Faderewska Małgorzata

Bajerowska Emilia

GiG Grupa 2, Zespół 3

Ćwiczenie 11:

Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia.

Jeśli na jakieś nieruchome ciało wywierana jest pewna siła to znaczy jeśli doznaje ono pewnego ciśnienia p, to w ciele tym występują odkształcenia, czyli deformacje. Deformacje mogą być związane ze zmianami objętości ciała – mówimy wtedy o odkształceniach objętościowych – lub też ze zmianami kształtu ciała – mówimy wtedy o odkształceniach postaci. W praktyce zwykle jeden rodzaj odkształcenia występuje obok drugiego, przy czym może się zaznaczyć wyraźna przewaga jednego z nich co w rozważaniach przybliżonych upoważnia do zaniedbania drugiego.

Odkształcająca ciało siła zewnętrzna powoduje zmianę odległości międzycząsteczkowych. Tej zmianie przeciwstawiają się siły międzycząsteczkowe ciała, dzięki którym powstaje tzw. opór sprężysty albo siła sprężystości; siła ta jest skierowana przeciwnie względem siły odkształcającej, a co do wartości jest jej równa. Siła oporu sprężystego jest tym większa, im większe jest odkształcenie; rośnie ona liniowo wraz z odkształceniem. Ilościowo ujmuje tę zależność prawo Hooke'a, które wyraża się równaniem:

α oznacza tu odkształcenie względne. P – ciśnienie, k – współczynnik proporcjonalności zwany modułem sprężystości, który ma dla danego materiału wartość stałą zależna od rodzaju odkształcenia.

Zależnie od rodzaju odkształcenia mamy dla danego materiału różne moduły sprężystości przy odkształceniu postaci polegającym na rozciąganiu względnie kurczeniu pręta występuje moduł wydłużenia, przy skręcaniu pręta mamy moduł skręcenia itp. Każdy moduł sprężystości wyraża się w jednostkach ciśnienia, tzn. względnie . Ze wzoru wynika bowiem, że moduł sprężystości określa stosunek

Odkształcenie względne α wyraża się stosunkiem odkształcenia bezwzględnego do początkowych wymiarów ciała i jest wobec tego liczbą oderwaną.

Największe znaczenie praktycznie ma moduł sprężystości na wydłużenie. Nosi on nazwę modułu Younga i oznaczany jest symbolem E. Na podstawie wzoru moduł Younga

Z wyrażenia tego łatwo odczytać sens fizyczny modułu Younga: jest to takie ciśnienie, które spowodowałoby odkształcenie względne równe jedności (oczywiście przy nieprzekraczaniu granicy sprężystości). W przypadku prostego wydłużenia.

będzie równe jedności, gdy Δl=l, to znaczy, gdy pręt zostanie rozciągnięty do podwójnej długości. W praktyce rzadko można osiągnąć takie odkształcenia bez przekroczenia granicy sprężystości (wyjątek stanowi np. guma). Moduł Younga jest jedynie pewną stałą, mającą orientować o wielkości sił sprężystych w danym ciele. Na podstawie rys I.53

gdzie F jest to siła obciążająca, q – powierzchnia przekroju pręta.

Wyznaczanie modułu Younga metodą zginania pręta

Jak wynika z rozważań przytoczonych powyżej najprostszy sposób wyznaczani modułu Younga polega na pomiarze przyrostu Δl pręta o długości l, umocowanego na jednym jego końcu i rozciąganego siłą P, przyłożoną do drugiego końca. Ten sposób może być jednak stosowany tylko do drutów i prętów o niewielkim przekroju. W przypadku prętów grubych, o przekroju jednego lub kilku , dla uzyskania mierzalnych wydłużeń należałoby stosować bardzo duże siły, co jest połączone z dużymi trudnościami technicznymi.

W przypadku prętów grubych uciekamy się więc do metody odmiennej. Polegającej na wykorzystaniu odkształcenia złożonego, jakie występuje w czasie zginania pręta umocowanego na jednym końcu lub podpartego w dwu miejscach w pobliżu jego końców. Odkształcenie takie daje się sprowadzić do jednostronnego rozciągnięcia i ściskania pręta. Obciążenie pręta siłą P, przyłożoną w jego środku (rys I.57) wywołuje specyficzną deformację, której miarą jest strzałka ugięcia S. W czasie zginania pręta, jakie tu następuje, jego dolne warstwy wydłużają się, górne skracają, a warstwa środkowa, którą nazywamy warstwą neutralną, zachowuje swoją długość, ulegając tylko wykrzywieniu.

Zgodnie z prawem Hook'a strzałka ugięcia S jest proporcjonalna do siły deformującej P,

S=kP

Jest oczywiste, że mamy tu do czynienia z sumowaniem efektów odkształceniowych rozciągania i ściskania poszczególnych warstw pręta. Dokładnie rozważania, które podamy niżej, prowadzą do wyliczenia współczynnika k; intuicja doświadczalna każe domyślać się, że będzie on zależał od rozmiarów pręta oraz od tego modułu sprężystości, który odnosi się do jednostronnego rozciągania i ściskania prętów, czyli do modułu Younga. Zgodnie z teorią otrzymujemy

gdzie α oznacza szerokość pręta, h – grubość liczoną w kierunku siły P, l – długość pręta od jednej krawędzi podparcia do drugiej, Z równania otrzymujemy wzór na moduł Younga E:

Przy wydłużaniu się warstw pręta zachodzi jednocześnie ich zwężanie, a przy skręcaniu się – rozszerzanie. Wskutek tego pierwotnie prostokątny przekrój pręta przechodzi w rodzaj trapezu z zakrzywionymi bokami, co w sposób przesadny zostało podane na rys I.58. Zmianę kształtu poprzecznego przekroju pręta można wykazać przymocowując do boków pręta długie wskazówki, z których jedna jest zaopatrzona w delikatną podziałkę. Obserwując za pomocą lupy wartości przesunięcia wskazówki, można na podstawie takich spostrzeżeń obliczyć tzw. współczynnik Poissona, tj. stosunek zwężenia poprzecznego do wydłużenia.