂ + 132, 924 = 0

=b² − 4 • a • c = 207, 404² − 4 • 30, 254 • 132, 924 = 26930, 488

$$\sqrt{} = 164,105$$

$${x^{1}}_{2} = \frac{- b - \sqrt{}}{2 \bullet a} = \frac{207,404 - 164,105}{2 \bullet 30,254} = 0,7156\ m$$

$${x^{2}}_{2} = \frac{- b + \sqrt{}}{2 \bullet a} = \frac{207,404 + 164,105}{2 \bullet 30,254} = 6,140\ m$$

x₂ = x¹₂ = 0, 7156  m

x = 0, 5 • x₂ = 0, 5 • 0, 7156 = 0, 3578 m

$$M\left( x \right) = {V^{P}}_{B,max} \bullet x - \left( p_{d,z} + g_{d,z} \right)\ \bullet \frac{\left( {x}^{2} \right)}{2} = 103,702 \bullet 0,3578 - \left( 13,8 + 16,454 \right) \bullet \frac{{0,3578}^{2}}{2}$$

M(x) = 35, 168 kNm

z ≈ 0, 9 • d = 0, 9 • 0, 44 = 0, 396 m

A_s1 = 9, 61 cm²

A_s1¹ = 0, 789 cm²

$$\beta = \frac{A_{s1}^{1}}{A_{s1}} = \frac{0,789}{9,61} = 0,082$$

$$F_{d} = \frac{M(x)}{z} \bullet \beta = \frac{35,168}{0,396} \bullet 0,082 = 7,282\ kN$$

$$V_{\text{Ed}} = \frac{F_{d}}{h_{pl} \bullet x} = \frac{7,282}{0,11 \bullet 0,3578} = 185,02\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$f_{\text{ctd}} = \frac{f_{ctk,0,05}}{\gamma_{c}} = \frac{2,0}{1,4} = 1,4286\text{\ MPa}$$

V_Ed < k • f_ctd

$\mathbf{V}_{\mathbf{\text{Ed}}}\mathbf{= 185,02\ }\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{<}0,4 \bullet 1,4286\mathbf{\ }\mathbf{\bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{= 571,44\ }\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$

Nie należy stosować dodatkowego zbrojenia na ścinanie.

$$\theta_{f} = 45^{}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\nu_{1} = 0.6 \bullet \left( 1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250} \right) = 0.6 \bullet \left( 1 - \frac{30}{250} \right) = 0.528\ $$

ν_Rd = ν₁ • f_cd • sinθ_f • cosθ_f = 0.528 • 21, 42 • 10³ • sin45 • cos45 = 5654, 88kN/m²

$$\nu_{\text{Ed}} = 185,02\ \frac{kN}{m^{2}}\ < \nu_{\text{Rd}} = 5654,88\frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ }$$

Warunek na zmiazdzenie krzyzulcow spelniony.

K) Kontrola:

C_nom = C_min + C_dev

Cmin= max$\begin{Bmatrix} \text{Cmin},b = 18\ \text{mm} \\ \text{Cmin},\text{dur} + \text{Cdur},y - \text{Cdur},\text{st} - C\text{dur},\det = 25\ \text{mm}\ \ \rightarrow \ \text{dla}\ S4,\text{XC}2 \\ 10\ \text{mm} \\ \end{Bmatrix}$

Cmin=25mm

ΔCdev=10mm

Cnom =25mm+10mm= 35mm

Wymiar srednicy najwiekszego preta nie wplywa na zmiane wielkosci otuliny.

Rozstaw miedzy pretami:

$$s_{1} \geq max\begin{Bmatrix} k_{1}*\varnothing \\ d_{g} + k_{2} \\ 20\ mm \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 1,0*18\ mm \\ 8mm + 5mm \\ 20\ mm \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 18\ mm \\ 13mm \\ 20\ mm \\ \end{Bmatrix}$$

s₁ ≥ 20 mm

Sprawdzam czy uzyskany minimalny rozstaw pretow bedzie zgodny z projektowanym 

przy rozmieszczeniu pretow dolem w przesle A − B.

$$s_{\text{proj}} = \frac{(b_{w} - 2*a - \varnothing_{w} - 4*\varnothing_{\text{pr}})}{3} = \frac{250 - 2*60 - 6 - 4*16}{3} = \frac{60}{3} = 20\ mm = s_{1}$$

Dla zwiekszenia rozstawu osiowego s mozna rowniez zastosowac zbrojenie w strefie 

rozciaganej rozmieszczone w 2 rzedach,  jednak dla zwiekszenia nosnosci przekroju 

zostanie ono rozmieszczone w jednym rzedzie,  w rozstawie poziomym s₁ = 20 mm.

Kontrola wartosci d₁ oraz d:

Dla przęsła skrajnego: Dla podpór:

$$d_{1,rzecz} = \frac{{4*a}_{s1}*a}{{4*a}_{s1}} = \frac{4*2,01*6}{4*2,01} = \frac{48,24}{8,04} = 6\ cm$$

d_rzecz = h − d_1, rzecz = 0, 5 − 0, 06 = 0, 44 m = 44 cm

Dla przęsła środkowego:

$$d_{1,rzecz} = \frac{{2*a}_{s1}*a}{{2*a}_{s1}} = \frac{2*2,54*6}{2*2,54} = \frac{30,48}{5,08} = 6\ cm$$

d_rzecz = h − d_1, rzecz = 0, 5 − 0, 06 = 0, 44 m = 44 cm

L) Ugięcie:

Dla przęsła skrajnego:

$${\varrho = \frac{A_{s1,prov}}{b_{w}*d} = \frac{8,04}{25*44} = 0,00731}{\varrho^{'} = 0}$$

$\varrho > \varrho_{0} \rightarrow \frac{l}{d} = K(11 + 1,5*\sqrt{f_{\text{ck}}}*\frac{\varrho_{0}}{\varrho - \varrho^{'}} + \frac{1}{12}*\sqrt{f_{\text{ck}}*\frac{\varrho^{'}}{\varrho_{0}}}$)

$$\frac{l}{d} = 1,3(11 + 1,5*\sqrt{30}*\frac{0,00548}{0,00731 - 0} + \frac{1}{12}*\sqrt{30*\frac{0}{0,00548})} = 22,307$$

$\left( \frac{l}{d} \right)_{\max} = \frac{l}{d}*\frac{310}{\sigma_{s}} = \frac{l}{d}*\frac{500}{f_{\text{yk}}*\frac{A_{\text{req}}}{A_{\text{s\ prov}}}} = 22,307*\frac{500}{400*\frac{6,33*10^{- 4}}{8,04*10^{- 4}}} = 35,416$*0,8

$\left( \frac{l}{d} \right)_{\max} \geq \frac{l_{z}}{d} = \frac{6,05}{0,44} = 13,75$ -> warunek spełniony.

Dla przęsła środkowego:

$${\varrho = \frac{A_{s1,prov}}{b_{w}*d} = \frac{5,08}{25*44} = 0,0046}{\varrho^{'} = 0}$$

$$\varrho_{0} > \varrho \rightarrow \frac{l}{d} = K(11 + 1,5*\sqrt{f_{\text{ck}}}*\frac{\varrho_{0}}{\varrho} + 3,2*\sqrt{f_{\text{ck}}}*({\frac{\varrho_{0}}{\varrho} - 1)}^{\frac{3}{2}}$$

$$\frac{l}{d} = 1,5(11 + 1,5*\sqrt{30}*\frac{0,00548}{0,0046} + 3,2*\sqrt{30}*({\frac{0,00548}{0,0046} - 1)}^{\frac{3}{2}} = 33,381$$

$\left( \frac{l}{d} \right)_{\max} = \frac{l}{d}*\frac{310}{\sigma_{s}} = \frac{l}{d}*\frac{500}{f_{\text{yk}}*\frac{A_{\text{req}}}{A_{\text{s\ prov}}}} = 33,381*\frac{500}{400*\frac{4,11*10^{- 4}}{5,08*10^{- 4}}} = 51,574$*0,8

$\left( \frac{l}{d} \right)_{\max} \geq \frac{l_{z}}{d} = \frac{6,05}{0,44} = 13,75$ -> warunek spełniony.

L) Długość zakotwienia:

Dla średnicy pręta ⌀ 10:

l_bd = α₁ * α₂ * α₃ * α₄ * α₅ * l_b, rqd ≥ l_b, min

α₁; α₂; α₃; α₄; α₅ = 1, 0

$$l_{b,rqd} = \frac{\varnothing*\sigma_{\text{sd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

σ_sd = f_yd = 347, 83 MPa

f_bd = 2, 25 * η₁ * η₂ * f_ctd = 2, 25 * 0, 7 * 1, 0 * 1, 429 = 2, 25 MPa

$$\eta_{1} = 0,7 \rightarrow dla\ warunkow\ innych\ niz\ "dobre"$$

η₂ = 1, 0 → dla ϕ ≤ 32 mm

$$f_{\text{ctd}} = \alpha_{\text{ct}}*\frac{f_{ctk\ 0,05}}{\gamma_{c}} = 1,0*\frac{2,0}{1,4} = 1,429\ MPa$$

$$l_{b,rqd} = \frac{\varnothing*\sigma_{\text{sd}}}{4*f_{\text{bd}}} = \frac{10*347,83}{4*2,25} = 386,48\ mm$$

l_bd = 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 386, 48 = 386, 48 mm

$$l_{b,min} = \text{\ max}\begin{Bmatrix} 0,3*l_{b,rqd} \\ 10*\varnothing \\ 100\ mm \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0,3*386,48 = 115,94\ mm \\ 10*10 = 100\ mm \\ \mathbf{100\ mm} \\ \end{Bmatrix}$$

l_bd=386, 48 mm ≥ l_b, min = 115, 94 mm→warunek spelniony

Dla średnicy pręta ⌀ 16:

l_bd = α₁ * α₂ * α₃ * α₄ * α₅ * l_b, rqd ≥ l_b, min

α₁; α₂; α₃; α₄; α₅ = 1, 0

$$l_{b,rqd} = \frac{\varnothing*\sigma_{\text{sd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

σ_sd = f_yd = 347, 83 MPa

f_bd = 2, 25 * η₁ * η₂ * f_ctd = 2, 25 * 0, 7 * 1, 0 * 1, 429 = 2, 25 MPa

$$\eta_{1} = 0,7 \rightarrow dla\ warunkow\ innych\ niz\ "dobre"$$

η₂ = 1, 0 → dla ϕ ≤ 32 mm

$$f_{\text{ctd}} = \alpha_{\text{ct}}*\frac{f_{ctk\ 0,05}}{\gamma_{c}} = 1,0*\frac{2,0}{1,4} = 1,429\ MPa$$

$$l_{b,rqd} = \frac{\varnothing*\sigma_{\text{sd}}}{4*f_{\text{bd}}} = \frac{16*347,83}{4*2,25} = 618,36\ mm$$

l_bd = 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 618, 36 = 618, 36 mm

$$l_{b,min} = \text{\ max}\begin{Bmatrix} 0,3*l_{b,rqd} \\ 10*\varnothing \\ 100\ mm \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0,3*618,36 = 185,51\ mm \\ 10*16 = 160\ mm \\ \mathbf{100\ mm} \\ \end{Bmatrix}$$

l_bd=618, 36 mm ≥ l_b, min = 185, 51 mm→warunek spelniony

Dla średnicy pręta ⌀ 18:

l_bd = α₁ * α₂ * α₃ * α₄ * α₅ * l_b, rqd ≥ l_b, min

α₁; α₂; α₃; α₄; α₅ = 1, 0

$$l_{b,rqd} = \frac{\varnothing*\sigma_{\text{sd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

σ_sd = f_yd = 347, 83 MPa

f_bd = 2, 25 * η₁ * η₂ * f_ctd = 2, 25 * 0, 7 * 1, 0 * 1, 429 = 2, 25 MPa

$$\eta_{1} = 0,7 \rightarrow dla\ warunkow\ innych\ niz\ "dobre"$$

η₂ = 1, 0 → dla ϕ ≤ 32 mm

$$f_{\text{ctd}} = \alpha_{\text{ct}}*\frac{f_{ctk\ 0,05}}{\gamma_{c}} = 1,0*\frac{2,0}{1,4} = 1,429\ MPa$$

$$l_{b,rqd} = \frac{\varnothing*\sigma_{\text{sd}}}{4*f_{\text{bd}}} = \frac{18*347,83}{4*2,25} = 695,66\ mm$$

l_bd = 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 1, 0 * 695, 66 = 695, 66 mm

$$l_{b,min} = \text{\ max}\begin{Bmatrix} 0,3*l_{b,rqd} \\ 10*\varnothing \\ 100\ mm \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0,3*695,66 = 208,7\ mm \\ 10*18 = 180\ mm \\ \mathbf{100\ mm} \\ \end{Bmatrix}$$

l_bd=695, 66 mm ≥ l_b, min = 208, 7 mm→warunek spelniony