Rachunek prawdopodobieństwa zbiór 1

Kombinatoryka

  1. Zbiór składa się z 3 elementów {a, b, c}. Wypisać dwuelementowe wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń, dwuelementowe kombinacje oraz permutacje utworzone z elementów tego zbioru.

  2. Ile jest czterocyfrowych haseł zabezpieczających dostęp do telefonu komórkowego?

  3. Ile jest możliwych wyników losowań w LOTTO?

  4. Wykaż , że

  5. Na ile różnych sposobów można posadzić 5 osób na pięciu ponumerowanych miejscach ?

  6. Na ile sposobów można posadzić na ławce 10 osób , aby dwie wybrane siedziały koło siebie ?

  7. Na ile sposobów można posadzić 8 osób na dwóch czteroosobowych ławkach?

  8. Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucie dwa razy kostką i dwa razy monetą ?

  9. Rzucamy 5 razy kostką sześcienną do gry . Ile jest możliwych wyników ?, Na ile sposobów możemy uzyskać za każdym razem ten sam wynik ? za każdym razem inny wynik ?

  10. Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucie trzy razy kostką i dwa razy monetą ?

  11. Z 12 osób wybieramy 6 osobową delegację . Na ile sposobów możemy to zrobić ?

  12. Z 12 osób wybieramy dwie 3 osobowe delegacje . Na ile sposobów możemy to zrobić ?

  13. Malarz ma pomalować 4 przedmioty mając do dyspozycji 5 farb . Na ile sposobów może to zrobić?

  14. W biegu startuje 11 zawodników . Na ile sposobów mogą zdobyć medale ?

  15. W biegu startuje 7 zawodników. Na ile sposobów mogą ukończyć bieg ?

  16. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 13 . Ile istnieje możliwych wyników losowania , w których wylosujemy ;

A) 4 piki 2 trefle i 2 kara ?

B) 4 piki i 2 trefle ?

C) asa trefl ?

  1. cztery piki ?

  2. asa kier i damę trefl ?

  3. damę karo i dwa asy?

  4. damę karo i dwa asy oraz trzy ósemki ?

  5. damę karo dwa asy, trzy ósemki i cztery dziewiątki, cztery szóstki?

  6. króla pik i piec waletów

  7. 12 pików

  8. damę karo dwa asy, trzy ósemki i cztery dziewiątki?

  9. Damę i pika17) Na ile sposobów możemy umieścić 3 kule w 4 szufladach ?

  1. Na ile sposobów możemy umieścić 4 kule w 3 szufladach ?

  2. W urnie znajdują się cztery kule , trzy oznaczone numerem jeden i jedna oznaczona numerem pięć . Z tej urny losujemy bez zwracania trzy kule zapisując wyniki w kolejności losowania . Ile różnych liczb możemy uzyskać ?

  1. Z 12 dobrych żarówek i 12 złych losujemy 2 . Na ile sposobów możemy wylosować jedną dobrą i jedną złą ?

  2. W turnieju szachowym uczestniczyło 5 szachistów i każdy szachista gra jedną partię z każdym . Ile partii szachowych rozegrano w tym turnieju ?

  3. W turnieju szachowym , w którym każdy szachista gra jedną partię z każdym, rozegrano ogółem 21 partii . Ilu szachistów uczestniczyło w turnieju ?

  4. Dla jakich n , k N spełniona jest równość ?

  5. Ile liczb większych od 7 milionów można utworzyć przestawiając cyfry liczby 3708925 ?

  6. Ile różnych czterocyfrowych liczb naturalnych można zestawić z cyfr 1, 2, 3, 4, jeśli każda cyfra może wchodzić w skład liczby ylko raz ?

  7. Uprość

  8. Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych utworzonych wyłącznie z 3 , 2 , 1 ?

  9. Ile liczb większych od 2000 można utworzyć z cyfr 1 , 2, 3, 4 ?

  10. Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych utworzonych wyłącznie z 1 i 0 ?

  11. Ile istnieje czterocyfrowych liczb naturalnych , w których cyfra jedności i setek jest tak sama ? liczba dziesiątek jest równa 8 ? żadna cyfra nie powtarza się ? cyfra jedności , dziesiątek i setek jest tak sama? nie występuje 5 ? nie występuje zero ?

  12. Ile istnieje czterocyfrowych liczb naturalnych?

  13. Ile liczb większych od 4000 można utworzyć z cyfr 1 , 2, 3, 4 ?

  14. Ile liczb czterocyfrowych mniejszych od 2000 można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4,

  15. Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych utworzonych wyłącznie z 3 , 1, 2 i 0 ?

  16. Ile jest różnych liczb sześciocyfrowych ?

  17. Ile liczb będących wielokrotnością 5 można utworzyć przestawiając cyfry liczby 1025346 ?

  18. Znajdź n wiedząc , że , , ,

  19. Na ile sposobów można nawlec na sznurek 16 korali: 9 czerwonych , 5 białych i 2 czarne

  20. Na ile sposobów możemy umieścić 3 kule w 3 szufladach , 4 kule w 3 szufladach 3 kule w 4 szufladach ?

  21. Ile różnych monogramów można utworzyć z 24 liter , jeśli litery w monogramie mogą się powtarzać, a ile jeśli litery w monogramie nie mogą się powtarzać?

  22. Ile słów, (mających sens lub nie) można ułożyć ze słowa STATYSTYKA ?

  23. Pewna dama ma cztery kolory szminek oraz sześć kolorów lakieru do paznokci . Na ile sposobów może użyć obu tych kosmetyków?

  24. Abonent zapomniał dwóch pierwszych cyfr numeru telefonu. Jaka jest maksymalna liczba prób , którą będzie musiał wykonać , aby trafić na właściwy numer ?

  25. W zakładach piłkarskich należy wytypować wyniki 13 meczów piłkarskich ( zwycięstwo gospodarzy , remis, zwycięstwo gości ) Na ile różnych sposobów możemy wypełnić kupon ?

  26. W grze liczbowej losuje się 5 liczb z 40. Ile jest możliwych różnych wyników losowań ?

  27. W grze liczbowej losuje się 20 liczb z 80 . Ile jest możliwych wyników losowań ?

  28. W grze liczbowej losuje się 6 liczb z 49 . Ile jest możliwych wyników losowań ?

  29. Litery alfabetu Morse′a są utworzone z ciągów kropek i kresek. Ile liter można utworzyć korzystając z czterech symboli?

  30. Litery alfabetu Morse′a są utworzone z ciągów kropek i kresek . Ile liter można utworzyć korzystając z co najwyżej czterech symboli ?

  31. W mieście przebudowano centralę telefoniczną z pięciocyfrowymi numerami wprowadzając numery sześciocyfrowe . O ile maksymalnie zwiększy się liczba abonentów ?

  32. Czterech studentów zdaje egzamin Wszyscy zdali Na ile sposobów można wystawić im oceny?

  33. Czterech studentów zdaje egzamin Na ile sposobów można wystawić im oceny ?

  34. Na campingu jest 10 jednoosobowych domków letniskowych . Przybyła grupa 5 turystów . Na ile sposobów można ich rozmieścić w tych domkach?

  35. Ile istnieje różnych numerów rejestracyjnych samochodów ?

  36. Na ile sposobów można umieścić w dwóch pudełkach 8 piłeczek ?

  37. Grupa studentów składa się z 4 kobiet i 12 mężczyzn . Ile różnych par małżeńskich mogłoby powstać z tego zespołu przy założeniu , że nie ma rozwodów ?

  38. W dziesięciopiętrowym bloku do windy wsiada 5 osób. Na ile sposobów mogą wysiąść wszyscy wysiedli na 4, 6 i 8 piętrze

  1. każda osoba wysiada na innym piętrze

  2. nikt nie wysiadł na 5 i 7 piętrze

  3. wszyscy wysiedli na 4 i 7 piętrze

  4. wszyscy wysiedli na trzech piętrach

  1. wszyscy wysiedli na dwóch piętrach

  2. wszyscy wysiedli na tym samym piętrze

  3. wszyscy wysiedli na 6 piętrze

Rachunek Prawdopodobieństwa

  1. Z grupie studenckiej liczącej n osób, w tym 16 chłopców, wybieramy losowo 1 osobę. Ile jest osób w grupie, jeżeli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny wynosi 1/3.

  2. Z urny zawierającej n kul białych i 18-n zielonych losujemy jedną kulę. Jakie wartości może przybierać n, jeżeli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej jest mniejsze od 0,4?

  3. Ze zbioru{1,2,3,4,5,6,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze bez zwracania i tworzymy liczbę dwucyfrową, w której cyfrą dziesiątek jest pierwsza z wylosowanych cyfr. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

a) liczby podzielnej przez 5

b) liczby parzystej.

  1. Z pojemnika, w którym znajduje się 5 kul czarnych i 3 białe losujemy dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:

a) dwóch kul białych

b) co najmniej jednej białej

c) kul obu kolorów

  1. Z talii 24 kart losujemy 5 kart. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:

a) dwóch kierów,

b) co najmniej 1 asa.

  1. Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

a) sumy oczek równej 6,

b) wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek równej 1.

c)dwóch oczek na pierwszej kostce.

d)pięciu oczek na dokładnie jednej kostce

  1. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym jest 6 kul białych i 4 czarne, w drugim 4 białe i 5 czarnych. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jeżeli otrzymamy 1 oczko to losujemy z pierwszego pojemnika, w przeciwnym przypadku z drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

  2. Z zestawu tematów egzaminacyjnych składającego się z 10 pytań z algebry, 9 pytań z geometrii i 6 pytań z rachunku prawdopodobieństwa wylosowano jedno pytanie i nie czytając go odłożono na bok. Następnie wylosowano drugie pytanie. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania za drugim razem pytania z algebry.

  3. Egzaminator ma trzy zestawy pytań po 30 w każdym.Na początku egzaminu rzuca kostką do gry.

Jeżeli wypadnie 1 lub 2 ,losuje z pierwszego zestawu, jeżeli 3 z drugiego, w pozostałych przypadkach z trzeciego.

a)Oblicz prawdopodobieństwo, ze student nie odpowie na pytanie, jeżeli zna odpowiedź na 10 pytań z pierwszego zestawu, 13 pytań z drugiego i 25 pytań z trzeciego.

b) Student nie odpowiedział na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodziło ono z pierwszego zestawu?

  1. W urnach umieszczone są kule. W pierwszej cztery białe, cztery czarne i trzy niebieskie. W drugiej dwie białe, cztery czarne i dwie niebieskie W trzeciej pięć białych, trzy czarne i pięć niebieskich

Rzucamy jeden raz symetryczną kostką. Jeżeli wypadnie 1 to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, jeżeli liczba parzysta jedną kulę z drugiej urny, w pozostałych przypadkach jedną kulę z trzeciej urny

a) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej

b) Wylosowano kulę białą jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej lub trzeciej urny.?

  1. Prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez przekaźnik A jest 0,9 , przez przekaźnik B 0,8 , przez przekaźnik C 0,7 i przez przekaźnik D 0,6 . Przekaźniki działają niezależnie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że tylko przekaźniki A, B i C przekazały sygnał, tylko przekaźnik B przekazał sygnał

  2. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia w 5 rzutach kostką 4 razy liczby oczek większej niż 4

  3. W klasie jest 25 uczniów i 15 uczennic. Losowo zostaje wybrana czteroosobowa osobowa delegacja. Jakie jest prawdopodobieństwo , że w skład tej delegacji nie wejdzie żaden uczeń?

  4. Egzaminator ma trzy zestawy pytań po 30 w każdym.Na początku egzaminu rzuca kostką do gry. Jeżeli wypadnie 1 lub 2 ,losuje z pierwszego zestawu, jeżeli 3 z drugiego, w pozostałych przypadkach z trzeciego.

a)Oblicz prawdopodobieństwo, ze student nie odpowie na pytanie, jeżeli zna odpowiedź na 20 pytań z pierwszego zestawu, 13 pytań z drugiego i 20 pytań z trzeciego.

b) Student nie odpowiedział na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodziło ono z trzeciego zestawu?

  1. W urnach umieszczone są kule. W pierwszej cztery białe, cztery czarne i trzy niebieskie.W drugiej dwie białe, cztery czarne i dwie niebieskie. W trzeciej pięć białych, trzy czarne i pięć niebieskich. Rzucamy jeden raz symetryczną kostką. Jeżeli wypadnie 1 to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, jeżeli liczba parzysta jedną kulę z drugiej urny, w pozostałych przypadkach jedną kulę z trzeciej urny

a) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej

b) Wylosowano kulę białą jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z trzeciej lub drugiej urny.?

  1. Z talii 52 kart losujemy jedną. Czy zdarzenia wylosowano asa lub damę i wylosowano czerwoną kartę są niezależne ?

  2. Trzech zawodników ( A, B, C ) strzela jednocześnie niezależnie do celu. Prawdopodobieństwa trafienia w jednym strzale są dla tych zawodników odpowiednio równe; 0,1, 0,3, 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy trafili ?, trafił tylko B,?, tylko B nie trafił? Dwóch trafiło

  3. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia w 5 rzutach kostką co najmniej 4 razy liczby oczek większej niż 3

  4. Prawdopodobieństwo, że lampa będzie się nadawała do użytku po tysiącu godzinach pracy jest równe 0,2 Oblicz prawdopodobieństwo ,że trzy z 10 lamp będą się nadawały do pracy po tym czasie

  5. W loterii liczącej 50 losów 20 jest wygrywających. Kupiono 4 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich 1 jest wygrywający ?, nie ma wygrywających?, co najmniej jeden jest wygrywający? Co najwyżej jeden jest wygrywający?

  6. Ze zbioru Z={0,1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem i tworzymy liczbę dwucyfrową, w której cyfrą dziesiątek jest pierwsza z wylosowanych cyfr.

Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba jest:

a) mniejsza od 43

b) parzysta

  1. Rzucamy siedem razy symetryczną parą monet o różnych nominałach. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

a) dwóch orłów trzy razy

b) dwóch orłów co najmniej raz

  1. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i dwie czarne losujemy sześć razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania:

a) trzy razy kuli białej

b) co najmniej raz kuli białej

  1. Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0,8. Strzelec ma strzelać 5 razy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:

a) strzelec trafi cztery razy

b) strzelec trafi co najmniej raz

  1. Z pojemnika w którym znajdują się sześć kul białych oraz pięć czarnych losujemy 2 kule. Czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy oznaczają: A - otrzymamy co najmniej jedną kulę białą, B - otrzymamy co najmniej jedną kulą czarną?

  2. Niech A i B oznaczają zdarzenia losowe. Wiadomo, że P(a)= 0,4, P(b)= 0,7. Obliczyć P(A∪B) jeżeli:

    1. A i B są niezależne

    2. A pociąga za sobą B

  3. Dla zdarzeń losowych A i B znane są prawdopodobieństwa P(a)= 0,4, P(b)= 0,7 oraz P(A|B) = 0,2. Obliczyć P(A∪B).

  4. Student zna odpowiedzi na 10 spośród 15 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odpowie na co najmniej 3 pytania z 4 wybranych losowo.

  5. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to król, jeżeli wiadomo, że jest to karta pik?

  6. W firmie składającej komputery pierwsza zmiana wyprodukowała 1000, a druga 800 egzemplarzy. Wadliwość produkcji pierwszej zmiany wynosi 1%, zaś drugiej 0,5%. Spośród wyprodukowanych komputerów wybrano losowo jeden egzemplarz.
    Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie jest on wadliwy?

  7. Fabryka A produkuje 40%, B – 20%, C – 30% D – resztę całej produkcji. Braki stanowią odpowiednio 5%, 7%, 4%, 3%. kupiono dobry element, jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi on z fabryki B lub C?

  8. Rzucamy trzema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania

a) co najmniej jednej reszki

b) co najmniej dwóch reszek

c) dokładnie jednej reszki

d)dokładnie dwóch reszek

  1. W urnach umieszczone są kule. W pierwszej cztery białe, cztery czarne i trzy niebieskie. W drugiej dwie białe, cztery czarne i dwie niebieskie. W trzeciej pięć białych, trzy czarne i pięć niebieskich

Rzucamy jeden raz symetryczną kostką. Jeżeli wypadnie 1 to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, jeżeli liczba parzysta jedną kulę z drugiej urny, w pozostałych przypadkach jedną kulę z trzeciej urny

a) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej

b) Wylosowano kulę niebieską jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej lub drugiej urny.?

  1. Strzelec A trafia do tarczy osiem razy na dziesięć strzałów. Strzelec B trafia do tarczy dziewięć razy na dziesięć strzałów. Sędzia rzuca dwiema symetrycznymi monetami, jeżeli wypadnie co najmniej jeden orzeł strzela strzelec A, w przeciwnym przypadku strzelec B

a) oblicz prawdopodobieństwo nietrafienia do tarczy.

b) strzelec nie trafił do tarczy .Jakie jest prawdopodobieństwo, że strzelał A?

  1. Rzucamy dwa razy symetryczną monetą. Czy zdarzenia;

  1. w obu rzutach otrzymamy identyczne wyniki. B - otrzymamy dokładnie jednego orła ,

są niezależne ?

  1. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia w 5 rzutach kostką 4 razy liczby oczek nie większej niż 3

  2. w urnie jest 5 kul czerwonych, 3 czarne i 2 białe. Losujemy 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze wylosujemy same kule białe.?

  3. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej jedynki, parzystej sumy oczek, sumy oczek mniejszej od 4

  4. Z talii 52 kart losujemy pięć razy po jednej karcie. ( ze zwracaniem) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 4 razy pika.

od 3 do 11 włącznie wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba parzysta

  1. P(A′ ∩ B′)=1/2, P(A’)=2/3, P(A$\cap B) = \frac{1}{4}$ P(B) =?

  2. P(A’)=1/3, P(A  ∪ B) = 5/6, P(B’)=1/2, P(A∩B)= ?

  3. P(A’) =1/3, P(A∪B)=5/6, P(B’) = ¼, P(B)=?

  4. P(A’)=1/4, P(B/A) = ½, P(A∩B)= ?

  5. P(A-B) = P(B-A) , P(A  ∪ B) = ½, P(A∩B)= 1/4 P(A′ ∩ B) =?

  6. P(A’)=1/3, P(A/B) = ½,, P(B) =1/2, P(A∪B)= ?

Zmienna losowa dyskretna

  1. Liczba nie zdanych egzaminów w ciągu semestru przez losowo wybranego studenta pewnej uczelni jest zmienną losową X o funkcji prawdopodobieństwa danej tabelą

x 0 1 2
p(x) 0, 7 0,25 0,05

  1. Oblicz wartość średnią i wariancję liczby nie zdanych egzaminów przez studenta tej uczelni.

  2. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany student nie zda 2 egzaminów, jeśli wiadomo, że nie zdał co najmniej jednego egzaminu.

c)Jaka jest mediana i górny kwartyl liczby nie zdanych egzaminów przez losowo wybranego studenta

  1. . Dyskretna zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

x 1 3 5
p(x) 0, 5 0,3 C

  1. Oblicz wartości dystrybuanty F(1,5), F(3)

  2. Oblicz wartość średnią E(X).

  3. Oblicz wariancję Var(X).

  1. Dyskretna zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

x -2 0 2
p(x) 0, 5 0,3 0,2

  1. Zmienna losowa Y = 3 X2 + 1.

b) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y.

c)Oblicz wariancję zmiennej losowej Y.

d)Znajdź funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.

  1. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,2. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony.

  1. Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu.

  2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1?

Odp.:; E(Y)=0,4; D(Y)=0,56; 0,04

  1. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,3. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony.

  1. Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu.

  2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1?

Odp.: E(X)=0,6; D(X)=0,42; 0,09

  1. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określona tabelą

xi -1 0 2
pi 1/2 1/6 1/3

  1. Wyznaczyć i wykreślić dystrybuantę.

  2. Obliczyć P(X ≥ 1).

  1. $F\left( X \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \text{dla}\text{\ \ \ }x \leq - 2 \\ \ \ 0,3\ \ \ \ \text{dla}\ - 2 < x \leq 0\ \\ 0,6\ \ \ \ \text{dla}\ \ 0 < x \leq 2 \\ 0,7\ \ \ \ \text{dla}\ \ 2 < x \leq 5 \\ 0,9\ \ \ \ \text{dla}\ \ \ 5 < x \leq 7 \\ 1\ \ \ \ \text{dla}\text{\ \ \ \ }x > 7 \\ \end{matrix} \right.\ $znajdź wariancję i P(X >0), P(X < 6)

  2. Liczba nie zdanych egzaminów w ciągu semestru przez losowo wybranego studenta pewnej uczelni jest zmienną losową X o funkcji prawdopodobieństwa danej tabelą

x 0 1 2
p(x) 0, 7 0,25 0,05

  1. Oblicz wartość średnią i wariancję liczby nie zdanych egzaminów przez studenta tej uczelni.

  2. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany student nie zda 2 egzaminów, jeśli wiadomo, że nie zdał co najmniej jednego egzaminu.

(c) Jaka jest mediana i górny kwartyl liczby nie zdanych egzaminów przez losowo wybranego studenta.

  1. Dyskretna zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

x 1 3 5
p(x) 0, 5 0,3 C

  1. Oblicz wartości dystrybuanty F(1,5), F(3)

  2. Oblicz wariancję Var(X).

  3. Oblicz wartość średnią E(X).

  1. Dyskretna zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

x -2 0 2
p(x) 0, 5 0,3 0,2

Zmienna losowa Y = 3 X2 + 1.

  1. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y.

  2. Oblicz wariancję zmiennej losowej Y.

  3. Znajdź funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.

  1. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę stażystów, których przyjmuje duża firma w losowo wybranym miesiącu. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

x 0 1 2
p(x) 0, 4 0,3 0,3

  1. Oblicz wartość oczekiwaną E(X) i wariancję Var(X).

  1. Oblicz wartość dystrybuanty F(x) zmiennej losowej X w punkcie x = 1,2

W losowo wybranym półroczu liczba uzyskanych nowych patentów przez pewną firmę jest zmienną losową X o funkcji prawdopodobieństwa określonej tabelą:

x 0 1 2
p(x) 0, 75 0,2 0,05

  1. Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję liczby nowych patentów w losowo wybranym półroczu.

Oblicz wartość dystrybuanty F(x) zmiennej losowej X w punkcie x = 1,25

  1. Dyskretna zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

x - 3 0 2
p(x) 0, 1 0,8 0,1

  1. Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej Y = X2 − 3.

  2. Oblicz wartość dystrybuanty F(x) zmiennej losowej X w punkcie x = 2,75.

  1. W losowo wybranym półroczu liczba stażystów zatrudnionych w firmie jest zmienną losową X o funkcji prawdopodobieństwa określonej tabelą:

x 1 2 5
p(x) 0, 7 0,2 0,1

  1. Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję liczby stażystów pracujących w firmie w losowo wybranym półroczu.

  2. Oblicz wartość dystrybuanty F(x) zmiennej losowej X w punkcie x = 2,5.

Zmienna losowa ciągła

  1. Zmienna losowa X ma dystrybuantę określoną wzorem

F(x) = gdy a)Jaka jest wartość stałej A ? b)Oblicz P(X = 2), P(X=1).

  1. Zmienna losowa X ma dystrybuantę określoną wzorem

F(x) = gdy Jaką wartość może przyjąć stała A ? Oblicz P(X=2), P(X=3).

  1. Czas rozwiązania zadania z programowania przez losowo wybranego uczestnika konkursu jest zmienną losową X o gęstości gdy .

  1. Oblicz stałą C.

  2. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik konkursu będzie rozwiązywał zadanie krócej niż 30 minut.

  3. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik konkursu będzie rozwiązywał zadanie krócej niż 30 min i dłużej niż 20 min.

  4. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik konkursu będzie rozwiązywał zadanie krócej niż 30 minut pod warunkiem, że rozwiązuje zadanie już co najmniej 15 minut.

  5. Oblicz wartości dystrybuanty: F(30), F(40).

  6. oblicz średni czas rozwiązania zadania przez uczestnika konkursu?

  7. jaki procent uczestników konkursu rozwiąże zadanie w czasie krótszym niż 20 minut ?

  1. Zmienna losowa ciągła X ma funkcję gęstości

Obliczyć:

  1. wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, [2/3]

  2. odchylenie standardowe zmiennej losowej X,

  3. dystrybuantę zmiennej losowej X,

  4. P(1/4 < X <1/2),

  5. P(X >3/4),

  1. Czas rozwiązania zadania ( w minutach ) z programowania przez losowo wybranego uczestnika konkursu jest zmienną losową X o gęstości gdy .

  1. Oblicz stałą C

  2. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik konkursu będzie rozwiązywał zadanie krócej niż 15 minut.

  1. Gęstość zmiennej wynosi $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2}\ \text{dla}\ x \in \left\langle - 1,\ 0 \right\rangle \\ \text{ax}\ \text{dla}\ x \in \left\langle 0,\ 1 \right\rangle\ \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wpp} \\ \end{matrix} \right.\ $ oblicz dystrybuantę, wartość oczekiwaną i P(X < -0,5), P(X > 0,4),

  2. Gęstość zmiennej wynosi $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2}\ \text{dla}\ x \in \left\langle - 1,\ 0 \right\rangle \\ \text{ax}\ \text{dla}\ x \in \left\langle 1,2 \right\rangle\ \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wpp} \\ \end{matrix} \right.\ $ oblicz dystrybuantę, wartość oczekiwaną i P(X < 1,5), P(X > 0,4),

Rozkład dwumianowy, Poissona, geometryczny

  1. Liczba zakładanych dziennie kont indywidualnych przez oddział pewnego banku jest zmienną losową X o rozkładzie Poissona z parametrem Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu dnia w oddziale banku założy konta co najmniej 2 klientów

  2. Firma zakupiła 4 nowe monitory tej samej marki. Prawdopodobieństwo, że monitor tej marki ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0,05. Oblicz prawdopodobieństwo, że

a) 2 monitory ulegną awarii w okresie gwarancji,

b) nie wszystkie monitory ulegną awarii w okresie gwarancji

c) co najmniej 1 monitor ulegnie awarii w okresie gwarancji

d) Jaka jest wartość średnia i wariancja liczby komputerów, które ulegną awarii w okresie gwarancji?

  1. Liczba huraganów w ciągu roku w pewnym rejonie USA jest zmienną losową o rozkładzie Poissona ze średnią 2. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze w ciągu roku w tym rejonie

a)wystąpią 3 huragany

b)będzie co najmniej 1 huragan

c)nie będzie huraganu

  1. Z ostatnich badań CBOS - u wynika, że 37% Polaków pali papierosy nałogowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród trzech losowo wybranych Polaków

  1. 2 osoby palą nałogowo.

  2. nie ma osoby palącej.

  3. 3 osoby palą nałogowo.

  1. Liczba zamówień na usługi informatyczne, które otrzymuje w ciągu miesiąca pewna firma komputerowa jest zmienną losową o rozkładzie Poissona ze średnią 49. Korzystając z przybliżenia rozkładem normalnym oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że firma otrzyma w ciągu miesiąca

  1. co najmniej 40 zamówień,

  2. mniej niż 55 zamówień.

  1. Z ostatnich badań CBOS - u wynika, że 67% Polaków popiera wejście Polski do Unii Europejskiej. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród trzech losowo wybranych Polaków

  1. 2 osoby popierają wejście Polski do UE.

  2. nie ma osoby popierającej wejście Polski do UE.

  3. 3 osoby popierają wejście Polski do UE.

  1. Materiał radioaktywny emituje cząstki α w ilości 0,7 na sekundę. Zakładamy, że cząstki są emitowane zgodnie z rozkładem Poissona.

  1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 1 sek zostanie wyemitowana jedna cząstka.

  2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 1 sek zostaną wyemitowane więcej niż 3 cząstki.

  3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba wyemitowanych w ciągu 1 sek cząstek będzie między 1 i 4.

  1. Prawdopodobieństwo wygranej na loterii wynosi 0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1 000 losów dokładnie 5 będzie wygranych?

Rozkład normalny

  1. Z badań wagi uczestników masowych maratonów wynika, że jest ona zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości średniej 60 kg i wariancji 9 kg2. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik maratonu waży

  1. mniej niż 55 kg ,

  2. co najmniej 55 kg i co najwyżej 65 kg .

  3. Jaki procent uczestników maratonu ma wagę przekraczającą 66 kg ?

  4. Jaką wagę przekracza 70 % najwięcej ważących uczestników maratonu ?

  1. Długość trasy przejechanej taksówką w losowo wybranym dniu przez Pana Janka jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 150 km i standardowym odchyleniu 20 km .

  1. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu dnia Pan Janek przejedzie więcej niż 125 km .

  2. Jaki jest procent dni, w których Pan Janek przejeżdża mniej niż 100 km .

  1. Zużycie paliwa na 100 km pewnego modelu samochodu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(6,0,4). Oblicz prawdopodobieństwo, że na trasie 100 km samochód zużyje więcej niż 5,5 litra i mniej niż 6 litrów paliwa.

  2. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o średniej 5 i odchyleniu standardowym 2. Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Y = 4X + 2.

  3. Zmienna losowa X ma rozkład N(3,1). Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Y = X - 3.

  4. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(40 ; 8). Należy obliczyć:

  1. prawdopdobieństwo P(X>24) i wynik przedstawić graficznie.

  2. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 2X – 6

Odp.: 0,9772; E(Y)=74; D2(Y)=256

  1. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(80 ; 16). Należy obliczyć:

  1. prawdopodobieństwo P(X>48) i wynik przedstawić graficznie.

  2. Kwartyl trzeci w tym rozkładzie,

  3. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 3X

Odp.: 0,9773; E(Y)=240; D2(Y)=1296

  1. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(40 ; 8). Należy obliczyć:

  1. prawdopodobieństwo P(X>36) i wynik przedstawić graficznie.

  2. Kwartyl pierwszy w tym rozkładzie,

  3. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 4X

Odp.: 0,6915; 34,6; E(Y)=160; D2(Y)=1088

  1. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(20 ; 4). Należy obliczyć:

  1. prawdopodobieństwo P(X>12) i wynik przedstawić graficznie.

  2. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = ½X

Odp.: 0,9772; E(Y)=10; D2(Y)=4

  1. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(10 ; 2). Należy obliczyć:

  1. prawdopodobieństwo P(X>9) i wynik przedstawić graficznie.

  2. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = ¼X

Odp.: ≈0,691; E(Y)=2,5, D2(Y)=0,25

  1. Miesięczne wynagrodzenie w populacji pracowników światowe koncernu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 2000 $ i odchyleniem standardowym σ.Wyznacz wartość parametru σ wiedząc, że 15,86% pracowników tego koncernu zarabia miesięcznie nie więcej niż 1800 $.

Jaka część pracowników tej firmy osiąga miesięczne wynagrodzenie wyższe niż 2000$ lecz nie przekraczające 2200 $.

Odp.: 200$; 34,13%

  1. Wiadomo, że rozkład kosztów pracy robotników wykwalifikowanych w budownictwie charakteryzują następujące parametry: E(X)= 9,5 tys. zł D(X)= 1 tys. zł.

  1. Jakie koszty pracy 200 pracowników zatrudnionych na jednej z budów należy uznać za nietypowe?

  2. Wyznaczyć trzeci kwartyl kosztów pracy 200 pracowników tej budowy.

Odp.: poniżej 1885 tys. zł oraz powyżej 1914,1 tys. zł, 1909,5 tys. zł

  1. Zmienna losowa X ma rozkład N(0,1). Obliczyć

  1. P (X < 2),

  2. P (X < -0,5),

  3. P (X > 1),

  4. P (0,25< X < 2),

  5. P (|X |< 2,55),

  6. P (X < 3,9),

  1. Zmienna losowa X ma rozkład N(0,1). Wyznaczyć a z warunku

  1. P (X < a) = 0,68,

  2. P (X > a) = 0,75,

  3. P (|X |< a) = 0,90,

  4. P (|X |< a) = 0,95,

  5. P (|X |< a) = 0,99,

  1. Zmienna losowa X ma rozkład N(5,2). Obliczyć

  1. P (X < 6),

  2. P (X < 4,5),

  3. P (X > 1),

  4. P (0,25< X < 6),

  5. P (|X - 5 |< 4),

  6. P (X < 12),

  1. Wydajność pracy pracowników mierzona liczbą wyprodukowanych detali w ciągu minuty jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym N(8, 2). Obliczyć prawdopodobieństwo:

  1. P (X < 5),

  2. P (6< X ≤ 12),

  3. P (X >12).

  1. Urządzenie złożone z dwóch podzespołów pracuje w ten sposób, że najpierw jest włączony jeden podzespół, a w chwili jego uszkodzenia włącza się podzespół drugi (awaryjny). Czasy bezawaryjnej pracy poszczególnych podzespołów są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych N (60 h, 4h) i N (80 h, 3h). Obliczyć prawdopodobieństwo, że urządzenie będzie pracowało przynajmniej 150h.

  2. Zakładając, że pomiar ma rozkład normalny N(123,4; 25) wyznacz prawdopodobieństwo tego, że będzie on (i) mniejszy od 120, (ii) większy od 135, (iii) będzie leżał w przedziale (117,4; 129,4).

  3. Ilorazy inteligencji pracowników mają rozkład N (134,15) Wiedząc, że do wykonania pewnej pracy potrzeba IQ na poziomie 98, a pracownicy powyżej 112 IQ nudzą się taką pracą, obliczyć, ile osób spośród 400 pracowników nadaje się do tej pracy.

  4. Automat produkuje wiertła, których długość ma rozkład normalny o wartości średniej
    μ = 4,75 cm. Jaka powinna być wariancja tego rozkładu, aby w przybliżeniu 95% wykonanych wierteł mieściło się w pudełkach, których długość ma 5 cm. Wiertła krótsze od 4,5 cm są odrzucane jako braki.

22. Zużycie paliwa ( w l. na 100 km) w samochodzie SEAT ma rozkład normalny z parametrami 8 ; 1,2 .

a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zużycie paliwa w losowo wybranym samochodzie przekroczy 7,6 l
b) Podać interpretację graficzną wyniku z punktu a) na wykresie funkcji gęstości.
c) Dla jakiej wielkości zużycia paliwa dystrybuanta w badanym rozkładzie przyjmuje wartość 0,75? Zinterpretować tę wielkość.

23 .Czas spędzany dziennie przed ekranem TV przez osobę dorosłą jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 90 minut i odchyleniem standardowym równym 20 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba spędza przed ekranem mniej niż 76 min?

24. Czas przejazdu trasy slalomu (min) jest zmienną losową o rozkładzie N(1,5; 0,2) Jaki czas przejazdu miało 10 % najlepszych zawodników.

25.Czas oczekiwania na tramwaj linii 33 jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym równym 1 min. a) ile wynosi przeciętny czas oczekiwania na tramwaj, jeśli 75.8% osób oczekujących na ten tramwaj czeka nie krócej niż 4 min?

b) ile co najwyżej min czekają na tramwaj osoby należące do 10% osób oczekujących najkrócej

26.Poziom cholesterolu we krwi jest zmienną losową o rozkładzie N(200,30)

  1. Jaki odsetek ludzi ma poziom cholesterolu nie przekraczający 185?

  2. Zaznaczyć wynik z punktu a) na wykresie dystrybuanty

  3. Jaki poziom cholesterolu ma 15 % osób o najwyższym jego poziomie?

27.Czas przejazdu trasy slalomu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Najwięcej zawodników przejeżdżało tę trasę w ciągu (około) 1,5 minuty, zaś 33 % zawodników jechało dłużej niż 1,588. Jaki czas przejazdu miało 10 % najgorszych zawodników ?

28. Zmienna losowa W ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 105 i wariancji 9.

a) Oblicz, ile wynosi trzeci kwartyl w tym rozkładzie.

b) Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Z = 250 – 2W

29. Zmienne X1 i X2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio: N(20;3) i N(4;2). Należy obliczyć:

a) wartość oczekiwaną, wariancję i współczynnik asymetrii zmiennej Y= X1-2X2,

b) prawdopodobieństwo P(Y>9,6) i wynik przedstawić graficznie.

  1. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej 4 i standardowym odchyleniu 3. Niech Y = 2X – 8. .

  1. Znajdź E(Y) oraz Var(Y).

  2. Wiedząc, że Y ma rozkład normalny znajdź P( Y > 0 ).

  1. Miesięczny dochód brutto losowo wybranego pracownika pewnego sektora gospodarki jest zmienną losową X mającą rozkład normalny o wartości średniej µ = 4 (w tys. PLN) i standardowym odchyleniu σ = 0,5 (w tys. PLN)

  1. Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma dochód netto obliczony jako Y = 0,8X – 0,2 .

  2. Jaki procent pracowników tego sektora gospodarki posiada dochód netto większy niż 3000 PLN ?

  1. Wartość ( w zł. ) losowo wybranej szkody komunikacyjnej w pewnej firmie ubezpieczeniowej jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym o wartości średniej µ = 1200 zł. oraz standardowym odchyleniu σ = 600 zł. Za szkodę wartości X firma wypłaci odszkodowanie Y obliczone ze wzoru Y = 0,9X − 100, jeśli X > 200 oraz Y = 0 w przypadku przeciwnym.

Oblicz prawdopodobieństwo, że właściciel polisy mającej szkodę otrzyma odszkodowanie wartości co najmniej 80 zł,, tzn. oblicz P(Y > 80).

  1. W pewnej firmie remontowej wartość materiału ( w zł.) zużytego do remontu mieszkania losowo wybranego klienta jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym N(5000, 100) Dochód z remontu mieszkania jest zmienną losową Y = 2X + Z, gdzie Z jest zmienną losową Z mającą wartość średnią 1000 oraz wariancję 200. Oblicz wartość średnią dochodu firmy z remontu losowo wybranego mieszkania

Rozkład jednostajny

  1. Czas dojazdu do pracy (w minutach) Pana Kowalskiego w losowo wybranym dniu jest zmienną losową T o rozkładzie jednostajnym na przedziale [30, 60]. Oblicz prawdopodobieństwo, że w pewnym dniu Pan Kowalski będzie w drodze do pracy

  1. co najmniej 40 minut,

  2. co najwyżej 50 minut i co najmniej 40 minut,

  3. co najwyżej 50 minut pod warunkiem, że podróżuje już co najmniej 30 minut.

d)w jakim zakresie czasu znajduje się 50% najdłużej trwających dojazdów do pracy Pana Kowalskiego,

e)w jakim zakresie czasu znajduje się 25% najdłużej trwających dojazdów do pracy Pana Kowalskiego,

f)średni czas dojazdu do pracy Pana Kowalskiego.

Rozkład wykładniczy

  1. W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienną losową T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Oblicz prawdopodobieństwo, że czas trwania rozmowy osoby telefonującej będzie

  1. dłuższy niż 10 minut

  2. dłuższy niż 5 minut i krótszy niż 15 minut.

  1. Dla danych z zadania 1 oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba będzie prowadziła rozmowę telefoniczną dłuższą niż 10 minut pod warunkiem, że rozmawia już co najmniej 5 minut.

Twierdzenia graniczne

  1. Liczba zamówień na usługi informatyczne, które otrzymuje w ciągu miesiąca pewna firma komputerowa jest zmienną losową o rozkładzie Poissona ze średnią 49. Korzystając z przybliżenia rozkładem normalnym oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że firma otrzyma w ciągu miesiąca

  1. co najmniej 40 zamówień,

b)mniej niż 55 zamówień.

  1. Liczba projektów informatycznych, które przyjmuje firma do wykonania w losowo wybranym dniu jest zmienną losową X o funkcji prawdopodobieństwa f określonej tabelą:

x 0 1 2
f(x) 0,4 0,5 0,1

Liczby projektów przyjmowanych do wykonania w ciągu różnych dni są niezależnymi zmiennymi losowymi.

a)Oblicz wartość średnią i wariancję liczby projektów, które przyjmie firma do wykonania w ciągu 100 losowo wybranych dni.

b)Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że w ciągu 36 losowo wybranych dni firma przyjmie do wykonania więcej niż 20 projektów.

  1. Liczba awarii sieci informatycznej w ciągu tygodnia jest zmienną losową o rozkładzie Poissona ze średnią 2. Liczby awarii w różnych tygodniach są niezależnymi zmiennymi losowymi. Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że w ciągu 25 tygodni wystąpi więcej niż 60 awarii.

  2. Czas oczekiwania na połączenie z pewną siecią teleinformatyczną jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym ze średnią 10 sekund. Czasy oczekiwań różnych zgłoszeń są niezależnymi zmiennymi losowymi. Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że średni czas oczekiwania 49–ciu zgłoszeń odchyli się od średniego czasu oczekiwania (10 sekund) o więcej niż 5 (sekund).

  3. Bank zakupił 100 monitorów, które pracują niezależnie. Prawdopodobieństwo uszkodzenia monitora w okresie gwarancji wynosi 0,05. Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że w okresie gwarancji awarii ulegnie

a) więcej niż 7 monitorów.

b) co najmniej 5 i co najwyżej 10 monitorów.

c) mniej niż 10 monitorów

Długość zużywanego paska papieru do wydruku paragonu w sklepie samoobsługowym w sąsiedztwie Uczelni jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 8,5 cm i odchylenie standardowe 1,2 cm.

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości przekraczającej 850 cm.

  2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości nieprzekraczającej 815 cm.

Odp.: 0,5; 0,0018

  1. W wyniku kradzieży majonezów w supermarkecie firma traci dziennie średnio 105 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 40 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieżą majonezów wyniesie co najwyżej 10 000 zł. Odp.: 0,81

  2. Czas obsługi klienta na poczcie w mieście stołecznym jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 4,5 min. i odchylenie standardowe 0,6 min.

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie dłuższy niż 450 min.

  2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie krótszy niż 430 min.

Odp.: 0,5; 0,0004

  1. Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia zeznania podatkowego przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,2. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 25 000 podatników z wykształceniem podstawowym co najmniej 4800 wypełni błędnie zeznanie podatkowe jest większe od 0,3? Odp.: 0,9992

  2. Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia wniosku o wymianę prawa jazdy przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,1. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 30 000 kierowców z wykształceniem podstawowym co najmniej 3120 wypełni błędnie wniosek jest większe od 0,5? Odp.: 0,0105

  3. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:

a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,

b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania.

Odp.: 0,3439; 0,6306

  1. Wiadomo, że prawdopodobieństwo nieterminowej realizacji faktury wynosi 0,2. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:

  1. spośród 3 klientów co najwyżej 2 nie zapłaci w terminie faktury,

  2. spośród 100 klientów co najwyżej 67 nie zapłaci faktury w terminie? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania.

Odp.: 0,992; ≈1

  1. Prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji przez nabywcę produktu wynosi 0,1.

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród trzech nabywców jeden zgłosi reklamację?

  2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1000 nabywców co najmniej 120 zgłosi reklamację lecz nie więcej niż połowa?

Odp.: 0,243; 0,9825

  1. Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o rozkładzie symetrycznym z wartością średnią 3250 zł i odchyleniem standardowym 750 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

  1. w dowolnie wybranym dniu obroty przekroczą 3250 zł?

  2. obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 35 000 zł?

Odp.: 0,5; ≈1

  1. W wyniku awarii w dostawach prądu firma traci dziennie średnio 7,5 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 3zł.

  1. jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranym dniu strata spowodowana awarią nie przekroczy 7,5 zł?

  2. jakie jest prawdopodobieństwo, że półroczna (183 dni) strata spowodowana awariami wyniesie co najmniej 1500 zł

Odp.: nie wiadomo, 0,9992

  1. Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków w roku 2002 wyniósł 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

  1. wśród 2 osób mieszkających w Polsce każda będzie aktywna zawodowo?

  2. wśród 1000 Polaków co najmniej 850 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie.

Odp.: 0,64; 0,0001

  1. Wiadomo, że rozkład kosztów pracy robotników wykwalifikowanych w rybołówstwie charakteryzują następujące parametry: E(X)= 12 tys. zł D(X)= 2 tys. zł.

  1. Jakie koszty pracy 200 pracowników zatrudnionych w ostatnim sezonie w przedsiębiorstwie dalekomorskim należy uznać za nietypowe?

  2. Wyznaczyć trzeci kwarty kosztów pracy 200 pracowników tego przedsiębiorstwa.

Odp.: poniżej 2371,7 tys. zł oraz powyżej 2428,3 tys. zł, 2419,1 tys. zł.

  1. Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków zamieszkałych na wsi w roku 2002 wyniósł 60%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

  1. wśród 2 osób mieszkających na wsi każda będzie aktywna zawodowo?

  2. wśród 1000 mieszkańców wsi co najmniej 750 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie.

Odp.: 0,36, ≈0

  1. Waga jednostkowego produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 50 dkg oraz odchyleniem standardowym 4 dkg. Ile sztuk produktu, w partii 20 000 sztuk będzie charakteryzowało się wagą powyżej 48,2 dkg? Odp.: 13472

  2. Dzienne straty hurtowni ołówków są zmienną losową o wartości średniej 35 zł z odchyleniem standardowym 5 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

  1. straty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 350 zł?

  2. średnia dziennych strat, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 32 zł do 33 zł?

Odp.: 0,5; 0,000003

  1. Objętość jednostkowego opakowania produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 100 litrów oraz odchyleniem standardowym 20 litry. Ile opakowań, w partii 40 000 będzie charakteryzowało się objętością powyżej 85 litra? Odp.: 30935

  2. Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o wartości średniej 5500 zł z odchyleniem standardowym 1050 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

  1. obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 570 000 zł?

  2. średnia z dziennych obrotów, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 5200 do 5600 zł?

Odp.: ≈0,028; 0,8274

  1. Tygodniowa wartość sprzedaży pewnego produktu ma rozkład normalny N(2450,400).

a) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że sprzedaż tego produktu w ciągu tygodnia będzie w granicach (2050,3100)?

b) Analizowano wartość sprzedaży w ciągu 16 tygodni. Jaki jest rozkład średniej arytmetycznej wartości sprzedaży w tym okresie? Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że średnia wartość sprzedaży z 16 tygodni waha się w przedziale (2200,2700)?

  1. Prawdopodobieństwo wygranej na loterii wynosi 0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1 000 000 losów co najwyżej856 będzie wygranych?

  1. Zmienne losowe X1...X100 są niezależne i mają rozkład jednostajny w przedziale ( 0, 1 ) Oblicz prawdopodobieństwo a) P( X1 + ... +X100 < 45), b) , c)

  2. Zmienne losowe X1... X400 są niezależne i maja rozkład Poissona o λ = 4

Oblicz P( 1500 < Y400 <1720), gdzie Y400 = X1 + ....+ X400

  1. W skład pewnego urządzenia wchodzi 192 elementów pewnego typu. Elementy te psują się niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo zepsucia się danego elementu w ciągu czasu T jest równe ¼. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu czasu T zepsuje się

a) co najwyżej 60 elementów, ale nie mniej niż 42.

b) 42 elementy

  1. Partia towaru ma wadliwość 5%. Ile sztuk towaru należy wylosować ( ze zwracaniem) z tej partii, aby z prawdopodobieństwem 0,99 można było twierdzić, że wśród wybranych sztuk wadliwość jest między 4% a 6%?

  2. Zbadaj dla jakich A ciąg ( Xn ) zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie określonym gęstością spełnia założenia twierdzenia Lindenberga -Levy'ego?

  3. Zmienne losowe X1...X100 są niezależne i mają rozkład Poissona o λ = 2 Oblicz a) P( 190 <Y100< 210)

Y100 = X1 + ... +X100 , b)

  1. Z partii towaru o wadliwości 0,36 pobrano losowo ze zwracaniem 100 sztuk. Oblicz prawdopodo­bieństwo,że

a) wybrano 30 sztuk wadliwych

b) liczba sztuk wadliwych między 30 a 40

  1. Prawdopodobieństwo, że komputer przestanie działać w czasie T jest równe 0,2. Oblicz prawdopodo­bieństwo, że spośród 100 komputerów w czasie T przestanie działać

a) 20 komputerów

b) nie mniej niż 20 komputerów

c) od 14 do 20 komputerów

d) nie więcej niż 28 komputerów

  1. Na hali pracuje 100 obrabiarek niezależnie od siebie. Każda z nich jest włączona podczas 0,8 czasu pracy na hali. Oblicz prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranej chwili będzie włączonych od 70 do 86 obrabiarek.

  2. Znajdź taką liczbę k, by prawdopodobieństwo, że liczba orłów przy 100 rzutach monetą była zawarta między 440 a k, wynosiło około 0,5

  3. Dla zmierzenia pewnej wielkości m dokonano 100 pomiarów jednakowo dokładnych, niezależnych, bez błędów systematycznych. Odchylenie standardowe każdego pomiaru wynosi 0,5 m. Oblicz praw­dopodobieństwo, że średnia arytmetyczna tych pomiarów różni się od wielkości mierzonej m o mniej niż 0,05 m.

  4. Wiadomo, że odchylenie standardowe każdego pomiaru jest równe 0,5 Ile trzeba wykonać pomiarów,

jednakowo dokładnych, niezależnych, bez błędów systematycznych, aby z prawdopodobieństwem 0,95 można było twierdzić, że średnia arytmetyczna tych pomiarów różni się od wielkości mierzonej o mniej niż 0,1?

  1. Wadliwość partii towaru wynosi 0,2. Z partii tej wybrano losowo ze zwracaniem próbę liczącą 400 sztuk. Oblicz prawdopodobieństwo, że wadliwość w tej próbie odchylać się będzie od wadliwości par­tii towaru o mniej niż 0,05

  2. Prawdopodobieństwo, że obiekt zostanie wykryty w ciągu jednego obrotu anteny radarowej jest równe p. Ile obrotów należy wykonać, aby przy pomocy częstości wykrycia, z prawdopodobieństwem 0,95, oszacować p z dokładnością 0,05?

  3. Oblicz prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 225 pomiarów będzie odchylać się od wielkości mierzonej o mniej niż 0,05, jeśli wiadomo, że pomiary są jednakowo dokładne, niezależne, bez błędów systematycznych i odchylenie każdego pomiaru jest równe 0,3]

  4. Losowy błąd pomiaru pewnej wielkości o wartości przeciętnej 0 i odchyleniu standardowym 0,08. Ob­licz prawdopodobieństwo, że błąd średniej 100 pomiarów nie przekroczy co do wartości bezwzględnej 0,1

  5. Prawdopodobieństwo, że w czasie T przestanie świecić jedna żarówka jest równe 0,1. Oblicz prawdo­podobieństwo, że w ciągu czasu T spośród 100 przestanie świecić od 7 do 19 żarówek.

Żarówki psują się niezależnie od siebie.

  1. W centrali telefonicznej znajduje się n linii działających niezależnie. Prawdopodobieństwo, że dowol­na ustalona linia jest zajęta, jest równe 0,1. Jakie powinno być n, aby prawdopodobieństwo tego, że co najmniej 7 linii jest zajętych było równe 0,95

  2. Prawdopodobieństwo, że żarówka przepali się w ciągu pewnego czasu T wynosi 0,1. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu tego czasu spośród 200 żarówek przepalą się

a) 24 żarówki

b) co najmniej 24 żarówki

  1. Pewien towar ma wadliwość 10%. Zakupiono partię tego towaru liczącą 900 sztuk. Oblicz prawdo-podobieństwo, że liczba znalezionych w tej partii sztuk wadliwych będzie zawarta między 81 a 108

  2. Stacja telefoniczna A obsługująca 2000 abonentów łączy ich z sąsiednią stacją B. Każdy z abonentów może w danej chwili zgłosić rozmowę z prawdopodobieństwem 1/30. Ile linii należy zainstalować między stacjami A i B aby tylko jedno ze 100 zgłoszeń nie znalazło natychmiast wolnej linii telefonicznej. Zakładamy, ze do przeprowadzenia każdej rozmowy potrzebna jest osobna linia.

  3. Wykonujemy 500 doświadczeń zgodnie ze schematem Bernoulliego. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu równa się 0,1 Oblicz prawdopodobieństwo, że częstość sukcesu odchyli się od 0,1 o mniej niż 0,025

  4. Partia towaru ma wadliwość 5%. Ilu elementową próbę (ze zwracaniem) należy pobrać, aby z prawdopodobieństwem 0,99 można było stwierdzić, liczba sztuk wadliwych w próbie jest zawarta w granicach 4% do 6%

  5. Ile doświadczeń należy wykonać, aby twierdzić z prawdopodobieństwem 0,9 , że częstość interesującego nas zdarzenia będzie odchylać się od prawdopodobieństwa tego zdarzenia o niej niż 0,1. Prawdopodobieństwo pojawienia się tego zdarzenia jest równe 0,4.

  6. Dokonano 400 pomiarów pewnej wielkości fizycznej. Oblicz prawdopodobieństwo, średnia arytmetyczne tych pomiarów będzie odchylać sie od wartości mierzonej o mniej niż 0,01. Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru wynosi 1cm

  7. Zmienne losowe X1...X200 są niezależne i mają rozkład Poissona o średniej 2 Niech Y200 = X1+....X200. Oblicz P(Y200 >410) ,

  8. Zmienne losowe X1...X100 są niezależne o jednakowym rozkładzie określonym funkcją P( Xn=k) = 0,1 dla k = 0, 1, ...... 9 i n = 1, 2, ....100 Oblicz a) P(Y100 < 41) , b) c)

  9. Ile pomiarów geodezyjnych między dwoma wierzchołkami górskimi należy wykonać, by z prawdopodobieństwem 0,95 średnia arytmetyczna tych pomiarów odchylała się od rzeczywistej odległości między wierzchołkami o mniej niż 0,1 m?Wiadomo, że pomiary są jednakowo dokładne o odchyleniu standardowym 1m

  10. W pewnym punkcie morza dokonano 81 pomiarów jego głębokości. Odchylenie standardowe poszczególnego pomiaru wynosi 20 m. Oblicz maksymalną wartość błędu, który można popełnć z prawdopodobieństwem 0,05, przyjmując jako głębokość morza średnią arytmetyczną otrzymanych pomiarów.

Przedziały ufności

  1. Zanotowano czasy obsługi ( w minutach ) szesnastu klientów w pewnym banku. Obliczono dla nich średni próbkowy czas obsługi. = 7,5 ( min.. ) oraz próbkowe odchylenie standardowe s = 1,5 ( min. ). Można założyć, że czasy obsługi klientów są niezależnymi zmiennymi losowymi mającymi rozkłady normalne o nieznanej wartości średniej ( oczekiwanej ) oraz o nieznanym odchyleniu standardowym. Wyznacz 90 % przedział ufności dla wartości średniej czasu obsługi klienta w tym banku.

  2. Wśród 144 losowo wybranych stacji paliw znalazło się 36 stacji, na których sprzedawane paliwo nie spełniało norm jakości. Wyznacz przybliżony 95 % przedział ufności dla proporcji stacji paliw sprzedających paliwo nie spełniające norm jakości. .

  1. Właściciel kantoru wymiany walut na lotnisku chce wyestymować średnią dzienną wielkość gotówki potrzebną do zakupu dolarów. Z doświadczenia właściciel wie, że wielkość popytu na dolary ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 4. Obserwując popyt przez 10 dni właściciel otrzymał średnią równą 24,4.Podaj realizację przedziału ufności dla wartości oczekiwanej popytu na poziomie ufności 0,9.

  2. Firma zajmująca się badaniem rynku chce przybliżyć przeciętną kwotę wydawaną przez osoby odwiedzające popularny kurort. Firma chce określić tę kwotę za pomocą przedziału o szerokości nie przekraczającej 200 na poziomie ufności 95%. Z przeszłości wiadomo, że odchylenie standardowe wynosi 400. Jaka jest minimalna wielkość próby losowej potrzebna do uzyskania takiego oszacowania przy założeniu, że kwota wydawana podlega rozkładowi normalnemu?

Od jakich czynników i jak zależy długość przedziału ufności dla wartości oczekiwanej µ cechy o rozkładzie normalnym. Czy prowadzący doświadczenia może mieć wpływ na długość przedziału ufności?

  1. Firma telekomunikacyjna chce oszacować średnią długość rozmów za­miejscowych w soboty i niedziele na podstawie 20 elementowej próby losowej dla której średnia wynosi 14,5 i odchylenie standardowe 5,6. Zakładając, że czas rozmowy ma rozkład normalny wyznacz przedział ufności dla wartości oczekiwanej czasu rozmowy na poziomie ufności 95%. Jak zmieni się długość przedziału ufności gdy poziom ufności wzrośnie?

  2. Analityk chce oszacować procent rynku mikrokomputerów opanowany przez PC. Próba losowa złożona z 590 spółek używających mikrokomputery dała rezultat, że 500 spółek miało komputery PC. Podaj 99% przedział ufności dla procentu rynku opanowanego przez PC.

  3. Niech X1, ... X20 będą zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(m,σ), oba parametry są nieznane. Niech przedział (2,06; 3,94) będzie przedziałem ufności dla parametru m wyznaczonym na poziomie ufności 0,9. Wyznacz końce przedziału ufności na poziomie ufności 0,95.

  4. Na 800 zbadanych wypadków samochodowych okazało się, że 320 zostało spowodowanych nadmierną prędkością. Podaj przybliżony przedział ufności dla p – proporcji wypadków spowodowanych nadmierną prędkością. Przyjmij poziom ufności równy 0,95. Jak liczna powinna być próbka losowa aby otrzymać przedział o szerokości nie przekraczającej 0,04.

  5. W wyniku analizy miesięcznych wydatków na żywność w przeliczeniu na jedną osobę w losowo wybranych gospodarstwach domowych pracowników i rolników ustalono:

gospodarstwa pracowników: 1 = 300, s1 = 105, n1 = 300:

gospodarstwa rolników: 2 = 200, s2 = 110, n2 = 200.

Przyjmując współczynnik ufności 0,96 oszacować przedziałowo różnicę w przeciętnych wydatkach na żywność ogółu gospodarstw pracowniczych i rolniczych.

  1. Spośród 225 losowo wybranych absolwentów studiów informatycznych 45 –ciu zamierza szukać pracy w krajach Unii Europejskiej. Wyznacz przybliżony 95 % przedział ufności dla proporcji absolwentów informatyki, którzy zamierzają pracować w krajach Unii Europejskiej.

Weryfikacja hipotez

  1. Dyrektor banku twierdzi, że wartość średnia czasu obsługi klienta przy okienku kasowym wynosi 5 minut. Czasy obsługi różnych klientów są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych z nieznaną wartością średnią oraz nieznanym odchyleniu standardowym . Na podstawie czasów obsługi 9 klientów obliczono średni czas obsługi = 6,5 minuty oraz odchylenie standardowe ( próbkowe ) s = 1,5 minuty. Czy na poziomie istotności 0,01 można zaprzeczyć twierdzeniu dyrektora ? Uzupełnij rozwiązanie:

1. , .........

2. , ................

3. Statystyka testowa T = ......................................... ma rozkład ......................

4. Tobl = t = ....................

5. Kwantyl = ..............

6. Zbiór krytyczny C = { t: t ... . }

Odpowiedź na pytanie i jej uzasadnienie:

  1. U pięciu pacjentów zanotowano poziom pewnego enzymu przed i po podaniu leku:

Pacjent: 1 2 3 4 5

Przed podaniem leku: 5,5 7,0 7,0 4,5 5,5

Po podaniu leku: 4,5 7,5 6,5 4,0 5,0

Można przyjąć, że różnica poziomów enzymów jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o znanym standardowym odchyleniu σ = 0, 4 (min. ). Czy można twierdzić, że wartość średnia poziomu enzymu po podaniu leku zmieniła się ? Przyjąć poziom istotności 0,05. Dokończ rozwiązanie.

  1. Model: Di = Xi - Yi , i = 1, 2, ... , 5, są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N(µ, 0,4), gdzie µ = µ1 - µ2, µ1 = E(Xi), µ2 = E(Yi), i = 1,2, ...., 5.

2. H0: µ = 0, H1: µ .......

3. Statystyka testowa: Z = ...... ma rozkład ..

  1. Norma techniczna przewiduje średnio 55 sek na wykonanie pewnej operacji technicznej przez robotników. Ponieważ robotnicy skarżyli się, że norma ta jest zła, dokonano pomiarów chronometrażowych dla 60 wylosowanych robotników i otrzymano z tej próby średnią 72 sek oraz odchylenie standardowe 20 sek. Czy można na poziomie istotności 0,01 odrzucić hipotezę, że rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji technicznej jest zgodny z normą?

  2. Automat produkuje określonych wymiarów blaszki o nominalnej grubości 0,04 mm. Wylosowana próba 25 blaszek dała średnią grubość 0,037 mm. Wiadomo, że odchylenie standardowe wytwarzanych blaszek wynosi 0,005 mm. Czy można twierdzić, że produkowane blaszki są cieńsze niż 0,04 mm? Przyjąć poziom istotności 0,02.

  3. W zbadanej losowo próbie 12 rodzin zamieszkałych w Warszawie średnie wydatki na mieszkanie w ciągu miesiąca wynosiły 200 PLN z odchyleniem standardowym równym 80 PLN. W podobnej 10-elementowej próbie rodzin zamieszkałych w Łodzi średnie wydatki wynosiły 180 PLN, a odchylenie standardowe — 60 PLN. Czy otrzymane wyniki potwierdzają przypuszczenie, że średnie wydatki na mieszkanie w Warszawie są wyższe niż w Łodzi? Przyjąć poziom istotności równy 0,05.

  4. Sondaż opinii publicznej na temat frekwencji oczekiwanej w wyborach samorządowych wykazał, że w losowo wybranej grupie 2500 osób 1600 zamierza uczestniczyć w głosowaniu. Czy na poziomie istotności równym 0,05 można przyjąć, że 60% ogółu osób zamierza wziąć udział w wyborach do samorządu?

  5. Automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ, 5). Kontrola techniczna pobrała próbę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymała ich średnią wagę 244 g. Czy można twierdzić, że automat rozregulował się i produkuje tabliczki o zaniżonej wadze? Zweryfikować stosowną hipotezę?

  1. Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N (m,5 ),. Kontrola techniczna pobrała w pewnym dniu próbę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymała ich średnią wagę 244g Czy można twierdzić, że automat się rozregulował i produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż przewiduje norma?. ( α = 0,05)

  2. Miesięczne dodatkowe dochody studentów w pewnej uczelni w roku akademickim 03/04 w zbadanej grupie studentów było następujące

Dochody 150 - 250 250 - 350 350 - 450 450 - 550 550 -650 650 - 750 750 - 850 850 - 950 950 - 1050
Liczba studentów 7 10 21 30 19 15 10 6 2

Na poziomie istotności α = 0,1 zweryfikuj hipotezę, że średni dochód studentów wynosił 500 zł. Czy potrzebne jest założenie, że badana zmienna ma rozkład normalny?

  1. Na pudełkach zapałek napisane jest: średnio 64 zapałki Aby zweryfikować hipotezę H(m = 64) przeliczono zapałki w 100 przypadkowo wybranych pudełkach i okazało się ,że a) = 65, b) =66, a wariancja 25 Czy otrzymane dane przeczą hipotezie H(m = 64 ), α = 0,1

  2. Dla sprawdzenia, czy długowieczność jest regulowana przez pewien hormon, zbadano dwie grupy szczurów, podając pierwszej pożywienie z domieszką hormonu, a drugą żywiąc normalnie. Otrzymano następujące wyniki Grupa eksperymentalna 112, 94, 105, 87, 65, 79, 83, 75, 88, 66, 59, Grupa kontrolna 98, 110, 105, 83, 76, 92, 85, 88, 76, 92, 74. Zakładając, że długość życia szczurów dla obu grup mają rozkład normalny z tą samą wariancją, sprawdź odpowiednie hipotezy na poziomie istotności α = 0,05

  3. W pewnym doświadczeniu bada się czas życia komórek w określonym środowisku. Rozkład tego czasu można przyjąć za normalny. Wykonano 8 pomiarów i otrzymano następujące czasy życia tych komórek 4.7, 5.3, 4.0, 3.8, 6.2, 5.5, 4.3, 6.0. Na poziomie istotności α = 0,05 sprawdź hipotezę że średni czas życia tych komórek wynosi 4 godziny

  4. W pewnym doświadczeniu bada się czas snu pacjentów chorych na pewną chorobę. Zmierzono u 16 wylosowanych osób pacjentów czas snu i otrzymano następujące wyniki w minutach. 435, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Czas snu ma rozkład normalny N( m, 70). Sprawdź, czy średni czas snu pacjentów wynosi 7 godzin. ( α = 0,05)

  5. Dwóm grupom robotników zlecono wykonanie tej samej pracy, przy czym tylko pierwsza grupa przeszła odpowiednie przeszkolenie Wydajność pracy wyniosła w pierwszej grupie 18,6, 17,9, 18,1, 17,0, 18,7, 18,3, a w drugiej 17,3, 17,6, 17,1, 16,0, 17,8 Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że czas pracy nie zależy od przeszkolenia Zakładając, że wydajność pracy dla obu grup mają rozkład normalny z tą samą wariancją ,

  6. Pojemność życiowa płuc studentów uprawiających sport ma rozkład N( m1, 440), a nie uprawiających sport N( m2, 620) Wylosowano próby – dla studentów uprawiających sport n = 20, = 4080, a dla nie uprawiających sport n = 15, = 3610 Zweryfikuj hipotezę, ze uprawianie sportu zwiększa pojemność płuc α = 0,01

  7. W losowo wybranej grupie studentów zmierzono czas rozwiązywania pewnego problemu matematycznego. Otrzymano następujące

    ( w minutach) 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20, 18, 15. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę H (m = 16 )Wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu ( Czy konieczne jest ostatnie założenie? )

  8. W pewnym teście psychologicznym przeprowadzonym na wylosowano niezależnie dzieciach otrzymano następujące wyniki zapamiętanych przez dzieci elementów 32, 30, 34, 25, 38, 20, 33, 32, 40, 35, 29. Zweryfikuj hipotezę H0( σ2 = 25) przeciw H1(σ2 > 25). α = 0,02 Wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu.

  9. Badając odruchy warunkowe u psa, otrzymano następujące ilości śliny wydzielającej się przy pierwszym bodźcu 0,76, 0,54, 0,65, 0,40, 0,27, 0,65, 0,16. A przy drugim bodźcu ),32, 0,40, 0,20, 0,09, 0,38, 0,50, 0,15, 0,28. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że przy drugim bodźcu ilość wydzielanej śliny jest mniejsza. Zakładamy, że wyniki prób podlegają rozkładom normalnym z tą samą wariancją ,

  10. Badano, czy średnie masy kotów i kotek są jednakowe. Otrzymano wyniki Koty 12,7, 15,6, 9,1, 12,8, 8,3, 11,2, 9,4, 8,0, 14,9, 10,7, 13,6, 9,6, 11,7, 9,3, 7,6 Kotki 7,4, 7,7, 9,0, 7,6, 9,5, 10,1, 10,2, 10,1, 9,5, 8,7, 7,2, Sprawdź hipotezę o równości średnich Zakładamy, że wyniki prób podlegają rozkładom normalnym z tą samą wariancją ,

  11. . Zmierzono długość 11 przypadkowo dobranych detali wytwarzanych przez automat i uzyskano następujące wyniki 5,2, 5,4, 5,6, 5,5 4,9, 5,0, 5,3, 5,1, 5,0, 4,6, 5,6, Zakładając, że wymiary mają rozkład normalny zweryfikuj hipotezę H (σ = 0,2 ) α = 0,05

  12. Dzienne zużycie wody w szpitalu wojewódzkim podlega losowym wahaniom. Na podstawie obserwacji dla n = 365 dni roku stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi 50 m3, a odchylenie standardowe 5 m3. Zweryfikuj hipotezę, H( m = 48 m3) α = 0,02

  13. W szpitalu wylosowano niezależnie spośród pacjentów leczonych na pewną chorobę 26 osób i otrzymano dla nich średnie ciśnienie tętnicze krwi 135 oraz odchylenie standardowe 45. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że pacjenci ci pochodzą z populacji o średnim ciśnieniu tętniczym 120. Czy potrzebne jest założenie, że badana zmienna ma rozkład normalny?

  14. Wykonano 8 niezależnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego w pewnym punkcie i otrzymano 976,9, 978,2, 970,5, 979,2, 980,4, 980,2, 978,8, Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że wartość przyspieszenia ziemskiego w tym punkcie wynosi 980 cm/s2 Wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu.

  15. Dla badania rozkładu cechy X wylosowano 100 elementów z populacji generalnej i otrzymano wyniki

Przedziały 11 - 13 13 – 15 15 - 17 17 - 19 19 - 21 21 - 23
Częstości 6 14 50 15 10 5

Zakładając, że rozkład populacji jest normalny zweryfikuj hipotezy A) H0( m = 17 ) przeciw H1( m < 17 ) α = 0,02

B) H0 ( σ2 = 5 ) przeciw H1 ( σ2 > 5 ) α = 0,05

  1. Dokonano 15 pomiarów prędkości propagacji pewnej substancji w cieszy. Otrzymano odchylenie standardowe 4,5 Na poziomie istot ości ? = 0,05 sprawdź hipotezę H ( σ = 4 ) przeciw H1( σ > 4 ), wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu

  1. Dla porównania wartości przeciętnych pewnej cechy w dwóch populacjach o rozkładach N( m1, 20) i N( m2, 20) pobrano próby i wyznaczono I populacja =310, n = 6, II populacja =318, n = 10 Na poziomie istot ości α = 0,05 sprawdź hipotezę H0( m1 = m2 )

  2. Wykonano pomiary mające na celu zbadanie głębokości oceanu. Przyjmując, że wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu zweryfikuj hipotezę H (m = 8 km) na podstawie następujących pomiarów 8.02, 8.01, 7.99, 8.03, 8.00

  3. Z populacji, w której badana cecha ma rozkład N( m, 4) wylosowano 121 elementowa próbę i otrzymano = 1,4. Zweryfikuj hipotezę H( m = 2 ) wobec a) H1 ( m < 2 ) α = 0,05, b) α = 0,02

  4. W mieszance nasiennej udział żyta powinien wynosić 60%. Na podstawie 120 prób stwierdzono, że udział ten jest rzędu 48% Na poziomie istotności α =0,01 zweryfikuj hipotezę, że udział ten jest równy 60%

  5. Porównując firmy komputerowe w dwóch różnych miastach wysunięto przypuszczenie, że odsetek firm korzystających z reklamy jest taki sam. Wmieście A wylosowano 40 firm, z których 6 stosuje reklamę, w mieście B wylosowano 50 firm, z których 8 stosuje reklamę., Na poziomie istotności α =0,05 zweryfikuj odpowiednią hipotezę.

  6. Na 1000 samochodów 17 zatrzymuje się na pewnej stacji benzynowej. Czy możemy mówić, że jest to 2%?

  7. W firmie 20% zatrudnionych powinni stanowić ludzie z wyższym wykształcenie. Na 764 zatrudnionych jest ich 141. Czy to wystarcza?

  8. 15% mieszkańców 100 000 miasta X czyta gazetę A, a w 50 000 mieście Y 6 500. Czy gazeta jest tak samo popularna w obu miastach?

  1. Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że roz­kład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N (m, 5). Kontrola techniczna pobrała w pewnym dniu próbę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymała ich średnią wagę 244g Czy można twierdzić, że automat się rozregulował i produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż przewiduje norma?.

  2. Na pudełkach zapałek napisane jest: średnio 64 zapałki. Aby zweryfikować hipotezę H(m = 64 ) przeliczono zapałki w 100 przypadkowo wybranych pudełkach i okazało się ,że = 65, a wariancja 25 Czy otrzymane dane przeczą napisowi?

  3. Pojemność życiowa płuc studentów uprawiających sport ma rozkład N( m1, 440), a nie uprawiających sport N( m2, 620) Wylosowano próby – dla studentów uprawiających sport n = 20,średnia = 4080, a dla nie uprawiających sport n = 15 średnia= 3610 Zweryfikuj hipotezę, ze uprawianie sportu zwiększa pojemność płuc

  4. Dzienne zużycie wody w szpitalu wojewódzkim podlega losowym wahaniom. Na podstawie obserwacji dla n = 365 dni roku stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi 50 m3, a odchylenie standardowe 5 m3. Zweryfikuj hipotezę, H( m = 48 m3) α = 0,02

  5. W szpitalu wylosowano niezależnie spośród pacjentów leczonych na pewną chorobę 26 osób i otrzy­mano dla nich średnie ciśnienie tętnicze krwi 135 oraz odchylenie standardowe 45. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że pacjenci ci pochodzą z populacji o średnim ciśnieniu tętniczym 120. Czy potrzebne jest założenie, że badana zmienna ma rozkład normalny?

  6. Dokonano 15 pomiarów prędkości propagacji pewnej substancji w cieczy. Otrzymano odchylenie standardowe 4,5 Na poziomie istotności α = 0,05 sprawdź hipotezę H ( σ = 4 ) przeciw H1( σ > 4 ), wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu

  7. Dla porównania wartości przeciętnych pewnej cechy w dwóch populacjach o rozkładach N( m1, 20) i N( m2, 20) pobrano próby i wyznaczono I populacja =310, n = 6, II populacja =318, n = 10 Na po­ziomie istotności α = 0,05 sprawdź hipotezę H0( m1 = m2 )

  8. Z populacji, w której badana cecha ma rozkład N( m, 4) wylosowano 121 elementową próbę i otrzymano = 1,4. Zweryfikuj hipotezę H( m = 2 ) wobec a) H1 ( m < 2 ) α = 0,05, b) α = 0,02

  9. W mieszance nasiennej udział żyta powinien wynosić 60%. Na podstawie 120 prób stwierdzono, że udział ten jest rzędu 48% Na poziomie istotności α =0,01 zweryfikuj hipotezę, że udział ten jest równy 60%

  10. Porównując firmy komputerowe w dwóch różnych miastach wysunięto przypuszczenie, że odsetek firm korzystających z reklamy jest taki sam. Wmieście A wylosowano 40 firm, z których 6 stosuje reklamę, w mieście B wylosowano 50 firm, z których 8 stosuje reklamę., Na poziomie istotności α =0,05 zweryfikuj odpowiednią hipotezę.

  11. Na 1000 samochodów 17 zatrzymuje się na pewnej stacji benzynowej. Czy możemy mówić, że jest to 2%?

  12. W firmie 20% zatrudnionych powinni stanowić ludzie z wyższym wykształcenie. Na 764 zatrudnionych jest ich 141. Czy to wystarcza?

  13. 15% mieszkańców 100 000 miasta X czyta gazetę A, a w 50 000 mieście Y 6 500. Czy gazeta jest tak samo popularna w obu miastach?

  14. Miesięczne dodatkowe dochody studentów w pewnej uczelni w roku akademickim 03/04 w zbadanej grupie studentów było następujące

Dochody 150 - 250 250 - 350 350 - 450 450 - 550 550 -650 650 - 750 750 - 850 850 - 950 950 - 1050
Liczba studentów 7 10 21 30 19 15 10 6 2

Na poziomie istotności α = 0,1 zweryfikuj hipotezę, że średni dochód studentów wynosił 500 zł. Czy potrzebne jest założenie, że badana zmienna ma rozkład normalny?

  1. Dla sprawdzenia, czy długowieczność jest regulowana przez pewien hormon, zbadano dwie grupy szczurów, podając pierwszej pożywienie z domieszką hormonu, a drugą żywiąc normalnie. Otrzymano następujące wyniki Grupa eksperymentalna 112, 94, 105, 87, 65, 79, 83, 75, 88, 66, 59, Grupa kontrolna 98, 110, 105, 83, 76, 92, 85, 88, 76, 92, 74. Zakładając, że długość życia szczurów dla obu grup mają rozkład normalny z tą samą wariancją, sprawdź odpowiednie hipotezy na poziomie istotności α = 0,05

  2. W pewnym doświadczeniu bada się czas życia komórek w określonym środowisku. Rozkład tego czasu można przyjąć za normalny. Wykonano 8 pomiarów i otrzymano następujące czasy życia tych komórek 4.7, 5.3, 4.0, 3.8, 6.2, 5.5, 4.3, 6.0. Na poziomie istotności α = 0,05 sprawdź hipotezę że średni czas życia tych komórek wynosi 4 godziny

  3. W pewnym doświadczeniu bada się czas snu pacjentów chorych na pewną chorobę. Zmierzono u 16 wylosowanych osób pacjentów czas snu i otrzymano następujące wyniki w minutach. 435, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Czas snu ma rozkład normalny N( m, 70). Sprawdź, czy średni czas snu pacjentów wynosi 7 godzin. ( α = 0,05)

  4. Dwóm grupom robotników zlecono wykonanie tej samej pracy, przy czym tylko pierwsza grupa przeszła odpowiednie przeszkolenie Wydajność pracy wyniosła w pierwszej grupie 18,6, 17,9, 18,1, 17,0, 18,7, 18,3, a w drugiej 17,3, 17,6, 17,1, 16,0, 17,8 Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że czas pracy nie zależy od przeszkolenia Zakładając, że wydajność pracy dla obu grup mają rozkład normalny z tą samą wariancją.

  5. W losowo wybranej grupie studentów zmierzono czas rozwiązywania pewnego problemu matematycz­nego. Otrzymano następujące ( w minutach) 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20, 18, 15. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę H (m = 16 )Wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu ( Czy konieczne jest ostatnie założenie? )

  6. W pewnym teście psychologicznym przeprowadzonym na wylosowano niezależnie dzieciach otrzymano następujące wyniki zapamiętanych przez dzieci elementów 32, 30, 34, 25, 38, 20, 33, 32, 40, 35, 29. Zweryfikuj hipotezę H0( σ2 = 25) przeciw H1(σ2 > 25). α = 0,02 Wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu.

  7. Badając odruchy warunkowe u psa, otrzymano następujące ilości śliny wydzielającej się przy pierwszym bodźcu 0,76, 0,54, 0,65, 0,40, 0,27, 0,65, 0,16. A przy drugim bodźcu ) 0,32, 0,40, 0,20, 0,09, 0,38, 0,50, 0,15, 0,28. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że przy drugim bodźcu ilość wydzielanej śliny jest mniejsza. Zakładamy, że wyniki prób podlegają rozkładom normalnym z tą samą wariancją.

  8. Badano, czy średnie masy kotów i kotek są jednakowe. Otrzymano wyniki Koty 12,7, 15,6, 9,1, 12,8, 8,3, 11,2, 9,4, 8,0, 14,9, 10,7, 13,6, 9,6, 11,7, 9,3, 7,6 Kotki 7,4, 7,7, 9,0, 7,6, 9,5, 10,1, 10,2, 10,1, 9,5, 8,7, 7,2, Sprawdź hipotezę o równości średnich Zakładamy, że wyniki prób podlegają rozkładom normal­nym z tą samą wariancją.

  9. Zmierzono długość 11 przypadkowo dobranych detali wytwarzanych przez automat i uzyskano następujące wyniki 5,2, 5,4, 5,6, 5,5 4,9, 5,0, 5,3, 5,1, 5,0, 4,6, 5,6, Zakładając, że wymiary mają rozkład normalny zweryfikuj hipotezę H (σ = 0,2) α = 0,05

  10. Wykonano 8 niezależnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego w pewnym punkcie i otrzymano 976,9, 978,2, 970,5, 979,2, 980,4, 980,2, 978,8, Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj hipotezę, że wartość przyspieszenia ziemskiego w tym punkcie wynosi 980 cm/s2 Wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu.

  11. Dla badania rozkładu cechy X wylosowano 100 elementów z populacji generalnej i otrzymano wyniki

Przedziały 11 - 13 13 – 15 15 - 17 17 - 19 19 - 21 21 - 23
Częstości 6 14 50 15 10 5

Zakładając, że rozkład populacji jest normalny zweryfikuj hipotezy

A) H0( m = 17 ) przeciw H1( m < 17 ) α = 0,02

B) H0 ( σ2 = 5 ) przeciw H1 ( σ2 > 5 ) α = 0,05

  1. Wykonano pomiary mające na celu zbadanie głębokości oceanu. Przyjmując, że wyniki pomiarów pod­legają rozkładowi normalnemu zweryfikuj hipotezę H (m = 8 km) na podstawie następujących pomiarów 8.02, 8.01, 7.99, 8.03, 8.00

Zmienna wielowymiarowa

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego absolwenta informatyki pewnej uczelni. Wartość zmiennej losowej X oznacza ocenę na dyplomie, natomiast wartość Y = 0 oznacza, że absolwent zaliczył I rok studiów bez warunku, a Y = 1 oznacza, że absolwent zaliczył I rok warunkowo. Funkcja prawdopodobieństwa łącznego f(x,y), x{ 3, 4, 5 }, y { 0, 1 }, zmiennej losowej (X,Y) dana jest tabelą:

x

y

 3 4 5
0 0,1 0,3 0,4
1 0,1 0,05 0,05

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany absolwent ma ocenę na dyplomie mniejszą niż 5, jeśli wiadomo, że I rok zaliczył bez warunku.

  1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego studenta I roku informatyki, gdzie X oznacza liczbę zdanych egzaminów w I semestrze, a Y liczbę egzaminów zdanych w II semestrze. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela

x/y 0 1 2
0 0,0 0,05 0,1
1 0,05 0,1 0,2
2 0,1 0,2 0,2

  1. Oblicz wartość oczekiwaną liczby egzaminów zdanych w II semestrze.

  2. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe , że losowo wybrany student zda co najmniej 1 egzamin w II semestrze, jeśli wiadomo, że w I semestrze nie zdał żadnego egzaminu.

    1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego w pewnym miesiącu klienta banku. Zmienna losowa X oznacza liczbę rodzajów funduszy inwestycyjnych, które posiada klient, natomiast zmienna losowa Y przyjmuje wartość y = 1, jeśli klient posiada jakąkolwiek lokatę, a y = 0, gdy klient nie posiada lokaty. Funkcję Prawdopodobieństwa łącznego zmiennej (X,Y) określa tabela

x/y 0 1 2 3
0 0,02 0,07 0,06 0,01
1 0,01 0,4 0,3 0,03

  1. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany klient nie posiada żadnego funduszu inwestycyjnego, jeśli wiadomo, że ma lokatę.

  2. Oblicz wariancję Var(Y).

    1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego kierowcę samochodu osobowego z co najmniej trzyletnim stażem. Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji w ciągu ostatnich trzech lat, a Y przyjmuje wartość y = 1, jeśli jest to kierowca zawodowy, a y = 0 gdy jest on amatorem. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego zmiennej (X,Y) określa tabela

x/y 0 1 ≥ 2
0 0,1 0,07 0,01
1 0,02 0,4 0,4

  1. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany kierowca miał co najmniej jedną kolizję, jeśli wiadomo, że jest on kierowcą zawodowym.

  2. Oblicz wariancję zmiennej Y.

Zadanie 11. . Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego absolwenta informatyki pewnej uczelni. Wartość zmiennej losowej X oznacza ocenę na dyplomie, natomiast wartość Y = 0 oznacza, że absolwent zaliczył I rok studiów bez warunku, a Y = 1 oznacza, że absolwent zaliczył I rok warunkowo. Funkcja prawdopodobieństwa łącznego f(x,y), x{ 3, 4, 5 }, y { 0, 1 }, zmiennej losowej (X,Y) dana jest tabelą:

x

y

 3 4 5
0 0,1 0,3 0,4
1 0,1 0,05 0,05

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany absolwent ma ocenę na dyplomie mniejszą niż 5, jeśli wiadomo, że I rok zaliczył bez warunku., oblicz wartość średnią E(X) oceny na dyplomie losowo wybranego absolwenta.

Zadania różne

  1. Firma Herr O. Stratt ubezpiecza domy od pożarów w miejscowościach Ź. i Ś. Wartość oczekiwana w rozkładach rocznej liczby pożarów w każdym z miast wynosi odpowiednio, 1,5 i 2, a ponadto wartość wariancji w tych rozkładach wynosi odpowiednio 1,5 i 2 . Stała wartość kwoty odszkodowania za 1 pożar w Ź. wynosi 80 tys. zł, w Ś. 50 tys.

a/ W której z miejscowości wartość oczekiwana rocznej wypłaty jest wyższa?

b/ Gdzie zróżnicowanie rocznej wypłaty jest wyższe?

Odp.: Ż; Ś

  1. Gracz piłkarski H. Pochodnia za popełniony w meczu błąd płaci karę 5 tys. zł. Gracz R. Lewin płaci zaś karę 3 tys. zł. Rozkład liczby błędów popełnianych w jednym meczu przez każdego z graczy można opisać za pomocą jednego typu rozkładu z wartością oczekiwana 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin) i wariancją równo odpowiednio 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin).

a/ W przypadku którego z graczy wartość oczekiwana kary za błędy w meczu jest wyższa?

b/ W przypadku którego z graczy zróżnicowanie kary za błędy w meczu jest niższe?

Odp.: P, L

  1. Między niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y, Z zachodzi wiązek Z = 2X – 3Y. Zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 4 i wariancję 3. Zmienna losowa Y ma wartość oczekiwaną 5 i wariancję 1. Ile wynosi wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Z?

  2. W hali produkcyjnej pracują 4 obrabiarki. Prawdopodobieństwo zepsucia się każdej z nich jest równe 1/5. Awarie maszyn są od siebie niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo awarii:

  1. jednej maszyny,

  2. wszystkich 4 maszyn

  3. co najwyżej 3 maszyn

  1. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy i znane jest prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu w 4 próbach: P(X ≥ 1) = 80/81. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w jednej próbie?

  2. Jeden procent samochodów ma niesprawne tylne światła. Ile samochodów należy zbadać, aby prawdopodobieństwo znalezienia przynajmniej jednego z niesprawnymi tylnymi światłami wynosiło przynajmniej ½?

  3. Średnia liczba cząstek przechodzących radioaktywnych przechodzących przez licznik w ciągu 1 milisekundy wynosi 4.

  1. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że 6 cząsteczek przejdzie przez licznik w ciągu 1 milisekundy?

  2. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że 12 cząstek przejdzie przez licznik w ciągu 2 milisekund?

  1. Towarzystwo ubezpieczeniowe ubezpieczyło od nieszczęśliwych wypadków 50 tys osób. Prawdopodobieństwo, że ubezpieczony w ciągu roku ulegnie wypadkowi powodującemu wypłacenie odszkodowania wynosi 0,00001. Zakładając, że ubezpieczeni ulegają wypadkowi niezależnie od siebie obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu roku towarzystwo wypłaci:

  1. 4 odszkodowania,

  2. co najwyżej 5 odszkodowań.

  1. Zmienne losowe X i Y o wariancjach S2(X) = 3, S2(Y) = 2 są niezależne. Obliczyć wariancję zmiennej losowej Z = 2X – Y + 5.

  2. Waga pomarańczy [w gramach] pewnej odmiany ma rozkład N(200,3) Pomarańcze pakowane są w pudełka po 20 sztuk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia waga pomarańczy w pudełku przekroczy 202 g. Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga pudełka z pomarańczami przekroczy 4 kg.

  3. Pewna konstrukcja składa się ze 100 jednakowych elementów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że całkowity ciężar tej konstrukcji nie przekroczy 3,35 kN, jeśli rozkład ciężaru elementów, z których jest złożona ma wartość średnią 33N i odchylenie standardowe 1N.

  4. Aparat wykonuje w takich samych warunkach serie zdjęć fotograficznych pewnego zjawiska fizycznego. Prawdopodobieństwo tego, że na zdjęciu zostanie uchwycony interesujący szczegół wynosi 0,1.Ile zdjęć należy wykonać, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,9, na co najmniej 10 zdjęciach został uchwycony ten szczegół?

13. Ustalono, że średni roczny błąd prognozy dochodów pewnej firmy ma rozkład normalny, ze średnią 31,3% oraz odchyleniem standardowym 10%. Załóżmy, że otrzymaliśmy roczną prognozę dochodów firmy.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd prognozy będzie większy niż 50%

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd prognozy będzie zawarty między 20% i 25%.

Zestaw przygotowawczy

  1. $\left\{ \begin{matrix} 0\ \ \text{dla}\text{\ \ \ }x \leq - 2 \\ \ \ 0,3\ \ \ \ \text{dla}\ - 2 < x \leq 0\ \\ 0,6\ \ \ \ \text{dla}\ \ 0 < x \leq 2 \\ 0,7\ \ \ \ \text{dla}\ \ 2 < x \leq 5 \\ 0,9\ \ \ \ \text{dla}\ \ \ 5 < x \leq 7 \\ 1\ \ \ \ \text{dla}\text{\ \ \ \ }x > 7 \\ \end{matrix} \right.\ $

znajdź wariancję i P(X >0), P(X < 6)

  1. Zmienna losowa X ma dystrybuantę określoną wzorem

F(x) = gdy

  1. Jaką wartość może przyjąć stała a ?

  2. Oblicz P(X=1,5), P(X=3).

  3. Oblicz wariancję

  1. Firma zakupiła 4 nowe monitory tej samej marki. Prawdopodobieństwo, że monitor tej marki ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0,05. Oblicz prawdopodobieństwo, że

a) 2 monitory ulegną awarii w okresie gwarancji,

b) nie wszystkie monitory ulegną awarii w okresie gwarancji

c) co najmniej 1 monitor ulegnie awarii w okresie gwarancji

d) Jaka jest wartość średnia i wariancja liczby komputerów, które ulegną awarii w okresie gwarancji?

  1. Prawdopodobieństwo wygranej na loterii wynosi 0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1 000 losów dokładnie 5 będzie wygranych?

Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wygranych? Jaka jest średnia liczba wygranych?

  1. Z badań wagi uczestników masowych maratonów wynika, że jest ona zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości średniej 60 kg i wariancji 9 kg2. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik maratonu waży

  1. mniej niż 55 kg ,

  2. co najmniej 55 kg i co najwyżej 65 kg .

  3. Jaki procent uczestników maratonu ma wagę przekraczającą 66kg

  4. Jaką wagę przekracza 70 % najwięcej ważących uczestników maratonu ?

  1. Czas dojazdu do pracy (w minutach) Pana Kowalskiego w losowo wybranym dniu jest zmienną losową T o rozkładzie jednostajnym na przedziale [30, 60]. Oblicz prawdopodobieństwo, że w pewnym dniu Pan Kowalski będzie w drodze do pracy

  1. co najmniej 40 minut,

  2. co najwyżej 50 minut i co najmniej 40 minut,

  3. co najwyżej 50 minut pod warunkiem, że podróżuje już co najmniej 30 minut.

d)w jakim zakresie czasu znajduje się 80% najdłużej trwających dojazdów do pracy Pana Kowalskiego,

e)w jakim zakresie czasu znajduje się 25% najdłużej trwających dojazdów do pracy Pana Kowalskiego,

f)średni czas dojazdu do pracy Pana Kowalskiego.

  1. W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienną losową T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Oblicz prawdopodobieństwo, że czas trwania rozmowy osoby telefonującej będzie

  1. dłuższy niż 10 minut

  2. dłuższy niż 5 minut i krótszy niż 15 minut.

c)dłuższy niż 10 minut pod warunkiem, że rozmawia już co najmniej 5 minut.

  1. Czas obsługi klienta na poczcie w mieście stołecznym jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 4,5 min. i odchylenie standardowe 0,6 min. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

  1. czas obsługi 100 klientów będzie dłuższy niż 450 min.

  2. że średni czas obsługi 100 klientów będzie krótszy niż 4,30 min.

  1. Wiadomo, że odchylenie standardowe każdego pomiaru jest równe 0,5 Ile trzeba wykonać pomiarów, jednakowo dokładnych, niezależnych, bez błędów systematycznych, aby z prawdopodobieństwem 0,95 można było twierdzić, że średnia arytmetyczna tych pomiarów różni się od wielkości mierzonej o mniej niż 0,1?

  2. P(A’)=1/3, P(A  ∪ B) = 5/6, P(B’)=1/2, P(A∩B)= ?


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
energetyka IIstopień rachunek prawdop zbiór zadań
Zbior zadan z rachunku prawdopodobienstwa e b170
Kordecki W, Jasiulewicz H Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Przykłady i zadania
Matematyka - rachunek prawdopodbieństwa - ściąga, szkoła
09 Rachunek prawdopodobie ästwaid 7992
7 ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
MATEMATYKA Rachunek prawdopodobieństwa, str tytułowa, Marcin Nowicki
ćwiczenia rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, Z Ćwiczenia 01.06.2008
Statystyka dzienne wyklad1, Rachunek prawdopodobie˙stwa
1 zadania z rachunku prawdopodobieństwa, Zad
Zestaw10 rachunek prawdopodobie Nieznany
ćwiczenia rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, Z Ćwiczenia 18.05.2008

więcej podobnych podstron