Termiczna rozszerzalność materiałów konstrukcyjnych

Data Ćwiczenia:	08.01.2013, Wtorek TP
Wykonawcy:	Dorota Babula Eliza Lubryka Radosław Ignatowicz
Ocena:

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika liniowej rozszerzalności cieplnej α miedzi.

Opis metody pomiarowej

Liniowy współczynnik rozszerzalności cieplnej określa zmianę wymiarów ciała (próbki) pod wpływem zmiany temperatury. Zdefiniowany jest on równaniem:

$$\alpha = \frac{1}{T}\frac{L}{L_{0}} = \frac{\varepsilon}{T} = \frac{1}{L_{0}}\frac{\text{dL}}{\text{dT}}$$	(1)

gdzie: ΔT – przyrost temperatury; L₀ – długość w temperaturze T₀; ΔL – przyrost długości odpowiadający wzrostowi temperatury o ΔT; ε =ΔL/L₀ – wydłużenie względne.
Jednostką współczynnika α w układzie SI jest 1/K.

Współczynnik α zależy nieliniowo od temperatury, jednak dla większości materiałów zależność ta jest na tyle słaba, iż można przyjąć że wartość α jest w niezbyt dużym zakresie temperatur stała. Aby wyznaczyć wartość współczynnika α należy posłużyć się definicją (1).

Rys. 1. Ilustracja zasady pomiaru współczynnika liniowej rozszerzalności cieplnej.

Zgodnie z definicją współczynnika α, aby wyznaczyć jego wartość, należy zmierzyć długość próbki L₀ w temperaturze T₀, następnie równomiernie podgrzać pręt do temperatury T=T₀+ΔT oraz zmierzyć jego wydłużenie ΔL. Ponieważ równomierne ogrzanie pręta wymaga zastosowania termostatu, co komplikuje i podraża stanowisko pomiarowe, w trakcie ćwiczenia zmodyfikowano metodę.
Próbka nie jest ogrzewania równomiernie, zatem aby obliczyć współczynnik α należy sporządzić charakterystykę przedstawiającą rozkład temperatury wzdłuż osi próbki T(x). Następnie konieczne jest scałkowanie otrzymanego profilu temperatury metodą dyskretną, czyli obliczenie pola pod funkcją T(x). Współczynnik α wyrażać będzie się wzorem:

$$\alpha = \frac{\text{ΔL}}{\sum_{i = 1}^{L_{0}}{{(T}_{i}\text{Δx}_{i}}) - T_{0}L_{0}}$$	(2)

gdzie:
T_i=T(x_i) – temperatura próbki w punkcie odległym od jej początku o x_i;
Δx_i=x_i-x_i-1 – odległość między punktami pomiarowymi.

Stanowisko pomiarowe

Stanowisko pomiarowe składa się z badanej próbki – pręta miedzianego o długości L₀=44 cm, palnika gazowego, statywu, termopary i miernika temperatury o dokładności 1°C oraz zegarowego miernika przesunięcia o dokładności 0,001 cm. Na stole zamontowano także miarę umożliwiającą pomiar odległości x.

Rys. 2. Schemat stanowiska pomiarowego.

Wartość wydłużenia ΔL została odczytana po osiągnięciu równowagi termicznej pomiędzy układem, a otoczeniem, czyli w momencie, w którym wymiary próbki przestały się zmieniać. Następnie wykonano pomiary temperatury T(x) wzdłuż osi próbki ze stałym krokiem Δx=4 cm. Wykonano także pomiar temperatury otoczenia T_o.

Protokół pomiarowy

W tabeli 1. zebrano wyniki pomiarów temperatur wzdłuż osi próbki. Pomiar o numerze 0 jest pomiarem w punkcie najdalej oddalonym od palnika gazowego (na początku pręta).
Materiał: próbka miedziana;

Długość próbki L₀: 44 cm;

Temperatura otoczenia T₀: 18°C;

Wydłużenie końcowe ΔL: 3,08 mm.

Tabela. 1. Wyniki pomiarów temperatury.

Lp.	x / cm	T(x) / °C
0	0	64
1	4	143
2	8	164
3	12	193
4	16	250
5	20	337
6	24	454
7	28	666
8	32	767

Wyniki obliczeń

Tabela 2. Wyniki obliczeń współczynnika α oraz niepewności u(α).

α/K^-1	u(α)/K^-1
3,95*10^-5	0,23*10^-5

Rys.2. Wykres rozkładu temperatury wzdłuż osi próbki T(x).

W celu wyznaczenia liniowego współczynnika rozszerzalności cieplnej miedzi wykonano następujące obliczenia:

Obliczenie całki (sumy) występującej w równaniu 2:

$$I_{T} = \sum_{i = 1}^{n}{T_{i}\text{Δx}_{i} = 416\ K*0,04\ m + 437\ K*0,04\ m + \ldots + 939\ K*0,04\ m} + 1040K*0,04\ m = 206,32\ K*m$$

Obliczenie wartości współczynnika α:

$$\alpha = \frac{\text{ΔL}}{I_{T} - T_{0}L_{0}} = \frac{0,00308\ m}{206,32\ K*m - 291K*0,44m} = 3,95*10^{- 5}K^{- 1}$$

$${u\left( \alpha \right) = \sqrt{\left( \frac{\text{δα}}{\text{δΔL}}*u\left( \text{ΔL} \right) \right)^{2} + \left( \frac{\text{δα}}{\delta I_{T}}*u\left( I_{T} \right) \right)^{2} + \left( \frac{\text{δα}}{\delta T_{0}}*u\left( T_{0} \right) \right)^{2} + \left( \frac{\text{δα}}{\delta L_{0}}*u\left( L_{0} \right) \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{1}{I_{T} - L_{0}T_{0}}u(\Delta L) \right)^{2} + \left( \frac{- \Delta L}{{{(I}_{T} - L_{0}T_{0})}^{2}}u(I_{T}) \right)^{2} + \left( \frac{L_{0}\text{ΔL}}{\left( I_{T} - L_{0}T_{0} \right)^{2}}u(T_{0}) \right)^{2} + \left( \frac{T_{0}\text{ΔL}}{\left( I_{T} - L_{0}T_{0} \right)^{2}}u(L_{0}) \right)^{2}}\backslash n}{= \sqrt{\left( \frac{1}{206,32 - 0,44*291}*0,00001 \right)^{2} + \left( \frac{- 0,00308}{\left( 206,32 - 0,44*291 \right)^{2}}*3,29 \right)^{2} + \left( \frac{0,44*0,00308}{\left( 206,32 - 0,44*291 \right)^{2}}*1 \right)^{2} + \left( \frac{291*0,00308}{\left( 206,32 - 0,44*291 \right)^{2}}*0,01 \right)^{2}} = 0,23*10^{- 5}K^{- 1}}$$

gdzie za niepewności składowe przyjęto dokładności przyrządów:

u(ΔL)=0,01 m;

u(T₀)=1 K;

u(L₀)=0,00001 m;

a niepewność obliczenia całki wyznaczono z zależności:

$$u\left( I_{T} \right) = \frac{L_{0}^{3}}{24n^{2}}T_{\max}^{''} = \frac{{(0,44m)}^{3}}{24*8^{2}}*59375\frac{K}{m^{2}} = 3,29\ K*m$$

$$T_{i}^{''} = \ \frac{T_{i + 1} - T_{i}}{\text{Δx}_{i + 1}\text{Δx}_{i}} - \frac{T_{i} - T_{i - 1}}{\text{Δx}_{i}^{2}}$$

$$T_{\max}^{''} = T_{6}^{''} = \frac{939K + 610K - 2*727K}{0,0016\ m} = 59375\frac{K}{m^{2}}$$

Wnioski

Na podstawie wyników pomiarów wykonano charakterystykę rozkładu temperatury wzdłuż osi próbki oraz wyznaczono liniowy współczynnik rozszerzalności cieplnej α. Z obliczeń uzyskano wynik 3,95*10^-5 K^-1. Niepewność wyznaczenia współczynnika α wynosi 0,23*10^-5 K^-1. Otrzymany wynik znacznie odbiega od wartości liniowego współczynnika rozszerzalności cieplnej miedzi zamieszczonej w tablicach fizycznych. Według tablic współczynnik α miedzi wynosi 1,67*10^-5 K^-1. Tak duża różnica pomiędzy wynikiem otrzymanym z obliczeń, a wartością tablicową spowodowana jest niedostateczną ilością punktów pomiarowych. Wykonane pomiary pozwoliły na sporządzenie wykresu zależności T(x) tylko w zakresie od x₀=0 cm do x₈=32 cm, podczas gdy długość próbki wynosiła 44 cm. W związku z tym obliczono tylko część całki (sumy) potrzebnej do wyznaczenia współczynnika α (równanie 2), dlatego też końcowy wynik okazuje się błędny.