1. Transformata Fouriera:

   1. Podstawowe własności transformaty Fouriera:

Załóżmy, że dane są funkcjie f(t), g(t) i h(t) całkowalne oraz ich transformaty Fouriera odpowiednia F(ω), G(ω) oraz H(ω). Wówczas można wykazać sześć podstawowych własności transformaty Fouriera:

1. Symetria

1. Liniowość

1. Skalowanie

1. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja)

1. Przesunięcie w dziedzinie czasu

1. Całka

1. DFT i FFT – postać równań, różnice między dwoma algorytmami.

$$F\left( \omega \right) = \sum_{0}^{N - 1}{f\left( \text{nT} \right)e^{- j\omega nT}T}$$

Dyskretna transformacja Fouriera jest wygodną metodą aproksymowania transformacji Fouriera w przypadku gdy mamy do czynienia z przebiegami próbkowanymi i dobrze nadaje się do obliczeń z użyciem układów cyfrowych i komputerów.

Szybka transformacja Fouriera (FFT) – jest algorytmem bardzo upraszczającym i skracającym obliczenia, które muszą być wykonane, by znaleźć DFT. Algorytm ten polega na macierzowym zapisaniu transformaty DFT a następnie na jednolitym rozłożeniu punktów aproksymujących przebieg. Następnie macierz używana do obliczeń może być podzielona na kilka macierzy rzadkich (z dużą ilością zer), co znacznie upraszcza obliczenia.

Różnica między DFT i FFT:

DFT jest stosowana do cyfrowego (dyskretne), a nie analogowego (ciągły) sygnału. FFT jest szybszą wersja DFT, mogą być stosowane w przypadku gdy liczba próbek w sygnale jest potęgą dwóch. Obliczenia FFT trwa około * N log2 (N) operacji, podczas gdy DFT trwa około N ^ 2 operacji, więc FFT jest zna cznie szybszy.

1. Interpretacja wyników FFT

Pierwszym krokiem w interpretacji wyników FFT jest wyznaczenie w jednostkach bezwzględnych wartości częstotliwości środkowych kolejnych prążków FFT. Podobnie jak w DFT, rozłożenie prążków FFT wynika z ilorazu szybkości próbkowania f_s i liczby punktów FFT, czyli $\frac{f_{s}}{N}$. Oznaczając przez X(m) wynik FFT, bezwzględna częstotliwość środka m-tego prążka wynosi $\frac{mf_{s}}{N}$. Jeśli wejściowe próbki czasowe FFT są rzeczywiste, to niezależne są jedynie wartości wyjściowe X(m) od m=0 do m=N/2. Jeśli próbki wejściowe FFT są zespolone, to wszystkie N wartości wyjściowych FFT jest niezależnych i powinniśmy obliczyć bezwzględne częstotliwości prążków FFT dla m w pełnym zakresie 0≤m ≤ N − 1.

Jeśli jest to konieczne, możemy wyznaczyć prawdziwą amplitudę sygnałów z dziedziny czasu na podstawie ich wyników widmowych FFT. Aby to uczynić musimy pamiętać, że jeśli próbki wejściowe są rzeczywiste, to wyniki transformacji FFT o podstawie 2 są zespolone i mają postać

X(m)=X_real(m) + X_imag(m)

Również wyjściowe próbki amplitudowe FFT

Są wszystkie samorzutnie mnożone przez czynnik N/2. Jeśli próbki wejściowe FFT są zespolone, to czynnik skalujący jest równy N. Zatem aby wyznaczyć poprawne wartości amplitud składowych sinusoidalnych w dziedzinie czasu, musielibyśmy podzielić amplitudy FFT przez odpowiedni czynnik skalujący. Jeśli do oryginalnych danych z dziedziny czasu została zastosowana funkcja okna, to niektóre próbki ciągu wejściowego procedury FFT zostaną stłumione. Powoduje to zmniejszenie wynikowych amplitud wyjściowych FFT w stosunku do ich prawdziwych nieokienkowanych wartości. Aby wyliczyć prawidłowe amplitudy różnych składowych sinusoidalnych w dziedzinie czasu, musielibyśmy wówczas w dalszym ciągu podzielić amplitudy FFT przez odpowiedni współczynnik strat przetwarzania, stowarzyszony z użytą funkcją okna.

Sygnał zespolony jest abstrakcyjnym, nierealizowalnym fizycznie modelem sygnału. Charakterystyki sygnału zespolonego określone są dla całej osi zmiennej w. Natomiast interpretację fizyczna mają tylko ich prawe części dla w>0.

Widmo amplitudowe i widmo fazowe reprezentują strukturę częstotliwościową sygnału. Reprezentacja ta ma dla sygnałów rzeczywistych wyraźny sens fizyczny. Dla w=0 widmo sygnału jest wielkością fizyczną w nie mniejszym stopniu niż sam sygnał. Można je zmierzyć lub obejrzeć na ekranie analizatora widma. Na podstawie widma można w sposób jednoznaczny odtworzyć sygnał. Widmo sygnału jest więc alternatywnym i równoważnym sposobem przedstawienia sygnału. Pełna informacja o sygnale jest „zapisana” w jego widmie. Wszelkie cechy sygnału w dziedzinie czasu mają swoje odzwierciedlenie w dziedzinie częstotliwości. Operacje przeprowadzane na widmie sygnału oddziaływają na przebieg i parametry sygnału w dziedzinie czasu.

1. Aliasing jest zjawiskiem występującym podczas próbkowania. Jest przykładem nieprawidłowego próbkowania sygnału.

Zauważmy, że można odtworzyć sygnał sinusoidalny jednak jego częstotliwość

jest niższa niż oryginalnego. Zjawisko to nazywamy aliasingiem.

1. Metoda STFT (Short Time Fourier Transform). Przed jej użyciem należy określić okno analizy (Window Type) oraz długość okna (Window Length), tak aby uzyskać najlepszy kompromis pomiędzy rozdzielczością w czasie i częstotliwości. Można wybrać okna: prostokątne, Hanninga, Hamminga, Blackmana-Harris’a, Blackmana. Jeśli wydłużamy okno uzyskujemy lepszą rozdzielczość w częstotliwości, ale rozdzielczość w czasie staje się gorsza i na odwrót.