Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego

Ćwiczenia z Modelowania Matematycznego

ZADANIE DOMOWE

Wykonał:

Damian Kacperczyk

Grupa:

I0X3S1

Prowadzący:

mgr inż. Michał Kapałka

1. Opis werbalny problemu:

Pewien informatyk organizuje przyjęcie z okazji zaliczenia sesji. W tym celu wynajmuje salę, oraz zaprasza chłopców i dziewczęta. Każdy uczestnik przyjęcia musi zapłacić składkę za którą zostaną kupione napoje, przynieść posiłek, oraz uiścić opłatę za wynajem sali, gdzie zostanie zorganizowanie przyjęcie. Składka, ilość jedzenia, jak i opłata za wynajem jest inna dla chłopców i dla dziewcząt. Informatyk chce zaprosić gości w takich proporcjach, aby fundusz powstały ze wszystkich składek ( po odjęciu opłaty za wynajem) był jak największy. Dodatkowo chcę, żeby przyjęcie się udało( przyjmuję, że aby przyjęcie się udało liczba dziewcząt może być różna od liczby chłopców maksymalnie o 25%).

1. Model matematyczny opisanego problemu:

Matematyczny opis cech istotnych:

L_ch – Liczba zaproszonych chłopców; L_ch ∈ N

L_dz – Liczba zaproszonych dziewcząt; L_dz ∈ N

S_ch – Składka chłopców; S_ch ∈ R₊

S_dz – Składka dziewcząt; S_dz ∈ R₊

W_ch­ – Opłata za wynajem dla chłopców; W_ch ∈ R₊

W_dz – Opłata za wynajem dla dziewcząt; W_dz ∈ R₊

J_ch­ – Ilość jedzenia jaką powinien przynieść każdy chłopiec; J_ch ∈ R₊

J_dz – Ilość jedzenia jaką powinna przynieść każda dziewczyna; J_dz  ∈ R₊

I – Ilość jedzenia na przyjęciu; I ∈ R₊

F – Fundusz powstały ze składek; F∈ R₊

P – Maksymalna pojemność sali; P ∈ N

Matematyczny opis związków:

r₁ – ograniczenie liczby gości ze względu na pojemność sali

Y₁ <P, L_ch, L_dz >

R₁ = {< P, L_ch, L_dz > ∈ N³: P ≥ L_ch + L_dz }

r₂ – ograniczenie ze względu na stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt

Y₂ < L_ch, L_dz >

R₂ = {< L_ch, L_dz > ∈ N²: L_ch = L_dz ± 0,25 • L_ch }

r₃ – obliczenie funduszu

Y₃ < L_{ch ,} L_dz , W_{ch­ ,} W_dz , S_ch , S_dz, F >

R₃ = {< L_{ch ,} L_dz , W_{ch­ ,} W_dz , S_ch , S_dz >  ∈   N² × R₊⁴ : F = (S_ch - W_ch) • L_ch + (S_dz – W_dz) • L_dz

r₄ – obliczenie ilości jedzenia

Y₄ < L_{ch ,} L_dz , J_{ch­ ,} J_dz , I >

R₄ = {< L_{ch ,} L_dz , J_{ch­ ,} J_dz , I >  ∈   N² × R₊³ : I = J_ch • L_ch + J_dz • L_dz

a = < S_ch , S_dz , W_ch , W_dz , J_dz, J_ch, P, I>

x = < L_{ch ,} L_dz >

w = <F>

1. Podział cech na zmienne decyzyjne, wskaźniki i dane:

A = {< S_ch , S_dz , W_ch , W_dz , J_ch, J_dz, I, P> ∈ R₊⁷ × N}

Ω(a) = {< L_{ch ,} L_dz > ∈ N² : P ≥ L_ch + L_{dz ,} L_ch= L_dz ± 0,25 • L_{ch ,} I = J_ch • L_ch + J_dz • L_dz

}

W(a, x) = {<F> ∈ R: : F = (S_ch - W_ch) • L_ch + (S_dz – W_dz) • L_dz }

1. Formułowanie zadania optymalizacyjnego:

Dla danych a ∈ A wyznaczyć:

X^* ∈ Ω(a) aby

Ea (F(X^*)) = 1

Ea (F(X^*))=$\left\{ \begin{matrix} 1\ \text{gdy}\ F\left( X* \right) = \operatorname{}{F(x)}\ \\ 0\ w\ p.p \\ \end{matrix} \right.\ $