WSTĘP
POCZĄTKI I ROZWÓJ NAUKI O BALISTYCE
Balistyka (gr. ballo – rzucam), nauka o ruchu pocisków. Terminu tego użył w 1644 r. Marcin Mersenne w dziele “De balistica et acontismologia”. Początki balistyki znajdują się
w pracach średniowiecznych ludwisarzy usiłujących ustalić związki donośności strzału od kąta podniesienia lufy.
Teoretyczne rozwiązanie zagadnienia lotu pocisku znajduje odbicie w pracach Leonarda da Vinci oraz szczególnie w pracy “Nowa Nauka”(1537) wenecjanina N. Tartaglii. Tartaglia był twórcą terminu artyleria (łac. ars – sztuka i tollere – przenosić, miotać), wynalazcą kwadrantu do mierzenia kątów podniesienia lufy oraz stwierdził doświadczalnie, że największe donośności otrzymuje się przy kącie podniesienia lufy bliskim 45°.
Właściwy jednak rozwój balistyki, oparty na prawdziwie naukowych podstawach, zapoczątkowało prawidłowe rozwiązanie w 1538 r. w próżni przez Galileusza oraz rozwinięcie przez Mersenne´a teorii parabolicznej. Na podstawie teorii parabolicznej obliczano do połowy XVIII wieku tory pocisków. W miarę jednak zwiększania donośności powstała pewna rozbieżność między wynikami obliczeń toru dokonywanymi metodą Galileusza a rzeczywistością. Rozbieżność tą powodowały wpływy pominiętego przez Galileusza oporu powietrza, którego metodę uwzględniania podał J. Newton w 1686 r.
Zasługą Newtona dla rozwoju balistyki było poza tym ustalenie podstawowych praw dynamiki, co łącznie z rozwojem rachunku różniczkowego i całkowego umożliwiło ułożenie równań różniczkowych ruchu pocisku w powietrzu.
Przy rozwiązywaniu tych równań uwaga balistyków skupiła się na sprawie rozwikłania jednej z najbardziej podstawowych zależności, jaką jest tzw. równanie hodografu, czyli zależności ustalającej związek między prędkością pocisku w dowolnym punkcie toru, a kątem nachylenia stycznej do toru. Ponieważ zależność ta bez przyjęcia uproszczeń nie może być ściśle rozwiązana, wynikła potrzeba rozwiązania przybliżonego. Po raz pierwszy rozwiązanie równania hodografu podali : J. Bernoulli (1729), J. d´Alembert (1744) oraz L. Euler (1753), który podał metodę opracowania tabel balistycznych, umożliwiających bezpośrednie określenie zasadniczych czynników najrozmaitszych torów. Opierając się na tej metodzie gen. Otto zestawił w 1840 r. odpowiednie tabele, które stały się podstawą licznych prac obliczeniowych z balistyki. Wynalezienie w 1742 r. przez B. Robinsona wahadła balistycznego umożliwiającego pomiar prędkości pocisków na torze oraz wprowadzenie w 1867 r. czasomierzy elektromagnetycznych systemu Le Boulenge’-Breger, zwiększających precyzję tych pomiarów, pozwoliło na dokładniejsze badania doświadczalne oporu powietrza oraz ustalenie tabel liczbowych funkcji oporu powietrza. W 1742 r. Robins w dziele “Nowe zasady nauki artyleryjskiej” dokonał podziału balistyki na zewnętrzną i wewnętrzną. W tym czasie D. Bernoulli w dziele “Hydrodynamica” podał sposób obliczania ruchu pocisku w lufie. Powstała pierwsza teoria spalania prochu Szyszkowa i Busena (1857), a w 1860 r. został zastosowany przez Nobla przyrząd zgniotkowy do mierzenia maksymalnego ciśnienia gazów prochowych w lufie. Lata 1868-75 przyniosły prace Nobla i Abela nad spalaniem się prochów w bombie manometrycznej, a w 1864 powstało równanie bilansu energetycznego gazów prochowych podane przez Resala oraz rozwiązanie w 1876 r. na tej podstawie zagadnienia ruchu pocisku w lufie przez Sarrau. Powszechne stosowanie od 1833-48 broni gwintowanej i pocisków wydłużonych w artylerii po przeprowadzonych
w tym czasie badaniach G. Cavallego zwróciło uwagę na zagadnienie ruchu obrotowego i sił działających na pocisk. Powstały pierwsze teorie wyjaśniające przyczyny zboczenia tych pocisków (Poissona w 1838, Didiona w 1848, dr. Magnusa w 1852) oraz prace wyjaśniające całkowicie zjawisko zboczenia pocisków (płk. Saint-Roberta, gen. Majewskiego i Magnus de Sparre´a, a następnie Fowlera, Gallopa, Locka i Richmonda w 1922 r.), przedstawiające sposób wyliczenia sił działających na pocisk na podstawie wyników strzelań przez ekrany (prace te uzupełnił w 1938 r. Sutterlin). Pojawiły się również prace : D. Duchene´a (1922), J. Andreau (1922), W. Wietczynkina (1915), Wentzela, Okuniewa i Szapiry (1933) oraz Felsztyna (1938), dotyczące stabilizacji pocisków brzechwowych. Rozwój teoretycznych rozważań nad równaniem hodografu oraz ułożenie tabel funkcji oporu powietrza pozwoliło na opracowanie nowych metod rachunku przez Didiona w 1848 r. oraz
F. Siacciego w 1880 r., który oprócz opracowania metody rachunku zestawił tabele tzw. funkcji pierwotnych i wtórnych ułatwiających rachunki w dziele “Corso di balistica”.
W następnych latach opracowano dokładniejsze metody rachunku oparte na metodzie łuków kolejnych noszące nazwy : Gavre, GHM – Garnier oraz całkowania liczbowego (Moultona, Runge – Kutta, Kryłowa, Trofimowa) stosowanych i obecnie. Wraz z rozwojem artylerii, w której powszechne zastosowanie znalazł proch nitrocelulozowy, wynaleziony przez Vielle´a w 1884 r., oraz nitroglicerynowy przez Nobla i Abela w 1888-89, rozwijała się balistyka zewnętrzna i balistyka wewnętrzna dzięki pracom Majewskiego, Zabudskiego, Brinka, Grawe. Zabudski podał np. wzory empiryczne służące do obliczania prędkości początkowej i ciśnienia maksymalnego. W 1903 r. N. Drozdow podał rozwiązanie zadania balistyki wewnętrznej bez uproszczeń oraz zestawił w 1920 r. specjalne tabele balistyczne będące podstawą opracowania tabel znanych pod nazwą ANII i GAU, służących do balistycznego projektowania broni.
W 1908 r. Charbonnier dokonał podziału balistyki wewnętrznej na pirostatykę i pirodynamikę oraz opracował metodę określania prawa spalania na podstawie danych doświadczalnych uzyskanych w bombie manometrycznej. Zastosowanie w 1923 r. przez Sieriebriakowa zgniotka stożkowego pozwoliło również na pomiary niskich ciśnień w lufie. Następne lata przyniosły szybki rozwój metod pomiarowych obejmujących również pociski rakietowe.
Profesor J. Gacek w podręczniku “Balistyka zewnętrzna” dokonuje podziału balistyki jako nauki na działy :
Balistyka wewnętrzna – rozpatruje prawa ruchu pocisków w przewodzie lufy pod działaniem gazów prochowych oraz funkcjonowanie silników rakietowych;
Balistyka przejściowa – bada prawa ruchu pocisków od chwili wylotu z lufy do zakończenia tzw. “powylotowego działania gazów prochowych”;
Balistyka zewnętrzna – bada prawa ruchu pocisków (rakiet) w atmosferze ziemskiej od chwili jego wylotu z przewodu lufy lub od momentu ustania działania “powylotowego gazów prochowych” do chwili uderzenia w cel oraz o zjawiskach od których ruch ten zależy;
Balistyka końcowa – zajmuje się problemem trafienia (rozrzutu) oraz oddziaływania pocisku na cel trafiony.
Przedmiotem niniejszego opracowania będą wybrane problemy balistyki zewnętrznej oraz balistyki końcowej – w tym rozrzut pocisków i obliczanie prawdopodobieństwa trafienia w cel metodami szacunkowymi (przybliżonymi). W pierwszym rozdziale przedstawione zostały miary kątowe stosowane w artylerii, gdyż charakteryzują się one pewnymi właściwościami w stosunku do miar kątowych stosowanych powszechnie.
1.2. Miary kątowe stosowane w artylerii
Po lekturze tego rozdziału czytelnik powinien umieć :
uzasadnić konieczność stosowania w artylerii specyficznych miar kątowych;
zdefiniować co to jest miliradian;
podać rodzaje miar kątowych stosowanych w artylerii;
zamieniać tysięczne na stopnie, minuty i odwrotnie;
stosować w praktyce wzór rozwarcia;
uzasadnić przedział dokładności zastosowania wzoru rozwarcia.
Miary kątowe stosowane powszechnie.
Do powszechnie stosowanych miar kąta płaskiego należą :
stopnie, minuty, sekundy:
1o = 60’= 3600”;
kąt pełny - 360o;
kąt półpełny - 180 o itd.;
grady:
kąt pełny – 400g;
kąt półpełny – 200g;
90 o = 100g ; 1o = ; 1g = 0,9o
B. Miary kątowe stosowane w artylerii.
Obliczenia artyleryjskie związane są z przeliczaniem wielkości liniowych na kątowe i odwrotnie oraz z rozwiązywaniem trójkątów. Miary kątowe powszechnie stosowane do takich obliczeń wymagają posługiwania się funkcjami trygonometrycznymi, co wiąże się z wydłużeniem czasu tych obliczeń i uniemożliwia ich przeprowadzenie w pamięci.
Dlatego też w artylerii stosuje się odrębną jednostkę miary kątów, która nazywa się tysięczną i bazuje na mierze łukowej (radianach). Miara łukowa kąta jest to stosunek długości łuku l do długości promienia R zakreślającego ten łuk przy obrocie o kąt α (rys.1.1).
Jednostką miary łukowej kąta jest radian. Radianem nazywa się kąt środkowy, którego miara łukowa równa się 1 gdyż:
rd
wobec tego 360 o =2π , 180 o = π , 90 o = , itd.
Rys.1.1 Istota tysięcznej.
Nietrudno obliczyć, że jeżeli R = l = 1000m = 1rd, to:
kąt równy 0,001 radiana będzie katem środkowym opartym na łuku równym
0,001l = 1 m;
0,001 rd lub 1 mrd (miliradian) jest to kąt środkowy, którego łuk l równa się jednej tysięcznej promienia R (R = 1000m , l = 1m).
Miliradian jest więc tą jednostką miary kąta stosowaną w artylerii, którą przyjęto nazywać tysięczną – od jednej tysięcznej promienia R.
Rodzaje tysięcznych.
Z powyższych rozważań wynika, że miliradian posiada wiele zalet jako jednostka miary łukowej, ponieważ występuje w niej stała zależność między łukiem l i promieniem R kąta środkowego opartego na tym łuku. Taka jednostka jest jednak nie do przyjęcia do wyskalowania przyrządów kątomierczych i celowniczych, gdyż wówczas kąt pełny zawierałby
takie jednostki, co skomplikowałoby niezmiernie ich konstrukcję ze względu na podział tego kąta na kąt półpełny i prosty.
Z powyższych względów w artylerii polskiej, rosyjskiej i innych państw do mierzenia kątów i łuków stosuje się jednostkę równą jednej sześciotysięcznej () obwodu koła.
Taką jednostkę nazywa się tysięczną artyleryjską (rys. 1.1). W państwach zachodnich (Niemcy, Francja, Wielka Brytania itd.) oraz USA do mierzenia kątów i łuków stosuje się jednostkę równą jednej sześć tysięcy czterysta ( ) obwodu koła. Taką jednostkę nazywa się tysięczną Rimailho (czyt. Rimajo).
Wyróżnia się trzy rodzaje tysięcznych:
tysięczna rzeczywista równa koła pełnego – stosowana podczas obliczeń wartości kątowych i liniowych;
tysięczna artyleryjska równa koła pełnego – stosowana do wyskalowania przyrządów kątomierczych i celowniczych w artylerii polskiej, rosyjskiej i innych państwach Europy środkowej i wschodniej;
tysięczna Rimailho równa koła pełnego – stosowana do wyskalowania przyrządów kątomierczych i celowniczych w artylerii państw Europy zachodniej i USA.
Zależność między tysięcznymi.
między tysięczną rzeczywistą i artyleryjską:
tysięczna rzeczywista jest większa od artyleryjskiej o około 5%,
dla kątów do 20 tys. różnica między nimi jest nie większa niż 1 tys.;
b) między tysięczną rzeczywistą i Rimailho:
,
tysięczna Rimailho jest większa od rzeczywistej o około 2% ,
dla kątów do 50 tys. różnica między nimi jest nie większa niż 1 tys.;
c) między tysięczną artyleryjską i Rimailho:
lub
Wymowa wartości kąta wyrażonego w tysięcznych.
Aby ułatwić ustne przekazywanie wielkości kąta poziomego w tysięcznych, oddzielnie wymawia się setki tysięcznych, a oddzielnie dziesiątki i jedności tysięcznych. Zasadę tę wykorzystuje się również w zapisie (tab. 1.1).
Tabela 1.1
Kąt w tysięcznych |
Zapis kąta poziomego | Wymowa |
4388 | 43-88 | Czterdzieści trzy osiemdziesiąt osiem |
2704 | 27-04 | Dwadzieścia siedem zero cztery |
3000 | 30-00 | Trzydzieści zero |
72 | 0-72 | Zero siedemdziesiąt dwa |
6 | 0-06 | Zero zero sześć itd. |
Kąt pionowy zapisuje się i wymawia jak liczbę, np. : 2 tys., 15 tys., 1811 tys. itd.
Zamiana kąta wyrażonego w tysięcznych artyleryjskich na stopnie i minuty.
360o = 60 – 00, 180o = 30 – 00, 90o = 15 – 00, 45o = 7 – 50 ,
15o = 2 – 50, 6o = 1 – 00, 3o = 0 – 50.
0 – 01 =
Do szybkiego przeliczania tysięcznych na stopnie i minuty oraz odwrotnie służą tabele zamieszczone w każdych tabelach strzelniczych.
C. Zależność między wielkościami liniowymi i kątem.
Artylerzysta często spotyka się z zadaniami typu: znajdując się w p. O (rys. 1.2) obliczyć:
kąt K, znając tzw. front F i odległość D;
front F, znając kąt K i odległość D;
odległość D, znając kąt K i front F.
Należy pamiętać, że obliczając wielkość kąta na podstawie liniowych wielkości otrzymujemy kąt wyrażony w tysięcznych rzeczywistych. W celu wprowadzenia tak obliczonego kąta do przyrządów kątomierczych i celowniczych musimy zamienić go wcześniej na wartość wyrażoną w tysięcznych artyleryjskich. Jeżeli obliczamy wartości liniowe na podstawie kąta wyrażonego w tysięcznych artyleryjskich musimy je powiększyć o poprawkę na różnicę między tysięczną artyleryjską a rzeczywistą.
Założenie:
Dp = Dn = D
Rys. 1.2 Zależność między kątem i wielkościami liniowymi.
Zadania powyższe artylerzyści rozwiązują w pamięci, w przybliżeniu, przy pomocy tzw. , wzoru rozwarcia:
(1.1.)
gdzie:
F – front – wielkość liniowa odpowiadająca cięciwie łuku l;
K – kąt w tysięcznych;
D – odległość w metrach;
wobec tego:
F = 0,001 D · K (1.2.)
Jednak z trójkąta OBC (rys. 1.2) wielkość tą można wyliczyć dokładnie przy pomocy funkcji trygonometrycznych (co w praktyce jest niewygodne):
F = Dn · sin K = Dp · tg K (1.3.)
W celu wyjaśnienia istoty założenia będącego podstawą wzoru (1.2) porównajmy prawe części wzorów (1.3) i (1.2):
zakładając, że: Dn = Dp = D
stąd K ≈ 1000 sinK (1.4.)
oraz K ≈ 1000 tgK (1.5.)
Tak więc, dokładność obliczeń za pomocą wzoru (1.2) zależy od dokładności równań 1.4 i 1.5, a one z kolei zależą od wielkości kąta K. W tabeli 1.2 zestawiono błędy powyższych równań, obliczone ze wzoru:
Δ’ = K – 1000 sinK , Δ” = K – 1000 tgK
oraz błędy względne określenia wartości liniowej F, obliczone ze wzorów:
Tabela 1.2
K | F = DsinK | F = DtgK |
1000sinK | Δ’ w tys. | |
0 – 01 0 – 10 0 – 20 0 – 50 1 – 00 2 – 00 3 – 00 4 – 00 5 – 00 |
1,047 10,47 20,94 52,34 104,5 207,9 309,0 406,7 500,0 |
-0,05 -0,5 -0,9 -2,3 -4,5 -7,9 -9,0 -6,7 0 |
Na podstawie tabeli 1.2 można sformułować następujące wnioski:
Jeżeli dokładną wartość wielkości liniowej F określa się przy pomocy sinusa kąta K, czyli gdy odległość jest przeciwprostokątną – Dn (rys.1.2) trójkąta prostokątnego, to błąd równania (1.4) jest ujemny i przy kątach K od 0 do 3 – 00 jego wartość bezwzględna rośnie do 9 tys., a przy kątach K od 3 – 00 do 5 – 00 maleje do zera. Błąd względny określenia wielkości liniowej F ze wzoru 1.2 maleje przy tym od 4,5% do 0.
Jeżeli dokładną wartość wielkości F określa się przy pomocy tangensa Kąta K, czyli gdy odległość jest przyprostokątną – Dp (rys.1.2) trójkąta prostokątnego, to błąd równania (1.5) co do bezwzględnej wartości rośnie od 0 do 77 tys., a błąd względny określenia wielkości F od 4,5 do 13,4% .
Wymaganą w praktyce dokładność obliczeń ze wzoru (1.2) i jego pochodnych osiąga się przy błędach nie przekraczających jednej tysięcznej. Z tabeli 1.2 widać, że warunek ten będzie spełniony przy kątach K od 0 do 0 – 20.
Niezależnie od tego, czy odległość D jest przeciwprostokątną czy też przyprostokątną (rys.1.2) trójkąta prostokątnego błąd względny przy kątach K od 0 do 1 – 00 jest prawie stały i wynosi 5%. Uwzględnienie tego błędu systematycznego udokładnia wyniki obliczeń i pozwala stosować wzór rozwarcia (1.1) przy kątach K do
1 – 00 dokładnie, tzn.:
F = 0,001 D · K · 1,05 (1.6.)
D = F : K · 1,05 (1.7.)
K = F : 0,001D · 0,95 (1.8.)
Przykład 1.
Zmierzony lornetką kąt między prawym i lewym skrajem celu wynosi
0 – 85. Odległość do celu wynosi D = 3000m. Obliczyć front celu.
F = 0,001D • K = 3 • 85 = 255m - w przybliżeniu
F = 0,001D • K • 1,05 = 3 • 85 • 1,05 = 267,75 - dokładnie
Przykład 2.
Zwiadowca widzi w lornetce drzewo o wysokości 5m pod kątem 2 tysięcznych. Obliczyć odległość do drzewa.
D = F : K = 5 : 2 = 2,5 km - w przybliżeniu
D = F : K · 1,05 = 5 : 2 • 1,05 = 2,625 - dokładnie
Przykład 3.
Spodziewana wysokość rozprysku pocisku na odległości 1500m wynosi 60 metrów. Obliczyć kąt pod jakim zwiadowca powinien zaobserwować rozprysk pocisku.
- w przybliżeniu
- dokładnie
1.1. Pytania kontrolne.
Co to jest miliradian ?
Jakie rodzaje tysięcznych stosuje się w artylerii ?
Jakie zależności występują między poszczególnymi rodzajami tysięcznych ?
Do czego służy wzór rozwarcia ?
Jakie poprawki należy wprowadzać do wzoru rozwarcia ?
Do jakiego maksymalnego kąta można stosować wzór rozwarcia z dokładnością do 1 tysięcznej po uwzględnieniu poprawki na różnicę tysięcznych ?
2. WYBRANE ZAGADNIENIA BALISTYKI ZEWNĘTRZNEJ
Balistyka zewnętrzna jest nauką o prawach ruchu pocisku w powietrzu od chwili ustania działania powylotowego gazów prochowych do chwili uderzenia w cel oraz o zjawiskach od których ruch ten zależy. Celem balistyki zewnętrznej jest umożliwienie racjonalnego projektowania pocisków i dział artyleryjskich, rakiet i wyrzutni oraz zabezpieczenie strzelań w tabele strzelnicze.
Ponieważ głównymi siłami działającymi na pocisk podczas jego ruchu w powietrzu są siła ciężkości, siła oporu powietrza oraz siła wynikająca z obrotu Ziemi, zatem głównym problemem balistyki zewnętrznej jest zbadanie ruchu pocisku pod wpływem tych właśnie sił. Balistyka zewnętrzna w pierwszej kolejności zajmuje się ruchem pocisku jako punktu materialnego pod wpływem tylko siły ciężkości (tor w próżni), następnie bada tylko wpływ siły oporu powietrza i w wyniku ustala prawa oporu powietrza. Z kolei rozpatruje ruch pocisku pod wpływem obu tych sił, co stanowi główny problem balistyki zewnętrznej; dotyczy on metod rozwiązywania równań różniczkowych ruchu (metody obliczeń czynników toru), metody określania zmiany czynników wpływających na charakter toru (teoria poprawek), takich jak warunki meteorologiczne, prędkość początkowa, współczynnik balistyczny, wpływ obrotu i krzywizny Ziemi, zmiana wielkości siły ciężkości. Problemem wtórnym balistyki zewnętrznej jest analiza wpływu ruchu bryły pocisku wokół środka ciężkości na ruch postępowy pocisku wirowego i ubrzechwionego, wypracowanie metod obliczania stabilizacji pocisków na torze, układanie tabel strzelniczych, balistyka zapalnika czasowego i inne. Balistyka zewnętrzna zajmuje się też ruchem rakiety na wyrzutni i na torze, zagadnieniem stateczności rakiet, wpływem różnych czynników na lot rakiety, teorią poprawek i układaniem tabel strzelniczych.
Balistyka zewnętrzna, szeroko wykorzystując związki matematyczne, opiera się na wiadomościach z mechaniki, aerodynamiki, rachunku prawdopodobieństwa i teorii strzelania, meteorologii oraz danych uzyskiwanych z doświadczeń.
2.1 RUCH POCISKU W PRÓŻNI
Po lekturze tego rozdziału czytelnik powinien umieć :
zdefiniować pojęcie balistyka;
wymienić podstawowe siły działające na pocisk podczas lotu w powietrzu;
uzasadnić do czego służy badanie lotu pocisku w próżni;
scharakteryzować siły działające na pocisk podczas lotu w próżni;
scharakteryzować parametry opisujące lot pocisku w próżni;
zdefiniować prawo obniżeń;
określić przyczyny zmiany krzywizny toru i obliczyć poprawkę celownika na kąt położenia celu.
Na pocisk artyleryjski w czasie jego lotu w powietrzu w stosunku do wirującej Ziemi działają siły :
siła ciężkości –
siła bezwładności Coriolisa - ;
siła oporu powietrza – .
W zasadzie siła oporu powietrza jest większa od siły ciężkości. Wyjątek stanowi działanie tych sił na pocisk bardzo ciężki o stosunkowo małej prędkości oraz podczas lotu pocisku w warstwach rozrzedzonego powietrza. W tych wypadkach siła ciężkości bywa większa od siły oporu powietrza. W przypadku pocisków stosowanych współcześnie, którym w stosunku do ich ciężaru nadawane są bardzo duże prędkości, zasadniczą siłą działającą na pocisk pozostaje siła oporu powietrza.
Badanie jednoczesnego wpływu na lot pocisku trzech w/w sił jest bardzo skomplikowane, a nawet wręcz niemożliwe, dlatego też należy przeprowadzić te badania oddzielnie dla każdej siły. W celu zbadania wpływu siły ciężkości na lot pocisku należy założyć, że porusza się on w próżni i nie działa na niego siła bezwładności Coriolisa oraz, że w dowolnej chwili oś pocisku pokrywa się z wektorem prędkości jego środka masy – założenie to pozwala traktować pocisk jako punkt materialny o masie skupionej w środku jego masy.
Obecnie zajmiemy się rozpatrzeniem ruchu pocisku w próżni wg wyżej podanych założeń. Związki ustalone dla tego rodzaju ruchu będziemy mogli traktować jako graniczne dla związków odnoszących się do ruchu w powietrzu gdy siła oporu powietrza zdąża do zera, np.: ruch pocisku ciężkiego z małą prędkością lub ruch w warstwach rozrzedzonego powietrza. Niektóre z zależności wyprowadzonych dla ruchu w próżni będą mogły być traktowane jako pierwsze przybliżenie tych związków, które istnieją w przypadku ruchu
w powietrzu.
2.1.1 Siły działające na pocisk.
W próżni na pocisk po odrzuceniu siły bezwładności Coriolisa działa tylko siła ciężkości , która jest bezpośrednio związana z polem grawitacji Ziemi oraz jej ruchem obrotowym dookoła swojej osi, dlatego wcześniej zapoznamy się z jej właściwościami.
Ogólne wiadomości o kształcie i ruchu obrotowym Ziemi.
Rzeczywista powierzchnia Ziemi jest bardzo złożona i praktycznie nie udaje się opisać jej dokładnie za pomocą zależności matematycznych. Stąd zamiast fizycznej powierzchni Ziemi rozpatruje się prostszą powierzchnię, która w określonym stopniu jest zbliżona do powierzchni rzeczywistej i reprezentuje jej podstawowe właściwości.
W wielu przypadkach w pierwszym przybliżeniu Ziemię traktuje się jako kulę. Bliższa rzeczywistego kształtu Ziemi będzie elipsoida obrotowa, a jeszcze bliższa – elipsoida
trójosiowa lub geoida.
W dokładnych obliczeniach balistycznych wykorzystuje się zwykle tzw. elipsoidę Krasowskiego o następujących parametrach:
duża półoś (średni promień równika) – a = 6378245 [m],
mała półoś – b = 6356863 [m],
spłaszczenie (deformacja) elipsoidy αe (określa odchylenie elipsoidy od kuli)
(2.1.1.)
W mniej dokładnych rozważaniach przyjmuje się, że Ziemia jest kulą o promieniu
6371 km. Ziemia obraca się dookoła swojej osi dokonując jednego obrotu w ciągu doby gwiezdnej, równej 23 godzinom 56 minutom i 4 sekundom, albo inaczej 86164 sekundom, prędkość kątowa obrotu Ziemi jest więc równa:
(2.1.2.)
Dobór modelu pola ciężkości dokonuje się przede wszystkim pod kątem zapewnienia wymaganej dokładności obliczeń w określonych przedziałach odległości strzelania. W zależności od rozpatrywanego problemu może być wykorzystywany jeden z niżej wymienionych modeli pól siły ciężkości:
- jednorodne pole siły ciężkości – w tym modelu zakłada się, że we wszystkich
punktach toru przyspieszenie siły ciężkości jest stałe co do wartości i kierunku:
g = g0
gdzie:
g0 – przyspieszenie siły ciężkości w momencie wylotu pocisku z lufy;
− centralne pole siły ciężkości – w tym modelu przyspieszenie siły ciężkości w dowolnym punkcie toru skierowane jest do środka Ziemi, a jego wartość określa się ze wzoru:
(2.1.3.)
gdzie:
Rz – promień Ziemi,
y – wysokość pocisku na torze lotu w danym momencie;
niecentralne pole siły ciężkości – jest to pole normalnej sferoidy ziemskiej Clairant [Klero];
anormalne pole siły ciężkości – pole to składa się z dwóch składowych:
• części normalnej odpowiadającej polu normalnej sferoidy Clairant,
• części nienormalnej, która nie podlega żadnym prawom, zmienia się w niewielkim stopniu i uwzględnia różnice kształtu i masy geoidy w stosunku do sferoidy normalnej.
Jak widać z przeprowadzonych rozważań dokładność obliczeń balistycznych zależy od przyjętych założeń upraszczających, dotyczących kształtu powierzchni Ziemi i pola siły ciężkości. Orientacyjne wskazówki dotyczące wyboru kształtu Ziemi i pola siły ciężkości
w zależności od odległości strzelania zestawiono w tabeli 2.1.1.
Tabela 2.1.1.
Odległość strzelania w km | Kształt powierzchni Ziemi | Model pola siły ciężkości |
0 ÷ 20 | Płaszczyzna | Jednorodne |
20 ÷ 200 | Sfera | Centralne |
200 ÷ 500 | Elipsoida obrotowa | Centralne |
500 ÷ 2000 | Elipsoida obrotowa | Niecentralne |
powyżej 2000 | Elipsoida obrotowa | Anormalne |
Siła ciężkości
Rys. 2.1.1. Siła ciężkości i jej składowe.
Na każde ciało M znajdujące się na powierzchni Ziemi działa siła ciężkości , która jest wypadkową dwóch sił: siły przyciągania ziemskiego (pola grawitacji) i siły odśrodkowej , wywołanej ruchem obrotowym Ziemi (rys.2.1.1.).
Wartość siły przyciągania zgodnie z prawem Newtona wynosi:
(2.1.4.)
gdzie:
– stała grawitacji,
– masa Ziemi,
m – masa pocisku,
rz – odległość między środkami mas rozpatrywanych ciał.
Siła odśrodkowa jest prostopadła do osi obrotu Ziemi i jej wartość wynosi:
(2.1.5.)
Przyspieszenie siły ciężkości
Przyspieszenie siły ciężkości jest sumą przyspieszenia siły wzajemnego przyciągania i przyspieszenia siły odśrodkowej :
(2.1.6.)
gdzie:
, , ;
Przeprowadźmy analizę składowych w zależności (2.1.6), przy założeniu, że Ziemia ma kształt kuli o promieniu Rz = 6371 km. W takim przypadku dla powierzchni Ziemi otrzymamy:
wartość przyspieszenia siły przyciągania
(2.1.7.)
• maksymalną wartość przyspieszenia siły odśrodkowej na równiku (która zależy od szerokości geograficznej B – na równiku B = 0o, a cos 0o = 1, na biegunie B = 90o, cos 90o = 0).
(2.1.8.)
• wartość przyspieszenia siły ciężkości na równiku (B = 0o)
(2.1.9.)
• wartość przyspieszenia siły ciężkości na biegunie (B = 90o)
(2.1.10.)
• stosunek
(2.1.11.)
czyli stanowi 0,35 % przyspieszenia siły ciężkości.
Z powyższego wynika, że różnica przyspieszenia siły ciężkości między równikiem
i biegunem wynosi 0,034, w rzeczywistości jednak różnica ta jest większa i wynosi około 0,052 co tłumaczy się spłaszczeniem Ziemi.
Zależność przyspieszenia siły ciężkości od szerokości geograficznej przedstawia
tabela 2.1.2.
Tabela 2.1.2.
B | 0o | 20o | 40o | 60o | 80o | 90o |
g | 9,780 | 9,786 | 9,801 | 9,819 | 9,830 | 9,832 |
Przyspieszenie siły ciężkości pocisku na torze lotu.
Przyspieszenie siły ciężkości pocisku na torze lotu jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od środka Ziemi. Przyspieszenie to podczas lotu pocisku ulega ciągłej zmianie i zależy od:
a) wysokości lotu pocisku Y
(2.1.12.)
gdzie:
g0 – przyspieszenie siły ciężkości na powierzchni Ziemi
Zauważmy, że przy bardzo dużych donośnościach rzędu 200 km i wysokości toru rzędu 60 km, otrzymamy:
(2.1.13.)
a więc największa zmiana wielkości przyspieszenia spowodowana wysokością lotu pocisku nie przekroczy 2 %;
b) donośności strzelania
Rozpatrzmy tor pocisku w układzie współrzędnych związanych z poziomem punktu początkowego (wylotu). Kierunek przyspieszenia ziemskiego w tym układzie będzie się oczywiście zmieniał w ten sposób, że składowa pozioma przyspieszenia siły ciężkości będzie największa w punkcie C (rys. 2.1.2.).
Przy donośności poziomej rzędu 200 km stosunek składowych i będzie równy:
α = 1o48′ (2.1.14.)
Wnioski:
Na podstawie wyżej przytoczonych rozważań widzimy, że przyspieszenie siły ciężkości zależy nieznacznie od:
a) szerokości geograficznej – do 0,35 %,
b) wysokości toru lotu – do 2 %,
c) donośności strzelania – zmiana kierunku wektora do 1o48′.
Możemy wyciągnąć z tego wniosek, że przy niedużych donośnościach strzelania (do 20 km) możemy przyjąć następujący model Ziemi: pole siły ciężkości jest jednorodne o stałym przyspieszeniu 9,81 m/s2, Ziemia jest płaska i nie obraca się.
Rys. 2.1.2. Zmiany przyspieszenia siły ciężkości wraz ze wzrostem donośności
strzelania.
2.1.2 Równanie ruchu środka masy pocisku.
Jak już wcześniej dowiedliśmy, na pocisk podczas ruchu w próżni działa tylko siła ciężkości o stałym przyspieszeniu (g = 9,81 m/s2). Niech na pocisk, który opuścił lufę z prędkością V0 nie oddziaływują żadne siły; w tym wypadku po upływie czasu t pocisk przeleci wzdłuż linii rzutu drogę S (odległość osiowa) równą:
S = V0 ⋅ t (2.1.15.)
i osiągnie punkt M (rys. 2.1.3.)
Pod wpływem siły ciężkości , pocisk w tym samym czasie powinien przebyć drogę h (pionowo w dół), którą by przebyło każde ciało swobodnie spadające w czasie t:
(2.1.16.)
a więc po upływie czasu t pocisk znajdzie się nie w punkcie M, lecz w punkcie L.
Rys. 2.1.3. Zmiany toru pocisku w próżni pod wpływem siły ciężkości.
Tor pocisku w próżni będzie się pokrywał z płaszczyzną pionową (rzutu) przechodzącą przez linię rzutu. Rozpatrując ruch pocisku w płaszczyźnie rzutu można przyjąć jako początek układu współrzędnych punkt początkowy 0. W tym wypadku miejsce pocisku w dowolnym punkcie toru określa odcięta x i rzędna y, tj. współrzędne punktu, przez który przelatuje pocisk w danej chwili (punkt L).
Z trójkąta ONM (rys.2.1.3) wynika:
(2.1.17.)
y = MN – ML lecz i
na podstawie tego (2.1.18.)
Z wyrażenia (2.1.17.) wynika, że:
Po podstawieniu wartości t do wyrażenia (2.1.18) otrzymamy:
,
następnie po uproszczeniu i podstawieniu otrzymamy:
(2.1.19)
Otrzymane równanie określa wartość rzędnej y dowolnego punktu toru pocisku w zależności od wartości odciętej x, odpowiadającej temu punktowi przy znanym kącie rzutu θ0 i prędkości początkowej V0. To równanie jest równaniem toru pocisku w próżni, wyprowadzonym dla prostokątnego układu współrzędnych. O ile w równaniu (2.1.19.) zamieni się tgθ0 i przez współczynniki a i b, to równanie przyjmie następującą postać:
y = ax – bx2 (2.1.20.)
Jest to ogólne równanie krzywej, którą nazywa się parabolą, co w 1538 r. dowiódł Galileusz i rozwinął Mersenne.
Rys. 2.1.4. Tor paraboliczny.
Wnioski:
Parabola jest krzywą symetryczną, a z tego wynika, że:
wierzchołkowa toru YW dzieli tor na dwie równe części i jest jego osią symetrii;
część wznosząca równa się części opadającej;
punkty na torze (np. A i B) jednakowo oddalone od wierzchołka W mają taką samą wysokość;
wartości bezwzględne kątów nachylenia wektora prędkości do osi OX w punktach A i B są jednakowe;
donośność pozioma do wierzchołka równa się połowie całkowitej donośności toru Dmax;
kąt rzutu θ0 równa się kątowi upadku ω (θ0 = ω).
2.1.3 Parametry opisujące lot pocisku.
A. Donośność maksymalna.
Gdy pocisk osiągnie punkt upadku C0, to rzędna y będzie równa zeru, natomiast wartość odciętej x w tym momencie, będzie odpowiadała donośności maksymalnej podczas strzelania w próżni.
O ile do równania toru parabolicznego
podstawi się:
y = 0 i x = D
to równanie przyjmie postać:
lub
Po podzieleniu obydwu stron przez D otrzymamy:
, wówczas:
po uproszczeniu:
, wówczas: (2.1.21.)
dla sin 2θ0 = 1, to θ0 = 45o
Wnioski:
Na podstawie wzoru (2.1.21) można wyciągnąć następujące wnioski:
donośność toru w próżni zależy od prędkości początkowej pocisku V0 i kąta rzutu θ0;
donośność toru jest wprost proporcjonalna do kwadratu V0;
donośność toru jest największa, gdy kąt rzutu θ0 wynosi 45o, ponieważ w tym wypadku sin 2θ0 = 1;
donośności torów, przy kątach rzutu dopełniających się do 90o (θ01 + θ02 = 90o) są sobie równe; takie tory nazywają się sprzężonymi;
z powyższego wynika, że jeden cel może być trafiony pociskami o takiej samej prędkości początkowej V0 wystrzelonych pod dwoma różnymi sprzężonymi kątami rzutu θ0, z których jeden jest mniejszy, drugi zaś większy od 45o;
wiązka torów, jaka tworzy się w czasie strzelania z jednego działa przy zachowaniu jednakowej prędkości początkowej, lecz przy różnych kątach rzutu (od 0o do 90o), nazywa się zespołem torów (rys. 2.1.5.); badania wykazały, że wszystkie tory takiej wiązki mieszczą się w obszarze określonej strefy, której granicą jest krzywa, tzw. “parabola bezpieczeństwa” lub parabola zasięgu działa, ponieważ cel leżący poza tą krzywą nie może być bezpośrednio trafiony przez pocisk; cel znajdujący się na krzywej bezpieczeństwa może być rażony tylko przy jednym kącie rzutu, a pod krzywą przy dwóch różnych kątach rzutu.
Rys. 2.1.5. Wiązka torów sprzężonych.
B. Prędkość pocisku na torze.
Aby określić prędkość pocisku na torze dla dowolnego punktu, posłużymy się twierdzeniem energii kinetycznej: “Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego równa się włożonej pracy”. Przyjmiemy, że cała masa pocisku jest ześrodkowana w punkcie ciężkości, to znaczy, że będziemy traktować pocisk jako punkt materialny. Energia kinetyczna pocisku w punkcie początkowym 0 będzie równa , natomiast w dowolnym punkcie toru , zatem przyrost energii kinetycznej między tymi punktami równa się:
Praca siły ciężkości jest równa iloczynowi siły przez drogę, którą przebywa pocisk wzdłuż kierunku działania siły (siła działa w dół – więc znak minus):
Równanie przyrostu energii kinetycznej przyjmie postać:
/
stąd :
(2.1.22.)
Wnioski:
prędkość na torze zmienia się, gdyż zmienia się rzędna y;
na części wznoszącej toru do wierzchołka prędkość maleje, a na części opadającej od wierzchołka do punktu upadku – rośnie;
prędkość początkowa V0 równa się prędkości końcowej VC w punkcie C0;
najmniejszą prędkość Vmin pocisk osiąga na wierzchołku toru;
prędkość pocisku na torze zależy od prędkości początkowej i wysokości rozpatrywanego punktu toru.
C. Czas lotu pocisku.
Z równania (rys.2.1. 3) otrzymamy:
(2.1.23.)
Ze wzoru (2.1.23.) widać, że przy niezmiennych V0 i θ0 czas lotu pocisku do dowolnego punktu toru jest proporcjonalny do odciętej x tego punktu, czyli do przesunięcia wzdłuż poziomu. W celu otrzymania całkowitego czasu lotu pocisku tC podstawiamy do wzoru (2.1.20) za odciętą x wyrażenie na donośność toru:
wówczas
(2.1.24.)
Ponieważ czas lotu pocisku do wierzchołka W wynosi , to czas opadania pocisku od punktu wierzchołka W do punktu upadku C0 (rys.2.1.4) równa się czasowi potrzebnemu na pokonanie drogi w płaszczyźnie pionowej równej wierzchołkowej YW
a zatem (2.1.25.)
Z równania (2.1.25) można wyznaczyć całkowity czas lotu pocisku:
(2.1.26.)
Wnioski:
całkowity czas lotu pocisku jest wprost proporcjonalny do jego prędkości początkowej V0 i kąta rzutu θ0;
przy określonej wierzchołkowej YW dla pocisków dowolnego kalibru, ciężaru, kształtu, dowolnej V0 i dowolnego kąta rzutu θ0 czas lotu pocisku będzie zawsze jednakowy.
D. Wierzchołkowa.
Badając równanie paraboli można wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia się osi symetrii z parabolą (wierzchołek toru):
i
Po podstawieniu zamiast a i b′ () odpowiednio tgθ0 i otrzymamy:
(2.1.27.)
W próżni, przy stałym kącie rzutu, stosunek wierzchołkowej YW do całkowitej donośności poziomej XC (XC=Dmax) jest wielkością stałą
,
(2.1.28.)
Wnioski:
wierzchołkowa jest wprost proporcjonalna do kąta rzutu θ0;
gdy θ0 = 45o, to ;
− gdy θ0 = 75o to tgθ0 = 4, a zatem:
• Dmax > YW to θ0 < 75o,
• Dmax = YW to θ0 = 75o,
• Dmax < YW to θ0 > 75o.
E. Względny czas przebywania pocisku w warstwie. Średnia wierzchołkowa.
Po podzieleniu wierzchołkowej YW na n równych części i przeprowadzeniu przez punkty podziału poziomych płaszczyzn, otrzymamy m równych pod względem wysokości warstw (rys. 2.1.6.).
Rys.2.1.6. Względny czas przebywania pocisku w warstwie.
Ze wzoru 2.1.26. dla toru OWC czas całkowity lotu wynosi:
,
a dla toru AWB
,
oraz dla toru A1WB1
.
Czas przebywania pocisku w warstwie m wynosi:
Względny czas przebywania pocisku w warstwie m (w stosunku do całkowitego czasu lotu) wynosi:
Oznaczając wierzchołkową każdej warstwy przez Δy, otrzymamy:
YW = n⋅Δy
ym = m⋅Δy
ym-1 = (m − 1)⋅Δy
Po podstawieniu otrzymamy:
i z kolei
(2.1.29.)
Z tego wyrażenia widać, że względny czas przebywania pocisku w warstwie nie zależy od wierzchołkowej.
Uwaga: pojęcie względnego czasu przebywania pocisku w warstwie służy do obliczania poprawek na wiatr i temperaturę podczas jego ruchu w powietrzu.
Średnia wierzchołkowa.
Rys. 2.1.7. Średnia wierzchołkowa.
Pole powierzchni odcinka paraboli, jak to udowodnił Archimedes, jest równe dwom trzecim iloczynu cięciwy łuku przez wysokość (rys.2.1.7). Pole powierzchni OWC wynosi:
z tego nazywamy średnią wierzchołkową.
Uwaga: pojęcie średniej wierzchołkowej stosuje się do obliczania średniej gęstości powietrza.
2.1.4 Prawo obniżeń.
Podczas strzelania w próżni droga pocisku składa się z drogi wzdłuż linii rzutu S = V0⋅t i z drogi wzdłuż pionowej . Pierwsza droga nazywa się odległością osiową, a druga – obniżeniem. Jeżeli z dowolnego punktu (rys.2.1.8) dokonać kilku strzałów
z jednakową prędkością początkową przy różnych kątach rzutu i w różnych kierunkach, wówczas w ciągu tego samego czasu wszystkie pociski znajdą się na tej samej powierzchni kulistej.
Środek tej powierzchni kulistej O1 będzie znajdował się niżej od wspólnego punktu początkowego O o wielkość , a promień będzie się równał S = V0⋅t.
Rys. 2.1.8. Prawo obniżeń
W próżni przy stałym przyspieszeniu siły ciężkości, podana wyżej zasada nazywa się prawem obniżeń.
Prawo obniżeń może być sformułowane w postaci definicji: podczas strzelania
w próżni, z jednakową prędkością początkową, jednakowym odległościom osiowym odpowiadają jednakowe wielkości obniżeń.
Na podstawie prawa obniżeń toru można zbudować tzw. izochrony stanowiące miejsca geometryczne punktów rodziny torów o jednakowej prędkości i czasach lotu. Aby zbudować izochronę odpowiadającą chwili czasu t należy:
narysować okrąg o promieniu V0t i o początku w punkcie 0,
przesuwać środek tego okręgu (tym samym wszystkie jego punkty) w dół o wartość .
W ten sposób równanie izochrony jest równaniem okręgu o promieniu V0t i o początku w punkcie – (rys. 2.1.8).
2.1.5. Obliczanie poprawki na zmianę krzywizny toru.
W praktyce artyleryjskiej kształt toru lotu pocisku ustala się jako funkcję kąta rzutu θ0 i odległości poziomej Dp do celu znajdującego się na wysokości działa. Jednak taka sytuacja zdarza się bardzo rzadko. Najczęściej cel będzie znajdował się na innej wysokości niż działo, żeby go trafić będzie konieczny tor o innej krzywiźnie niż tor do celu znajdującego się na wysokości działa (rys. 2.1.9.)
Rys.2.1.9. Zmiana krzywizny torów.
Na zmianę krzywizny (ugięcie) toru OW1C w stosunku do toru OWC0 wpływ będą miały następujące czynniki:
A – różnica wysokości δh między celami C0 i C1;
B – różnica odległości nachylonej Dn i odległości poziomej Dp.
Ad. A. Zależność kąta celownika od kata położenia celu przy założeniu, że
Dn = Dp
Linia przechodząca przez punkt początkowy 0 i cel nazywa się linią celu. Odległość mierzona między tymi punktami wzdłuż linii celu nazywa się odległością nachyloną, która w szczególnym przypadku równa się odległości poziomej.
Na rys.2.1.10 odległości do celów C, C0, C2 zachowują jednakową wielkość Dn (OC = OC0 = OC2 = Dn). Kąt zawarty między linią strzału i linią celu nazywa się kątem celownika C. Zakładając, że kąt podrzutu równa się zeru, możemy uważać, że kąt celownika jest to kąt zawarty między linią rzutu i linią celu. Na rys.2.1.10 kąt celownika do celu C oznaczymy C, do celu C0 – C0, a do celu C1 – C1.
Kątem położenia celu nazywa się kąt, zawarty między linią celu i poziomem wylotu. Kąty położenia celu oznaczmy: do celu C – p (przyjmuje się jako dodatni), do celu C1 – p1 (przyjmuje się jako ujemny).
Rys. 2.1.10. Zależność kąta celownika od kąta położenia celu przy stałej
odległości nachylonej Dn.
Do celu C0 kąt położenia celu oczywiście równa się zeru, ponieważ znajduje się on na poziomie wylotu i do tego celu odległość nachylona równa się poziomej.
Współrzędne punktu C z trójkąta OCC′ można określić za pomocą odległości nachylonej Dn:
OC′ = OC⋅cosp, lub x = Dn⋅cosp;
CC′ = OC⋅sinp, lub y = Dn⋅sinp.
Jednak współrzędne punktu C powinny odpowiadać równaniu toru
Po podstawieniu wartości współrzędnych do równania toru otrzymamy:
stąd
lub
stąd
To wyrażenie dla odległości nachylonej Dn jest słuszne dla wszystkich θ0 i p. Dlatego do celu C0, gdy Dn = Dp, kąt położenia celu p = 0, a kąt rzutu θ0 = C0
ponieważ Dp = Dn, wówczas
/
stąd
jednak
dlatego
(2.1.30)
Równanie to wyraża zależność między kątem celownika C i kątem położenia celu p przy stałej odległości nachylonej.
Uwaga:
z równania widać, że w celu uzyskania tej samej odległości pochyłej potrzebne są różne kąty celownika w zależności od kąta położenia celu;
przy p = 0 potrzebny jest kąt celownika C0, a przy kącie położenia celu równym p – kąt celownika C;
podobnie dla celu C1 potrzebny jest odpowiedni kąt celownika C1 (kąty celowników C0, C i C1 nie są równe).
Przekształćmy prawą stronę równania (2.1.30.) :
Teraz możemy wzór 2.1.30 wyrazić w innej postaci:
lub (2.1.31.)
W takiej postaci równanie (2.1.31) zostało zastosowane przez profesora rosyjskiej akademii artyleryjskiej z St. Petersburga F. F. Lendera i dlatego nazywa się wzorem Lendera.
Posługując się wzorem Lendera można w prosty sposób obliczyć poprawkę celownika na zmianę krzywizny (ugięcie) toru ΔC1:
ΔC1= C − C0 (2.1.32.)
gdzie
(2.1.33.)
a dla θ0 ≥ 45o (2.1.34.)
Wnioski:
im większy jest dodatni kąt położenia celu p, tym większa jest krzywizna (ugięcie) toru i odwrotnie;
w celu uzyskania tej samej odległości nachylonej przy różnych kątach położenia celu potrzebne są różne kąty celownika.
Ad. B. Zależność kąta celownika od różnicy odległości nachylonej i odległości poziomej.
Jeżeli określa się kąt celownika (rys. 2.1.11.) nie dla odległości OC0, a dla odległości OC1 lub OC2, wówczas do kąta celownika C0 należy wprowadzić poprawkę na różnicę OC0 – OC1 lub OC0 – OC2 i tę poprawkę brać zawsze z plusem gdyż Dp < Dn.
Rys. 2.1.11. Zależność kąta celownika od różnicy odległości nachylonej
i poziomej.
Poprawkę celownika na różnicę odległości nachylonej i poziomej ΔC2 można obliczyć ze wzoru:
, dla θ0 ≥ 45o (2.1.35.)
gdzie:
ΔXtys – poprawka tabelaryczna donośności przy zmianie celownika o jedną tysięczną (bierze się ją z tabel strzelniczych).
Wnioski:
poprawka celownika na kąt położenia celu ΔC składa się z dwóch elementów:
• ΔC1 – poprawki celownika na zmianę krzywizny (ugięcie) toru,
• ΔC2 – poprawki celownika na różnicę odległości nachylonej i poziomej, stąd ΔC = ΔC1 + ΔC2 (2.1.36.)
− wzór Lendera do obliczania poprawki celownika na kąt położenia celu można stosować również podczas strzelania w rzeczywistych warunkach (w powietrzu dla kątów położenia celu p ≤ 7 ÷ 8o i θ0 < 45o, powyżej tych wartości błędy stosowania teorii parabolicznej są zbyt duże).
Znaczenie teorii parabolicznej.
Teoria paraboliczna stanowi pierwszy etap podczas badania ruchu pocisku w powietrzu, ma ona jednak również znaczenie zasadnicze.
Chociaż wnioski wypływające z teorii parabolicznej są słuszne przy ruchu pocisku pod działaniem tylko siły ciężkości, to w wielu wypadkach wnioski te z dostateczną dokładnością można stosować również przy ruchu pocisku w powietrzu. Tak dzieje się podczas strzelania z małymi prędkościami początkowymi (np. z moździerza), gdy działa wprawdzie siła oporu powietrza, to działanie jej jednak ma nieznaczny wpływ na lot pocisku. W tym wypadku dane doświadczalne mało różnią się od danych obliczonych na podstawie wzorów teorii parabolicznej.
W czasie strzelania na bardzo duże odległości większą część swojej drogi pocisk przebywa na tak dużej wysokości, że opór powietrza jest znikomy, a więc wszystkie obliczenia toru praktycznie dla strzelania na bardzo duże odległości można dokonywać w oparciu o teorię paraboliczną. Oprócz tego, wnioskami teorii parabolicznej można się posługiwać w tych wypadkach, gdy oblicza się nie tory, lecz zmiany w zależności od zmian różnych parametrów, jak na przykład obliczanie poprawki celownika na kąt położenia celu.
Teoria ta poza tym może znaleźć zastosowanie do obliczeń szacunkowych i badań jakościowych. Może umożliwiać otrzymywanie zależności, które z kolei mogą być zastosowane jako pomocnicze przy określaniu parametrów ruchu, np. wzór Lendera, wzory do obliczeń poprawek na obrót Ziemi, zależności do wyznaczania wag warstw i średniej wysokości toru, które są szeroko wykorzystywane podczas przeprowadzania obliczeń balistycznych.
Należy jednak pamiętać, że teoria paraboliczna nie jest jedyną, stosuje się również, np. teorię eliptyczną do badania lotu pocisków w próżni w centralnym polu siły ciężkości. Szerokie praktyczne zastosowanie eliptyczna teoria ruchu znalazła podczas obliczeń części torów rakiet przebiegających na dużych wysokościach (Y > 50 km).
2.1.6 Pytania kontrolne.
Na podstawie jakich założeń przyjmuje się, że podczas strzelania na donośnościach do 20 km, przyspieszenie siły ciężkości jest stałe a Ziemia jest płaska i nie obraca się ?
Podać równanie toru lotu pocisku i scharakteryzować jego właściwości ?
Dla jakich kątów rzutu tor w próżni osiąga donośność maksymalną ?
Co to są tory sprzężone i do czego służą ?
Od czego zależy czas lotu pocisku w próżni ?
Jaka jest zależność wierzchołkowej toru lotu pocisku w próżni od donośności maksymalnej i kąta rzutu ?
Podaj definicję prawa obniżeń ?
Co to jest względny czas przebywania pocisku w warstwie i do czego to pojęcie służy ?
Podać wzory na obliczenie poprawki celownika (i jej składowych) na kąt położenia celu ?
Jakie jest znaczenie teorii parabolicznej w balistyce zewnętrznej ?