II zasada DROBS - FΔt=Δp => F_ksinα_kΔt=p_k-p_o=Δm_kV_k- Δm_kV_ok => F_ksinα_kΔt= Δm_kr_kw_k- Δm_kr_kw_o /*r => r_kF_ksinα_kΔt= Δm_kr_k² w_k- Δm_kr_k² w_o => r_kF_ksinα_kΔt= Δm_kr_k² (w_k- w_o)-dla wybranego punktu bryły ; Δt$\ \sum_{k = 1}^{n}{r_{k}F_{k}\sin\alpha}$=(w_k- w_o)$\sum_{k = 1}^{n}{m_{k}r_{k}^{2}}$ -dla wszystkich punktów Bryl ; M_k=r_kF_ksinα_{k –}moment siły wprowadza bryłę w ruch obrotowy ; I_k= Δm_kr_k² – moment pędu ; M=I*E ; Pod wpływem stałego zew momentu siły, bryła obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym, jest ono wprost proporcjonalne do momentu siły i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności.

Moment bezwładności z przykładem obliczeniowym – suma po wszystkich elementach bryły z wybranego elementu bryły jest równa I=$\sum_{k = 1}^{n}{m_{k}r_{k}^{2}}$ , I=∫r²dm ; bryły jednorodne mają stałą gęstość $\rho = \frac{m_{k}}{V_{k}}$= const. , Δm_k=ρΔV_{k ,} I=$\rho\sum_{k = 1}^{n}{V_{k}r_{k}^{2}}$ dla bryły jednorodnej ( I=ρ∫r_k²dV). Przykład - Moment bezwładności wydrążonego walca: *znajdź taki element bryły który ma stałą odległość od osi obrotu i definiujemy jego objętość dV=2πrdrl * wstawiamy dV do wzoru i ustalamy granice całkowania: ( I=ρ∫r_k²dV= ρ∫_R1^R₂r²2πrldr=2πρl∫_R1^R₂r³dr) * I=2πρl${\lbrack\frac{1}{4}r^{4}\rbrack}_{R_{1}}^{R_{2}} = \frac{1}{2}$ πρl($R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) = \ \frac{1}{2}$πρl(R₂² − R₁²) (R₂² + R₁²) * wprowadzamy do wzoru masę bryły m= ρV = ρ(πR₂²l−πR₁²l)=πρl(R₂² − R₁²) → I=$\frac{1}{2}m(R_{2}^{2} + R_{1}^{2}$) .

Zasada zachowania momentu pędu bryły z przykładem – $\overrightarrow{L}$=I*$\overrightarrow{w}$ w układzie odosobnionym, czyli w takim w którym nie działają zewnętrzne momenty siły, kręt ciała jest stały nie zmienia się w czasie. $\overrightarrow{L} = const$= I*$\overrightarrow{w}$-dla pojedynczego punktu. $\overrightarrow{L}$=$\sum_{}^{}{\overrightarrow{I}}_{i}$=$\sum_{}^{}{\ I*\overrightarrow{w}}$= $\overrightarrow{w}\sum_{}^{}\text{Ii}$=I_i$\overrightarrow{w}$ . $\overrightarrow{M} = \frac{dI}{\text{dt}}\ \ ,\ M = 0\ ,\ \ \ \ \frac{dI}{\text{dt}} = 0 = > \ \overrightarrow{L} = const$. Przykład; kręcimy się na stoliku trzymając hantle, stolik obrotowy, po pewnym czasie zbliżamy do siebie hantle. $\overrightarrow{L} = const$ , I₁w₁=I₂w₂, I₁>I₂ ,$\ \overrightarrow{L}$=$\sum_{}^{}{\overrightarrow{I}}_{i}$= const – dla układu ciał , I₂ zmalało bo masa bliżej osi obrotu. Jeżeli I₂ zmalało to w₁ wzrosło.

Zjawisko precesji mechanicznej – Bąk symetryczny to bryła obracająca się wokół własnej osi symetrii(może być ona podparta lub swobodna). Jest nim zabawka dziecięca, dysk wyrzucany przez dyskobola, ziemia obracająca się względem własnej osi, wirujący w atomie elektron. Jeżeli na baka nie działają zewnętrzne momenty siły, to zgodnie z ZZKB jego kręt pozostaje stały w czasie co do wartości i kierunku- bąk nie wykazuje zjawiska precesji. Jeżeli jednak pochylimy oś bąka, zakreśla stożek precesji a wraz z nią ten stożek zakreśla kręt bąka. $\overrightarrow{M}$=$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ =$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{\text{mg}}$ => M=rmgsin(180−θ) = mrgsin0 , Prędkość kątowa precesji -> $\omega_{p} = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$, Δφ=ω_p Δt, skorzystamy ze związku momentu siły a krętem--> M=$\frac{\text{ΔL}}{\Delta t}$ => L = Mt ,   (L = L)= > Lsinθω_pt = rmgsinθt  , $\omega_{p} = \frac{\text{rmg}}{L}$=$\frac{\text{mgr}}{\text{Iω}}$. Prędkość Katowa precesji nie zależy od kąta pochylenia bąka i jest wprost proporcjonalny do max momentu siły ciężkości i odwrotnie proporcjonalnie do własnego krętu bąka. $\overrightarrow{M}$=$\overrightarrow{\text{ωφ}} \times \overrightarrow{L}$= ($\overrightarrow{\text{ωφ}} \times \overrightarrow{\omega}$)*I , $\overrightarrow{M_{z}} = \overrightarrow{L}\ \times \overrightarrow{\text{ωφ}}$ (żyroskopowy moment siły utrzymuje bąka w pochyleniu).

Równanie Bernouliego z przykładem- jako wynik przepływu można uważać zniknięcie cieczy w objętości V₁ i pojawianie się jej w obj V₂. Do tego przepływu zastosujemy ZZEM. Masa cieczy w obu obj jest taka sama. S₁V₁= S₂V₂ , S₁dx₁=S₂dx_{2 ,} E₁=E_k1+E_p1=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₁dx₁V₁²₊ ρS₁dx₁gh_{1 ;} E₂=E_k2+E_p2=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₂dx₂V₂²₊ ρS₂dx₂gh₂ ; dW=E₂-E₁ ; Przyrost energii powstaje kosztem pracy ciśnienia na przekrojach. dW=p₁S₁dx₁- p₂S₂dx₂ -> p₁S₁dx₁- p₂S₂dx₂=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₂dx₂V₂²₊ ρS₂dx₂gh₂-$\frac{1}{2}\text{ρS}$₁dx₁V₁²₊ ρS₁dx₁gh_{1 ;} $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2}$₊ ρgh₁+p₁= $\frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$₊ ρgh₂+p₂=const ; równanie- $\frac{\rho V^{2}}{2} + \rho gh + p = const$ przykład- pozioma rura _; $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2}\ $+p₁ = $\frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$+p₂ ; _; $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2} - \frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$ =p₂-p₁= ρg(h₂−h₁) < 0 rys.

Ciecze lepkie, jedna z metod wyznaczania lepkości- idealnie lepkie ciecze nazywamy Newtonowskimi. $\frac{F}{S} = N\frac{\text{du}}{\text{dx}}$ -> $\tau = \ N\dot{\gamma}$ ; płyn newtonowski(doskonale lepki) model lepkości płynów wprowadzony przez Newtona wykazujący liniową zależność naprężenia ścinającego od szybkości ścinania ,gdzie: N− lepkość dynamiczna, dla płynu newtonowskiego jest to wartość stała. Lepkość dynamiczna danej cieczy wynosi 1Pas(pascalosekunda) (1[pa*s]=10[P]=100[cP]), można też 1Poise(P); lepkość kinematyczna 1Stokes (100[cSt]=1[$\frac{m^{2}}{s}$]=1[St]); wyznaczanie lepkości- metoda stokesa: F_s=6π NrV, siła działająca na poruszającą się kulkę w cieczy lepkiej.

Równanie falowe- operator Laplace’a $\frac{1}{V^{2}}*\ \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial t^{2}}$=Ψ , $\Psi = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}$+$\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y^{2}}$+$\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial z^{2}}$ , funkcja falowa przestrzenna Ψ(x,y,z,t) Ψ(x,t) = y(x,t).

Fale stojące- rozważamy nałożenie się 2 identycznych fal biegnących w kierunkach przeciwnych: y₁=Asin2 π($\frac{t}{T}$ - $\frac{x}{\lambda}$) oraz y₂=Asin2 π($\frac{t}{T}$ + $\frac{x}{\lambda}$), y=y₁+y₂= A[sin2 π($\frac{t}{T}$ - $\frac{x}{\lambda}$)+ sin2 π($\frac{t}{T}$ + $\frac{x}{\lambda}$)]= 2Asin$\frac{2\text{\ π}\left( \frac{t}{T}\ - \ \frac{x}{\lambda} \right) + 2\ \pi(\frac{t}{T} + \ \frac{x}{\lambda})\ }{2}\cos\frac{2\text{\ π}\left( \frac{t}{T}\ - \ \frac{x}{\lambda} \right) - 2\ \pi(\frac{t}{T} + \ \frac{x}{\lambda})}{2}$=2Asin $2\text{\ π}\frac{t}{T}cos( - 2\pi\frac{x}{\lambda}$)= 2Acos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}2\text{\ π}\frac{t}{T}\ $ ; amplituda fali- A(x)=2Acos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$ ; A(x)=0 -> cos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$=0 -> 2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$=$\frac{\pi}{2}$(2m+1) -> x_w=$\frac{2m + 1}{4}$* λ -węzły ; A(x)=1 -> cos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$=1 -> 2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$= πm -> x_s=$\frac{m}{2}\ \lambda - strzalki$.

Prędkość dźwięku - *w ciałach stałych, podłużne- V_||=$\sqrt{\frac{E}{\rho}}$ -> stal(5050$\frac{m}{s}$)-lód(3260$\frac{m}{s})\ ,\ poprzeczne\ $V=$\sqrt{\frac{G}{\rho}}$ stal(3300m/s) lód(1990m/s); *w cieczach: V_||=$\sqrt{\frac{K}{\rho}}$ -> woda 1500m/s , spirytus1180m/s; *w gazach V_||=$\sqrt{\frac{K}{\rho}}$, V=$\sqrt{\frac{\text{pϰ}}{\rho}}$ ; teoria- załóżmy że proces przekazu drgań pomiędzy cząsteczkami gazu jest procesem adiabatycznym tzn. zachodzi na tyle szybko że nie ma wymiany ciepła z otoczeniem. Powietrze 340m/s, tlen 320 m/s.

Ciśnienie gazu: cząsteczki gazu poruszają się chaotycznie z dużymi prędkościami i zderzają się ze ściankami naczynia doskonale sprężyście wywierając na nich ciśnienie. Rozmiary cząstek i ich oddziaływania pomijamy. Rozważmy kulisty zbiornik o promieniu R z gazem doskonałym. Zderzenie cząsteczki jest doskonale sprężyste Δp_i=picosφ_i-(-p_icosφ_i )=2p_icosφ_i=2m₀v_icosφ_i Δp_i=F_it_i. Skorzystajmy z II ZD (zmiana pędu równa popędowi siły) niech nasza cząsteczka ma prędkość vi i przebywa drogę li w czasie ti; li=viΔti li=2Rcosφi m₀vi=FiR/vi 1/R*m₀vi²=Fi makroskopowo mierzalne ciśnienie jest wprost proporcjonalne do masy pojedynczej cząsteczki, koncentracji cząsteczek oraz średniej prędkości kwadratowej.

Temperatura E_k=1/2m₀v² średnia energia kinetyczna przypisana pojedynczej cząsteczce p=1/3m₀n₀v² m₀v²=3p/n₀ E_k=3p/2n₀ n₀=N/V=p/kT R/N_A=k=1,38*10^-23J/K E_k=3/2KT temperatura jest wielkością statystyczną jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek. Srednia energia kinetyczna pojedynczych cząsteczek gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury

Zasada ekwipartycji energii wartość prędkości poruszającej się w przestrzeni cząsteczki może być określona poprzez jej składowe v²=v²_x+v²_y+v_z² Analogicznie możemy zapisać dla wartości średnich v²=v²_x+v²_y+v_z² 3/2kT=m₀v₂/2=m₀/2 (v²_x+v²_y+v_z² )=m₀v_x²/2+ m₀v_y²/2+ m₀v_z²/2 v²_x=v²_y=v_z² =1/3v² wszystkie kierunki równouprawnione m₀v_x²/2+ m₀v_y²/2+ m₀v_z²/2=1/2kT to jest zasada ekwipartycji energii czyli jej równomiernego podziału między stopnie swobody Stopnie swobody i: i=3-1at i=5-2at i=6-3+at