Ćwiczenie numer 11

Charakterystyki częstotliwościowe

1.Wstęp teoretyczny:

Ważną rolę w automatyce odgrywa znajomość właściwości dynamicznych zarówno obiektu automatyzowanego, jak i całego układu regulacji. Właściwości te mogą być przedstawione za pomocą charakterystyk dynamicznych. Własności obiektu (identyfikacja) bada się używając różnych sygnałów wymuszających. Zależnie od rodzaju sygnału wyróżnia się:

• charakterystyki skokowe,

• charakterystyki impulsowe,

• charakterystyki częstotliwościowe.

Charakterystyki skokowe lub impulsowe, pomimo dużej prostoty w badaniu i łatwości opracowania wyników, nie zawsze trafnie określają właściwości dynamiczne obiektu. Aby uzyskać charakterystykę częstotliwościową, należy wykonać wiele eksperymentów, z których każdy polega na wprowadzeniu na wejście obiektu sinusoidalnych zmian wielkości wejściowych o stałej częstotliwości i ustalonej amplitudzie. Sygnał wyjściowy będzie wtedy przebiegiem również sinusoidalnym, lecz o innej amplitudzie i przesuniętym w fazie. Z każdego eksperymentu uzyskuje się dane dla jednego punktu charakterystyki częstotliwościowej.

Badania częstotliwościowe są czasochłonne, pozwalają jednak uzyskać najdokładniejsze informacje o właściwościach badane o obiektu w założonym paśmie częstotliwości bez konieczności zmiany punktu pracy obiektu w trakcie badań.

Warto dodać, że sygnał wejściowy nie musi być wiernym odwzorowaniem sinusoidy.

Jeśli na wejście obiektu zostanie wprowadzony sygnał sinusoidalny o amplitudzie A, oraz częstotliwości f, to na wyjściu obiektu liniowego, po krótkotrwałym przebiegu przejściowym, ustala się sygnał również sinusoidalny o takiej samej częstotliwości jak sygnał wejściowy, ale o innej amplitudzie A₂ i przesunięty w fazie o kąt φ (rys. 1).

Sygnał wejściowy sinusoidalny o równaniu x(t)= A₁ sin ω t wywołuje sygnał wyjściowy o równaniu y(t) = A₂(ω) sin (ωt + φ(ω)), w którym:

A₂ i A₂ – amplitudy sygnału wejściowego i wyjściowego

ω = 2πf – pulsacja sygnałów, rd/s

f – częstotliwość sygnałów, Hz

T – okres sygnału sinusoidalnego, s

φ(ω) – przesunięcie fazowe.

Rys. 1 Przebieg sygnału wejściowego x(t) i wyjściowego y(t) podczas badania obiektu metodą częstotliwościową.

2. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie analitycznie oraz eksperymentalnie charakterystyk częstotliwościowych M(ω) i ϕ(ω) od obiektu o transmitancji G_s=$\frac{a}{s + a}.$

3. Schemat układu pomiarowego do wyznaczenia charakterystyk:

4. Tabele z pomiarami i wynikami:

Odczytane z wykresów wartości amplitudy sinusoidalnego sygnału wymuszającego A₁, amplitudy sinusoidalnego sygnału wyjściowego A₂(ω), okresu sygnału sinusoidalnego T, czas opóźnienia odpowiedzi τ oraz obliczone wartości modułu M(ω)=A₂(ω)/A₁ i przesunięcia fazowego ϕ=2πτ/T, zostały razem zebrane i umieszczone w tabeli poniżej.

l.p.	ω=2π/T	A1	A2(ω)	T	τ
-	rd/s	-	-	s	S
1	0,98	1	0,95	6,4	-0,33
2	2,01	1	0,93	3,13	-0,32
3	2,95	1	0,72	2,13	-0,25
4	3,93	1	0,59	1,6	-0,22
5	4,91	1	0,52	1,28	-0,19
6	5,76	1	0,45	1,09	-0,19
7	6,90	1	0,4	0,91	-0,16
8	8,05	1	0,38	0,78	-0,15
9	9,10	1	0,33	0,69	-0,14
10	9,81	1	0,3	0,64	-0,13

l.p.	M(ω)=A2/A1	ϕ=2πτ/T	ϕ
-	-	rd	^o
1	0,95	-0,32	-19
2	0,93	-0,64	-37
3	0,72	-0,74	-42
4	0,59	-0,86	-50
5	0,52	-0,93	-53
6	0,45	-1,09	-63
7	0,4	-1,10	-63
8	0,38	-1,21	-69
9	0,33	-1,27	-73
10	0,3	-1,28	-73

Analityczne wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych M(ω) i ϕ(ω).

G(s)=$\frac{a}{s + a}$

G(j ω)$\frac{a}{jw + a} = >$G(j ω)=P(ω)+j*Q(ω)

G(j ω)=$\frac{a}{j\omega + a} \bullet \frac{a - j\omega}{a - j\omega}$=$\frac{a^{2} - j*a*\omega}{a^{2}*\omega^{2}}$

P($\omega) = \frac{a^{2}}{a^{2} + \omega^{2}}$, Q($\omega) = \frac{- a*\omega}{a^{2} + \omega^{2}}$

M – moduł transmitancji widmowej, M($\omega) = \sqrt{\left( P\left( \omega \right) \right)^{2} + \left( Q\left( \omega \right) \right)^{2}}$

φ – przesunięcie fazowe, ϕ(ω)=arctg[Q(ω)/P(ω)]

Lp	ω	P(ω)	Q(ω)	M(ω)	ϕ(ω)
	rad/s	-	-	-	°
1	6,28	0,1858	-0,3889	0,431	-81,0
2	12,56	0,0540	-0,2260	0,232	-85,5
3	18,84	0,0247	-0,1553	0,157	-87,0
4	25,12	0,0141	-0,1177	0,119	-87,8
5	31,4	0,0090	-0,0947	0,095	-88,2
6	37,68	0,0063	-0,0791	0,079	-88,5
7	43,96	0,0046	-0,0679	0,068	-88,7
8	50,24	0,0036	-0,0595	0,060	-88,9
9	56,52	0,0028	-0,0529	0,053	-89,0
10	62,8	0,0023	-0,0477	0,048	-89,1

Charakterystyki amplitudowo-fazowa (we współrzędnych prostokątnych) oraz fazowo-częstotliwościowa wykonane na podstawie umieszczonych w tabeli wartości obliczeń, pokazane zostały poniżej.

5. Wnioski:

Właściwości obiektu bada się używając różnych sygnałów wymuszających. Zależnie od rodzaju sygnału wyróżnia się charakterystyki skokową, impulsową oraz częstotliwościową. Dwie pierwsze z nich, pomimo dużej prostoty w badaniu i łatwości opracowania wyników, nie zawsze trafnie określają właściwości dynamiczne obiektu. W takim wypadku korzystne staje się stosowanie charakterystyki częstotliwościowej. Wyznaczenie ostatniej z wymienionych charakterystyk polega na wykonaniu wielu eksperymentów (na wejście podaje się wówczas sygnał sinusoidalny o stałej częstotliwości i ustalonej amplitudzie, aby na wyjściu uzyskać po pewnym przebiegu przejściowym sygnał o jednakowej częstotliwości, ale innej amplitudzie i przy tym przesunięty w fazie). Z każdego takiego eksperymentu uzyskuje się dane dla jednego punktu charakterystyki częstotliwościowej. Jak widać, badania częstotliwościowe są dość czasochłonne (wiążą się z koniecznością dokonywania wielu pomiarów, w celu nakreślenia charakterystyk częstotliwościowych), ale pozwalają za to uzyskać najdokładniejsze informacje o właściwościach badanego obiektu w założonym paśmie częstotliwości. W ćwiczeniu mając do dyspozycji wartości częstotliwości oraz P i Q obliczono moduł i fazę. Z powyższych wyliczeń można zauważyć, że wraz ze wzrostem częstotliwości moduł zmalał z wartości 0,43 do wartości 0,048. Przesunięcie fazowe rosło wraz ze wzrostem częstotliwości od wartości 81° do 89,1° . Wynika z tego, że zwiększając częstotliwość drgań zwiększamy przesunięcie fazowe charakterystyki między sygnałem wejściowym, a wejściowym (opóźnienie układu wzrasta).