1. Definicja naprężenia oraz w jakich jednostkach jest wyrażana.

Naprężenie jest miarą gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jednostką naprężenia jest Paskla [$Pa = \frac{N}{m^{2}}\rbrack$.

Naprężenie w dowolnym punkcie przekroju elementu nazywamy granice do której dąży iloraz siły wewnętrznej ΔW i elementu pola ΔA gdy ΔA →0.

$$p = \operatorname{}\frac{\text{ΔW}}{\text{ΔA}}$$

Pojęcia naprężenia stosuje się rzadko najczęściej posługujemy się jego składowymi :

-naprężenia normalne (prostopadłe do przekroju)

-naprężenia styczne (zorientowane w kierunkach osi y i z)

2. Na czym polega zasada superpozycji i kiedy możemy ją stosować.

Zasada superpozycji mówi że skutek wypadkowy Ψ przy obciążeniu złożonym jest algebraiczną sumą skutków Ψ₁, Ψ₂, … wywołanych działaniem obciążeń składowych i nie zależy od kolejności poszczególnych obciążeń składowych.

Metoda superpozycji polega na rozbiciu danego układu obciążeń na układy proste tak dobrane aby suma tych układów dała rozpatrywany układ.

Przykład.

Superpozycja rozciągania kostki w dwóch prostopadłych kierunkach i stanu tzw. czystego ścinania.

Warunki stosowania zasady superpozycji :

- naprężenia nie mogą przekraczać granicy plastyczności ( materiał musi być sprężysty)

-działanie jednych sił nie może zmieniać charakteru działania drugich sił

3. Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, od czego zależy, w jakich jednostkach jest wyrażany.

Wielkość charakteryzująca odporność prętów na skręcanie. Wyznacza go iloraz biegunowego momentu bezwładności przekroju [J_o] i odległość elementu przekroju w którym występują maksymalne naprężenia skręcające ( najczęściej są to najdalsze warstwy) od osi skręcanie [r_z].

Przykład

$W_{o} = \frac{J_{o}}{r_{z}}$ – wskaźnik wytrzymałości na skręcanie

J_o- biegunowego momentu bezwładności przekroju (to napisane u góry)

r_z-odległość od osi skręcenia do najdalszego elementu przekroju (to napisane u góry)

Jednostka wskaźnika wytrzymałości na skręcanie

[W_o]=[m³]

Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie zależy od geometrii przekroju poprzecznego rozpatrywanego elementu.

4. Podać warunki gdy można przeprowadzić sumowanie, rozkład lub superpozycję naprężeń.

Sumowanie, rozkład lub superpozycję naprężeń można przeprowadzić gdy:

- działają one w jednym ustalonym przekroju

- naprężenia nie mogą przekraczać granicy plastyczności ( materiał musi być sprężysty)

-działanie jednych sił nie może zmieniać charakteru działania drugich sił

5. Jaka jest wartość naprężeń stycznych, w przekrojach w których naprężenia normalne osiągają ekstremum.

Naprężenia styczne τ są rozłożone nierównomiernie. Powoduje to, że linie proste pierwotnie do osi belki stają się zakrzywione, a płaskie przekroje poprzeczne przestają być płaskimi. Okazuje się, że naprężenia τ mają małą, a niekiedy nawet zerowy wpływ na względne wydłużenia włókien belki i że zależy głównie od lokalnej wartości M_g (x). τ = ρ * sinα

6. Od czego zależy odkształcenie względne przy czystym zginaniu.

Czyste zginanie zachodzi gdy w myślowym przekroju pręta istnieje tylko moment gnący M_g, którego wektor jest prostopadły do osi pręta, czyli leży w płaszczyźnie przekroju.

$e = \frac{s^{'} - s}{s}$ - odkształcenie względne

Przy czystym zginaniu odkształcenia względne włókien są proporcjonalne do ich odległości od warstwy obojętnej (włókna materiału belki nie ulegające zmianą długości).

$e = \frac{- z}{\delta}$ , z – odległość od warstwy obojętnej

δ – promień koła po łuku którego wygina się belka

Ta zależność jest słuszna bez względu na to czy materiał jest sprężysty ponieważ wynika z rozważań geometrycznych.

Jeśli obciążenia beli są w zakresie sprężystym to mamy:

$e = \frac{- Ez}{\delta}$

7. Wyznaczyć położenie osi obojętnej w przypadku mimośrodowego ściskania pręta. (149)

Mimośrodowe ściskanie pręta występuje gdy obciążenie pręta stanowią siły wzdłużne równoległe do jego osi.

e- mimośród siły

Należy najpierw zredukować układ sił i momentów do punktu przekroju w którym znajduje się środek ciężkości.

N=-P, My=Pe_z, My=Pe_y

Naprężenie

$$\sigma_{f} = \frac{P}{A} + \frac{Pe_{z}z}{J_{y}} + \frac{Pe_{y}y}{J_{z}}$$

Gdy σ_f = 0 naprężenia nie występują

$0 = \frac{1}{A} + \frac{e_{z}z}{J_{y}} + \frac{e_{y}y}{J_{z}}$ - równanie osi obojętnej

$i_{y} = \sqrt{\frac{J_{y}}{A}}$, $i_{z} = \sqrt{\frac{J_{z}}{A}}$ - promienie bezwładności względem centralnych głównych osi y i z

$0 = 1 + \frac{e_{z}z}{{i_{y}}^{2}} + \frac{e_{y}y}{{i_{z}}^{2}}$ - równanie osi obojętnej po wprowadzeniu promieni bezwładności

8. Co to są główne centralne osie bezwładności. (77)

J _η  = ∫_Aδ²dA -moment bezwładności

J _ηδ  = ∫_AηδdA-moment dewiacji

Główne osie bezwładności to takie dwie osie względem których osiowe momenty bezwładności osiągają ekstremum a moment dewiacji jest równy zero.

Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności przechodzące przez środek ciężkości figury.

9. Narysować koło Mohra dla płaskiego stanu odkształceń. (183)

Płaski stan odkształceń to taki gdy elementarna kostka doznaje wydłużeń względem ε₁ i ε₂ w kierunku osi 1 i 2 a kąty proste w narożach nie ulegają zmianie.

l₁ * ε₁- wydłużenie wzdłuż osi 1

l₂ * ε₂- wydłużenie wzdłuż osi 2

10. Różnica między momentem odśrodkowym a biegunowym bezwładności.

J _η  = ∫_AδηdA –odśrodkowy moment bezwładności

J_o = ∫_A(δ² + η ²)dA- biegunowy moment bezwładności

Odśrodkowy moment bezwładności mówi nam o symetrii (asymetrii) rozkładu masy w przestrzeni, natomiast biegunowy moment bezwładności charakteryzuje kształt ciała i rozkład jego poszczególnych punktów od osi obrotu .

11. Podać zależność siły krytycznej przy mimośrodowym ściskaniu pręta od jego długości.(152)

Siłą krytyczną nazywamy graniczną wartość siły, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności pręta (nagłej zmiany kształtu konstrukcji).

Ściskanie mimośrodowe zachodzi wtedy gdy siła nie jest przyłożona wzdłuż osi pręta.

$$P_{\text{kr}} = \left( \frac{\pi^{2}*E{*J}_{y}}{4} \right)*(\frac{1}{l^{2}})$$

E*J_y – sztywność na zginanie

π – Pi

12. Sens fizyczny siły Eulera przy ściskaniu pręta. (153)

Fizyczny sens P_kr można zinterpretować jako tą siłę P, przy której ściskany (bez mimośrodu) pręt może mieć dwie różne postacie równowagi: pierwotny, tj. gdy oś pręta zostaje prosta i nowy, tj. o osi wygiętej. To zjawisko nosi nazwę utraty stateczności lub inaczej wyboczenia pręta.

Dla wyboczenia sprężystego można wyznaczyć siłę krytyczną z zależności

μ –współczynnik zależący od sposobu zamocowania pręta

13. Różnice pomiędzy modułem sprężystości postaciowej, wzdłużnej, modułem ściśliwości.

Modułem sprężystości postaciowej (Moduł Kirchoffa) współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje . Jednostką jest paskal.

- naprężenia ścinające

- odkształcenie postaciowe (np. ścinanie, skręcanie)

- współczynnik Poissona,

- moduł Younga

Moduł sprężystości wzdłużnej ( Moduł Younga) – wielkość w stałych warunkach zależna jedynie od rodzaju materiału i określająca jego sprężystość.

σ -naprężenia

ε – względne odkształcenie liniowe

Jednostką modułu Younga jest paskal.

Moduł ściśliwości - stała zależna od podstawowych stałych E – moduł Younga, υ – liczba Poissona. Określa ściśliwość materiału.

$$K = \frac{E}{3(1 - 2\ \upsilon)}$$

Te trzy moduły różnią się od siebie tym że uzależniają trzy różne sposoby odkształcenia materiału (ściskanie, rozciąganie, skręcanie) od różnych naprężeń (normalnych, stycznych). A więc mimo tych samych jednostek pozwalają nam uzyskać trzy różne informacje o zachowaniu materiału pod działaniem danych obciążeń.

14. Różnica pomiędzy sztywnością pręta na zginanie oraz na skręcanie. (59,111)

G * J₀ - sztywność pręta na skręcanie

E * J₀ - sztywność pręta na zginanie

G - moduł Kirchoffa, E – moduł Younga, J₀ - biegunowego momentu bezwładności przekroju

W wzorach występują dwa różne moduły. Te dwie sztywności mówią nam o tym jak bardzo dany pręt jest odporny na skręcanie i zginanie. A więc różnią się od siebie tym jaki sposób deformacji opisują (zginanie, skręcanie). Im większa sztywność na skręcanie i zginanie tym trudniej zdeformować dany pręt w określony sposób.

15. Definicja środka ciężkości figury oraz sposoby jej wyznaczania.

Środek ciężkości ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.

dm=dV*p, p-gęstość

m=V*p

16. Podać związek pomiędzy przemieszczeniem a odkształceniem.

17. Sens fizyczny liczby Poissona (str. 26)

Sens tej zależności jest podobny do podanego przy omawianiu prawa Hooke’a i polega na stwierdzeniu, że każda elementarna kostka poddana na dwóch swych ścianach działania naprężeń σ doznaje skrócenia ε_p w dowolnym kierunku prostopadłym do tych naprężeń. Wartości v są dla materiałów uważanych za izotropowe zawarte w przedziale 0 < v < 0,5.

18. Podać zależność pomiędzy naprężeniami stycznymi działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych przekrojach.

τ_xy=τ_yx

Dwa składowe naprężenia działające na dwóch prostopadłych ścianach i prostopadłe do wspólnej ich krawędzi mają jednakową wartość i są skierowane albo do tej krawędzi albo od niej.

19. Różnice pomiędzy stanem czystego skręcania a stanem czystego ścinania.

Stan czystego skręcania może być realizowane na cienkościennej rurce i polega na obciążeniu jej dwiema parami sił leżącymi w płaszczyznach prostopadłych do jej osi i przeciwnie skierowanymi.

Stan czystego ścinania jest jednym z składników superpozycji np. naprężeń na myślowo wyciętej kostce podczas rozciągania wynikający z działania naprężeń stycznych .

Różnica pomiędzy tymi stanami polega na rurkę nie działają naprężenia normalne, jej przekroje końcowe pozostają płaskie, a promienie przekrojów pozostaną liniami prostymi, oś rurki nie zmienia swojej postaci .

20.Różnice pomiędzy mimośrodowym a zwykłym ściskaniem pręta.

Mimośrodowe ściskanie pręta występuje gdy układ sił zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do siły wypadkowej N równoległej do osi pręta, zaczepionej poza jego środkiem ciężkości. Natomiast w zwykłym ściskaniu siła N jest zaczepiona w środku ciężkości.

W pierwszym przypadku po sprowadzeniu siły N do środka ciężkości będą występowały dodatkowe momenty gnące i pręt będzie zginane (w znaną nam stronę tzn. tam gdzie przyłożona jest siła), natomiast w drugim przypadku naprężenia będą równomiernie rozłożone na całym przekroju.

21.Narysować koło Mohra dla płaskiego stanu naprężeń.

22. Narysować wykres rozciągania stali, zaznaczyć zakres stosowania prawa Hooke’a oraz moduł Younga.

23. Różnice między współczynnikiem sprężystości podłużnej oraz współczynnikiem sprężystości postaciowej.

Modułem sprężystości postaciowej (Moduł Kirchoffa) współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje . Jednostką jest paskal.

- naprężenia ścinające

- odkształcenie postaciowe (np. ścinanie, skręcanie)

- współczynnik Poissona,

- moduł Younga

Moduł sprężystości wzdłużnej ( Moduł Younga) – wielkość w stałych warunkach zależna jedynie od rodzaju materiału i określająca jego sprężystość.

σ -naprężenia

ε – względne odkształcenie liniowe

Jednostką modułu Younga jest paskal.

Te dwa moduły różnią się od siebie tym że uzależniają dwa różne sposoby odkształcenia materiału (rozciąganie, skręcanie) od różnych naprężeń (normalnych, stycznych). A więc mimo tych samych jednostek pozwalają nam uzyskać dwie różne informacje o zachowaniu materiału pod działaniem danych obciążeń.

24. Definicja matematyczna środka ciężkości figury.

Do zadania 15

25. Sens fizyczny siły Eulera przy mimośrodowym ściskaniu pręta.

Jeśli ky dąży do pi/2 oraz siła dąży do Pkr to przy najmniejszym mimośrodzie naprężenie osiągnie granice plastyczności materiału co prowadzi do trwałego odkształcenia. Ponieważ mimośród zawsze występuje to wynika stąd, że siła Pkr(Eulera) jest jednocześnie siłą niszczącą.

26. Podać zasady stosowania zasady superpozycji naprężeń.

Do zadania 2.

27. Podać zależność sztywności na zginanie od geometrii pręta.

E * J₀ - sztywność pręta na zginanie

E – moduł Younga, J₀ - biegunowego momentu bezwładności przekroju

Moduł Younga zależy od własności materiału więc nie ma nic wspólnego z geometrią.

Natomiast biegunowego momentu bezwładności to parametry zależne od wielkości i geometrii figury.

Z zmianą geometrii pręta zmienia się J₀ i np. dla przekroju kołowego wynosi .

Dal różnych geometrii mamy inne J₀.

28. Różnica między sztywnością pręta na zginanie oraz na skręcanie.

Do zadanie 14

29.Podać wartość naprężeń stycznych w przekrojach, w których naprężenia normalne osiągają ekstremum.

W przekrojach w których naprężenia normalne osiągają ekstremum, naprężenia styczne są równe 0.

30. Podać ogólne określenie kierunków głównych oraz naprężeń głównych

Naprężeniem głównym nazywamy wektor naprężenia , który jest prostopadły do płaszczyzny na którą działa. Odpowiada siłom ściskającym lub rozciągającym, a nie ścinającym — działającym wzdłuż płaszczyzny na którą działają.

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne są równe zeru a niezerowe pozostają wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia.

31. Różnice między zginaniem poprzecznym a zginaniem ukośnym.

Zginanie poprzeczne występuję gdy wysiłek przekroju stanowi moment gnący Mg i siła tnąca T.

Zginanie ukośne występuje gdy zgięcie belki zachodzi w płaszczyźnie działania momentu zginającego, która nie pokrywa się z główną osią bezwładności . Str 110 rys 5.30

Te dwa sposoby zginania różnią się od siebie tym, że przy zginaniu poprzecznym występuję sił tnąca T. Natomiast przy zginaniu ukośnym ta siła nie występuję. Mamy jedynie moment gnący Mg

32.Uogólnione Prawo Hooke’a. (187)

Jest związane z tym że pomiędzy stanem naprężenia i odkształcenia istnieje przyczynowy związek. Stosowane jest wyłącznie dla stanów sprężystych.

Np. w tym przypadku

możemy utworzyć superpozycję trzech stanów rozciągania :

e1,e2,e3 – odkształcenia

W wyniku uogólnionego prawa Hooke’a otrzymujemy postać