Stosując kwantyfikatory podać definicję granicy ciągu. Niech a_nbędzie ciągiem liczb rzeczywistych.Liczbę q nazywamy granicą ciągu jeżeli:∀ε > 0∃∀n > N |a_n−q| < ε

Podać definicję szeregu harmonicznego rzędu k $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{e^{k}}$ ; k>1 jest zbieżny, k≤1 rozbieżn

Kiedy funkcję f(x) nazywamy ciągłą w punkcie x₀ ? Funcję nazywamy ciągła w punkcie x₀, jeżeli istnieje jej granica w tym punkcie i f(x) = f(x₀)

Podać definicję pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej. Pochodną funkcji f(x) w pkt x₀ nazywamy granicę $\operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + x \right) - f(x_{0})}{x}$

Sformułować warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego. Funkcja f(x) może mieć ekstremum jedynie w tych pkt, w których pochodna jest równa zeru lub nie istnieje.

Podać twierdzenie d’Alemberta dotyczące zbieżności szeregu liczbowego.

a≠0 i nεN Jeżeli $\operatorname{}{\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1\ }$to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\ $jest zbieżny, jeżeli >1 to rozbieżny.

Wymienić zastosowania geometryczne całki oznaczonej. 1) Obliczanie pól figur płaskich 2) Obliczanie długości łuku krzywej 3) Obliczanie obj bryły obrotowej 4) Obliczanie pola pow. bryły obrotowej

Sformułować ((zagadnienie Cauchye’ego dla liniowego równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu. Polega na wyznaczeniu takiego rozwiązania spełniającego warunek y(x0)=y0, gdzie x0 i y0 są liczbami.

Stosując kwantyfikatory podać definicję granicy ciągu. a_n = q < = > (∀∈0) (∃δ∈N)(∀n>δ)|a_n−q| < ε

Podać definicję szeregu geometrycznego oraz określić warunki jego zbieżności. Niech a,q ∈ R; k∈ℤ , Szereg postaci $\sum_{n = k}^{\infty}\text{aq}^{n}$ nazywamy szeregiem geometrycznym, gdzie przyjmujemy 0⁰ = 1 oraz q≠0 gdy k<0. Liczbę a nazywamy iloczynem szeregu geometrycznego. Własności: 0<|q|<1 to$\sum_{n = k}^{\infty}{aq^{n} = \frac{aq^{n}}{1 - q}}$ ; |q|≥1 to $\sum_{n = k}^{\infty}{aq^{n}}$ jest zbieżny

Podać definicję maksimum lokalnego funkcji zmiennej rzeczywistej. Funkcja przyjmuje w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu funkcja nigdzie nie ma wartości większych.

Podać twierdzenie Cauchy’ego dotyczące zbieżności szeregu liczbowego. Niech $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ będzie szeregiem liczbowym o wyrazach nieujemnych, wówczas szereg jest zbieżny gdy $\mathcal{\forall E >}0\exists N\mathbb{\in R\ \forall}m,l\mathbb{\in N\ \ }m \geq l \geq N\ \ \left| \sum_{N = l}^{m}a_{n} \right|\mathcal{< E}$

Sformułować ((zagadnienie Cauchye’ego dla liniowego równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu polega na wyznaczeniu takiego rozwiązania tego równania, które spełnia warunek y(x0)=y0; y’(x0)=1